CC BY
32
УДК 517.911, 517.968
О ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ МНОЖЕСТВА ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРОВ И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
© А. И. Булгаков, Е. В. Малютина, О. В. Филиппова
Ключевые слова: управляемая система; дифференциальное включение; выпуклость по переключению.
Исследуется математическая модель многокомпонентной системы автоматического управления, найдены условия полунепрерывной зависимости снизу множества обобщенных фазовых траекторий этой модели от параметров и начальных условий.
Пусть М™ - п -мерное пространство с нормой | |; еошр[М™] - множество всех непустых компактов пространства М™; Н[-, ■] - расстояние по Хаусдорфу между множествами пространства М™; 2 - метрическое пространство с метрикой р1, ■]; С™[а,Ь] - пространство непрерывных функций х :[а,Ь] ^ М™ с нормой ||х||сп[а,ь] = шах{|х(£)| : £ € [а,Ь]}; С+[а,Ь] -
конус неотрицательных функций пространства С1 [а, Ь]; Ь™[а, Ь] - пространство суммируе-
ь
мых по Лебегу функций х :[а,Ь] ^ М™ с нормой |х|^п[аЬ] =/ ^(в)^; &™[а,Ь] - пространа
ь
ство абсолютно непрерывных функций х: [а, Ь] ^М™ с нормой ||х||оп[а Ь] = |x(a)| +/ |Х(в)| йв.
а
Обозначим через П(Ь™[а, Ь]) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ь™[а,Ь] (см. [1]).
Будем говорить, что отображение I: [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то) удовлетворяет условиям Ка-ратеодори, если оно обладает свойствами:
1) для любого х € [0, то) функция 1(^,х) измерима по Лебегу;
2) при почти всех £ € [а,Ь] отображение 1(г, ■) непрерывно;
3) для любого ограниченного М € [0, то) существует такая суммируемая функция
фм :[а,Ь] [0, то), что при почти всех £ € [а,Ь] и всех х € М выполняется неравенство
1(г,х) ^ фм(г).
Рассмотрим систему функционально-дифференциальных уравнений, зависящих от параметра £ € 2.
( х(г) = /1 (г,х(г),п1 (г),£), г € еь
I х(г) = /2(г,х(г),и2(г),£), г € е2, ^
[ х(г) = /г(г,х(г),иг(г),£), г € ег, щ(г) € иг(г,х(г),£), г € Ег, % = \,2,...,г, (2)
х(а) = х0, (3)
где хо € М™, измеримые по Лебегу множества Ег С [а,Ь], % = 1, 2,... ,г, заранее не заданы и
г
У Ег = [а,Ь], причем для любых %,] = 1, 2,..., г, % = ] Ег П Е^ = %. Отображения /г :[а,Ь] х
г=1
х М™ х 2 ^ М™, иг :[а,Ь] х М™ х 2 ^ еошр[Мт] при почти всех г € [а,Ь], % = 1, 2,... ,г, всех
£ € 2, х1 ,х2, у1,у2 € М™, и1,и2 € Мт и фиксированном £о € 2 удовлетворяют оценкам
/г(г,х1,и1,£о) - /г(г,х2,и2,£) < кг(г,р[£о,£])|х1 - Х2І + Ыг, р[£о,£])Ы - щ!; (4)
Ь[иг(Ь,у1,£о),иг(Ь,у2,£)] < 1зг(г, р[£о,£])У - У2І + кг(г, р[£о,£]), (5)
где функции 11г: [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), 12г: [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), 13г: [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), 14г :[а,Ь] х [0, то) ^ [0, то) удовлетворяют условиям Каратеодори, причем при каждом % = 1, 2,..., г произведения функций 12г (г,р[£о ,£]) и 1зг(г, р[£о£), кг(г, р[£о£) и кг(г, р[£о£) суммируемы.
Пусть отображения Ег: [а, Ь] х М™ х Мт х 2 еошр[М™] при всех % = 1, 2,... ,г заданы
равенствами
Рг(г,х,£) = /г(г,х,иг(г,х, £),£). (6)
Определим отображение Ф : [а, Ь] х М™ х 2 еошр[М™] равенством
Ф(г,х,£) = Г1(г,х,£) и Е2(г,х,£) и... и е (г,х,£). (7)
В силу теоремы об измеримом выборе (см. [1], [3], [4]), управляемая система (1)-(3) эквивалентна задаче Коши для дифференциального включения
х(г) € Ф(г,х(г),£),г € [а,Ь], (8)
с начальным условием (3), где отображение Ф : [а,Ь] х М™ х 2 еошр[М™] задано равен-
ством (7).
