Задачи выживания для систем с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

© В. Н. Варанов

[email protected]

ЗАДАЧИ ВБ1ЖИВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1

Ключевые слова: диффреренциальные уравнения с последействием, множество выживаемости, конус Булигана, теорема Нагумо.

Abstract. Analogue of theorem Nagumo about viability for Banach space is established. Concrete example is considered.

Содержание

Введение ..................................................4

1. Определение и основные свойства касательного конуса.......20

2. Постановка задачи выживания ..............................32

3. Основная теорема .........................................36

4. Задача выживания для уравнений с последействием ..........47

5. Дифференциальное уравнение с последействием

и одним ограничением .....................................55

6. Дифференциальное уравнение с последействием

и конечным числом ограничений ............................67

7. Смешанные системы уравнений ..............................74

8. Задача выживания для включений .........................80

9. Задача выживания для включений с последействием.........92

Список литературы ......................................100

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99^0Ю0454) и конкурсным центром фундаментального естествознания (грант Е00-1.0-5).

Обозначения

М™ — стандартное евклидово пространство с нормой | ■ |

(•, ■) — скалярное произведение в М™

(X, || ■ Ух) — банахово пространство

Бх{x, r) и B%[x, r] — соответственно открытый и замкнутый шары радиуса r с центром в точке x clX M — замыкание множества M в пространстве X conv M — выпуклая оболочка множества M С X рх(x, M) — расстояние от элемента x € X до множества M С X, определяемое равенством рх(x,M)= inf ||x — у||х

BXM, e]— e -окрестность множества M С X, определяемая неравенством Бх[M, e] = {x € X : рх(x,M) ^ e}

AC [a, Ь, М™) — пространство абсолютно непрерывных функций x(t) со значениями в М™

С([а,5], М™)—пространство непрерывных функций x(t) со зна-М™

L([a, Ь, М™)— пространство суммируемых функций x(t) со зна-М™

X

X

£(X, Y) — пространство линейных ныпрерывных операторов t ^ xt € X, t € [а, Ь — отображение отрезка [а, 5] в простран-X

Введение

Задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.-P.) для управляемых динамических систем включают в себя большое число вполне конкретных приложений, интерес к которым не ослабевает с конца 50-х годов прошлого столетия. К числу таких прикладных задач относятся задачи об обходе препятствия, о построении управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве, в частности, на заданном многообразии, некоторые задачи математической экономики и многое другое.

Вопрос о существовании решения ж(£,жо) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

ж = /(ж)

(0.1)

с начальным условием

ж(0) = жо

(0.2)

в течении некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве М С К” (такое решение называется выживающим), был разрешен в 1942 году Нагумо [41]. Теорема Нагумо состоит в следующем. Пусть задано множество М. Оказывается, что для каждой точки жо € М существует выживающее решение ж(£,Жо) задачи (0.1), (0.2) в том и только том случае, если во всех точках ж, М,

чение

где ТхМ— конус Булигана к множеству М в точке ж (определение конуса Булигана дано ниже).

Близкими к вопросам выживаемости являются задачи управления с фазовыми ограничениями. Например, требуется среди всех траекторий управляемой системы, выходящих из данной точки, найти траекторию максимально долго остающуюся в заданном множестве. В некоторых задачах требуется минимизировать функционал качества, заданный на траекториях управляемой системы, при этом траектория не должна покидать некоторое заданное в фазовом пространстве множество.

Хорошо известно (см., например, статью В. И. Благодатских и А. Ф. Филиппова [13]), что управляемые системы

/(ж) € ТхМ, ж € дМ,

Ж = /(£, ж, и), и € и,

тесно связаны с дифференциальными включениями

ж € ^(¿,ж), ^(¿, ж) = /(£, ж, и),

поэтому (и мы будем пользоваться этим в дальнейшем) имеет смысл изучать задачи выживания для дифференциальных включений.

В работах А. Б. Куржанского и Т. Ф. Филипповой [21], [22] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества.

В работе А. Б. Куржанского и Т. Ф. Филипповой [23] установлены связи между задачами о выживаемости для дифференциальных включеий и системами включений, содержащими возмущающие параметры и функции.

Задаче о выборе траектории дифференциального включения из множества всех траекторий, удовлетворяющих заданному начальному условию, которая максимально долго находится в заданном замкнутом множестве, посвящена работа А. 3. Фазыло-ва [31]. Эту задачу (по аналогии с задачей о быстродействии, ее естественно называть задачей о ’’долгодействии”) можно отнести к задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями, необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума JI. С. Понтрягина для которой даны в работе В. И. Благодатских [39]. Другой подход к решению задач на экстремум при наличии ограничений предложен А. Я. Дубовицким и A.A. Милютиным в работе [17].

Задачу выживания в множестве M С Rn можно интерпретировать, как задачу избежания столкновения с множеством Rn\M. Задачам об избежании столкновения посвящены статьи А. 3. Фазылова [32], Н. Сатимова и А. Азамова [28].

Задачи выживания для систем с последействием (их еще называют системами с наследственностью) отличаются от задач выживания для обыкновенных дифференциальных уравнений в первую очередь тем, что естественное фазовое пространство C([—г, 0], Rn) таких систем бесконечномерно. Эту интерпретацию систем с последействием предложил H.H. Красовский [20].

Для системы с последействием

ж(г) = /(ж*) (о.з)

и целевого множества М, заданного в пространстве абсолютно непрерывных функций неравенством

М = (ст € С([—г, 0], М™) : ,0(ст(О)) + [ а(5,а(5))^ ^0}

и —Г

в статье Е. Л. Тонкова [29] были найдены достаточные условия выживаемости.

Основной целью работы является исследование условий выживания решений систем с последействием и дифференциальных включений с последействием в заданном множестве фазового пространства С ([—г, 0], М™).

Формальное распространение теоремы Нагумо на системы с последействием оказалось невозможным по той причине, что даже простые движения гладкой динамической системы в бесконечномерном фазовом пространстве могут не иметь производной (понимаемой в обычном смысле) на множествах положительной меры. В связи с этим в работе вводится понятие вариации движений динамической системы, в терминах которой удается получить условия (необходимые и достаточные) выживания движений в заданном множестве.

В первом параграфе работы вводится понятие вариации ¿ж* движения г ^ ж* € X, г € М в банаховом пространстве X, причем эта вариация является элементом более широкого пространства ф.

Определение 0.1. Пусть заданы банаховы пространства X, ф и X С ф. Будем говорить, что отображение г ^ ж* € X, где г € [0, а, а > 0, имеет в точке г € [0, а) вариацию ¿ж* € ф, если существует отображение е ^ г(е) € ф, удовлетворяющее следующим условиям:

ж*+£ = ж* + е£ж* + г(е),

Шп ||Г(£)Ь = 0, »up

£^0 + £ £>0

¿Ж*

f(£)

< + ТО.

Это определение позволяет естественным образом ввести понятие касательного конуса TX M к множеству M С X в точке ж, элементы которого тоже лежат в более широком пространстве

Y-

Определение 0.2. Пусть заданы банаховы пространства X и Y, X С Y • Пусть далее, M — непустое подмножество пространства X и ж € M. Элемент h € Y называется касательным направлением к множеству M в точке ж, если существуют отображение t ^ r(t) € Y и последовательность (ti}OOi С R+ удовлетворяющие следующим условиям:

lim ^ = О, ж + th + r(t) € M,

lim

k(^)||a)

ti

= 0, sup

h

r(ti

ti

< + то.

Обозначим Т:рМ— множество касательных направлений к М ж.

Доказаны необходимые для дальнейшего изложения утверждения, описывающие структуру конуса и дающие его связь с хот

рошо изученным конусом Булигана, который совпадает с Т^ М при X = ф.

Теорема 0.1. Элемент Н € ф принадлежит множеству ТхрМ тогда и только тогда, когда существует последовательность {(¿г,Нг)}, где ¿г € М+, Нг € X, удовлетворяющая следующим, условиям:

ж + ¿¿Н € М, ¿г ^0, ||Н - НгУт , ШР УН Ух <+ Ю.

Лемма 0.1. Пусть X и Y —банаховы пространства, X С Y, ж € M, где M С X. Тогда для конуса T^M имеют

СО

место включения

и с1т((Т*М)х П Б*[0, г]) С Т®М,

г>0

Т®М С (ТЖМ)т П [^ 1т(Б*[0,г])] .

\г>0 )

Здесь через (ТЖМ) Х и (ТХМ)т обозначены коунсы Булигана к множеству М в точке ж в пространствах X и ф соответственно.

Далее, во втором параграфе дается постановка задачи выживания. Введем следующие обозначения. Для произвольной непрерывной функции £ ^ ж(£) € Мга, £ € [—г, а], гДе г > 0, а > О, обозначим ж*— отображение отрезка [0, а] в пространство непрерывных функций С( [—г, 0], Мга), действующее по правилу

ж*(«) = ж(£ + «), £ € [0, а], в € [—г, 0]. (0.4)

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных

уравнений с последействием

ж = /(ж*), (0.5)

ж0 = <£. (0.6)

Вместе с системой (0.5) будем рассматривать некоторое непустое подмножество М С АС( [—г, 0], Мга).

Определение 0.3. Пусть ^ € М. Будем говорить, что решение ж(£,^>) задачи Коши (0.5), (0.6) выживает, в множестве М, если существует а > 0 такое, что для всех £ € [0, а] выполнено включение ж* € М, где ж* движение в пространстве АС[—г, 0], Мга), порожденное по правилу (0.4).

Определение 0.4. Будем говорить, что множество M обладает свойством выживаемости для системы (0.5), если для всякого p € M найдется решение x(t, p) задачи Коши (0.5), (0.6), выживающее в M. Будем говорить также, что множество M есть м,ножест,во вы,живаем,ост,и системы (0.5).

В данной работе исследуются необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять система (0.5) и множество M, чтобы множество M обладало свойством выживаемости для системы (0.5).

В третьем параграфе изучены условия выживания уравнения

¿xt = F(xt), (0.7)

где отображение F действует в произвольном банаховом пространстве X.

Следующие теоремы дают нам необходимые и достаточные условия выживания уравнения (0.7).

Напомним, что множество M С X называется локально компактным, если для всякой точки x € M найдется число r > 0 такое, что множество BXx, г] П M— компактно.

Теорема 0.2. Пусть X, Y — банаховы пространства, X С Y, м заданы локально компактное множество M в X и непрерывное отображение F : X ^ Y Пусть далее, для всех точек p € M существуют число а > 0 и непрерывное отображение t ^ xt € M, t € [0, а такое, что x$ = p и ¿xt = F(xt) для почти всех t € [0, а, то есть существует вы-M . x p.

p€M

F(x) € TYM.

Теорема 0.3. Пусть X, gY — банаховы пространства, X С Y, заданы локально компактное множество Me X и непрерывное отображение F : X ^ Y. Пусть далее:

1) для всех ж € М имеет место включение ^(ж) € Т^М;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех ж € М выполнено неравенство

г(^( ж),ж)

Бир

^(ж)

^( ж)

< с,

X

где г(^(ж, ж и ¿Аж) из определения касательного конуса ТХ М.

Тогда для всякого р € М существуют число а > О и непрерывное отображение £ ^ ж* € М, £ € [О, а] такое, что жо = р и ¿ж* = ^(ж*) для почти всех £ € [0, а.

Доказано, что в теореме 0.3 условие непрерывности отображения ^ можно заменить на более слабое: достаточно замкнутости отображения К

В четвертом параграфе указана связь между системой с последействием и уравнением (0.7). Оказывается, что если в качестве X и ф взять АС[—г,0],Мга) и Ьх([—г,0],Мга) х Мп, а отображение ^ : X ^ ф определить равенством

(0-8)

то между решениями уравнений (0.3) и (0.5) существует взаимно однозначное соответствие.

Пусть

X = АС[-г,0],Мп), % = [-г,0],Мга) х Мп.

