Овыпукленная по переключению оболочка и овыпукленное по переключению отображение Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И ВКЛЮЧЕНИЯ

ОВЫПУКЛЕННАЯ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ОБОЛОЧКА И ОВЫПУКЛЕННОЕ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ОТОБРАЖЕНИЕ

© М. В. Борзова, А. И. Булгаков, А. А. Григоренко

Здесь рассматривается многозначное отображение со значениями, принадлежащими пространству суммируемых функций и не обладающими свойством выпуклости по переключению. По заданному отображению определяются овыпукленное по переключению и обобщенно овыпукленное отображения. Приводятся условия, при которых из непрерывности (полунепрерывности снизу, сверху, непрерывности по Хаусдорфу) заданного многозначного отображения вытекает соответствующая непрерывность построенных многозначных отображений. Отметим, что эти топологические свойства овыпукленного по переключению и обобщенно овыпукленного отображений являются фундаментальными при исследовании обобщенных решений функционально-дифференциальных включений (см. [1]). Формулируются условия, при которых у введенных многозначных отображений существует непрерывная однозначная ветвь. Также приводятся условия, при которых эта непрерывная ветвь с наперед заданной точностью реализует расстояние от образа однозначного отображения до значения овыпукленного по переключению многозначного отображения. Рассматриваются функционально-дифференциальные включения с полунепрерывной сверху по Хаусдорфу правой частью. Вводится понятие обобщенного решения и описываются некоторые свойства обобщенных решений.

Пусть X - нормированное пространство с нормой || • ||x и пусть U,V С X. Обозначим hX [U; V] = sup рх [u; V] - полуотклонение по Хаусдорфу между множествами

u£U

U, V в пространстве X, где рх [•; •] - расстояние между точкой и множеством в этом пространстве;hX [U, V] = max {hX [U, V], hX [V, U]} - расстояние по Хаусдорфу между множествами U, V; coU - замкнутую выпуклую оболочку U.

Пусть Rn - n-мерное пространство с нормой | • |, comp[Rn] - множество всех непустых компактов пространства Rn. Пусть Cn[a, b] пространство непрерывных функций

x : [a, b] — Rn с нормой ||x||c = max{|x(t)| : t E [a, b]}; U С [a,b] - измеримое множество, ß(U) > 0 (ß - мера Лебега). Обозначим Ln(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U — Rn с нормой ||x||£n(U) = J |x(s)|ds, C£(Ln[a,b])(S(Ln[a,b]))

U

- множество непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями (непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению) подмножеств пространства Ln[a, b]; L+[a, b] конус неотрицательных функций пространства Ll[a, b]. Измеримость многозначного отображения понимается в смысле [2].

Для множества Ф С Ln[a,b] обозначим через swФ совокупность всевозможных конечных комбинаций

y = x(Ul)xi + x(U2)x2 + ... + x(Um)xm элементов xi E Ф, в которых Ui - непересекающиеся измеримые множества отрезка

m

[a,b] такие, что [a, b] = (J Ui, х(') - характеристическая функция соответствующих

i=1

множеств. Пусть ~^Ф - замыкание множества swФ в пространстве Ln[a,b]. Множество SWФ будем называть выпуклой по переключению замкнутой оболочкой множества Ф.

Определение 1. Пусть U С Cn[a,b]. Будем говорить, что отображение P : U х U — L+[a,b] : принимает нулевое значение на диагонали U х U, если для любого x E U имеет место равенство P(x,x) = 0; симметрично на множестве U, если для любых x,y E U выполняется соотношение P(x,y) = P(y,x); непрерывно по второму аргументу в точке (x, x), принадлежащей диагонали U х U, если для любой последовательности yi(E U) — x в пространстве Cn[a,b] при i — ж справедливо равенство P(x,x) = lim P(x,yi); непрерывно по второму аргументу на диагонали

U х U, если оно непрерывно по второму аргументу в каждой точке диагонали U х U. Аналогично определяется непрерывность по первому аргументу на диагонали U х U.

Определение 2. Пусть U С Cn[a, b] и пусть отображение P : U х U — L+[a, b] принимает нулевое значение на диагонали множества U х U. Будем говорить, что отображение P : U х U — L+[a,b] обладает свойством A на множестве U, если оно непрерывно по второму аргументу; свойством B, если непрерывно по первому аргументу на нем; свойством C, если непрерывно на нем и симметрично.

Рассмотрим отображение Ф : Cn[a,b] — Ci(Ln[a,b]). Овыпукленный по переключению оператор Ф : Cn[a,b] — S(Ln[a,b]) зададим равенством

Ф (x) = sw( Ф^)). (1)

Отметим, что из непрерывности отображения Ф : Cn[a,b] — Ci(Ln[a,b]), вообще говоря, не вытекает непрерывность оператора ф : Cn[a,b] — S[Ln[a,b]], определенного равенством (1). Это показывает пример.

Пример. При каждом x E [0, 2] и r E [0,1] определим суммируемую функцию V(x,r) : [0, 2] —— R равенствами

{1, если t E [x,x + r] П [0, 2], r = 0,

0, если t E [x,x + r] П [0, 2], r = 0,

0, если r = 0.

