Нахождение решения уравнения теплопроводности с помощью языка программирования MatLab Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011), гранта NATO NRCLR.9837 16.

Bulgakov A.I., Grigorenko A.A., Panasenko E.A. Inclusions with Volterra in the sense of A.N. Tikhonov operators and impulsive perturbations. For Volterra inclusions with impulsive perturbations there are considered the problems of local solvability and extendability of solutions. It is proved that the right end-point of the interval on which all the solutions exist depends lower semi-continuously on the parameters. It is also shown that, if the inclusion is a-priori bounded for some parameter, then this parameter value can not be an isolated point, in the sense of a-priori boundedness, moreover the solutions set is Hausdorff upper semicontinuous at this point.

Key words: inclusions with impulse operator; extendability of solutions.

УДК 519.633.6

SOLVING THE HEAT EQUATION WITH MATLAB © A. I. Bulgakov, E. V. Malyutina, О. V. Filippova

Key words: numerical solution; explicit scheme.

We study to obtain the numerical solution of heat equation by means of MathLab. We consider example of stable explicit scheme for a heat equation.

We consider the following initial-boundary value problem for the heat equation:

ut = a2uxx + f (x,t) forx e (0,L),t e (0, to), (1)

u(x, 0) = ^>(x), (2)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. (3)

We want to construct the optimal program for numerical solution of the heat equation. We will do it by means MatLab. The basic idea is to replace the derivatives involved in (l)-(3) by finite differences. We assume that (N + 1) is the number of the segmentation points in the x-direction; h = L/N is the step of grid (x-direction); Xi = ih, i = 0, 1, ...,N; tj = jd, where j > 0, d is the time step.

Furthermore, the grid function v , with vij= v (xi, tj ), approximates u .

Using the following approximation, we can write the initial-boundary value problem in the follows form [1—5]:

a2d f da2 \

Vij+1 = -^2 (vi-i,j + Vi+ij) + П - 2^2 I Vi j + dfi j Jor i = 1,... N - 1,j > 1, (4)

Vi,0 = ^i, for i = 0, 1,

Vo,j = 0, VN,j = 0, for j > 0.

For the finite difference scheme (4) we will consider possible solutions of the form

Vk j = Aj ek,

i

Therefore, from (4) we obtain

A - 1 2 e-iZ — 2 + eiZ

—;— = a -

Using the equality

we have

h2

e-iZ — 2 + eiZ = 2 cos( — 2 = -Asin2 Z

A = 1 — Arsin2 2,

where r = ad ■ The explicit scheme is stable if

a2d 1

r = 12 S 2 (5)

guarantees that scheme (4) is stable. If r = ^ 2 that the scheme is stable.

We can find a numerical solution by using the MatLab’s code. WTe could enter the meanings

for N, K, a, f (x,t), p(x) and use the following code [6j:

h = L/N; d = T/K;

g = (a * a * d)/(h * h) while g > 0.5

disp(’the scheme is not stable’)

KK d = T/K;

g = (a * a * d)/(h * h) end

x = 0 : h : L; u(-.,1) = ^(x(:)); t = 0 : d : T; for j = 2 : K + 1 u(1,j) = 0; u(N + 1, j) = 0; end

j=1:K for k = 2 : N

u(k,j + 1) = g * (u(k — 1, j) + u(k + 1, j)) + (1 — 2 * g) * u(k,j) + d * f (x,t);

end

end

figure

mesh (x, t, v!) ;

title(’numerical method’);

xlabel (V) ;

ylabel ('t') ;

Example. We consider the initial-boundary value problem for the heat equation:

ut = uxx + sin (3^x) for x £ (0,1), t £ (0, to), (6)

u(x, 0) = sin(^x), (7)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. (8)

We can construct the graph of the exact solution (fig. 1) and the graph of the numerical

solution (fig. 2) in MatLab:

In this example we have the number of Courant r = ^2 = 0.0125 < 1 and the absolute miscalculation is equal to 0.000025. So the explicit scheme is stable.

Fig. 1. The exact solution of the heat equation for (x,t) £ ([0,1] x [0, 0.1])

Fig. 2. The numerical solution of the heat equation for (x,t) £ ([0,1] x [0, 0.1])

REFERENCES

1. Kantor S. Fundamentals of numerical mathematics, 2010.

2. Tveito A., Winther R. Introduction in Partial Differential Equation, A Contemporary Approach, 1998.

3. Petrovskii I.G. Partial Differential Equation, 1967.

4. Solin P. Partial Differential Equation and the finite Element Method, 2005.

5. Tikhonov A.N. Equations of mathematical physics, 1977.

6. Bulgakov A.I., Malyutina E.V., Ponossov A. Solving the wave equation with Matlab, Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2011. V. 16, JV« 4, P. 1032-1035.

IIocTynHjia b peflaKipno 10 hoh6ph 2011 r.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Булгаков А.П., Малютина Е.В., Филиппова О.В. Нахождение решения уравнения теплопроводности с помощью языка программирования МаЛаЬ. В работе находится численное решение уравнения теплопроводности. Рассматривается пример стабильной явной численной схемы.

Ключевые слова: численное решение; явная схема.

УДК 517.911, 517.968

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ПАРАМЕТРОВ

© А. И. Булгаков, Е. В. Малютина, О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; априорная ограниченность.

Для дифференциального включения с запаздыванием, зависящим от параметров сформулированы условия полунепрерывное™ сверху множеств решений задачи Коши, а также найдены достаточные условия априорной ограниченности этой задачи.

Пусть М” — п-мерное векторное пространство с нормой || сопу[М”] —множество всех непустых выпуклых компактов пространства М”, если А С М”, то |А| = 8ир{|а| : а € А}. Обозначим через С”[а, Ь] (Х”[а, Ь]; I”[а,Ь]) пространство непрерывных (суммируемых по Лебегу; измеримых, ограниченных в существенном) функций х : [а, Ь] ^ М”, с нормой

1М1с[а,ь] = тах{|х(г)| : г € [а,Ь]} (\\х\\Ч[а,ь] = $0, |х(г)|^; УхЬ^[«Ь] = ^та1зир{|х(г)| : г е

€ [а, Ь]}). Пусть //,(•) — мера Лебега, П(Ь”[а, Ь]) — множество всех непустых выпуклых замкнутых подмножеств пространства Ь”[а, Ь], тотр(С”[а, Ь]) — множество всех непустых компактов пространства С” [а, Ь].

Пусть К — метрическое пространство. Будем говорить, что функция т : [а, Ь] х К ^ М удовлетворяет условиям Каратеодори, если для любого Л € К функция т(•, Л) измерима и при почти всех г € [а, Ь] отображение т(г, •) непрерывно.

Будем говорить, что функция т : [а, Ь] х К ^ М, удовлетворяющая условиям Каратеодори, обладает свойством А в точке Ао € К, если для любого г € [а, Ь] и любого Л € К выполняется неравенство т(г, Л) < г и для любой последовательности Лг ^ Ао в пространстве К при % ^ то справедливо равенство (см. [1]):

Будем говорить, что непрерывная функция р : (—то, а) х К ^ М” обладает свойством В, если для любого компактного множества Ш С К отображение р(^, •) ограничено на (—то, а) х