Об устойчивости множества решений дифференциального включения относительно возмущений наперед заданного множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

• существует нижнее решение х^ задачи (3,4), определенное на таком интервале (£х, £2), что £1 =

С

= а V J (в)| = оо, £2 = Ь V J (й)| с?в = оо, удовлетворяющее неравенству х'^) ^ и'(£),

£1 с

£ £ (£1, £2); кроме того, для любого локального решения х7 задачи (3,4), определенного на е7 С С (£1, £2), выполнено х'^) ^ 1^^), * 6 е7.

Это утверждение применимо также, если при почти всех £ 6 [а, 6] функция /(£, ■) не убывает. В этом случае следует взять с = а. Если при почти всех £ 6 [а, Ь] функция /(£, •) не возрастает, то утверждение также верно при с = Ъ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Берщанский Я. М. Траектории линейных систем с нелинейность типа реле // Автоматика и телемеханика, 1982, № 7, 19-27.

2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Математ. сборник, 1960, том 51(93), 99-128.

3. Шрагин И.В. Измеряемость суперпозиций разрывных функций // Труды Тамб. ин-та хим. машиностроения, 1969, 6-8.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

5. Жуковский Е.С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций // Дифференц. уравнения, 1982, том 18, № 4. 580-584.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ВОЗМУЩЕНИЙ НАПЕРЕД ЗАДАННОГО МНОЖЕСТВА6

© Е.А. Панасенко

Пусть И" - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[К.п] - множество всех непустых компактов пространства И"; В [и, г] - замкнутый шар пространства И" с центром в точке и и радиусом г > 0;£?[м,0] = {и}. Пусть V С И”. Обозначим V замыкание множества V; Vе = и В[и,е], если е > 0.

«еу

Обозначим Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [я, Ь] —> И" с нормой ЦжЦс = тах{|ж(£)[ : £ £ £ [а,Ъ]}.

Обозначим через К([а,Ь] х [0, оо)) множество всех функций г/ : [а, Ь] х [0,оо) —» [0, оо), обладающих

следующими свойствами: при каждом <5 £ [0, оо) функция измерима; для каждого 6 £ [0,оо)

существует такая суммируемая функция т$ : [а, 6] —» [0,оо), что при почти всех I, £ [а, 6] и всех г £ [0,<5]

выполняется неравенство г) < та (4); при почти всех £ £ [а, Ь] справедливы равенства Ит Т](Ь,6) = О

<5->о+о

и ??(£, 0) = 0.

Рассмотрим дифференциальное включение

х(Ь) € ^(*,*(*)), £ £ [а, 6], (1)

где отображение ^ : [а, Ь] х В,” —> сотр[К.п] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, 6] -» И”, удовлетворяющую включению (1) при почти всех £ £ [а,Ь].

Пусть г)(-, •) £ К([а,Ь] х [0,оо)). Для любого <5 > 0 рассмотрим дифференциальное включение

±(£)£№х(0)’?(М), te[a,b}. (2)

6Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-01-00140), Министерства Образования РФ (проект № Е02-1.0-212)

Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь>]. Обозначим через Н(V), НГ1(6)[V) множества решений дифференциальных включений (1) и (2), соответственно, принадлежащих множеству V. Будем говорить, что дифференциальное включение (1) устойчиво на ограниченном замкнутом множестве V С Сп[а, Ь\ относительно внешних возмущений из класса К {{а, Ь] х [0, оо)), если для любой функции £ К([а,Ь\ х [0, оо)) выполняется равенство

н<у)= П^)(П 6>0

где Н(у), Яг)(,5)(V) - замыкания в пространстве Сп[а,Ь] множеств Н(У), Н^б)(У), соответственно.

Теорема. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь], отображение Р : [а, 6] х Л" —> сотр[Нп] удовлетворяет условиям Каратеодори, и пусть

дифференциальное включение (1) устойчиво на множестве V относительно внешних возмущений из класса К([а, Ь] х [0, оо)). Тогда для любой функции £ К([а,Ь] х [0,оо)) выполняется равенство

П ЯЧ(4)(У) = П Н„(в)(У‘).

<5>0 (5>0

Из теоремы следует, что устойчивость дифференциальных включений на ограниченном замкнутом множестве V С Сп[а,Ь] относительно внешних возмущений из класса К([а,Ь] х [0,оо)) не зависит от “малых” изменений самого множества V.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вестник Тамбовского ун-та, 1999, том 4, вып. 4, 461-470.

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

© А.Ю. Сазонов

В статьях [1], [3], [4] предложены математические модели фильтрации газа в стационарном и псевдоожиженном слоях в аппаратах колосникового типа. При этом в первом приближении газовый факел моделируется единичным разрезом в комплексной плоскости. В данной работе, являющейся продолжением работ [3] и [4], поверхность газового факела моделируется произвольной эллиптической формой.

Пусть х = (х, у), у > 0 полуплоскость R+, Г+ - граница газового факела, Г° - остальная часть границы Д^.\Г+. Математическая модель газораспределения в зернистом слое описывается краевой задачей для уравнения Лапласа:

Aip = 0, х £ Д^_\Г+, V</? -> 0, \х\ —>■ оо,

</?|г+ = -alloy, ~ду^Г° ~

где <р(х,у) - потенциал скорости фильтрации, а - коэффициент гидравлического сопротивления дисперсной фазы, Uo - скорость псевдоожижения.

В силу симметрии данная модель сводится к краевой задаче во всем пространстве R2, к которой применим классический метод Фурье.