Лемма 0.2. Пусть функция

£ ^ ж(£) € Мп, £ € [-г, а), а > 0

..

£ ^ ж* € X, £ € [0, а),

построенное по правилу

ж*(«)=ж(£ + «), £ € [0, а, 8 € [—г, 0],

имеет, для почти всех t € [0, а) вариацию ¿ж* и является решением, уравнения (0.7).

Лемма 0.3. Пусть отображение t ^ t € [О, а), а > О ..

t ^ x(t) € Rn, t € [-r, а)

где

x(s)=p(s), s € [-r,0], ж^) = ш(0), t € [0,а)

..

Из теоремы 0.3 и этих лемм следует утверждение, дающее достаточные условия выживания для уравнений с последействием.

Теорема 0.4. Рассмотрим некоторое локально компактное м,н,ожест,во M С X. Для того, чтобы существовало движение t ^ € M, порожденное дифференциальным урав-

нением с последействием X(t) = /(xt) м начальным условием, Жо = р € M достаточно, чтобы для всякой точки а € M выполнялось включение

F(a) € Т®М,

где F(а) определено равенством (0.8).

Доказана замкнутость оператора дифференцирования.

Лемма 0.4. Оператор дифференцирования

(F0a)(t) = á(t), t €[-r,0]

является замкнутым оператором, если его рассматривать как оператор, действующий из С([—г,0],Rn) в L([—r, 0],Rn) с областью определения D(Fq) = AC([—r, 0], Rn) •

Из этого утверждения следует, что в теореме 0.4 в качестве пространства X можно взять пространство С( [—г, 0], Мп). Множество М при этом по-прежнему будет задаваться в пространстве абсолютно непрерывных функций, но компактно оно должно быть в пространстве С( [—г, 0], Мп).

Обозначим

X = АС([-г,0], Мга), % = М[-г,0], Мга) х Мп.

Пусть множество М С X определено равенством М = (р € X: а(р) = 0}, где отображение а : X ^ М имеет вид

в : Rn ^ R и а : R х Rn ^ R— непрерывные функции.

В пятом параграфе найдены достаточные условия выживаемости для системы с последействием и множеством M, заданным одним уравнением.

Теорема 0.5. Пусть

где отображение а : X ^ М определено равенством (0.9) с функциями в '■ Мп ^ М и а : М х Мп ^ М непрерывно дифференцируемыми по х. Пусть далее, для множества М выполнены следующие условия

1) во всех точках р € М выполнено неравенство

(0.9)

M = (р Є X : а(р) = 0}

і Ґ і і

в(x U=Ф) К / К'(U=^з)1

—

2) во всех точках р Є M выполнено равенство

(в(X|x=^(о) >/(р)И / («Лs,X|x=^(s) >P(S))ds = 0

J —r

Тогда для всех точек р € М, с существенно ограниченной производной существуют $ > 0 и отображение £ ^ ж(£) € Мп, £ € [—г, $ являющееся решением, задачи (0.5), (0.6) т,акие, что для всех £ € [0, $ выполнено включение ж* € М.

В шестом параграфе найдены достаточные условия выживаеМ,

конечным числом уравнений.

Теорема 0.6. Пусть

М = {р € X : а(р) = 0,... ат(р) = 0}, где отображение а : X ^ М, г = 1,... , т есть

Мр)=вг(рЩ+( аД5,р(з))^,

7 —г

с функциями в% '• Мп ^ М м а^ : М х Мп ^ М непрерывно диф-

ж. р € М

вы,полнены, следующие условия:

1) для всех г = 1,... , т выполнены неравенства

1^1 I

в/(ж)|л=^(0) ^ ^(8, Ж|х=^) 1 ^т^О;

</—Г

2) функционалы а/(р)[•] € X*, г = 1,... ,т линейно независимы, где

[О

а/(р)М = <в/(ж)и=^)^(ож / (а/Х(«,ж)^(в)

о —Г

3) для всех г = 1,... , т имеют место равенства

[О

<в/(ж)и=^), Лр)И / <а/Х(«,ж)и=^),р(«)^ = 0.

—Г

Тогда для всех точек р € М, с существенно ограниченной производной существуют $ > 0 и отображение £ ^ ж(£) € Мп, £ € [—г, 0] являющееся решением, задачи (0.5), (0.6) такие, что для всех £ € [0, $ выполнено включение ж* € М.

В седьмом параграфе рассмотрены смешанные системы уравнений:

x(i) = /(х*>У(*))

y(t) = <7(xt ,y(t)), lU-iUj

{ J0 * (o.ii)

l у(0) = Уо,

где x Є Rn, y,y0 Є Rm, * Є C([-r,0], Rn), f : C([-r,0], Rn) x Rm ^ Rn, g : C([—r, 0], Rn) x Rm ^ Rm. В таком виде можно записать, например, задачу Коши для неавтономной системы уравнений с последействием

x(i) = f(t,x*),

x(t0) = *•

Определение 0.5. Решением смешанной системы (0.10), (0.11) называются непрерывные функции

t ^ x(t) Є Rn, t є[-г,$), t ^ y(t) Є Rm, t Є [0,#)

$ > 0, такие, что

1) x(s) = *(s), s Є [—r, 0]; yy

3) x(t) и y(t) абсолютно непрерывны на [0, $) и обращают систему (0.10) в тождество.

Для смешанных систем найдены условия выживания в множестве M, заданном в пространстве C( [—r, 0], Rn) x Rm одним уравнением.

Теорема 0.7. Пусть

M = {(*, у) Є C[-r^], Rn) x Rm : a*, y) = 0},

где отображение а : С([—г, 0], М”) х Мт ^ М определено равенством

а(р,у) =3(р(0),у) + / а(в,р(в))^в,

7—г

с функциями Д : Мга+т ^ М, а : М х Мп ^ М непрерывно дифференцируемыми по х. Пусть далее, для множества М выполнены следующие условия

1) во всех точках (р, у) € М выполнено неравенство

I 11 1^1 I

|3х (х,у)и=^(о) К |3У(р(°),У) К / К'(«,х) 1®=^) 1 ¿«^0;

</—г

2) во всеж точках (р, у) € М выполнено равенство

<Д/(х,у)и=^(о),/(р)И <3У(р(0),у),5(у))+

[0

+ <ал' (в,х) 1*=^) ,р(в))^ = 0.

7—г

Тогда для всех точек (р, уо) € М таких, что

уга1зир|р^| < + то

«€[—г,0]

существуют $ > 0 и отображения

£ ^ х(£) € Мп, £ € [—г, $], £ ^ у(£) € Мт, £ € [0, $],

. , .

£ € [0, $ выполнено включение (х^,у(£)) € М.

В восьмом параграфе исследованы условия, при которых для заданных непустого множества М банахова пространства X и многозначной функции х ^ ^(х) € сотр^, х € М порождающей задачу

¿х4 € ^(х4), хо = р € М, (0.12)

найдутся а > 0 и решение £ ^ х* задачи (0.12) удовлетворяющее при всех £ € [0, а] включению х* € М.

Введем следующие обозначения. Напомним, что функция г(£) и последовательность {^} в определении касательного напра-

х€М

Н € тХрМ. Эту зависимость будем записывать г(£,х,Н) и Ых,Н).

т

Пусть Н € ТзГ М, обозначим

с(ж, h = SUP

r(ti(x,h),x,h)

tj( ж, h)

Если задано многозначное отображение ж ^ F(x) € compY, ж € M и для всех ж € M выполнено включение F(x) С T^M, то обозначим

с(ж) = sup с(ж, h)-

h€F(æ )

Теорема 0.8. Пусть X и Y — банаховы пространства, X С Y м заданы локально компактное множество M в X и полунепрерывное сверху многозначное отображение

F : X ^ comр Y -

Пусть далее:

1) для каждого ж € M имеет место включение

F^) С TYM;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех ж € M выполнено неравенство с(ж) < с.

Тогда для всякого р € M существуют число а > 0 и непрерывное отображение

t ^ ж* € M, t € [0, а] т,акие, что ж$ = р и ¿ж* € F^) для почти всех t € [0, а).

Теорема 0.9. Пусть X и ф — банаховы пространства, X С ф и задано замкнутое многозначное отображение

^ : X ^ сотр ф

с областью определения В(^). Пусть далее, задано локально компактное м,ножест,во М в 0{¥) и выполнены условия:

1) для всех х € М отображение х ^ Н(х) € сотрф, х €

М

является полунепрерывным сверху ;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех х € М выполнено неравенство с(х) < с, где

Тогда для всякого р € М существуют число а > 0 и непрерывное отображение

£ ^ х* € М, £ € [0, а]

такое, что х$ = р и ¿х* € ^(х*) для почти всех £ € [0, а.

Доказано, что в теоремах 0.8, 0.9 условие полунепрерывности сверху многозначного отображения ^ можно заменить на более слабое: достаточно замкнутости многозначного отображения ^ в смысле замкнутости графика Г(^) в X х ф.

В девятом параграфе доказано взаимно однозначное соответствие между задачей Коши для включения

Я(х) = ^(х) П ТжтМ

с(х) = эир {яир Н + йея(ж) *

х(£) € /(х*),

(0.13)

х р,

(0.14)

где f : AC([—r,0],Rn) pRn, p € AC([—r, 0],Rn) и задачей

Коши для включения

¿xt € F(xt), (0.15)

xo = P, (0.16)

где F : AC([—r, 0],Rn) ^ L([—r, 0],Rn) x compR” действует no правилу

FH = (^ Л^))-

Лемма 0.5. Пусть функция

t ^ x(t) € Rn, t € [—r, a, a > 0,

. , . .

t ^ xt € X, t € [0, a)

построенное по правилу

xt(s)=x(t + s), t € [0, a), s € [—r, 0],

имеет для почти всех t € [0, a) вариацию ¿xt u является pe-

. , . .

Лемма 0.6. Пусть отображение

t ^ yt, t € [0, a, a > 0

. , . .

t ^ x(t) € Rn, t € [-r, a)

где x(s) = p(s), s € [—r, 0], x(t) = yt(0), t € [0, a) является

. , . .

Таким образом имеет место теорема.

Теорема 0.10. Рассмотрим некоторое локально компактное множество М С АС( [—г, 0], Мга). Для того, чтобы существовало движение £ ^ х* € М, порожденное дифференциальным включением с запаздыванием х(£) € /(х*) и начальным условием щ = р € М, достаточно, чтобы для всякой точки а € М выполнялось включение К(а) С Т^М, где К(а) = (а(«),/(а)), ф = Ы[-г,0],Мп) х сотрМга.

Доказана замкнутость отображения К, действующего из пространства С[—г, 0], Мга) в пространство [—г, 0], Мга) хсотрМ”-по правилу К(а) = (а(з),/(а)), где Щ(К) = АС[—г,0],Мга) — область определения К Таким образом, в теореме 0.10 пространство абсолютно непрерывных функций АС [—г, 0], М”) можно заменить на пространство непрерывных функций С [—г, 0], М”). М

странстве абсолютно непрерывных функций, а условие локаль-

М

странстве С [—г, 0], М”).

1. Определение и основные свойства касательного конуса

Из теории функций действительного переменного известно [19], что всякая абсолютно непрерывная функция / : [а, 5] ^ Мп дифференцируема почти всюду па отрезке [а, 5]. Однако, для функций со значениями в некотором банаховом пространстве это свойство не имеет места.

В качестве примера рассмотрим отображение £ ^ х*, дей, С- ,

/ \ . / 0, -1 ^ 8 < -£, , .

х'< 8) = Ь + (, - < > < о. (1Л)

Л

Если определить правую производную € С[—1,0] отобра-

С- ,

Нт

£^0+

х*

,

С [-1,01

то наше отображение не имеет производной ни в одной точке ,.

мируемых функций, то в каждой точке £ € [0,1) он существует

Нт

£^0+

е

= р(в) € [-1 ^ р(в) = |

0, —1 ^ в < -£, 1, — < в О.

