Математическая модель управляемых импульсных процессов с фазовым ограничением по управлению и запаздыванием, зависящих от параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ С ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ

© О.В. Филиппова

Ключевые слова: управляемая импульсная система; дифференциальное включение; априорная ограниченность в совокупности.

Рассмотрена математическая модель управляемых импульсных процессов с фазовым ограничением по управлению и запаздыванием. Показано, что если управляемая импульсная система с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием, зависящая от параметра, в какой-либо точке параметра априорно ограничена, то она будет априорно ограничена при всех значениях параметра из некоторой окрестности этой точки. Установлена непрерывная зависимость фазовых траекторий задачи Коши для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием от параметров и начальных условий.

Обозначим через Rn n -мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | ■ | ; comp[Rn] - множество всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств пространства Rn ; conv[Rn] - множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых подмножеств пространства Rn ; Л+Ui; U] = sup pX[x,U] - полуотклонение по Хаусдорфу множества

x£U±

U1 С X от множества U в пространстве X; hX[U1; U] = max{h+[U1; U]; h+[U; U1]} -расстояние по Хаусдорфу между множествами U1 и U в пространстве X; Ща, b] -пространство измеримых по Лебегу ограниченных в существенном функций x : [а, b] ^ Rn с нормой ||x||lto[а,ъ\ = vraisup{|x(t)| : t е [а, b]} ; 2 - метрическое пространство.

Пусть tk е [а, b] , k = 1,2,...,m, (а < t1 < ... < tm < b) - конечный набор точек. Обозначим через C [а, b] множество всех непрерывных на каждом из промежутков [а, t1 ], (t1,t2], ..., (tm,b] ограниченных функций x : [а, b] ^ Rn, имеющих пределы справа в точках tk, k = 1, 2, ...,m, с нормой ||x||g" [аЪ\ =sup{|x(t)| : t е [а, b]} .

Пусть 2 - метрическое пространство. Пусть отображение f : [а, b] х Rn х Rm х 2 ^ Rn удовлетворяет условиям:

1) при каждом фиксированном (x,u, {) е Rn х Rm х 2 функция f (-,x,u, £) измерима по Лебегу;

2) при почти всех t е [а, b] отображение f (t, ■, ■, ■) непрерывно;

3) для каждого ограниченного множества W С Rn х Rm х 2 существует суммируемая функция mw : [а, b] ^ [0, те), что при почти всех t е [а, b] и всех (x,u, {) е W выполняется неравенство

|f(t,x,u,£)| ^ mw(t).

Пусть также многозначное отображение U : [а, b] х Rn х 2 ^ comp[Rm] обладает свойствами:

4) при каждом (x,£) е Rn х 2 отображение U(-,x,£) измеримо;

5) при почти всех t е [а, b] отображение U(t, ■, ■) непрерывно по Хаусдорфу;

6) для каждого ограниченного множества V С К” х 2 существует такая константа шу, что при почти всех Ь € [а, Ь] и всех (ж, £) € V выполняется неравенство

|и(Ь,ж,£)| < шу.

Рассмотрим управляемую систему, зависящую от параметра, с запаздыванием и импульсными воздействиями:

ж(Ь) = /(Ь,ж[р(Ь)],и(Ь),£), Ь € [а,Ь], £ € 2,

если р(Ь) < а, то ж[р(Ь)] = ^>(Ь), (1)

и(Ь) € и(Ь, ж[д(Ь)],£), если д(Ь) < а,то ж[д(Ь)] = ^(Ь);

А(ж(Ьк)) = 4 (ж(Ьк),£), к = 1, 2,...,р; (2)

ж(а) = ж0, (3)

где жо € Кп, измеримые по Борелю функции ^ : (-те, а) ^ Кп, ^ : (-те, а) ^ Кп

ограничены, а измеримые по Лебегу функции р : [а, Ь] ^ К, д : [а, Ь] ^ К для любого

Ь € [а, Ь] удовлетворяют неравенствам р(Ь) ^ Ь, д(Ь) ^ Ь. Отображения Гк : Кп х 2 ^ Кп, к = 1, 2, ...,р , непрерывны, А(ж(Ьк)) = ж(Ьк + 0) — ж(Ьк), к = 1, 2,...,р.

Пусть т € [а, Ь] . Определим непрерывные операторы Рт : О [а, т] ^ Ц^[а, т], 0т : С [а, т] ^ Ц^[а, т] равенствами

т ж)(Ь) = / ж[Р(Ь)Ь если Р(Ь) € [a,т], (4)

(/тж)(Ь) \ ^[р(Ь)], если р(Ь) < а; (4)

№*)«) = { ^ есл" д<‘) < [а-т]- (5)

I ^[д(Ь)], если д(Ь) < а.

