Дифференциальное включение с запаздыванием, зависящим от параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Булгаков А.И., Малютина Е.В., Филиппова О.В. Нахождение решения уравнения теплопроводности с помощью языка программирования МаЛаЬ. В работе находится численное решение уравнения теплопроводности. Рассматривается пример стабильной явной численной схемы.

Ключевые слова: численное решение; явная схема.

УДК 517.911, 517.968

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ПАРАМЕТРОВ

© А. И. Булгаков, Е. В. Малютина, О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; априорная ограниченность.

Для дифференциального включения с запаздыванием, зависящим от параметров сформулированы условия полунепрерывности сверху множеств решений задачи Коши, а также найдены достаточные условия априорной ограниченности этой задачи.

Пусть М” — п-мерное векторное пространство с нормой || сопу[М”] —множество всех непустых выпуклых компактов пространства М”, если А С М”, то |А| = 8ир{|а| : а € А}. Обозначим через С”[а,Ь] (И1”[а,Ъ]; I”[а,Ь]) пространство непрерывных (суммируемых по Лебегу; измеримых, ограниченных в существенном) функций х : [а, Ъ] ^ М”, с нормой

1М1с[а,ь] = Ш: г € [а,Ъ]} (\\х\\Ч[аД = $1 ^^в; Н^ь^ь] = уга1зир{|х(г)| : г е

€ [а, Ъ]}). Пусть //,(■) — мера Лебега, &(Ъ”[а,Ъ]) — множество всех непустых выпуклых замкнутых подмножеств пространства Ь”[а, Ъ], тотр(С”[а, Ъ]) — множество всех непустых компактов пространства С”[а,Ъ].

Пусть К — метрическое пространство. Будем говорить, что функция т : [а,Ъ] х К ^ М удовлетворяет условиям Каратеодори, если для любого Л € К функция т(■, Л) измерима и при почти всех г € [а, Ъ] отображение т(г, ■) непрерывно.

Будем говорить, что функция т : [а, Ъ] х К ^ М, удовлетворяющая условиям Каратеодори, обладает свойством А в точке Ло € К, если для любого г € [а, Ъ] и любого Л € К выполняется неравенство т(г, Л) < г и для любой последовательности Лг ^ Ло в пространстве К при % ^ ж справедливо равенство (см. [1]):

Будем говорить, что непрерывная функция р : (-ж, а) х К ^ М” обладает свойством В, если для любого компактного множества Ш С К отображение р(^, ■) ограничено на (-ж, а) х

Пусть отображение ¥ : [а, Ь]хМ” хМ” хК ^ сопу[М”] обладает следующими свойствами (см. [2-5]):

1) для каждых (х, у) Є М” х М”, Л Є К существует измеримая функция и : [а, Ь] ^ М”, что при почти всех і Є [а, Ь] выполняется включение и(і) Є ¥(і,х,у,Л);

2) доя каждого ограниченного множества М С М” х М” и каждого компактного множества и С К существует суммируемая функция дм : [а, Ь] ^ [0, ж), такая что при почти всех і Є [а, Ь] выполняется неравенство

зир{|и| : и Є ¥(і, (х, у), Л), (х,у) Є М,Л Є и} < дм(і);

3) при почти всех і Є [а, Ь] отображение ¥(і, ■, ■, ■) замкнуто.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения с запаздыванием, зависящим от параметра Л Є К

Х(і) Є ¥(і,х(і),х[т(і, Л)], Л),

х(0 = <р(£, Л), если С Є [а,Ь], (1)

х(а) = х0,

где функции т : [а, Ь] х К ^ М, р : (-ж, а) х К ^ М” обладают свойствами А и В соответственно.

Под решением задачи (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, Ь] ^ М”, удовлетворяющую рассматриваемому включению и равенству х(а) = хо-

Определим оператор Р : С”[а,Ь] х К ”!ю[а,Ь] равенствами

р(х,Л)(і) = { х№Л)Ь т(іЛ Є МЬ (2)

\ р(т(і, Л), Л), если т(і, Л) < а.

Теорема 1. Оператор Р : С ”[а,Ь] х К ^ Ь'1^0[а,Ь], определенный равенствами (2), непрерывен.

Теорема 2. Пусть х Є С”[а, Ь] и у Є Ь'1^0[а, Ь]. Тогда множество

N (х, у, Л) = {г Є Іі”[а, Ь] : г (і) Є ¥ (і, х(і),у(і), Л)} (3)

непусто, выпукло и замкнуто в пространстве Ъ”[а,Ь].

Рассмотрим оператор Немыцкого N : С”[а,Ь] хЬ'1^0[а,Ь] х К ^ П(Ъ”[а,Ь]), определенный равенством (3). Будем говорить, что оператор Немыцкого замкнут в слабой топологии пространства Ь”[а,Ь] в точке (х,у,Л) Є С”[а,Ь] хЬ'1^0[а,Ь] х К, если для любых последовательностей хі ^ х в С”[а,Ь], уі ^ у в І”[а,Ь], Лі ^ Л в К и последовательности гі( Є N (хі, уі, Лі)), стремящейся к г слабо в пространстве Ъ”[а,Ь] при і ^ ж, справедливо включение г Є N(х,у,Л). Если это свойство справедливо в каждой точке пространства С”[а, Ь] хЬ^[а, Ь] х К, то будем говорить, что оператор Немыцкого замкнут, в слабой топологии пространства Ь”[а,Ь] на произведении С”[а,Ь] хЬ'1^0[а,Ь] х К.