Поэтому, для движений в банаховом пространстве X, в качестве аналога производной введем понятие вариации, являющейся элементом более широкого пространства. В дальнейшем предполагается, что банаховы пространства (X, || ■ Их) и (ф, || ■ Уф) УД0" влетворяют следующему условию.

Условие А. Будем говорить, что банаховы пространства (X, ||-Их) и (ф, ||■ ||ф) удовлетворяют условию А, если X — всюду плотное подмножество пространства ф и найдется такое число к, что доя всякого х € X выполнено неравенство ||х||ф ^ к||х||х.

Определение 1.1. Пусть X и ф удовлетворяют условию А. Будем говорить, что отображение £ ^ х* € X, где £ € [0, а], а > 0, имеет в точке £ € [0, а) вариацию ¿х* € ф, если существует отображение е ^ г(е) € ф, удовлетворяющее следующим условиям:

Нт

£^•0 +

х*-[-£ х*

Ке) Ь

е£х*

,

Бир

£>0

¿х*

г(е),

г(е)

< + то.

Пример 1.1. Докажем, что примере, в рассмотренном выше, вариация отображения £ ^ х* € С[—1 , 0], £ €[0,1] существует в каждой точке £ полуинтервала [ОД), если в качестве пространства ф взять пространство суммируемых функций

и [-1,0].

Действительно, для всех £ € [0, 1) начиная с некоторого е > О имеет место равенство

где

х*+£ = х* + е£х* + г(е), О, -1 ^ в < -£,

¿х* =

О, -1 ^ в < -£ - е,

г(е) = ^ в + £ + е, -£ - е ^ в< -£,

О, - < в О.

При этом выполнены равенства

/ —* —£ р — * /*1

о^в + у (в + £ + е;мв + у

е

Ойв =

—*

ге Ьхъ + = Бир 6xt(s) + ^ = 1

е С[—1 ,0] «€[—1,0] е

Откуда получаем

Шп ||г(£)||^-1.0] = Цт £ = 0_

£——о^ е £—*04“ 2

Бир

£>

¿х*

г(е)

= 1 < + ТО.

С—1,01

Этот пример можно обобщить.

Пример 1.2. Пусть на отрезке [-г, $], г > 0, $ > 0 задана абсолютно непрерывная функция х € АС [-г, $] с существенно ограниченной производной

уга1зир|х(в)| = с < + то.

«€[—г,#]

Тогда отображение £ ^ х* € С [-г, 0], порожденное по правилу х*(в)=х(£ + в), £ € [0, $], в € [-г, 0]

имеет вариацию ¿ж* € Ь\ [—г, 0] в каждой точке £ € [0,1) и

¿ж4(з) = ж^з).

Докажем это утверждение Определим ¿ж* € ^ [—г, 0] и отображение е ^ г(е) € ^ [—г, 0], е > 0 следующим образом

¿ж*( з) = ж*( з), г(е) = ж*+£ — ж* — е£ж*.

Докажем, что условия

Шп ||г(£)||^[-.0] = 0

£—0+ е

Бир

£>0

¿ж*

г(е)

< + то

С-г, 01

из определения вариации выполнены.

Нт

£—0+

г(е)

= Нт

¿1 [-г, о]

+0+ /—г

ж4+£( з) — ж4( 8)

— ж4( з)

= Нт /

£—о+ 7-г

ж(£ + з + е) — ж(£ + 8)

— ж(£ + 8)

^з.

ж(£ Ч" з Ч" е) — ж(£ ~Ь з)

В силу того, что функция —-------------^----------- почти всюду на

отрезке £ € [0,$), з € [—г, 0] сходится к функции ж(£ + з) при

е ^ 0+ и разность

ж(£ + з + е) — ж(£ + з)

— ж(£ + з)

ограничена константой 2с, под знаком интеграла можно перейти к пределу

Нт

£——0Ч~

ж(£ + з + е) — ж(£ + з)

— ж(£ + з)

^з = 0.

е

е

-г

Первое из условий доказано. Докажем второе.

с г(£) ¿ж^ + ж/;+£ Х%

£ С[—г,0] £

= Бир СГ-г-,01 «€[—г,0]

|ж4+£(в) - х4(в) |

Из неравенства уга1зир|Х^ I = с < + то получаем «€[—г,Щ

1^,(8)-1,(8)! = 1 + 8 + _ + =

£ £

| [■ *+«+£ |

= -^(¿ + 5)+ ж(£ + в + т)с1т — ж(£ + «)| ^ -С£ = С

£ Л+8 £

для всех £ € [0, $), з € [—г, 0], следовательно,

хЬ^~£ хЬ

С [—г,0] «€[—г,0] £

для всех £ > 0 таких, ЧТО £ + £ ^ $, поэтому

г(£)

Бир

£>0

5х+

С —г,О

□

В силу определения 1.1 вариация функции со значениями в пространстве X является элементом более широкого пространства ф. Введем определение касательного направления, также являющееся элементом более широкого пространства.

Определение 1.2. Пусть X и ф удовлетворяют условию А (см. с. 21), М— непустое, подмножество пространства X и х € М. Элемент Н € ф называется касательным М х,

£ ^ г(£) € ф и последовательность {¿г}°^1 С М+ удовлетворяющие следующим условиям:

Нт и = 0, х + ¿Н + г(£) € М,

£

И^)Ь_П h , Ht

lim ----------------- = 0, sup

< + to.

X

Y

Обозначим Tx M— множество касательных направлений к M в точке x.

Y

Пример 1.3. Построим Tx M к множеству M, в случае, когда M есть все пространство X. Оказывается, что для всех x € X кону с тХРх состоит только из тех эл ементов h € Y, для которых существует последовательность {hi} С X, ограниченная в X (su р У hi Ух < + го) и сходящаяс я к h в Y По дру-i

гому это можно записать так:

TYx= (JdY b*[o ,с]. (1.2)

c>0

Докажем равенство (1.2).

Пусть h € T^X. Возьмем r(t) и {ti} из определения 1.2 и

обозначим hi = h Н—. Тогда

Wti)

sup 11 /г-i 11X = sup ЦЛ, + ——||x = С < +TO,

Wh-hiWy = Ц-j^-ll?) ->0, г —>■ то.

H

Поэтому h € с 1Y Вх[0, c] и, следовательно, tYx С |Jc 1Y B*[0,c.

c>0

Пусть теперь, для элемента h € Y найдется последовательность |hi} С X такая, что sup||hjУх < + то, ||h — h^l^ ^ 0-

i

Определим ti = 1/i, г(^) = tДhi — h- На отрезках [t^i ,ii] определим

r(i) = t% J ti+ihi+i + j—t^-tihi - th.

H 4+1 4 4+1

Нетрудно проверить, что (ij} и r(t) удовлетворяют определению 1.2, следовательно, для всех с > 0 имеет место включение

clY Bx[0 ,с] € TYX, откуда следует включение

U С1Y Б*[0,с € TYX.

c>0

Таким образом, равенство (1.2) имеет место. □

Следующие утверждения дают описание структуры множества TpM.

Лемма 1.1. Пусть M — непустое связное подмножество пространства Xu x € M. Элемент h € Y принадлежит tYm, еслм и только если существует такая положительная константа с > 0, что

Um + = о. (1.3)

s—>0+, BX[0 ,c] Эд—h £

Доказательство. Необходимость. Для доказательства равенства (1.3) достаточно построить последовательность ^ök, hfc)}, где ök € М+, hk € X, удовлетворяющую следующим условиям:

ök ^0, ||hfc - h^Y ^0, sup||hfcУх < + то и

k

lim + = о. (1,4)

k—ök

Рассмотрим элемент h € T;Ym. Из определения 1.2 следует, что существуют отображение t ^ Kt), удовлетворяющее включению x + th + r(t) € M, и последовательность (t^}, удовлетворяющая следующему неравенству

r(tj

sup

i—

h

ti

< +то. (1.5)

X

Рассмотрим последовательность {(¿к, Н&) }, где

х ^ + ь , г(**)

и к — ^/е? “'/е — и* + •

¿к

Из включения х + Н + г(£к) € М следует, что х + ¿кНк € М. Поэтому рХ^ + Нк, М) = 0 и равенство (1.4) выполнено. Ограниченность последовательности Нк следует из неравенства (1.5).

Достаточность. Пусть выполнено условие (1.3). Тогда найдутся элемент Н € сходящаяся к нулю последовательность {¿к} С М+ и ограниченная в X последовательность {Нк} С X, сходящаяся к Н по норме в ф (то ест ь ||Н& — Н|| ш ^0), удовлетворяющие равенству (1.4).

Построим отображение £ ^ г(£). Предварительно отметим, что для произвольных ¿к и ^существует элемент ук множе-М,

||х + ¿кНк — Ук||х ^2рХх + ¿кНк, М). (!-6)

Обозначим теперь = ¿к и определим г(£к) = ук — х — Н. Из связности М имеем, что для произвольных ук и ук+! существует непрерывное отображение £ ^ 2*(¿) € М, £ € [¿к ,£&+1 ], соединяющее ук и ук+1. Определим г(£) та отрезке [¿к,£к+г] следующим образом: г(£) = гк(¿) — х — ¿Н. Тогда х + £Н + г(£) € М для всех ¿.

Покажем, что для построенного таким образом отображения выполнены все свойства определения 1.2. Оценим норму г(£&). Для произвольного ¿к имеем

1К4)||ф = Ну& — х — 4Н||Ш ^ Уук — х — ^Нк||^ + ¿к|Н — Нкуш.

(1.7)

Далее, из условия А (см. с. 21) следует оценка

||х + ¿кНк — ук||ф ^ к||х + ¿¿Н — ук||х.

Подставив это неравенство в неравенство (1.7), получаем 1И^)1Ь ^ к|ук — х — ¿кНк||х + ¿к||Н — Нк||ф.

Из этого неравенства и неравенства (1.6) следует, что

Ik(tfc)Уф kpXж + 4hfc,M) +tk||h - hfcУф,

откуда, в силу свойств последовательности {(¿k, hk)} (1-4) и равенства lim ||h — hj|m = 0 имеем,

i—=+го

lim lim Upx{x + tkhk,M) + Um , 0

k—+<^ tk k—+<^ tk k—+<^

Из выбора yk следует оценка

h

r(tk) _ llyfc - x||*

tk

<

- x - tkhk||x

X tk tk

Px(x + tk hk ,M)

<

tk

|hk ||

X-

hk

V

tk

7

h

получим неравенство sup

k

Таким образом, h Є T^M.

tk

k

< + TO.

□

Следствие 1.1. Множество Т^М является конусом,.

Доказательство. Пусть Н € ТрМ. Докажем, что АН € Т^М для всех Л > 0. По лемме 1.1 найдется константа с > 0 такая, что

lim

£—>0+, Bx[0,c] Эд—h

то есть найдутся {е, g } такие, что IlgiHx < c, ||gi — h|Y ^0, е ^о-

Рх(x + M)

,

Рх( x + ei£i,M) 1

и ------------------ < -.

Возьмем ¿г = вг/А, Лг = А$г. Получаем, ЧТО ||Лг — АЛЦф ^ О,

НМ* ^ АС И

Рх(х + 6^,М) _ рх(х + £г91,М) А

§1 (¿Гг/А) г'

Следовательно,

и + ед, М) < рх(х + 5^,М) =

£^0+ ,В^Тл с Эй^ЛЬ. в ¿г

По лемме (1.1) имеем, что АЛ, € Т^М. □

Практически повторив доказательство леммы 1.1 получим теорему, которая дает эквивалентное определение касательного конуса.

Теорема 1.1. Элемент Л € ф принадлежит множеству Т^М тогда и только тогда, когда существует последовательность {(¿г, Лг)}, где ¿г € М+, Лг € X, удовлетворяющая следующим, условиям:

£ + ¿1^ € М, ¿г ^0, ||Л — ЛгУф , вирУЛг ||х < + ТО.

