Включения с вольтерровыми по А. Н. Тихонову операторами и импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

12. Плотников В.А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. Автореферат дис. доктора физ.-мат. наук. Л., 1980.

13. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. С. 93.

14. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2027-2050.

15. Булгаков А.И. Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных включений с невыпуклой правой частью // Межвуз. сб. "Функционально-дифференциальные уравнения" ППИ. Пермь, 1991. С. 28-57.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Bulgakov A.I., Grigorenko A.A. Partial averaging of functional-differential inclusions. In the article there is formulated the theorem on partial averaging of functional-differential inclusions. It is proved that this statement covers a wide class of differential inclusions with aftereffect.

Key words: functional-differential inclusion; averaging.

УДК 517.9

ВКЛЮЧЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ПО А.Н. ТИХОНОВУ ОПЕРАТОРАМИ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ © А. И. Булгаков, А. А. Григоренко, Е. А. Панасенко

Ключевые слова: включения с импульсным оператором; продолжение решения.

Для вольтерровых включений с импульсными возмущениями рассматриваются вопросы локальной разрешимости, продолжаемости решений, доказано, что правая точка полуинтервала на котором все решения существуют полунепрерывно снизу зависит от параметров. Кроме того доказано, что если при некотором параметре включение априорно ограничено, то эта точка параметра не является изолированной с точки зрения априорной ограниченности, а также множества решений полунепрерывны сверху по Хаусдорфу в этой точке.

Пусть М” — п-мерное евклидово пространство с нормой \ ■ \. Пуст ь [а, с) (с ^ то), и

пусть последовательность чисел ti, i = 1, 2,удовлетворяет условию a <ti <t2 < ... < с,

если с = то, то последовательность может быть бесконечной, не имеющей предельных

точек. Обозначим через C”[a, с) пространство функций x : [а, с) ^ М” непрерывных на

интервалах [a,ti], (ti,t2], (t2, ts],..., имеющих в точках ti,t2,t3,... правосторонние пределы.

Пусть b Е (а, с). Через С”[a, b] обозначим пространство всех сужений на [a,b] функций

x Е С”[а, с) с нормой ||x||gnr = sup \x(t)\. Пусть C”[a,b] — пространство непрерывных

[a’ 1 te[a,b]

функций x : [a,b] — Mn с аналогичной нормой. Через Q(Cn[a, b]) обозначим множество всех непустых выпуклых компактов пространства Cn[a, b].

Рассмотрим семейство операторов Tb : Cn[a,b] — Q(Cn[a,b]), b G (a,c) (b выступает как параметр). Будем предполагать, что это семейство обладает следующими свойствами:

1) для любого b G (a, с) множество |(Tbx)(a) С Mn : x G C n[a, b] j ограничен о в Mn ;

2) при каждом b G (a, с) для любого x G Cn[a, b] и любого v G (a,b) выполняется равенство (Tb(x)) \va = Tv (x\va) , где (Tb(x)) \va — множество сужений функций из множества Tb(x) на отрезок [a,v], x\a —сужение функции x на отрезок [a,v] (таким образом при каждом b G (a, с) оператор Tb : Cn[a,b] — Q(Cn[a,b]) вольтерров по А.Н. Тихонову);

3) для любого b G (a, с) оператор Tb : Cn[a,b] — Q(Cn[a,b]) компактен и замкнут.

Пусть для точек ti, i = 1, 2,..., определенных выше, заданы непрерывные функции Ii : Mn — Mn . Для каждого b G (a, с) определим непрерывное отображение Jb : Cn[a, b] — —— Cn[a, b] равенствами:

/

(Jbx) (t) =

0, если t G [a, t1];

x(ti) + I1(x(t1)), если t G (t1,t2];

x(t2) + h(x(t2)), если t G (t2, t3];

(1)

(см. рис. 1)

(Jbx)(t) x(t2) + h(x(t2)) x(t2)

x(ti) + Ii(x(ti)) x(ti)

а ¿1 ¿2 tз ь С

Рис. 1

Для каждого Ь € (а, с) рассмотрим включение

х € Тьх + Зьх. (2Ь)

Под решением включения (2ь) понимается функция х € Сп[а,Ь], для которой существует такая функция V € Т,х, что для любого г € [а, Ь] выполняется равенство

х{Ь) = ч](Ь) + (,1ьх) (г).