Под допустимым управлением на отрезке [а, т] (т € (а, Ь]) системы (1)-(3) будем понимать такую измеримую по Лебегу функцию и : [а, т] ^ Кт , для которой существует кусочно-непрерывная функция ж : [а, т] ^ Кп , удовлетворяющая при всех Ь € [а, т] представлению

£

ж(Ь) = жо + У /(8, (Ртж)(в),и(в),£)^ + ^ Х(4к,ь](Ь)А(ж(Ьк)), (6)

а к:^ е[а,т]

где А(ж(Ьк)), к = 1,...,р, удовлетворяют равенствам (2), что при почти всех Ь € [а,т] выполняется включение

и(Ь) € и(Ь, (0тж)(Ь),£). (7)

Пару (и, ж) будем называть допустимой на отрезке [а, т] . Систему (1)-(3) будем называть управляемой импульсной системой с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием, поскольку выбор управления зависит от состояния управляемого объекта.

Пусть отображение ^ : [а, Ь] х Кп х Кп х 2 ^ еошр[Кп] определено равенством

^(Ь, ж, у, О = /(Ь, ж, и(Ь, у, £),£), (8)

если ж = у , то коротко будем писать

/(Ь, ж, и(Ь, ж, £),£) = ^(¿,ж,{). (9)

Тогда, в силу теоремы об измеримом выборе (см. [1], [2]), управляемая система (1), (2) с начальным состоянием (3) эквивалентна задаче Коши для дифференциального включения

ж(Ь) € F(Ь, (Ртж)(Ь), (Стж)(Ь),£), Ь € [а, т], (10)

с импульсными воздействиями (2) и начальным условием (3), где операторы Рт : С [а, т] ^ ^ Ща, т], Ст : С [а, т] ^ Ц^[а, т] определены равенствами (4), (5), соответственно.

Включение (10) с импульсными воздействиями (2) и начальным условием (3) будем называть дифференциальным включением, порожденным управляемой импульсной системой (1), (2) с начальным состоянием (3).

Замечание. Отметим, что множество решений задачи (10), (2), (3) совпадает с множеством всех фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1)-(3).

Пусть Н(жо,т, С) - множество всех допустимых пар управляемой импульсной системы (1), (2) с начальным состоянием (3) на отрезке [а, т](т € (а, Ь]) . Обозначим Н(ж0,т, С) множество всех фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1), (2) с начальным состоянием (3) на отрезке [а, т].

О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что множество фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1), (2) с начальным состоянием (3) априорно ограничено в точке (жо, С) € К” х 2 , если найдется такое число г > 0 , что для всякого т € (а, Ь] не существует ж € Н(ж0,т, С) , для которого выполняется неравенство НжЦсП[ат] > г.

Определение 2. Пусть 0 С Кп, В С 2. Множество фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1), (2) с начальным состоянием (3) априорно ограничено в совокупности на множестве 6 х В , если оно априорно ограничено в каждой точке множества 6 х В и константа г > 0 в определении 1 является общей для всех точек из множества 6 х В .

Т е о р е м а 1. Пусть множество всех фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1), (2) априорно ограничено в точке (ж0,{0) € Кп х 2 . Тогда для любого т € (а, Ь] множество Н(ж0,т, С0) = 0 и существует такое е > 0, что множество фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1)-(3) априорно ограничено в совокупности на множестве (ж0,е) х Мв(£0,е), где (ж0,е) - шар в пространстве Кп с центром в точке ж0 радиуса е, ^(£0,е) - шар в пространстве 2 с центром в точке С0 радиуса е.

Определение 3. Будем говорить, что отображение -ш : [а, Ь] х [0, те) х [0, те) х х 2 ^ [0, те) обладает свойством Т , если

1) при почти всех Ь € [а, Ь] отображение ад(Ь, ■, ■, ■) непрерывно;

2) при всех Ь € [а, Ь] и С € 2 отображение ад(Ь, ■, •,£) не убывает по соответствующим аргументам.

Если отображение -Ш1 : [а, Ь] х [0, те) х 2 ^ [0, те) обладает аналогичными условиями, определенными в свойстве Т , то будем также говорить, что это отображение обладает свойством Т .

Определение 4. Будем говорить, что отображения / : [а, Ь] х Кп х Кт х 2 ^ Кп , и : [а, Ь] х Кп х 2 ^ еошр[Кт] , удовлетворяющие условиям 1)-6), обладают свойством О в точке Со € 2, если найдутся непрерывные отображения ш1 : [а, Ь] х [0, те) х [0, те) х х [0, те) ^ [0, те) , : [а, Ь] х [0, те) х [0, те) ^ [0, те) , обладающие свойством Т такие, что

при почти всех Ь € [а, Ь] и всех С € 2 , ж1, ж2 € Кп , и1, и2 € Кт выполняются неравенства:

|/(Ь,ж1,и1,Со) — /(Ь,ж2,и2,С)| < ^1(Ь, |ж 1 — ж2|, |и1 — и21, р[Со,С]); (П)

Ь[и(Ь, ж1, Со), и(Ь, ж2, С)] < ^(Ь, |ж 1 — ж2|, р[Со, С]). (12)