Пусть многозначное отображение Ф : [0,1] —— С£(Ь1[0, 2]) имеет вид

!и {ф(х,г)}, если г = 0,

хЄ[0,2]

{0}, если г = 0.

Отметим, что для любых Гі, г2 Є [0,1] имеет место соотношение

Ьь1 [0,2] [Ф(гі); Ф(Г2)] = |гі - Г2І-В то же время для любого г Є (0,1] справедливо равенство

йь1[0,2][Ф(0); Ф(г)] = 2.

Теорема 1. Пусть и С Сп[а,Ь] и пусть для отображения Ф : Сп[а,Ь] €і(Ьп[а,Ь]) найдется такое отображение Р : и х и — Ь+[а,Ь], что для люб х,у Є и и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняется оценка

hl™(и)[Ф(x), Ф(У)] < \\Р(х,у)\ь1(и)-

(2)

Тогда для овыпукленного по переключению отображения Ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), определенного равенством (1), для любых х,у € и и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняется оценка (2), в которой Ф(-) = ф(•).

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 отображение Р : и х и — Ь+[а,Ь] обладает свойством А (В, С) на множестве и С Сп[а,Ь], то овыпукленное по переключению отображение ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), определенное равенством (1), полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху; непрерывно) по Хаусдорфу на множестве и С Сп[а,Ь].

Отображение Р : и х и — Ь+[а,Ь], удовлетворяющее неравенству (2), будем называть мажорантным для отображения Ф : Сп[а,Ь] — СЕ(Ьп[а,Ь]) на множестве и, или просто мажорантным.

Пусть отображение : [а,Ь] х Мп — еошр[Мп], I = 1, 2 для каждой непрерывной функции х € Сп[а,Ь] суперпозиционно измеримо и ограничено суммируемой функцией для каждого ограниченного множества К С Кп. Рассмотрим отображение М : Сп[а,Ь] — СЕ(Ьп[а,Ь]), заданное равенством

М(х) = Мі(х) и М(х),

(3)

где Мі : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь\), і

денные функциями Рі : [а,Ь] х Мп

1,2 — операторы Немыцкого, порож-■ еошр[Мп], і = 1,2. Для оператора

М : Сп[а,Ь] — С£,(Ьп[а,Ь]), имеющего вид (3), мажорантное отображение

Р : Сп[а,Ь] х Сп[а,Ь] — Ь+[а,Ь] можно задать равенством

ф(x, У)(Ъ) = тах{к^п [^1 {Ъ, х(г)); F1(t, у(ъ))]; [F2(t, х(ъ)); F2(t, у(Щ}. (4)

Как следует из теоремы 1, оператор Р(-, •), имеющий вид (2), будет мажорантным и для овыпукленного по переключению отображения М : Сп[а,Ь] — Б(Рп[а,Ь]), определенного соотношением (2), в котором Ф(-) = М(•).

Из следствия 1 вытекает, что если отображение Fi : [а, Ь] х Мп — сошр[Мп], г =1, 2 полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) по Хаусдорфу по второму аргументу, то овыпукленное по переключению отображение М : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), имеющее вид (1), полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) по Хаусдорфу.

Обобщенный овыпукленный оператор фсо : Сп[а,Ь] — Б(Рп[а,Ь]) определим соотношением

фсо(х) = со ^Ф(х)^ . (5)

Отметим, что значения обобщенного овыпукленного отображения фсо : Сп[а,Ь] — Б(Рп[а,Ь]) не зависят от места, на котором стоят операции замкнутой выпуклой и замкнутой выпуклой по переключению оболочек пространства суммируемых функций.

Теорема2. Пусть и С Сп[а, Ь] и пусть для отображения Р : и х и — 1\[а, Ь] является мажорантным для оператора Ф : Сп[а,Ь] — СЕ(Ьп[а,Ь]) на множестве и. Тогда оператор Р : и х и — Ь+[а,Ь] является мажорантным на множестве и и для обобщенно овыпукленного оператора фсо : Сп[а,Ь] — Б(Рп[а,Ь]), имеющего вид

(5).

Следствие 2. Если в условиях теоремы 2 мажорантное отображение Р : и х и — Ь+[а,Ь] обладает свойством А (В, С) на множестве и С Сп[а,Ь], то обобщенно овыпукленное отображение фсо : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), определенное равенством (5), полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) по Ха-усдорфу на множестве и.

Из теоремы 2 вытекает, что отображение Р : Сп[а, Ь] х Сп[а, Ь] — 1\[а, Ь], заданное равенством (3), является мажорантным для обобщенно овыпукленного отображения Мсо : Сп[а,Ь] — Б(Рп[а,Ь]), определенного равенством (5), в котором Ф(-) = М(•). Из следствия 2 также вытекает, что Мсо полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) по Хаусдорфу, если функции Fi : [а,Ь] х Мп — сошр[Мп], г = 1 , 2 полунепрерывны снизу (полунепрерывны сверху, непрерывны) по Хаусдор-фу по второму аргументу.