Включение (8) с начальным условием (3) будем называть дифференциальным включением, порожденным управляемой системой (1)-(3).
Определим оператор Немыцкого ф : Ю™[а, Ь] х 2 ^ П(Ь™[а, Ь\) равенством
ф(х, £) = {г € Ь™[а, Ь] : г(г) € Е^, х(г),£) и Е2(г, х(г), £) и ... (9)
... и Ег(г, х(г), £) при почти всех г € [а, Ь]}.
Под обобщенным допустимым управлением на отрезке [а,Ь] системы (1)-(3) будем понимать функцию и : [а, Ь] Мт, представимую в виде
и1(г), г € Е1,
и(г) = { и2( г) , г € Е2, (10)
иг(г), г € ег,
где для каждого иг: Ег ^ Мт и при почти всех г € Ег, % = 1, 2,... ,г, выполняется включение
(2), для которой существует абсолютно непрерывная функция х : [а, Ь] М™, удовлетворя-
ющая включению х € Ф(х,£).
Пару (и, х) будем называть обобщенной допустимой парой на отрезке [а, Ь], а функцию х : [а, Ь] ^ М™ - фазовой траекторией.
Обозначим Н(хо,Ь,£о) — множество фазовых траекторий управляемой системы
(1)-(3).
Замечание 1 . Отметим, что, согласно [4], множество решений задачи (8), (3) совпадает с множеством Н(хо,Ь,£о) (см . также [5], [6]).
Замечание 2. Отметим также, что к задаче (1) —(3) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления, в которых в связи с отказом того или иного устройства объект регулирования переходит с одного закона управления на другой (регулируется разными правыми частями). Отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом должно быть гарантировано управление объектом. Обобщенные фазовые траектории задачи (1) —(3) позволяют учитывать все возможные состояния, соответствующие любым переключениям.
Лемма 1. Пусть B - Банахово пространство и пусть ограниченные множества Ai, A2, Bi, B2 С B. Обозначим Ki = Ai U Bi, K2 = A2{J B2. Тогда
He[Ki, K2] ^ max{hB[Ai,A2],hB[Bi,B2]}.
Из леммы 1, согласно определению функции Ф : [a, b] х М™ х 2 comp[M™] (см. (7)), при почти всех t € [a, b] и всех £ € 2, x1 ,x2 € М™ следует оценка
h[&(t,xi,£o), Ф^,Х2,0] ^ max h[Fi(t,xi,£o), Fi(t,x2,£)]. (11)
i=1,2,...,r
В силу оценок (4), (5) для отображений Fi: [a, b] х М™ х 2 comp[M™], заданных равенствами (6), при каждом i = 1, 2,... ,r справедливо соотношение
h[Fi(t,xi,£o),Fi(t,x2,£)] ^ lii(t,p[£o,£])\xi — x2\+ ( )
+l2i(t, P[£o,£})l3i(t, P[£0,£])\xi — x2\ + hi(t, P[£o,£})l4i(t, P^ £}).
Поэтому, согласно (12), из (11) получаем неравенство h[ty(t,xi,£o), ty(t,x2,0] <
< . max {(hi(t, P[£o, £]) + l2i(t, p[£o,£])ki(t, p[£o, £]))\xi — x2\ + l2i(t, p[£o,£])ki(t, p[£o, £])}.
i=i,2,...,r
(13)
Обозначим
h(t,0 = .max {lii(t,p[Co,£])}; (14)
i=i,2,...,r
l2(t,0 = .max {l2i(t,P[£o,£})l3i(t,P[£o,£})}; (15)
i=i,2,...,r
l3(t,£) = . mx {l2i(t,P[£o,£\)l4i(t,P[£o,£})}. (16)
i=i,2,...,r
Тогда, из (13)—(16), следует оценка
h[ty(t,xi,£o), ty(t,x2,0] < (li(t,p[£o,£]) + h(t,p[£o,£]))\xi — x2\ + h(t,p[£o,£]). (17)
Согласно предположениям, сделанным выше, при каждом фиксированном £ € 2 правая часть неравенства (17) - суммируемая по первому аргументу функция.
Определение 1. Будем говорить, что множество фазовых траекторий, порожденных управляемой системой (1)—(3) почти реализует в пространстве суммируемых функций расстояние от любой суммируемой функции до значений многозначного отображения на множестве решений задачи (8), (3) , если для любого v € L™[a, b] и любого е > 0 существует такое решение x € D™[a,b] задачи (8), (3), что для любого измеримого множества U С [a, b] выполняется неравенство
l|x — v\\bn[u) ^ рьп[и)[v, Ф(x,£)] + e^(U), (18)
где n(U) - мера Лебега множества Uc [a,b]. Если неравенство (18) выполняется и при е = 0, то будем говорить, что множество фазовых траекторий, порожденных управляемой
системой (1)-(3) реализует в пространстве суммируемых функций расстояние от любой суммируемой функции до значений многозначного отображения на множестве решений задачи (8),(3).