г

Напомним определение конуса Булигана.

М

пустое подмножество пространства X и х € М. Элемент Л € X называется касательным направлением к М в точке х, если имеет место равенство

Ит РФ + м) = 0_

£^0+ в

Т М М х

зывается конусом Булигана.

Пусть X и ф удовлетворяют условию А (см. с. 21) и М — непустое подмножество X. Отметим теперь, что конус Булигана к

множеству M в точке x € M можно строить как в пространстве X, так и в пространстве Y (поскольку X С Y ) ■ Эти два конуса могут не совпадать поэтому, при необходимости, конус Булигана в точке x к множеству M в пространстве X будем обозначать (TxM)X (следовательно, (TxM)X = TxM), а в пространстве Y, соответственно, (TxM)Y.

Теорема 1.2 (см. [36, с. 8]). Рассмотрим M — непустое подмножество пространства X. Элемент h € X принадлежит конусу Булигана TxM тогда и только тогда, когда существует последовательность {(á¿,h¿)} такая, что

x + á¿h¿ € ¿i ^ 0+, ||h — hi||x ^ 0.

XY

ряют условию А (см. с. 21), M— подмножесmeo X, x € M. Тогда для конуса TYM ( см. определение 1.2 ) имеют место включения

(TxM)X с t®m с (txm)Y.

Доказательство. Пусть h € (TxM)X По теореме 1.2 существует последовательность {(¿i, hi) } такая, что

¿i ^ 0+, ||h — hi|x ^0 и x + ¿ihi € M.

XY

тельность будет удовлетворять условияю || h—hi | y ^0, ав силу сходимости ||h — hi|x ^ 0 имеем, что {hi} ограничен а в X. Таким образом, последовательность {(¿i,h^}, удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1 и, следовательно, h € TYM.

Если h € TpM, то по теореме 1.1 существует последовательность {(¿i, hi) } такая, что

¿i ^0+, ||h — hi|y , x + ¿ihi € M, sup||hi||x < + то.

i

В силу теоремы 1.2, первых трех условий достаточно для того, чтобы h € (TxM)Y. □

X Y,

(TM) X = tYm = (TxM Y,

то есть при X = Y конус TXM есть конус Булигана (TxM)X.

Следующие утверждения позволяют указать связь между касательными направлениями из конуса Булигана и направлениями из определения 1.2.

XY

, M X.

x € M

U clY((TxMX n Bx[0, r) С tYm.

r>0

Доказательство. Пусть выполнено включение h € U clY((TxM)X П Bx[0, r]). Тогда найдется r > 0, что

r>0

h €c 1Y((TxM)X n BX[0, r,

{hi} С (TxM)X, ограниченая по норме в X (sup|hi|x ^ r), и

i

сходящаяся к h в Y ( ||h — hi|^ ^ 0). Для всякoro hi имеем равенство

lim ^ +

£^0+ £

откуда получаем, что для любого числа l/i и hi найдется ¿i >0 такое, что

Рх(х + Sihi,M) ^ 1

Si V

причем ¿i можно выбрать та к, что ¿i+i < ¿i и ¿i ^ 0. Таким

{ ¿i, hi }

¿i € R+, hi € X,

X П II г, г, и n ,,, II ^ Px( x + ¿ihi, M) 1

¿i —> 0, ||/г/г — /г||ф —> 0, ЦЛ-гЦх < гч -7------- < “*

¿i ^

Следовательно,

lim Р^ + ед,М) = о.

е^0+, Вх[0,r] 3g^h £

Y

По лемме 1.1 получаем, что h € Tx M. □

XY

, M X.

x € M

TYM С (TxM)YQ U clY(B*[0,r])

11

\г>0 /

Доказательство. Пусть Н € ТрМ. Тогда по лемме 1.2 имеет место включение Н € (ТЖМ) ф. По теореме 1.1 найдется последовательность {Н^}, удовлетворяющая следующим условиям: ||Н — Н^Цф ^ 0, эирЦН^х = с < + то. Поэтому

Н €с 1ф В*[0 ,С].

Получили следующее включение

Н € (ТЛМ)ф р|(с 1ф Вф,с]),

доказывающее лемму. □

2. Постановка задачи выживания

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

ж = /(ж), х € Мга (2.1)

и некоторое непустое подмножество М С Мга. Напомним определение выживаемости.

Определение 2.1 (см. [36, с. 9]). Пусть хо € М. Будем говорить, что решение х(£, жо) системы (2.1) с начальным условием х(0) = хо выживает, в множестве М, если существует а > 0 такое, что х(£) € М для всех £ € [0, а].

Определение 2.2 (см. [36, с. 9]). Пусть М С Мга.

М

ваемости для системы (2.1), если для всякого хо € М найдется решение х(£, хо) системы (2.1), выживающее в М.

Следующее утверждение известно как теорема Нагумо.

Теорема 2.1 (см. [36, с. 11]). Замкнутое множество М С Мга обладает свойством выживаемости для системы (2.1) тогда и только тогда, когда для всех х € дМ выполнено включение

/(х) € ТЖМ

где ТЖМ — конус Булигана к множеству М в точке х.

В теории дифференциальных включений х € ^(х) с фазовыми ограничениями известна теорема (см. [40]), дающая необходимое и достаточное условие существования выживающего реше-

М.

ется, это условие похоже на условие в теореме Нагумо, а именно: дифференциальное включение имеет выживающее решение в множестве М если и только если во всех х € дМ имеет место неравенство

^(х) п ТМ ф 0,

Т М

Обратимся теперь к автономной системе дифференциальных уравнений с последействием х(£) = /(х4). В соответствии с трактовкой Н.Н. Красовского [20], предложившего рассматривать в качестве естественного фазового пространства систем с последействием пространство непрерывных функций, задачу выживания для систем с последействием мы будем формулировать как

задачу выживания в заданном подмножестве пространства непрерывных функций.

Введем следующие обозначения. Для произвольной непрерывной функции £ ^ х(£) € Мп, £ € [—г, а], где г > 0, а > О, обозначим х*— отображение отрезка [0, а] в пространство непрерывных функций С( [—0], М”), действующее по правилу

х4(8) = х(£ + з), £ € [0, а], 8 € [—г, 0]. (2.2)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с последействием

х = /(х4). (2.3)

Напомним определение решения системы (2.3) с начальным условием

х0 = р, (2.4)

где р € С( [—г,0], Мга).

Определение 2.3 (см. [35, с. 9]). Решением задачи Коши (2.3), (2.4) называется непрерывная функция £ ^ х(£), где £ € [—г, а, а > 0, такая, что для всех £ € [—г, 0] выполнено равенство х(£) = р(£) и для почти всех £ € [0, а] выполнено х(*) = /(х*).

Вместе с системой (2.3) будем рассматривать некоторое непустое подмножество М С АС [—г, 0], Мга).

Определение 2.4. Пусть р € М. Будем говорить, что решение х(£, Р) задачи Коши (2.3), (2.4) выживает, М, а >

£ € [0, а выполнено включение х* € М, где х* — движение в пространстве АС[—г, 0], Мга) определеное равенством (2.2).

Определение 2.5. Будем говорить, что множе-М

если для всякого р € М найдется решение х(£, р) задачи Коши

М.

В данной работе существенное внимание уделено исследованию необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять автономная система (2.3) и множество M, чтобы множество M было множеством выживаемости для (2.3). Аналогичный вопрос изучается для неавтономной системы уравнений с последействием i(t) = /(t, ж*). Кроме того, в работе изучаются задачи выживания для дифференциальных включений с последействием (что позволит в будущем рассматривать задачи выживания для управляемых систем с последействием). Важное внимание уделено также рассмотрению примера с множеством M, имеющим конкретное экономическое содержание.

Следует отметить, что задача выживания имеет многочисленные приложения. В частности, в математической экономике представляет интерес исследование условий, при которых конкретная экономическая система функционирует в заранее заданных ограничениях. Эти ограничения определяются плановым заданием и возможностями самой экономики. Математическое описание экономических моделей чаще всего приводит к соответствующим системам дифференциальных уравнений. Существенно при этом, что при внимательном моделировании экономических моделей мы вынуждены учитывать всегда присутствующий в экономике эффект запаздывания (инвестиции, вложенные в экономику, приносят доход не сразу, а через некоторый промежуток времени). Таким образом, мы вынуждены моделировать экономические процессы с помощью уравнений с последействием. На важность этого обстоятельства и актуальность задачи выживания движения ж*, порожденного решением дифференциального уравнения с последействием обратили внимание участников городского семинара по дифференциальным уравнениям и теории управления пермские математики В. П. Максимов [1, с. 263] и Д. JI. Андрианов [2], [3]. Первые из известных нам работ по теории выживания для дифференциальных систем с последействием принадлежат J.-P. Aubin [36, глава 6] и Е. JI. Тонкову [29].

Близкими к задачам выживания являются задачи о построе-

нии стабильных мостов в дифференциальных играх сближения-уклонения. Оказывается, что стабильные мосты можно строить в терминах конуса Булигана (см. работу В. Н. Ушакова [30]). В связи с задачами описания стабильных мостов в Екатеринбурге (в ИММ УрО РАН) под руководством А. Б. Куржапского, Т. Ф. Филипповой и В. Н. Ушакова активно развивается теория выживания для дифференциальных включений [14], [15], [16], [24], [25], [34]. Важное внимание в этих работах уделяется построению ядра выживания и разработке численных алгоритмов, позволяющих строить ядро выживания для конкретных математических объектов.

3. Основная теорема

В этом разделе найдены условия (теорема 3.2), при которых для заданных непустого множества М С X и функции ^ : X ^ ф, порождающей уравнение

¿х4 = ^(х*), (3.1)

найдутся а > 0 и решение £ ^ х* уравнения (3.1) удовлетворя-

ющее при всех £ € [0, а] включению х* € М.

Следующая теорема дает нам необходимые условия выживания.

Теорема 3.1. Пусть X и ф удовлетворяют условию А (см. с. 21), и заданы множество М в X и непрерывное отображение ^ : X ^ ф. Пусть далее, для всех точек р € М существуют число а > 0 и непрерывное отображение £ ^ х* € М, £ € [0, а] такое, что хо = р и ¿х* = ^(х*) для

почти всех £ € [0, а), то есть существует выживающее в М

. х р.

р€М

^(х) € Т®М.

Доказательство. Возьмем произвольную точку р € М. По условию теоремы существуют число а > 0 и непрерывное отображение £ ^ х* € М, £ € [0, а] такое, что хо = р и ¿х* = ^(х*) для почти всех £ € [0, а, в частности

¿х0 = ^(р).

По определению 1.1 вариации ¿х* это означает, что отображение х* представимо в виде

х£ = хо + ^¿^^ + г(е),

или

х£ = р + £^(р) + г(е),

ДЛЯ £ € [0, $], $ € (0, а], и выполнены условия

г(е)

Шп ИгШзг = о,

£^0+ £

Бир

£>0

¿х

< + то.

(3.2)

Это означает, что для точки р € М и элемента ^(р) € ф на_ шлось отображение £ ^ г(е) € ф такое, что

р + £^(р) + г(е) € М,

и имеют место свойства (3.2). По определению 1.2 получаем, что ^(р) является касательным направлением к множеству М в х.

^(р) € Т®М

для всех р € М. □

Напомним, что множество М С X называется локально компактным, если для всякой точки х € М найдется число г > 0 такое, что множество Дх[х, г] П М— компактно.

Отметим теперь, что функция г(£) и последовательность {¿¿} в определении 1.2 зависят от точки х и элемента Л. Поэтому,

при необходимости, мы будем пользоваться записью г(£, х,Н) и х, Л). Если Н = ^(х), то для краткости записи будем писать

г(£, X = ж, ^(х)),

¿г( X = Ж,^(х)).

