О разрешимости дифференциального уравнения с разрывной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тогда для любого у € X включение у € Фх разрешимо, многозначное отображение Ф 1 : X —> 2х имеет линейные ограниченные сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Серия 1: Математика и механика. 1959, К» 2, 25-32.

О РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

© Т.В. Жуковская, С.Н. Никулин

Некоторые задачи управления, автоматического регулирования описываются дифференциальными уравнениями

х'{t) = f(t, x(t)), te[a, 6], (3)

в которых функция / : [a, b] х R -> R не удовлетворяет условиям Каратеодори[1]. К таким уравнениям не применима классическая теория. Наиболее "продуктивный"и общепризнанный метод изучения таких уравнений, основанный на построении соответствующего дифференциального включения, предложил А.Ф. Филиппов[2]. Однако, в некоторых случаях удается исследовать само уравнение, не прибегая к замене его включением.

Будем предполагать, что функция / : [а, 6] х R -> R суммируема по первому аргументу, непрерывна справа по второму аргументу и существует такое с 6 (а, 6), что при почти всех t 6 [с, 6] функция /(<,•) не убывает, а при почти всех t € [а, с] функция /(£, •) не возрастает. Как доказано И.В. Шрагиным в [3], эти условия обеспечивают измеримость суперпозиции /(■, х(-)) для каждой непрерывной функции х. Рассмотрим для уравнения (3) краевую задачу с условием

х(с) = а. (4)

t

Запишем ее в виде интегрального уравнения x'(t) = f(t, а + Jx'(s)ds). Оператор К : Ь[„,ь] £[«,ь]>

С

t

(Ky)(t) = /(t, a + / y(s)ds), является монотонным, улучшающим, вольтерровым на совокупности v

С

множеств еу = [с — сг(7), С + 0(l)]i где ег(-), /?(•) - любые неубывающие функции, ДЛЯ которых /3(7) —

- <7(7) = 7. Это позволяет применить к исследованию задачи (3,4) утверждения об операторных

неравенствах [4,5].

Теорема. Если для некоторой функции и 6 -D[a,(i] выполнено неравенство u'(t) ^ /(£, u(t)), t € £ [я, 6], и(с) ^ а, то

• существует такое S > 0 и существует определенное на eg = [с — г](6),с + /?(<5)] локальное решение xg задачи (3,4), для которого имеет место оценка x's(t) ^ u'(t), t £ eg;

• любое локальное решение задачи (3,4), для которого имеет место оценка x'y(t) ^ u'(<), t 6 е7,

С

продолжаемо до решениях^, определенного на таком интервале , (2), что£\ = а V J \x'^(s)\ds =

«1

£2

= °°, £2 = b V J |a;£(s)| ds = 00, и удовлетворяющего неравенству x'^(t) ^ u'(t), t £ (£1, £2);

• существует нижнее решение задачи (3,4), определенное на таком интервале (£1, £2), что £1 =

С £.2

= а V ! |х£ (в)|йв = оо, £2 = Ь V J (в)| = оо, удовлетворяющее неравенству х^(<) ^ и'(Ь),

«1 с

< € (£1, £2); кроме того, для любого локального решения х7 задачи (3,4), определенного на е-г С С (£1, £2), выполнено ж'^(г) ^ х^(*), 4 £ е7.

Это утверждение применимо также, если при почти всех Ь £ [а, 6] функция /(£, •) не убывает. В этом случае следует взять с = а. Если при почти всех < € [а, 6] функция /(£, •) не возрастает, то утверждение также верно при с = Ь.

ЛИТЕРАТУРА

1. Берщанский Я.М. Траектории линейных систем с нелинейность типа реле // Автоматика и телемеханика, 1982, № 7, 19-27.

2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Математ. сборник, 1960, том 51(93), 99-128.

3. Шрагин И.В. Измеряемость суперпозиций разрывных функций // Труды Тамб. ин-та хим. машиностроения, 1969, 6-8.

4. Красносельский М. А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

5. Жуковский Е.С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций // Дифференц. уравнения, 1982, том 18, № 4. 580-584.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ВОЗМУЩЕНИЙ НАПЕРЕД ЗАДАННОГО МНОЖЕСТВА6

© Е.А. Панасенко

Пусть Л" - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[Р1.п] - множество всех непустых компактов пространства К"; В [и, г] - замкнутый шар пространства И" с центром в точке и и радиусом г > 0;В[и,0] = {и}. Пусть V с И". Обозначим V замыкание множества У\ Vе = и В[а,е], если е > 0.

Обозначим Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, 6] -> 11" с нормой ||х||с = шах{|х(<)| : < 6 е [а, 6]}.

Обозначим через К{[а,Ь] х [0, оо)) множество всех функций Т] : [а, 6] х [0, оо) -> [0, оо), обладающих

следующими свойствами: при каждом <5 € [0,оо) функция т}(-, 6) измерима; для каждого <5 6 [0,оо)

существует такая суммируемая функция т& : [а, 6] —> [0, оо), что при почти всех < 6 [а,6] и всех т е [0,(5]

выполняется неравенство т?(4, г) < тг(£); при почти всех 4 € [а, 61 справедливы равенства 1йп 77(4,<5) = О

£-»0+0

И 0) = 0.

Рассмотрим дифференциальное включение

±(г) € ^(*,х(г)), <е[а,ь], (1)

где отображение ^ : [а, Ь] х И" -> сотр[11п] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, 6] -> Ы", удовлетворяющую включению (1) при почти всех £ € [а, 6].

Пусть € А"([а,6] х [0, оо)). Для любого 6 > 0 рассмотрим дифференциальное включение

х(«) е (Г(*,х(*))ч(м\ <€[а,Ь]. (2)

8Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л* 01-01-00140), Министерства Образования РФ (проект № Е02-1.0-212)