Отметим, что включение (2ь) охватывает некоторые вопросы, рассматриваемые в работах [1-10].

На наш взгляд, функции іі : М” ^ М”, і = 1, 2,естественно назвать импульсными функциями, а отображение Ль : С”[а,Ь] ^ С”[а,Ь], заданное равенствами (1), — импульсным оператором.

Из вольтерровости оператора Ть : С”[а, Ь] ^ {}(С”[а, Ь]) вытекает следующее утвержде-

Теорема 1. Если все импульсные функции равны нулю, то для любого Ь Є (а, с) множество решений включения (2ь) совпадает с множеством решений включения (2ь) с тождественным нулевым оператором ,1ь-

Теорема 2. Существует такое Ь Є (а, с), что множество решений включения (2ь) непусто и замкнуто в пространстве Сп[а,Ь].

Скажем, что функция х : [а, т) ^ М” является решением включения семейства включений {(2ь)} на [а,т), если для произвольного Ь Є (а,т) сужение функции х на отрезок [а, Ь] является решением включения (2ь) . Решение х семейства включений {(2ь)} на [а,т) (т Є (а, с)) назовем непродолжаемым, если не существует такого решения у включения (2ь) (Ь Є (т, с)), что для любого £ Є [а,т) справедливо равенство х(ї) = у(і). Если х является решением семейства включений {(2ь)} на [а, с), то будем считать решение х непродолжаемым.

Теорема 3. Для, того чтобы решение х : [а,т) ^ Мп семейства включ ений {(2ь)} на [а, т) было продолжаемым, необходимо и достаточно, чтобы х было ограничено на,

Следствие. Решение х : [а,т) ^ Мп семейства включ ений {(2ь)} на, [а,т) (т < с) непродолжаемо в том и только в том случае, когда, Иш^г_о |х(£)| = то.

Теорема 4. Если функция у Є С”[а, Ь] — решение включения (2ь), то существует такое непродолжаемое решение х семейства включ ений {(2ь)} на полуинтервале [а,т) С С [а, с), что х — продолжение решения у.

Пусть К — метрическое пространство и импульсные функции іі : М” х К ^ М”, і = 1, 2,..., непрерывны. Определим непрерывный импульсный оператор .1ь : С”[а, Ь] х К ^ ^ С”[а, Ь] равенствами (1), в которых значения импульсов зависят от параметра Л Є К, т. е. І\(х(і\),Л), І2(х(і2), Л) и т. д. Для любого Ь Є (а, с) рассмотрим включение

6) для любого ограниченного и С Сп[а, Ь] и компактного и С К образ Ть(иг,и) компактен в Сп[а,Ь];

7) отображение Ть : Сп[а,Ь] х К ^ £}(Сп[а,Ь]) замкнуто.

Пусть Н(X) — множество всех непродолжаемых решений включения (3ь,\)- Пусть д(х) € (а, с] — правая точка интервала, на котором определено решение х € Н(X).

Для любого X € К обозначим

НИ6.

[а, Ь)

х Є Ть(х, Л) + .1ь(х, Л),

(3ь,х)

где X € К, а отображение Ть : Сп[а,Ь] х К ^ £}(Сп[а,Ь]) обладает свойствами:

4) для любых Ь € (а, с) и компактного и С К множество

{(Ть(х, Х))(а) С Мп : х € Сп[а, Ь], X € и}

ограничено в Мп;

5) для любых Ь € (а, с) и X € К отображение Ть(•, X) вольтеррово по А.Н. Тихонову;

V(Л) = вир |Ь Є (а, с) : Ух Є Н(Л) Ь < д(х) и множество {х1ъа : х Є Н(Л)} ограничено в пространстве С”[а,

Теорема 5. Для любого X Е К существует x Е H (X), для которого справедливы соотношения

q(x) = V(X) = inf {q(y) : y Е H(X)} > a.

