О разрешимости включений, порождаемых многозначными отображениями с линейными сечениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

О РАЗРЕШИМОСТИ ВКЛЮЧЕНИЙ,

ПОРОЖДАЕМЫХ МНОГОЗНАЧНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ С ЛИНЕЙНЫМИ

СЕЧЕНИЯМИ 5

© С.Е. Жуковский

В исследовании задач управления часто прибегают к замене управляющей системы соответствующим включением [1]. Если модель управляемого процесса линейная, то соответствующее включение будет порождаться многозначным отображением, имеющим линейные сечения. Изучению свойств таких отображений посвящена эта работа.

Пусть X, Y - банаховы пространства, 2х - множество всех подмножеств множества X, В(Х, Y) -банахово пространство линейных ограниченных операторов / : X -> Y, ||/|| = sup ||/(г)||, 5(/г) ~

11*11=1

открытый шар в пространстве B(X,Y) с центром в элементе / радиуса г > 0, В0 С B(X,Y), Во ф = 0. Будем говорить, что многозначное отображение F : X -+ 2У, Fx = (J {fx}, образовано линейными

/ев0

ограниченными операторами. Такое отображение назовем ограниченным, если существует sup ||/(х)||.

/6 Во

Будем говорить, что отображение G : X -> 2У имеет линейные ограниченные сечения, если существует такой оператор д £ B(X,Y), что при всех х € X выполнено дх € Gx.

Теорема1. Пусть многозначное отображение F : X —> 2У образовано линейными ограниченными операторами. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

а) отображение F полунепрерывно сверху в точке х = 0;

б) отображение F непрерывно на X;

в) отображение F ограничено;

г) для любого х € X множество Fx ограничено в Y.

Рассмотрим включение

у е Fx. (2)

Если при каждом у 6 Y включение (2) разрешимо, то определим отображение F-1 : У -4 2х, ставящее в соответствие элементу у множество решений F~ly этого включения.

Наиболее "удобно" исследовать разрешимость включения (2) в случае, когда многозначное отображение F : X -> 2У образовано линейными ограниченными операторами, и каждый из них обратим. Тогда при любом у € Y множество решений включения (2) представимо в виде F~ly = |J {f-1y}.

f€B0

Из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что отображение F~l : Y -> 2х также образовано линейными ограниченными операторами.

Пусть отображение Ф : X -> 2х определено равенством Фх = (J х - <рх, где В0 С В(Х,Х). Если

°о

каждый из операторов имеет спектральный радиус p(tp) < 1, то Ф~ху = |J { Y1 Ч>кУ}-

к=0

В более сложных случаях, когда нельзя гарантировать обратимости каждого линейного сечения, можно воспользоваться топологическими свойствами отображений.

Теорема 2. Пусть отображение Ф : X -» 2х имеет линейные ограниченные сечения. Пусть, далее, существует такой линей7шй вполне непрерывный оператор ip0 : X -> X и найдется такое число 6 > 0, что при всех А € (1,1 + <5), х € X выполнено х - А<ро^ € Фх. Тогда для любого у € X включение у Е Фх разрешимо, многозначное отображение Ф-1 : X —> 2х имеет линейные ограниченные сечения.

Следствие. Если существует такой линейный вполне непрерывный оператор ipo : X > X и найдется такое число S > 0, что для любого оператора f 6 S^0s) при всех х € X выполнено х — fx € Фх.

5 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-01-00140), Министерства Образования РФ (проект Л* Е02-1.0-212)

Тогда для любого у € X включение у € Фх разрешимо, многозначное отображение Ф 1 : X -4 2х имеет линейные ограниченные сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Серия 1: Математика и механика. 1959, № 2, 25-32.

О РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

© Т.В. Жуковская, С.Н. Никулин

Некоторые задачи управления, автоматического регулирования описываются дифференциальными уравнениями

х'(£) = /(£,£(£)), *6 [а, Ь], (3)

в которых функция / : [а, £>] х Я -* Я не удовлетворяет условиям Каратеодори[1]. К таким уравнениям не применима классическая теория. Наиболее "продуктивный"и общепризнанный метод изучения таких уравнений, основанный на построении соответствующего дифференциального включения, предложил А.Ф. Филиппов[2]. Однако, в некоторых случаях удается исследовать само уравнение, не прибегая к замене его включением.

Будем предполагать, что функция / : [а, 6] х Я -> Я суммируема по первому аргументу, непрерывна справа по второму аргументу и существует такое с € (а, Ь), что при почти всех < 6 [с, 6] функция /(4, •) не убывает, а при почти всех £ € [а, с] функция /(£,•) не возрастает. Как доказано И.В. Шрагиным в [3], эти условия обеспечивают измеримость суперпозиции /(■, х(-)) для каждой непрерывной функции х. Рассмотрим для уравнения (3) краевую задачу с условием

х(с) = а. (4)

I

Запишем ее в виде интегрального уравнения х'(Ь) = /(<, а 4- Jх'{з)(1з). Оператор К : £<[а,б] £[а,б]1

С

*

{КуЩ = /(*, а + / у(з)(1з), является монотонным, улучшающим, вольтерровым на совокупности V

С

множеств е7 = [с - сг(-у), С 4- /3(7)], где ст(-), /?(•) - любые неубывающие функции, для которых 0(7) -

— а(7) = 7. Это позволяет применить к исследованию задачи (3,4) утверждения об операторных

неравенствах [4,5].

Теорема. Если для некоторой функции и € £>(а,ь) выполнено неравенство и'(Ь) ^ /(£, и(4)), < 6 € [а, 6], и(с) ^ а, то

• существует такое 6 > 0 и существует определенное на е$ = [с — г](6),с 4- /?((5)] локальное решение Хб задачи (3,4), для которого имеет место оценка Хд(£) ^ и'(£), < е е&\

• любое локальное решение х7 задачи (3,4), для которого имеет место оценка х7(£) ^ и'(<), I 6 е7,

С

продолжаемо до решения х%, определенного на таком интервале (£1, £2), что & = о V J |1{(в)| <1з =

€1

= 00,62 = Ь V J |*£(в)|йв = оо, и удовлетворяющего неравенству х£(£) ^ и'(<), 4 € (^1, £2);