Теорема 3. Оператор Немыцкого N : С ”[а, Ь] хЬ ^[а, Ь] х К ^ ”[а, Ь]), опреде-

ленный равенством (3), замкнут в слабой топологии пространства Ь”[а, Ь] на произведении С”[а,Ь] хЪ^[а,Ь] х К.

С помощью оператора Немыцкого запишем задачу (1) в эквивалентном функциональном

ВИД6І

х ЄN(х,Р(х,Л),Л), х(а) = х0. (4)

Отличием задачи (1) от задачи (4) является то, что производная решения в (4) понимается как элемент пространства суммируемых функций, а не вычисляется в точке і Є [а, Ь]. Такая запись задачи (1), на наш взгляд, более удобна для исследования.

В силу того, что функция т : [а,Ъ] х К ^ М обладает свойством А, то включение (4) можно рассматривать на любом отрезке [а, т] С [а, Ъ]. При этом производная в левой части включения (4) принадлежит пространству Ъ”[а,т] , а правая часть понимается как

[а, т].

(4) рассматривается не на отрезке [а,Ъ], а на более узком промежутке, то будем говорить, что это решение на отрезке [а,т] С [а,Ъ].

Пусть Н(хо ,т,Л) — множество всех решений задачи (4) на отрезке [а,т]. Будем гово-

Л К,

т > 0, что для любого г € [а, Ъ] не существует у € Н(хо,т,Л), удовлетворяющего неравенству

1М1с[а,т] > т. (5)

Если неравенство (5) выполняется для любого Л € и С К, то будем говорить, что задача (4) априорно ограничена в совокупности на множестве и С К.

Л К,

К Л,

этом шаре.

Теорема 5. Пусть Б(Л,е) С К (е > 0) — шар, на котором задача (4) априорно ограничена в совокупности. Тогда для любых (т, г) € (а, Ъ] х Б(Л, е) множество Н(т, г) = 0 и является компактом в пространстве С”[а,т]. Отображение Н : Б(Л,е) ^ сотр(С”[а,Ъ]), определенное равенством

Н(г) = Н(Ъ, г),

полунепрерывно сверху по Хаусдорфу.

Обозначим

р(Л) = sup{|р(t, Л) :. г<а}. (6)

Будем говорить, что отображение ¥ : [а, Ъ] хМ”хМ”хК ^ сопу[М”] обладает свойством V в точке Л € К^ отображение д : [а,Ъ] х [0, ж) х [0, ж) ^ [0, ж), которое

удовлетворяет следующим условиям:

1) для любых (х,у) € [0, ж) х [0, ж) отображение д(^,х,у) измеримо;

2) при почти всех г € [а, Ъ] отображение д(г, ■, ■) непрерывно по последним аргументам

и не убывает по каждому из последних двух аргументов;

3) для каждого ограниченного множества М С [0, ж) х [0, ж) существует такая суммируемая функция т : [а, Ъ] ^ [0, ж), что для любых (х, у) € М и при почти всех г € [а, Ъ] выполняется неравенство

д(г(х,у) ^ т(г);

4) при почти всех г € [а, Ъ] и любых х,у € М”, Л € М выполняется неравенство

¥(г,х,у,Л) ^ д(г, у);

5) задача

г(г) = д(г,г(г),г(г) + р), г (а) = |хо|,

где число р определено равенством (6), имеет верхнее решение на отрезке [а,Ъ].

Теорема 6. Пусть отображение ¥ : [а,Ъ] х М” х М” х К ^ сопу[М”] обладает свойством V в точке Л € К. Тогда найдется шар с центром в точке Л € К, на котором задача (4) априорно ограничена в совокупности.

Замечание. Сформулированные утверждения уточняют результаты работ [6-7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика. 2010. Ш 8. С. 16 -29.

2. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

4. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

5. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2010.

6. Булгаков А.И., Панасенко Е.А., Сергеева А.О. Об управляемой дифференциальной системе с запаздыванием, имеющей фазовые ограничения по управлению // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 16. Вып. 1. С. 1645-1647.

7. Булгаков А.И., Малютина Е.А., Филиппова О.В. Оценки обобщенных решений дифференциальных включений с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Часть I-VI // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1631-1639.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

Bulgakov A.I., Malyutina E.V., Filippova O.V. Differential inclusion involving delay and depending on parameters. For a differential inclusion involving delay and depending on parameters there are formulated the conditions of upper semicontinuity of the solutions set for the Cauchy problem. Sufficient conditions for a-priori boundedness of this problem are also established.

Key words: functional-differential inclusion; a-priori boundedness.