Определение 5. Будем говорить, что отображения / : [а, Ь] х Кп х Кт х 2 ^ Кп , и : [а, Ь] х Кп х 2 ^ еошр[Кт] и импульсные воздействия Рк : Кп х 2 ^ Кп, к = 1, 2, ...,р, обладают свойством V в точке Со € 2, если

1) отображения / : [а, Ь] х Кп х Кт х 2 ^ Кп , и : [а, Ь] х Кп х 2 ^ еошр[Кт] обладают свойством О в точке Со € 2 ;

2) для каждого к = 1,2, ...,р найдется непрерывная функция С : К+ х 2 ^ К+, неубывающая по первому аргументу при каждом фиксированном С € 2 и удовлетворяющая равенству С(0, Со) = 0, что для любых ж, у € К” и каждом С € 2 выполняется оценка

|1к(ж,С) — 4(у,С)| < С(|ж — у|,С); (13)

3) множество решений задачи

у(Ь) = ш(Ь,у(Ь),у(Ь),С) А(у(Ьк)) = С(у(Ьк),С), к ^...р у(а) = 70 (14)

априорно ограничено в точке С0 € 2 , 70 € [0, те) , функция ш : [а, Ь] х [0, те) х [0, те) х х 2 ^ [0, те) определена равенством

ш(Ь, ж, у, С) = Ш1(Ь, ж, Ш2(Ь, у, р[Со, С]), Р[Со, С]), (15)

а функции ш1 : [а, Ь] х [0, те) х [0, те) х [0, те) ^ [0, те) , ш2 : [а, Ь] х [0, те) х [0, те) ^ [0, те) удовлетворяют оценкам (11), (12), соответственно.

Теорема 2. Пусть отображения / : [а, Ь] х Кп х Кт х 2 ^ Кп , и : [а, Ь] х Кп х х 2 ^ еошр[Кт] и импульсные воздействия 1'к : Кп х 2 ^ Кп, к = 1, 2, ...,р, обладают свойством V в точке Со € 2 и пусть множество всех фазовых траекторий управляемой импульсной системы (1)-(3) априорно ограничено в точке (ж0,С0) € Кп х 2 . Тогда

1) для любого у € Н(ж0,Ь,С0) и любых последовательностей С € (ж0,е), Сг € € Мз(С0,е) г = 1,2,..., удовлетворяющих условиям С0 ^ ж0 в Кп, Сг ^ С0 в 2 при г ^ те , найдется такая последовательность уг € Н(с0, Ь, Сг), г = 1, 2,..., что уг ^ С в пространстве Сп[а, Ь] при г ^ те, где число е > 0 удовлетворяет теореме 1;

2) если отображение и : [а, Ь] х Кп х 2 ^ еопу[Кт] , то для любой последовательности уг € Н(С0, Ь, Сг), г = 1, 2,..., имеющей предел у в пространстве Сп[а, Ь] при г ^ те, найдется такая последовательность уг € Н(ж0, Ь, Со), г = 1, 2,..., что уг ^ у в пространстве Сп[а, Ь] при г ^ те .

Следует отметить, что кроме теоретического интереса эта теорема имеет и прикладное значение, связанное с корректностью математических моделей реальных процессов. Действительно, в связи с тем, что в прикладных задачах параметры модели могут быть найдены лишь приближенно, важным свойством, обеспечивающим применимость модели, является ее корректность. Теорема 2 устанавливает связь с известными для обыкновенных дифференциальных уравнений теоремами Л. Кига-даеП^. Уоге1 , Z.Artstein, К.Каг^ак, М.Ф. Бокштейна, Н.Н. Петрова, Е.С. Жуковского и других авторов (см., например, [3],

[4], [5]).

Список литературы

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

2 . Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 1971. Т. 10. № 3. С. 307-313.

3 .Курцвейль Я., Ворель З. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра // Чехосл. матем. журн., 1957. Вып. 7. № 4. С. 568-583.

4.Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С., БЫпСгарт А. О корректности дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 104-105.

5. Булгаков А.И., Малютина Е.В., Филиппова О.В. Априорная ограниченность и непрерывная зависимость от параметров множества фазовых траекторий управляемой импульсной системы с фазовыми ограничениями по управлению // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 10361039.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645) и Мин. обр. науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Поступила в редакцию 13 мая 2013 г.

Filippova O.V. MATHEMATICAL MODEL OF THE CONTROLLABLE IMPULSE DELAY PROCESSES WITH PHASES CONSTRAINTS BY CONTROL AND WITH DEPENDENCE ON PARAMETERS.

The mathematical model of the controllable impulse delay processes with phases constraints by control is considered. The property of a-priori boundedness of this controllable impulse delay processes is discussed. We find conditions of continuous dependence on parameters and on initial conditions for the set of the phase trajectories of the controllable impulse delay processes with phases constraints by control.

Key words: controllable impulse system; differential inclusion; a-priori boundedness in the aggregate.