Теорема вмад А ( сж. с. 21),

3.2. Пусть X и ф удовлетворяют усло-и заданы локально компактное м,ножест,во М в X и непрерывное отображение ^ : X ^ ф. Пусть далее:

1) для каждого х € М имеет место включение ^(х) € 1#М;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех х € М выполнено неравенство

sup

І

F(x)

r(ii( x),x)

ii( x)

X

< c.

Тогда для всякого p € M существуют число a > 0 и непрерывное отображение t ^ xt € M, t € [0, ^ такое, что xo = p м ¿xt = F(xt) для почти всех t € [0, a).

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма 3.1. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда, для любой точки x € M н всякого целого m существуют число e(x,m) € (0,1/m) м элемент u(x,m) € X т,акие, что имеют место свойства:

1) x + e(x,m)-u(x,m) € M;

2) u(x,m) € By F^B^x, l/m]),l/m ;

3) при каждом натуральном m функция x ^ e(x,m) ограничена снизу некоторым числом, то есть inf e(x, m) = > 0;

ж€М

4) sup ||u(x,m) Ух < + то.

meN, ж€М

Доказательство. Пусть т € N и у € М. Тогда из условия ^(у) € Т^М и теоремы 1.1 следует, что существуют число € (0,1/т) и элемент € X, удовлетворяющие следующим условиям:

у + ¿уЛу € М, (3.3)

11^-Яу)1Ь<^, (3-4)

ЦЛуУх <с. (3.5)

Рассмотрим Вх(у,ПУ), гДе У € М, определено равенством

_ $у ^у 2(к + 1)т’

В силу условия теоремы о локальной компактности простран-М,

М

М

вательно, найдется конечное покрытие {Вх(у?, Пу,)} множества М. Далее, для каждого х € М найдется что х € Вх(у?, Пэд). Обозначим

^ \ . ^ / ч . , у? - х

е{х,т) = ду., и(х, т) = Яу. + —-.

¿у,

Докажем, что пара е(х,т) и и(х,т)— искомая для х и т. Действительно, из определения их, т) получаем

х + е(х, т)и(х, т) = х + ^ {НУ5 + ^ Ж) = у,- + 5У^УГ

¿у,

Из включения (3.3) следует, что

х+е(х, тих, т € м.

Первое утверждение леммы выполнено.

Далее, имеем оценку

|Кх,т) - Яу?) ||ш < 1Мх,т) - ||<0 + ||Лэд - ^(у?) ||<д.

Первое слагаемое в правой части оценим сверху, используя определения их, т) и :

Нж,т) - < Ilj/J <

5Vj 5Vj

<krjyL< к <

"" "" 2(& + 1 )т "" 2т’

Второе слагаемое из неравенства (3.4) ограничено

\\hV]-F(Vi)h <

Следовательно,

1

||и{х,т) - F{yj)\\y < —. Поэтому, из включения yj € BXж,Пу) имеем:

■u(x,m) € By F^B^X, l/m]J, 1/m

Второе утверждение леммы выполнено.

Пусть

0m = mi n^y..

j

Так как {BX yj, Пу) }— конечное покрытие множества M и каждое число ¿yi > 0, то > 0. Поэтому, в силу равенства

е(ж,т) = ¿yi имеем

inf е(ж, т) = > 0.

ж€М

Третье утверждение леммы выполнено.

Для любых х и т имеет место оценка

"У - х11*

||«(х,т)"х < "Лу "х

из неравенства (3.5) следует, что \\и(х,т)\\х ^ с

2т(к + 1) ’

откуда получаем неравенство Бир ||-и(х,т) "х < + го. Таким

теН, жеМ

образом, четвертое утверждение леммы тоже выполнено. □

Перейдем, теперь, к доказательству теоремы 3.2. Доказательство. Возьмем произвольную точку

р пространства М. Обозначим а = г/с, где г = тах "х — тНх

жеМ

На основании леммы 3.1, для всякого т € N построим целое число конечный набор чисел .. . СТ € (0т, 1/т) и элементов хт ... хт € М, где

хт = т хт = хт 4- Рт-)/т х0 т, хг+1 хг ' сг ,

с € в.

^(Вх[хт,1/т]),1/т , г = 1...;,

(3.6)

^-1

причем индекс определяется из неравенства ^ ст ^ а.

г=0

Согласно лемме 3.1, для любых целых г и т имеет место неравенство "^т "х ^ с. Тогда для всякого г выполнено включение хт € ВХт, Г. Действительно,

ы « е «хт«

д=0

г—1 г-1

тт

IIх ^ ^ / у °г д=0 д=0

™тц _____ \ ' .м,„т|| ^ \ '

хд " х / у сг " " Ж ^ с / у

£т = Г.

Положим

тт Та — сп

т

с

На каждом из отрезков [т™ ,7"™]] построим линейную функцию

Далее, для всякого £ € [тгт,тгт1) справедливо равенство ¿хт = ит, поэтому па основании (3.6), (3.7) имеем, что для всякой точки £ € [0, а]

Докажем, что последовательность функций хт, т € N удовлетворяет условиям теоремы Арцела. Ясно, что для всякого целого т отображение £ ^ хт € сопуМ, £ € [0, а], где сопуМ — М,

Далее, из включения (3.8) следует равномерная ограниченность последовательности {хт}.

Докажем теперь, что последовательность равностепенно непрерывна. Рассмотрим произвольную функцию хт. Возьмем произвольное с > 0. Тогда для всяких ¿1, ¿2 € [0, а] таких, что |£х — ¿21 < с количество узлов тгт € не превосходит

т с.

По теореме Арцела существует движение t ^ € M, где t €

[0, а] такое, что ||xt — жЩх ^ 0 равномерно на [0, а]- Поэтому из неравенства (3.8) следует, что € M.

Далее, имеет место оценка

ж™ € BX(M, c/m)

(3.8)

¿жГ € F(BXxm,c/m)^/m -

(3.9)

c(m + 1)е

m

У«жГ — F(xt) IIY = — F(xt) ||Y <

< IK - F(xDb + |№П - F(zt)Уф.

Следовательно, из включения (3.6) получаем, что имеет место равенство lim ||«m — F(x™)||y = О, т0 есть первое слагаемое

стремится к 0 равномерно по t. Далее, из неравенства (3.7), непрерывности F(x) и оценки

Ух* - xm||x ^ IIж* - x

.mil

t IIX'

lxm _ xmll„ lxt хг IIX,

получаем, что второе слагаемое равномерно по £ стремится к 0.

Тем самым хт ^ х* и ¿хт ^ ^(х*) равномерно по £.

Докажем, что для всех £ € [0, а) имеет место равенство ¿х* = ^(х*) .Фиксируем £о € [0, а). Для выполнения равенства ¿х*0 = ^(х^^) достаточно доказать, что для любого с > 0 при достаточно малых д£ выполнены неравенства

_ F(xto)

Y

x*o+At xt0

At

< + ТО.

Так как ||хт — х*||х ^ 0 равномерно по £, для выполнения этого

т

имеют место неравенства

xt()+At

AÎ

_ F(xt0)

<

Y

m _ m Xi0+Ai io

AÎ

< + ТО.

Из непрерывности F(p) имеем, что ДЛЯ ВСЯКОГО £ > 0 найдется число п > 0 такое, что выполнено ||F(p) — F(xto) У y < £ для всех ||р — ж4оУх <(4с + 1)п.

Возьмем номер m достаточно большим, чтобы l/m < п и Уж™ — xt||x < 2сп для всех t G [0, а), и возьмем At < п.

Найдутся номера ii и ¿2 такие, что

Т™ < t0 < т™+1 < ■ ■ ■ < Т™- < Î0 + At < Т™.

Докажем, ЧТО ДЛЯ всех номеров ¿1 ^ s ^ ¿2 выполнено включение

Bx[xmД/m с £x[xio,4(с + 1)п].

(3.10)

Все тт, s = h,... , ¿2 отличаются от to менее, чем на 2п- Следовательно,

ЦжГ - xto Ух < ЦжГ - xmilx + IK - Ух < 2cn + 2cn = 4cn-

Таким образом, xm € Bx[xto , 4cn] и требуемое включение выполнено.

На каждом из отрезков [т^, t^i ], s = ii,... , ¿2 — 1, отображение жт линейно и имеет вид

хг = xm+(t - ts)«m, t € .

t , t t

xm - xm = (t - ««m, t € [t0>Tm+1 ],

™m ry>m _ (t __ Tm \«m t € ITm Tm 1

xt xii+l _ V6 Tii + 1 /«¿i+i, 1 € Lt^1,t^2J,

хт—хт_! = (£—г™-)ит-, £ € [г^,^д^.

По построению, для всех ит имеет место оценка

у«тух < с.

Следовательно, для всех £ € [тг,тг+1] выполнены неравенства Ухт — хтУх < Ф — т*), сложив которые, получим

ух™—хтух ^ ф—и).

Поделив обе части па £ — Ц и обозначив д£ = £ — £о, получаем неравенство

хт - хт

< с

t

X

для всех At < n. Перейдя к пределу m ^ +то, получим нера-

венство

xt0+Ai - xto

t

< c.

Таким образом, второе неравенство из определения ¿х* выполнено.

Докажем, что первое также имеет место. Для всех г\ ^ 8 ^ ¿2 — 1 то определению ит имеем

П BXx™ 1/m]) ,1/m

«Г € By

то есть найдется y € Bx[xm, 1/m] такое, что

y«m - пу) у® < i/m.

С другой стороны, из включения (3.10) имеем, что выполнено y € Bx[xto,4(c + l)n] и то построению n получаем

llF(y) - F(xt0)yY < е

Таким образом, для всех «m выполнено

y«m - F(x^)y® < y«m - Ну)yY + 1Иу) - F(xt0)yy < 1/m + е

Следовательно, все неравенства

yxm - xm - (t - Tsm) у® =

= (t - Tsm) y«m - F(x^) y® < (t - TsmK i/m + e)

m

t < n

yxm+At - xm - AtF(xt0)yY < + e).

m t,

требуемую оценку

t

< e.

Y

□

В формулировке теоремы 3.2 отображение К : X ^ % предполагается непрерывным на пространстве X. Интерес представляет случай, когда отображение К : X ^ % не является непрерывным. Оказывается, что для доказательства теоремы достаточно замкнутости отображения К. Напомним определение замкнутого отображения.

Определение 3.1 (см. [27, с. 276]). К : X ^ % называется замкнутым отображением, если график Г(К) является замкнутым множеством, где график Г(К) — множество пар вида

Г(К) = Xа,К(а)): а € ОД},

а Щ(К) С X— область определения отображения К

Другими словами, отображение К : X ^ % является замкнутым если и только если из условий

||аг — а|х , {аг} С Щ(К),

1Иаг) — /У® ^0, / € %

следует, что а € Щ(К) и имеет место равенство К(а) = /.

Теорема 3.3. Пусть X и % удовлетворяют условию А ( сж. с. 21), и задано замкнутое отображение К : X ^ % с областью определения Щ(К). Пусть далее, задано локально компактное м,ножест,во М в Щ(К) м выполнены условия:

1) <9ля каждого х € М имеет место включение К(х) € 1#М;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех х € М выполнено неравенство

Бир

І

Пх)-' Г^]'х)

и{ х)

< с.

X

Тогда для всякого р Є М существуют число а > 0 и непрерывное отображение і ^ х* Є М, і Є [0, а такое, что хо = р м ¿х* = ^(х^) для почти всех і Є [0, а).

Доказательство. В условиях теоремы утверждение леммы 3.1 остается верным и ее доказательство проводится практически без изменений. Поправки в доказательстве леммы происходят лишь в местах, где используется непрерывность отображения К, понимаемая в следующем смысле: для всяких х € Щ(К) и е > 0 найдется 5 > 0 такое, что из условий Ух — х||х <5 х € ЩК) следует, выполнение неравенства ||К(х) — К(х)У® < е.