Пусть £о € 2, и пусть х^0 € Н(хо,Ь,£о).
Теорема 1. Пусть решение х^ € Н (хо,Ь,£) удовлетворяет для любого измеримого множества и С [а,Ь] неравенству (18) при V = х£0. Тогда для любого £> 0 всех £ € 2 и хо € М™ найдется такое решение х^ € Н(хо,Ь,£), что при любом г € [а,Ь] выполняется оценка
|х?с(г) - х£(г) < £(£,P,£)(t), (19)
и при почти всех г € [а, Ь] справедливо соотношение
|х?о(г) - х£Ш < Ыг,Р[£о,£\)+ £ + (11(г,Р[£о,£\) + l2(t,P[£0,£]))£(£,P,£)(t), (20)
где £(к,£,р) имеет вид
£ ь ь
Г ГА /(21(^>Ж0>£])+Ы^>Ж0>£]))^ /(^1(«,Р[?0,?])+^2(«,Р[?0,?]))^«
£(к,е,р)(г)= (1з(г,р[£о,£]) + е)е* йв + ре* ,
а
где суммируемые отображения 11 :[а,Ь] х 2 ^ [0, то), 12 :[а,Ь] х 2 ^ [0, то), 13 :[а,Ь] х 2 ^ ^ [0, то) заданы равенствами (14)-(16), р = ^о - хо^ £> 0.
Отметим, что неравенства (19), (20) являются аналогами классических оценок В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппова, П.И. Чугунова (см. [3], [4]). Эти оценки дают достаточные условия полунепрерывной зависимости множества фазовых траекторий от параметра правой части и начальных условий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1-У1 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1313.
2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.
3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 1. С. 65-68.
4. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые сиситемы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ. Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С. 155-179.
5. Булгаков А.И., Малютина Е.В., Филиппова О.В. Некоторые свойства управляемой импульсной системы с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 42-49.
6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-01-00-645, № 11-01-00-626), Министерства образования и науки РФ (ГК № 14.132.21.1348, проект № 1.1877.2011).
Bulgakov A.I., Filippova O.V., Malyutina E.V. ABOUT SEMI-CONTINUOUS DEPENDENCE OF SET OF PHASE TRAJECTORIES OF MULTICOMPONENT SYSTEM OF AUTOMATIC CONTROL FROM PARAMETERS AND ENITIAL CONDITIONS
Mathematical model of multicomponent system of automatic control is researched. The conditions of semi-continuous dependence from below sets of the generalized phase trajectories of this model from parameters and initial conditions are found.
Key words: operated system; differential inclusion; convex-valued with respect to switching.
УДК 517.9
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова
Ключевые слова: накрывающие отображения метрических пространств; системы функциональных уравнений; оператор Немыцкого.
Получены условия накрывания оператора Немыцкого, действующего в пространствах измеримых функций. Этот результат позволил применить ранее доказанные авторами теоремы о возмущениях векторных накрывающих отображений к исследованию систем функциональных уравнений. Для таких систем найдены условия разрешимости в классе измеримых функций и получены оценки решений.
До недавнего времени исследования дифференциальных, интегральных, функциональных уравнений неявного вида были фрагментарными, такие уравнения редко применялись в математических моделях. Новые инструменты исследования уравнений неявного вида дала современная теория накрывающих отображений. Среди многочисленных работ по этой тематике выделим статьи [1-4], наиболее близкие нашему исследованию и позволившие получить ряд новых результатов о существовании, продолжаемости решений, корректности интегрального уравнения УоЬегга [4-5], не разрешенного относительно производной дифференциального уравнения [6-7], начать изучение задач управления для таких уравнений [8-10], предложить алгоритмы приближенного решения [11]. В связи с рассмотрением краевых задач и систем управления (содержащих кроме дифференциальных уравнений еще начальные и краевые условия, ограничения на управления и пр.) потребовалось распространить многие результаты на векторные накрывающие отображения. Авторами данной работы в [12] были доказаны теоремы о липшицевых возмущениях накрывающих отображений, действующих в произведении метрических пространств. Этот результат позволил получить в [10] условия существования и непрерывной зависимости от параметров решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. В предлагаемой работе этот результат используется для исследования систем функциональных уравнений.
Приведем определения основных понятий.