Отображение v : К ^ (a, с], заданное равенством (4), полунепрерывно снизу.

Пусть H(т, X) (т Е (a, с)) множество всех решений включения ( 3ь,\ )■ Будем говорить, что включение (3ь,\) априорно ограничено, если существует число m > 0, для которого для любого т Е (a, b] не существует решения y Е H(t,X), удовлетворяющего неравенству

11У|1сп[а,т] > m (5)

X

U С К, то в этом случае будем говорить, что включение (3ь,\) априорно ограничено на множестве U С К в совокупности.

Из теоремы 5 вытекает

Теорема 6. Пусть включение (3ь,\) (b Е (a, с)) априорно ограничено. Тогда,

для, любого т Е (a,b] множество H(t,X) непусто, является компактом в пространстве Сn[a,T] , и для него выполняется равенство

H (t,X) = H (X)\l,

где H(X)\a - множество сужений функций из H(X) на отрезок [a,T]. Кроме того найдется такой шар с центром в точке X Е К, что включение (3ь,\) априорно ограничено в совокупности на этом шаре.

Замечание 1. Из теоремы 6 вытекает, что если включение (3ь,\) априорно ограничено, то точка X Е К не является изолированной с точки зрения априорной ограниченности.

Из теоремы 6 вытекает

Теорема 7. Пусть включение (3ь ,\) априорно ограничено при X = Xo Е К. Тогда H(b, X),

X Е К, полунепрерывны сверху по Хаусдорфу в точке X0 Е К.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. 8. С. 1362-

1374.

2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

3. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. // Екатеринбург. УГТУ-УПИ, 2010.

4. Булгаков А.И., Панасенко Е.А., Сергеева А.О. Продолжаемость допустимых пар управляемой системы с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1645-1647.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

6. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. I-VI // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1313.

7. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194-252.

8. Завалищин, С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

9. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

10. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011), гранта NATO NRCLR.9837 16.

Bulgakov A.I., Grigorenko A.A., Panasenko E.A. Inclusions with Volterra in the sense of A.N. Tikhonov operators and impulsive perturbations. For Volterra inclusions with impulsive perturbations there are considered the problems of local solvability and extendability of solutions. It is proved that the right end-point of the interval on which all the solutions exist depends lower semi-continuously on the parameters. It is also shown that, if the inclusion is a-priori bounded for some parameter, then this parameter value can not be an isolated point, in the sense of a-priori boundedness, moreover the solutions set is Hausdorff upper semicontinuous at this point.

Key words: inclusions with impulse operator; extendability of solutions.

УДК 519.633.6

SOLVING THE HEAT EQUATION WITH MATLAB © A. I. Bulgakov, E. V. Malyutina, О. V. Filippova

Key words: numerical solution; explicit scheme.

We study to obtain the numerical solution of heat equation by means of MathLab. We consider example of stable explicit scheme for a heat equation.

We consider the following initial-boundary value problem for the heat equation:

ut = a2uxx + f (x,t) forx e (0,L),t e (0, to), (1)

u(x, 0) = p(x), (2)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. (3)

We want to construct the optimal program for numerical solution of the heat equation. We

will do it by means MatLab. The basic idea is to replace the derivatives involved in (l)-(3) by

finite differences. We assume that (N + 1) is the number of the segmentation points in the x-direction; h = L/N is the step of grid (x-direction); Xi = ih, i = 0, 1, ...,N; tj = jd, where j > 0, d is the time step.

Furthermore, the grid function v , with vi,j = v (xi, tj ), approximates u .

Using the following approximation, we can write the initial-boundary value problem in the follows form [1—5]:

a2d f da2 \

Vi j+1 = (vi-1, j + Vi+1, j) + ( 1 - 2^2 I Vi ,j + dfi ,j Jor i = 1,...N - 1,j > 1, (4)