Доказательство самой теоремы дословно повторяет доказательство теоремы 3.2. Это позволяет сделать локальная компакт-М,

ются. □

4. Задача выживания для уравнений с последействием

Для произвольной функции

т ^ х(т) Є Мга, т Є[-г,0], г>0, $>0

обозначим

х*(в) = х(і + в), в Є [—г, 0], і Є [0, $].

В дальнейшем будем считать, что

1М1х = |р(в)Ив

11(р,ь) 1Ь = тах{/ Ив)Ив|ь|}.

Напомним, что условие А означает включение X С Y и ВЬ1_ полнение неравенства sup < +оо. Для выполнения

^€£,^0 НРНж

этого условия будем рассматривать элемент р £ X, как пару

(р(0>р(0)) £ X>

где

X = {(р(•),Ь) £ AC([-r,0],Mn) х Rn : Ь = р(0)}

с нормой

||(р(о,ь)lli = mах{УрУж,|ь|}.

В дальнейшем будем отождествлять X и X. В этом случае пространство X является подмножеством пространства Y и требу-

11р|| Y

емое неравенство sup ^ < +оо выполнено.

^€£,^0 IMI*

Пусть имеется задача Коши для уравнения с последействием

X(t) = /(ж4), ж0 = р. (4.1)

Введем в рассмотрение отображение F : X ^ Y, определенное равенством

F(CT) = (ст( •) ,Дст)) и вместе с задачей (4.1) будем рассматривать задачу

¿ж4 = F(xt), ж0 = р. (4.2)

Определение 4.1. Решением задачи (4.2) называется отображение t ^ £ X, t £ [0,а, а > 0 такое, что

жо = р, отображение абсолютно непрерывно на любом отрезке [0, в, в < а и для почти всех t £ [0, а) выполнено равенство ¿ж4 = F(xt).

Формулируемые ниже две леммы устанавливают взаимно однозначное соответствие между решениями задач (4.2) и (4.1).

Лемма 4.1. Пусть функция

£ ^ ж(£) € Мга, £ € [—г, а, а > О

является решением задачи (4.1). Тогда отображение £ ^ ж* € X, £ € [О, а,

построенное по правилу

ж*(«)=ж(£ + «), £ € [О, а, 8 € [—г, О],

имеет для почти всех £ € [О, а) вариацию ¿ж* и является ре..

Доказательство. Пусть £ ^ ж* € X, £ € [0, а) — движение в пространстве X, порожденное ж(£). По определению, вариация ¿ж* отображения £ ^ ж*, это пара

¿ж* = (а, Ъ) € [—г, 0] х Мга

такая, что

,. II Ж*+е — Ж* г N А

І1Ш -------------— дхі т — и,

е^О11 £ 11V

где

N Ж^£ Ж*

I жн-£ - , ' _^|| |Ж*+£(0) - ж*(0)

е

Откуда получаем, что

Г II ^Ъ+е / \ / \ II І } 7 | "І

= шах! ||-----(О-^ОЦ^^щ.к»).!---------------ь\\-

/ч ,. Ж^Кв) - Жъ(в) <тЫ = пт ------------------

е^0+ £

ъ= Ит Х*+Ло) ~^(о)_

є^0+ Є

Для всех s < 0, начиная с некоторого е справедливо s + е < О, поэтому

, ч xt(s + е) - xt(s) .

cr(s) = lim --------------= xt(s).

£^0+ е

для почти всех s € [—r, 0].

Для b, по определению решения задачи (4.1) (см. [35, с. 51]), имеем

Г t-fe

, ч /л x(t) + / /(ж5) ds — x(t)

, .. ж t+е—ж t г л

b = lim —--------------— = lim ----—----------------= f(xt)

£^0+ е e^0+ е

при почти всех t € [0, а)-Таким образом,

&Ct = (Xt(s), /(Xt)) почти всюду на [0,а)- П

Лемма 4.2. Пусть отображение

t ^ yt, t € [0, а, а > 0 ..

t ^ x(t) € Rn, t € [—r,а,

где

x(s)=p(s), s €[—r,0], x(t) = yt(0), t € [0,а

..

Доказательство. Пусть почти всюду на интер-

,а

= F(yt) = (ш,/Ы) € Y-

По определению ¿у* получаем, что для почти всех £ £ [0, а) из свойств пространств X и ф имеет место равенство

Нт

(ш+Л0>у*+Ло)) - Ы•)>у*(о))

(ш( 0 >Ду*)) = о-

£—— 0Ч~

е

Откуда следует выполнение равенств

у4(в) ^в = О

(4.3)

И

(4.4)

для почти £ £ [0, а).

Рассмотрим отображение £ ^ ж(£) £ Мга, £ £ [—г, 0], построенное по правилу

Для доказательства утверждения леммы требуется доказать равенство

следовательно, необходимо показать, что для всех в £ [—г, 0] выполнено равенство у*(в) = ж*(в). По определению ж* необходимо доказать, что

ж(£ + в) = у4( в).

Из определения ж(£) следует, что это равенство эквивалентно равенству

ж(в) = р(в), в £ [-г,0], ж(£) = у*(0), £ £ [0,а).

Для ж(£) из равенства (4.4) получаем, что

Ж(£) = /(ж*)

у*+*(о) = у*( в)-

Рассмотрим функцию двух переменных y(t, s) = yt(s), где t € [0,а, s € [—r, 0]. Покажем, что функция y(t, s) постоянна вдоль отрезков s + t = const, s € [—r, 0], t € [0, a)-

Из равенства (4.3) следует, что выполнено равенство

yt+£(s) -yt(s)

-------:-------= Vt{s)

£^0 £

s € - r, .

(t, s) € [0, a x [—r, 0)

имеем цепочку равенств

dy(t,s) = y(t + £,s) -y(t,s) = yt+e(s) - yt(s) =

dt £—>0+ £ £—>0+ £

= Пт + g) ~ Vt{s) = y(t,s + £)-y(t,s) = dy(t,s) e^0+ £ e^0+ £ ds '

Продифференцировав функцию y(t, const —t) получим

dy(t,s

d . . dy(t,s)

—y(t, const —t) ==

dt dt

d s

st— t

.

«n st —t

Таким образом, функция у(£, сопзt —¿) является константой.

Покажем, что у*+т(з) = у*+Лт) Л113 всех 5,т ^ [—г, 0). Действительно, имеют место равенства

• / ч У^Лт + е) — у4+Лт) • / N

Ш+Л'г) = ---------------------= Уг+Ав).

Так как у*+в(т) ^ АС[—г, 0], то

у*+Л0) = / у*+Лт)^т + у*+в(«)• ^ в

С другой стороны,

у*(«) = / у*+Л«)^т + у*+Л«)

в

и поэтому yí+s(0) = У*(s). □

Таким образом, на основании теоремы 3.2 и лемм 4.2, 4.1, можно сформулировать достаточное условие выживания для систем с последействием.

Теорема 4.1. Рассмотрим некоторое локально компактное м,н,ожест,во M С X. Для того, чтобы существовало движение t ^ € M, порожденное дифференциальным урав-

нением с запаздыванием x(t) = /(xt) и начальным, условием Жо = р € M, достаточно, чтобы для всякой точки а € M выполнялось включение F(a) € Tj^M, где F(a) = (á(s),/(a)).

Возьмем теперь, в качестве пространств

X = C[-r,0],Мга), Y = L([-r,0],Мга) х Rn.

Докажем, что отображение а ^ F(a) € Y, а € X, действующее по правилу

F(a) = (а,/(а))

является замкнутым.

Для этого достаточно доказать замкнутость оператора дифференцирования F, как отображения действующего из пространства C[—'г,0],Мга) в L([—r, 0],Мп) с областью определения D(F0) = AC( [-r,0], Мга).

Лемма 4.3. Пусть F действует, из пространства C [—'г, 0], Мга) в прост,ране meo L( [—r, 0], Мга) по правилу

(F0a)(t) = a(t), t € [-r,0], a € D(F0),

где облаетыо определения является пространство абсолют,по непрерывных функций D(Fo) = AC([—'r, 0], Mn). Тогда этот оператор является замкнутым.

Доказательство. Замкнутость F означает, что из условий

IIa«. — allc([-г^],кп ^ ®

||Fo(an) — /|Il([—r,0],R") ^ 0

следует, что (a, /) € Г(F) шли., что то же самое, Fo(a) = /. Обозначим

pn = Fo(ara) = -

Из свойств абсолютно непрерывных функций следует, что для всех n € N имеют место равенства

a„(t) = an(—r) + / Pn(s)ds.

J —Г

Нам требуется доказать равенство

a(t) = a—r) + / /(s)ds.

J — r

Тем самым будет доказано, что a € AC[—r, 0], R”). Из последнего включения будет следовать, что / является производной a и, следовательно, (a,/) € Г(F0).

С учетом определения и рп

a„(t) = an(—r) + / рга(s)ds,

J — r

оцеНИМ норму разности

i^)— a—r) — / f(^ds| <

—r

^ |a(t) — an(t) | + |an(—0 — a—О К / iPn(s) — /(s) ids.

—r

Первые два слагаемых сходятся к 0 в силу равномерной сходимости к a. Из сходимости рп к / в L([—r, 0], R”) и оценки

/ |Pn(s) — /(s)ids ^ [ |рга(s) — /(s)ids

—r —r

следует сходимость к 0 третьего слагаемого. Поэтому правая часть неравенства может стать сколь угодно малой, что означает равенство

Из этой леммы, теоремы (3.3) следует утверждение, дающее достаточные условия выживаемости для уравнений с последействием и множества, заданного в пространстве непрерывных функций.

Теорема 4.2. Пусть М — некоторое множество в пространстве абсолютно непрерывных функций, локально компактное в пространстве непрерывных функций. Для того, чтобы существовало движение £ ^ ж4 € М, порожденное дифференциальным уравнением с запаздыванием ж(£) = /(ж*) и начальным условием, жо = р € М, достаточно, чтобы для всякой точки а € М выполнялось включение ^(а) € Т^М, где

5. Дифференциальное уравнение с последействием и одним ограничением

и множество М задано в X уравнением

М = {р € X: а(р) = 0},

где отображение а : X ^ М имеет вид

,0

а(р) = ,0(р(О)) + / а(5,р(з))^,

для всех £ Є [—г, 0].

□

= (¿(в),/(а)).

Пусть

X = АС([-г,0], Мга), ф = ^([-г,0], Мга) х Мп

—г

в : Мп ^ М и а : М х Мп ^ М— непрерывные функции.

Введем следующие обозначения: в;(X|х=Хо — градиент функции в(ж) в точке х0, т0 есть

ы()\_ (dßjx) dß(x)\

' { Пх-хо V дхг ’■■■’ дхп )

X = Xq

и соответственно

X=XQ

п Ч| . /da(t,x) da(t,x)

Обозначим через (•, •) скалярное произведение в Rn.

Лемма 5.1. Пусть функция ß : Rn ^ R непрерывна вместе со своей производной ß;(x) на всем пространстве Rn. Функция а : R х Rn ^ R непрерывна вместе со своей производной aj(t,x) на всем пространет,ее R х Rn. Тогда отображение а : X ^ R, где

а(ф) = ß^(o)) + / авф(«))^

J — Г

дифференцируемо по Фреше во всех точках ф € Хм производная

а'(ф) [•] : X ^ R

действует, по правилу

f°

а'(ф)[Ф] = <ß/(x)U=^)/ <аЛs,x),ф(«))ds-

J—Г

Доказательство. Зафиксируем элемент ф € X. Найдем производную отображения а : X ^ R в точке ф по направлению ф € X

«'ММ = lim

£^0+ £

1 f®

+ lim -( / a(s, ip(s) + eip(s))ds — a(s,tp(s))ds). e^0+ eK J-r J-r

В силу того, что функция /0(ж) дифференцируема во всех точках x € Rn, имеем равенство

Дт+^(/%(°) + #(°)) -/%(0))) = (/3/(ж)|ж=¥,(0),-0(О)).