Одним из основных вопросов при исследовании свойств обобщенных решений функционально-дифференциальных включений с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, является вопрос о существовании непрерывной ветви у овыпукленного по переключению и обобщенно овыпукленного многозначного отображения (см. [3]). Из сформулированных теорем

1, 2 и их следствий, а также работ ([4] - [6]) вытекают следующие результаты.

Теорема 3. Пусть и С Сп[а,Ь] и пусть отображение Р : и х и — Ь+[а,Ь] является мажорантным для оператора Ф : Сп[а,Ь] — С£,(Ьп[а,Ь]) и обладает свойством А на множестве и. Тогда у отображения ф : Сп[а, Ь] — Б(Ьп[а, Ь]), имеющего вид (1), найдется такое непрерывное отображение р : и — Ьп[а,Ь], что для любого х Є и выполняется включение р(х) Є ф(х).

Теорема 4. Пусть и С Сп[а,Ь] и пусть оператор д : и — Ьп[а,Ь] непрерывен. Далее, пусть отображение Р : и х и — Ь+ [а,Ь] является мажорантным для оператора Ф : Сп[а,Ь] — СЕ(Ьп[а,Ь]) и обладает свойством С на множестве и. Тогда для любого непрерывного отображения V : и — Ь+[а,Ь], принимающего на множествах полной меры только положительные значения, у отображения ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), имеющего вид (1), найдется такое непрерывное отображение р : и — Ьп[а,Ь], что для любого х Є и и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполнимы соотношения:

р(х) Є ф(х);

\\д(х) - р(х)\\ьп(и) < Рьп(и)[£(х); ф(х)] + ^ V(х)(Ь)М. (6)

и

Следствие 3. Пусть и С Сп[а, Ь] и пусть оператор д : и — Ьп[а, Ь] непрерывен. Далее, пусть отображение Р : и х и — Ь+ [а,Ь] является мажорантным для оператора Ф : Сп[а,Ь] — СЕ(Ьп[а,Ь]) и обладает свойством С на множестве и. Тогда для любого є > 0 у отображения ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), имеющего вид (1), найдется такое непрерывное отображение р : и — Ьп[а,Ь], что для любого х Є и и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполнимы соотношения:

р(х) Є ф(х);

\\д(х) - р(х)\\ьп(и) <Рьп(и)[д(х);ф(х)] + є^(и). (7)

Отметим, что неравенства (6), (7) играют ключевую роль в вопросах

качественного исследования множеств обобщенных решений функциональнодифференциальных включений.

Рассмотрим задачу Коши для функционально-дифференциального включения

х Є Ф(х), х(а) = х0 (х0 Є Еп), (8)

с вольтерровым по А.Н. Тихонову (см.[7]) оператором Ф : Сп[а,Ь] — С£,(Ьп[а,Ь]), для которого на пространстве Сп[а, Ь] существует вольтерров мажорантный оператор Р : Сп[а,Ь] х Сп[а,Ь] — Ь+[а,Ь], обладающий на пространстве Сп[а,Ь] свойством В.

Отметим, что в этом случае отображение Ф : Сп[а,Ь] — СЕ(Ьп[а,Ь]), в правой части

(7), а также оператор фсо : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]), определенный равенством (5), полунепрерывны сверху по Хаусдорфу.

Под обобщенным решением задачи (8) будем понимать абсолютно непрерывную

функцию х : [а,Ь] — Кп, удовлетворяющую включению х Є Ф(х)^^ и ра-

венству х(а) = х0.

Для задачи (8) аналогично ([1], [3]) можно определить локальное решение, определенное на отрезке [а,т] С [a,b]. Из следствия 2 вытекает, что задача (8) локально разрешима, каждое локальное решение задачи (8) можно продолжить либо на весь отрезок [a, b], либо найдется непрерывная функция x : [a, с) ^ Rn ([а, с) С [а, b]), удовлетворяющая условию lim |x(i)| = ж, которая является продолжением локального

t^c-0

решения и ее сужение на любой отрезок [а,т] С [а, с) — локальное решение на отрезке [а,т]. Далее, найдется такой интервал [а, с) С [а, b], что для каждого т Е (а, с) множество всех локальных решений, определенных на [а,т], представляет собой связный компакт пространства Сп[а,т].

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальное включение с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Удм. университета. Серия: Математика. 2005. № 1. С. 3-20.

2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач // М.: Наука, 1974. 480 с.

3. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Некоторые вопросы обобщенных решений функционально-дифференциальных включений // Теория управления и теория обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби: тр. междунар. семинара. Екатеринбург, 2006. Т. 1. С. 73-79.

4. Fryszkowski A. Continuous selection for a class of nonconvex multivalued maps // Studia Math. 1983. V. 76. № 2. P. 163-174.

5. Bressan A., Colombo G. Exstensions and selections of maps with decomposable values // Studia Math. 1988. V. 90. № 1. P. 69-86.

6. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

7. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А. 1938. Т. 1. № 8. С. 1-25.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 07-01-00305), темплана 1.6.07, Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU), грант PRO 06/02.

Поступила в редакцию 15 января 2008 г.