Из непрерывной дифференцируемости a(t, x) по x следует, что под знаком интеграла можно перейти к пределу:

1

lim -(/ a(s,íp(s) + etp(s))ds — a(s,ip(s))ds) =

e^o+ e J-r J-r

f0 1

= lim -(ct(s, <p(s) + £ip(s)) — a(s, ip(s)))ds = e^0+ J-r e

[0

= / (a'(s,x) |x=v(s) ,^(s) )ds.

-r

Таким образом,

¡•о

= (ß'(x)U=^),#)Ж / (a'(s,x)U=^ts^(s))ds-

-r

Нетрудно проверить, что в каждой точке р € X отображение

а'(р) [•] : X ^ R

линейно и непрерывно, то есть а'(р)[•] € X*.

Покажем, что отображение

р ^ а'(р) н >

непрерывно в каждой точке р, как отображение, действующее X X* .

X*

На'(р) - а'(р)Ух* = sup |а'(рМ - а'(р)[ф]|.

1ЖЫ=1

Оценим норму разности

|а'(р)М - a'(p)M| = |(в'(х)U=^(o) - e'(x)U=^(o)>#>)) +

Л i

+ / (аХ(s,x)U=0(s) - аХ(s,x)U=^(s),^(s))ds| ^

J —r

< |(e'(x)U=^(o) - e'(x)U=^(o),^))| +

r° | i

+ / |(аХ(s,x)|х=^) - a'X(s,X|х=^),^(s))|ds-

—r

Напомним, что X есть пространство абсолютно непрерывных функций, поэтому из равенства Ц^Цх = 1 следует, что |"0(s) | ^ 1 для всех s € [-r, 0]. Следовательно, мы можем оценить правую часть неравенства следующим образом

| (в (x) |х=0(О) в (x) U=^(0) ,^^))| ^ |в (x) U=^(0) в (х) U=^(0) |

и

| / / |

/ |(ал (s,X| *=0(S) - ах (s,X| Х=ф),^(s)) |ds ^

—r

г° | |

^ / |аХ(s,x)U=0(s) - аХ(s,x)U^s)| ■ |^(s)|ds ^

—r

г° | |

^ I |ах (s,x)| х=^(з) ах (s,x)| х = <^(«) |ds-

—r

Эти неравенства выполнены для всех Ц^Цх = 1, следовательно, норма разности ||а'(0) - а'(р)||х* = suPy^y^i - а'(р)[^]|

оценивается сверху следующим образом

Ца^р) - а'(р)||х* ^ |в(ХL=^(o) - в(Х^^(о) ^

I |ах (s, X |х = ^(з) ах (s, X |х = ^(з) |ds-

—r

Из сходимости ||р — р||х ^ 0 следует, что р(в) ^ р(в) равномерно на отрезке [—г, 0]. В силу непрерывной дифференцируемости в(ж) имеем, что

|в (ж) и=^(о) в (ж) и=^(о)1 * о,

при ||р — р||х ^ 0•

Из свойств функции а(£, ж) (о/(•, •)— непрерывна по (¿, ж) и на каждом компакте С € МхМп ограничена константой) следует, что под знаком интеграла можно перейти к пределу (теорема о предельном переходе см. [19, с. 276]):

Таким образом, имеем что

11а'(р) — а'(р)Ух* ^ о при ||р — рУх ^ 0•

По теореме о сильной дифференцируемости (см. [18, с. 36]) получаем, что отображение а : X ^ М дифференцируемо по Фреше в каждой точке р € X и эта производная а;(р) [•] : X ^ М действует по правилу

. . ,

а {Ф)Ш = (в (ж) 1я=0(О) / («Х (в,ж) ,^(в)

</—г

□

Лемма 5.2. Пусть

М = {р € X: а(р) = 0},

где отображение а: X ^ М есть

а(р) = в(р(0)) + / а(в,р(в))^в,

</—Г

функции в(ж) '■ Мп ^ М и а(^, ж) : М х Мп ^ М непрерывно дифференцируемы по ж. Тогда во всех точках р € М, в которых выполнено неравенство

\ / 1^1/ I

Iе (ж)|ж=^(о) \ + I |а (в,ж)|^=^^1 ^в Ф о,

7—г

касательное пространство Т<^М имеет вид

Т^М =

[О

= {Ф € X: (в|*=0(о)>Ф(°)) + / (аХ(в, ж|*=0(в),Ф(в))^в = О}.

7—г

Доказательство. Покажем, что для всех р € X таких, что

I I Л I I

\в(ж) и=^(о) К / рХ(в, ж |я=0(в)| ¿вфО

7—г

отображение а/(р[•] : X ^ М сюрьективно, то есть 1та/(р[•] = М. Для этого достаточно указать хотя бы одно ф € X такое, что а^р^ф] ф 0. Действительно, если такое ф существует, то для произвольного Л € М получим

а/(р)[Аф] = Ла/(р)[ф],

откуда следует, что а/(р [•] может принимать любые значения М.

Пусть

|в (ж)и=^(о) \ ф о.

Из свойств функции ж) имеем, что |аХ(¿,ж) I ограничена па

множестве {(в,р(в))}5ег—го1 некоторой константой (в силу того,

что {(в,р(в))}5е[—г>о] компактно в М х Мга). В качестве ф € X возьмем абсолютно непрерывную функцию, такую, что

ф(0) =в(ж) ^(о),

ф(в) = 0, в € [—г, —е], е > 0.

Получаем

а'(ЙМ = |в(ж)|ж=^(о) |2 + J (аХ(в, ж|ж=^),Ф(в))^в.

В силу ограниченности аХ(в, ж|Х=<£(8) и Ф(в) можно выбрать е достаточно маленьким, чтобы

/ Ч М И ^\Л ^ И (Ж) I ж=с^(0) I

{ах{8,х)\х=ф(3),ф{8))й8 <--------------------.

Таким образом

Ч Л\Г/1 \ I ЯЧ М I2 |/^ (ж)и=0(О) | \Р (Х)\х=ф(0) | п

а (<рЩ > \/3 (х)\х=фт\---------------2 =--------2 >0-

Пусть

[° \ \

I |аж (в,ж) |ж=^(з) \ ^в Ф 0.

—г

е>

[ |аж (в, ж |Ж = 0(8) | ^в ф 0.

— г, — е ф в ,

кая, что

I (аХ(в, ж|ж=^),Ф(в))^в > 0.

—г

ф — г,

ф(в) = ф(в), в € [—г, — е], ф(0) = 0, та отрезке [—е, 0] линейна.

г

Получаем, что

гО

а(р)[ф] = (^(ж)и=^(о),^Ж / (аХ(в,ж)и=^),ф(в))^в =

—г

= / (аХ(в, жЬ=^(в),Ф(в))^в+ / (аХ(в, ж|*=^(в),Ф(в))^в.

7 —Г 7 —в

е

| J (аЛв^^фФ^))^! < ^ (аЛв^^ОфФ^))^-

Таким образом получим, что 1 /—в

а'(р)[ф] > - J (аЛвж)и=¥>(фФ(«))^ > 0.

Рассмотрим произвольное р € М, то есть а(р) = 0. Если имеет место неравенство

\ \ /0 \ \

\в(ж)|х=^(о) К / \аХ(в, жи=^(в) \ ¿в^О,

—г

то в этой точке выполнены все условия теоремы Люстерника ар

1та/(р[•] = М). Следовательно

Т„ М^ега^р) [•] =

[0

= {ф € X: (в (ж)|х=^(о),ф(0)) + / (аХ(в, ж|х=^),Ф(в))^в = 0}.

—г

□

Рассмотрим дифференциальное уравнение с последействием

ж(*) = /(ж*), (5.1)

где х € Мп, f : С([—г, 0], Мга) ^ Мга)— непрерывная функция, и начальное условие

хо = Р, (5.2)

где р € X. Следующее утверждение дает достаточные условия выживания решения задачи (5.1), (5.2) в множестве, заданном одним уравнением.

Теорема 5.1. Пусть

М = {р € X: а(<р)= 0}, где отображение а'. X ^ М есть

,о

а(р) = 3(р(0)) + / а(з,<р(з))йз,

7—Г

функции 3 '■ Мп ^ М и а : М х Мп ^ М непрерывно диффе-х. М

следующие условия:

1) во всех точках <р € М выполнено неравенство

I I I

3(х) 1х=^(о) к / К'(в,х) 1®=^) 1 ¿вфО;

7—г

2) во всех точках р € М выполнено равенство

[0

<3(х)и=^(о) ,/(р)И / («Х(в,х)и=^) ,р(в))^ = 0.

7—г

Тогда, для всех р € М, с существенно ограниченной производной, существуют число $ > 0 и отображение £ ^ х(£) € Мп, £ € [-г, $] являющееся решением, задачи (5.1), (5.2) т,акие, что для всех £ € [0, $] выполнено включение

хг € М.

Доказательство. Введем в рассмотрение множества где I > 0, с > О,

Ш{1,с) = {р € X : Бир |р(в)| ^ I, чштир|р| ^ с}.

в€[—г,0] в€[—г,0]

Все множества Ш{1,с) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, следовательно, по теореме Арцела, они являются относительно компактными в пространстве С( [—г, 0], М”).

Докажем, что множества Ш(1,с) С С([—г, 0], Мга) замкнуты. Пусть {р^} С Ш(1,с) И 1£г ^ р в С([—г, 0], Мга), то есть

Бир |р>г( в) — р(в) |^0, г ^ +ТО.

в€[—г,0]

Для любого г и любых вх, в2 € [—г, 0] в силу ограниченности производной

уга1зир |р| ^ с

«€[—г,0]

имеем, что

Гв 2

Ыв2) — рАв1)N I ФАв)^в| ^ ф2 — ^|.

•) в1

Перейдя к пределу г ^ получим, что для любых чисел в!,

в € — г,

^(вг) — | ^ с|в2 — вх|,

то есть р абсолютно непрерывная функция.

Для всяких г, £ € [—г, 0] и е € М таких, что в + е € [—г, 0] имеем неравенство

Рг(8 + в) -^¿(в) 1 Г+Е • , ^ /

----------------- = - Рг{т)йт ^ С.

е е Зз

Перейдя к пределу г ^ получаем, для всяких г, в € [—г, 0]

е € М в е € — г,

р(в + е) — р(в)

---------------< с.

е

іітФ + £) ~ Ф)

є^О Є

существует почти всюду па [—г, 0] и

р(в) ^ с

для почти всех в Є [—г, 0]. Получили, что р Є ^(1,с).

Из непрерывности а(р) следует, что М — замкнутое множество. Тогда множества

Мг,с) = М П Ж(1,с)

компактны для всех I > 0, с > 0.

Возьмем произвольное р Є М такое, что

угаізир|р(в)| < + то.

«Є[—г,0]

Обозначим

д = угаІБир |р(в) | + 1, р = шр |р(в) | + 1.

«Є[—г,0] «Є[—г,0]

Множество Мд,р) — компактно и

р Є М(д,р) •

Заметим, что и ^(1, с) всюду плотно в шаре Ве[0,1, по-

с>0

этому

Т1рЫ = Т1р(Ы П У Щд,с)Ж Т^и М(9>с)-

с>0 с>0

Из леммы 1.3 следует, что

и с1^(ТжМ П В*[0, г]) С Т® М.

с>0

[О

= {ф € X: <в(х)|ж=^(о),ф(0)> + / <ал'(s,x)lx=^(s),^(s)>ds = 0}.

J —r

Тогда, для всякого с > 0 имеет место равенство

c1Y(TxM П В*[0,с]Ж ЛФ,Ь) € Y : vraisup |^(s) | ^ с,

s€[—r,0]

<в(х)U=^(o),b> + / <aX(s,x) U=^(s)>^(s)>ds = 0}.

—r

По условию леммы во всех точках р € M[p q] выполнено равенство

г0 ;

<в'(Х) L=^(0) ,/(р)И / <ах (s,x) L=^(s) ,p(s)>dS = 0.

—r

Из оценки vraisup |p(s) | < q, следует, too для всех р € Щр q] s€[—r,0] выполнено включение

F(p) € сlY(TxM П В*[0, q]) С TYM,

где

F(p) = (р(0>/(р))-

Из теоремы 4.2 следует, что существуют константа i >0 и отображение t ^ x(t) € Rn, t € [—r, 0] являющееся решением задачи (5.1), (5.2) такие, что для всех t € [—r, 0] выполнено включение

xt € M.

□

В работе Е. JI. Тонкова [29] показано, что если

e'(t)|t=a(o)/Н + / аХ(s,x) lx=a(s)¿(s)ds<0

—r

для всех а € дМ, где М = (а € X: а(а) ^ О}, то задача локального выживания в М разрешима. В теореме Тонкова движение £ ^ ж* те может оставаться на границе множества М. Последнее утверждение дополняет этот результат для движения по границе М.

6. Дифференциальное уравнение с последействием и конечным числом ограничений

Пусть

£ = АС([-г,0], Мп), % = Ьг([—г,0], Мп) х

и множество М задано в X уравнением

М = (р € X-. а(р) = 0,... , р) = 0}, где отображения ai : X ^ М, г = 1,... , т имеют вид

аД в,р(в))^в.

Введем обозначение а(р) : X ^ Мт

( а(р) \ а(р) = : •

V ат{р) У

Лемма 6.1. Пусть функции $ : Мп ^ М, г = 1,... , т непрерывны вместе с производными ж), ж € Мп. Функции : М х Мп ^ М, г = 1,... , т непрерывны вместе с производными а^'(£, ж) на всем М х Мп.

Тогда отображение а'. X ^ М дифференцируемо по Фреше во всех точках р € X и производная а'(р)[•] € ¿(X, Мт) определена равенством

( а[{р)Щ ^

а'(р)[Ф] = :

V ат рм)

п

/ 0 \

<e((x) L=v(o) ,Ф(оЖ /<а X (s,^ |л=0(в) ,^(s) )ds

<emx |^^) >#> ж /(«mX (s,x u=0(S) )ds

Доказательство. Аналогично одномерному случаю имеем, что а(р) в каждой точке р € X имеет производную по направлению а^р)^] :

а'(„)М = lim Ф ~ Ф) =

£^0+ £

0

<в[(х)L=v(o),Ф(0Ж / (аX(s,xUvts,^(s))ds

<emx u=v(o) >ф(ож /<«mX (s,x u=vw )ds

Легко проверить, что а'(р) [•] € £(X, Мт) для всех р € X.

Аналогично одномерному случаю получаем, что отображение

Р ^ а'(р) [•]

непрерывно в каждой точке р € X как отображение, действующие из X в £(X, Мт), то есть

lim ||а'(р)[•] - а'(р)ННджк™) = 0>

v^v

где

Ир)[•] - а'(р)ННдхд™) = sup |а'(р)[Ф] - а'(р)[Ф]|.

По теореме о сильной дифференцируемости [18, с. 36] отображение а(р) дифференцируемо то Фреше во всех точках р € X и эта производная совпадает с а'(р) [•]. □

Лемма 6.2. Пусть

М = [ф € X : ах(р) = 0,... , ат{ф) = О}, где отображения аг : X ^ М, 1 = 1,,т, есть

аДф)=вг{ф(0)) + / аАв,ф(в))йв,

7 —г

функции в : Мп ^ М и аг М х Мп ^ М непрерывно дифференцируемы по х. Тогда во всех точках ф € М, для которых

выполнены условия:

1) для всех 1 = 1,... ,т выполнены неравенства

I 1^1 I

| Рг (х) |ж=ф(0) 1 I 1 агх (в, х) |ж=ф(.з) 1 йв 7^ 0)

■) —г

2) функционалы а'(ф)[•] € X*, 1 = 1,... ,т линейно независимы, где

а'г{ф)Ш = (в (х) и=ф(0) ,ФФ)) + / (агх {в,х) и=ф(в) ,Ф{в) №

7 —Г

касательное пространство ТфМ состоит из элементов ф € X, удовлетворяющих системе уравнений

(в'Лх)и=^(о)>ф(оЖ I (аX(в,х) 1х=ф(з),Ф(в))Лз = о

Ф'т{х) и=ф(0) ,ФФ))+ I (атх' {в,х) ^фЫ ,Ф(в) )(1,3 = 0.

Доказательство. Из леммы 6.1 следует, что отображение

( 0 \

в\{фЩ + / ^{в,ф{в))йв

вт{ф(0)) + / ат{в,ф^)йв

т

—г

дифференцируемо по Фреше и производная а'(ф) [•] Є £(Х, Мш) имеет вид

/ аЦФШ] \ а іф)Ш= : >

V а'ш{фШ )

где для всех і = 1,... ,т

Ґ

аі(ф)[Ф] = Шх\х=ф),ФФ)) + / \х=^),Ф(^№■

7 —г

Докажем, что оператор а'(ф)[•] сюръективеп, то есть

а'ф [X] = Мш.

По лемме 5.2 имеем, что для всех і = I,... ,т

аЦ ф [Х] = М.

Из линейности оператора а'(ф)[•] Є £(Х, Мш) следует, что образ 1т а'(ф) есть линейное подпространство в Мш. Обозначим

С = а'(ф) [X.

Предположим, ЧТО С ф Мш, то есть

сІітС = к < т.

Пусть

е =

хеш /

$

иш /

базис в С. Рассмотрим совокупность т к— мерных векторов

2

£

ҐЄт\

£

и?/

ъш

С2

£Ш

\£Ш

Так как векторов больше, чем их размерность (к < т) получаем, что найдутся числа Хг € М г = 1,... ,т не все равные нулю такие, что

/Ч! \ / & \

Х

Хт

\£/

т

С2

т

.

\ст

Получили, что имеют место равенства

Х1Й + Х1^1 +

Хт£,т — О

ст

ХтСт — О

(6.1)

Х1^ + Х2^ + ... + Хт£т = 0.

Для любого ф € X имеет место включение

а'(ф)[ф) € а'(ф)[X] = С.

Следовательно, так как С1,... , С к образуют базис в С, то найдутся числа ^\{ф),... , Цк(ф) такие, что

а'(ф)Щ= щ(ф)£1 + ц2{ф)(1

ц к{Шк.

Так как

/ аШф) \

а фф

ат ф ф

то получаем, что для всех ф € X

а1{ф)Ш= Ш{ф)й+ Ц2{фШ + . а2(Шф] = Ц1{ф)И + Ц2{фЩ +. , а'т{ф)1ф]=т{шт+&тт *

Цк(ф)ск

Цк{ф)&

Цк(Ш,

Рассмотрим линейную комбинацию функционалов а^{ф)[•], г = 1,... ,т

Х1а'х(ф) ['] + Х2а'(ф) ['] + - . + Хтат{ф) ['],

где Хх, Х2,... , Хт те же что и в (6.1). Для всякого ф € X имеем, что

Х1а[(ф)[ф} + Х2а'2{ф)1ф} + . . . + Хтат{ф)[ф] =

= Х1(щ(ф)С1 + Ц2{фШ +... + ц к(ф)ск)+

+ Х2(Ц1(ф)£2 + ^{ф)^2 + . . . + Цк(ф)£,2) + . . . +

+ Хт( Ш(ф)£,т + Ц2Ш1 + -. + ЦкШкт) =

= Ц1(ф)(Х1СХ + Х2С2 + . . . + Хт£,т,) +

+Ц2(ф)(Х1Сх + Х2С2 + . . . + Хт^т) + . - +

+Цк(ф)(Х1£,1 + Х2£,2 + . . . + Хт£,т).

Подставив (6.1), получаем что

Х1а[(ф)[ф] + Х2а'2{ф)[ф} + ... +

+ Хта'т{ ф)[ф] = Ц(# + Ц(ф)0 + ... + Цк(ф)0 = О

для всех ф € X. Следовательно, функционалы а'г{ф)[•], линейно зависимы, что противоречит условию 2 леммы. Таким образом, к = т и, следовательно, 1та'(ф)[•] = Мт.

По теореме Люстерпика [18, с. 41] (выполнены все условия:

аф

а'{ф)[ф] является сюрьективным отображением X ^ Мт) полу-

ф€М

ТфМ = Кега'(ф)[•] = [ф € XI а'(ф)[ф] = 0}.

Это означает, что Тф М состоит из решений системы уравнений

( а[(ф)[ф]=0,

ат ф ф ,

или

( (в[{х) и=ф(о) ,Ф(оЖ 1-г (аX(*,х) 1х=ф{з) ,Ф{«)№ = о,

{ Шх) \х=ф(0) ,Ф(0 Ж 1-г (атХ (вх)\х=ф(в) ,ф{з) )(18 = 0.

□

Рассмотрим дифференциальное уравнение с последействием

х{г) = Их) (6.2)

и начальное условие

х0 = р, (6.3)

где р € X. Аналогично случаю, когда множество задано одним уравнением, доказывается следующее утверждение, дающее достаточные условия выживания решения задачи (6.2), (6.3) в множестве, заданном конечным чилом уравнением.

Теорема 6.1. Пусть

М = {р € X-. ах{р) ат{р) = 0},

где отображение ai : X ^ М, г = 1,... ,т есть

аДр)=А(р(0)) + / аД8,р{в))(18,

о —Г

функции в%'- Мп ^ М и а^. М х Мп ^ М непрерывно дифференцируемы по х. Пусть далее, во всех точках р € М выполнены

следующие условия:

1) для всех г = 1,... ,т выполнены неравенства

\ 1^1 I

\в1 (х)\х=ф(о) К / |аiX(*,х)\х=ф(з)1 йвф 0;

и —Г

2) функционалы а^р)[•] € X*, г = 1,... ,т линейно независимы, где

[О

аИ р)1ф] = (в (х)\х=ф(0) ,фф^+ / (аЪ {з,х)\х=ф(з) ,ф{з) )(18;

J —Г

3) для всех г = I,... ,т имеют, место равенства

[О

Ш х) \ х=ф(0) ,Ир) И / (а^ {з,х) \ х=ф{з),р^ ^ = 0.

</—г

Тогда для всех точек р € М, с существенно ограниченной производной существуют § > 0 и отображение г ^ х{г) € Мп, г €[—г, 0} являющееся решением задачи (6.2), (6.3) такие, что для всех г € [О, §] выполнено включение

х} € М.

7. Смешанные системы уравнений

Рассмотрим систему уравнений

{ хЦг) = Мх},... ,хп,у1{£),... ,ут{г))

¡п(х},... х,у1т,...,ут{£)) дЛх\,... ,xn,yl{t),... ,ут{¿))

. ут(г) = 9т{х},... ,хп,у1(г),... ,ут{г)),

гДе 1'1, 9з 'С( [—т,0], М)п х Мт ^ М, г = 1,...,и, ¿ = 1,...,т — непрерывные функции.

хп(г) = уЧг) =

x f

xn x = fn,

y y

ym ym

где (fi Є С([—г,0],М), i = 1,... ,n, уд Є М, i = 1,... ,m.

Дле краткости будем записывать эту задачу в векторной форме

Г ±(t) = f(xt,y(t)) . ,

\y(t)=g(xt ,y(t)),

і X° = f (7 2)

I y(o) = rn, 1 j

где f : C([-r,0], Rn) X Rm ^ Rn, g : C{[-r,0], Rn) x Rm ^ Rm,

x Є Rn, у, уо Є Rm, f Є C([—r^], Rn).

Заметим, что в таком виде всегда можно записать неавтономную систему уравнений

x(t) = f(t,xt) x(0) = f.

Определение 7.1. Решением смешанной системы (7.1), (7.2) называются непрерывные функции

t ^ x{t) Є Rn, t Є [-r, її], t ^ y(t) Є Rm, t Є [0, її]

такие, что

1) x(s) = f(s), s Є[-г,0};

2) y(0) = yo;

3) на [0, її) x(t) и y(t) абсолютно непрерывны и обращают

(7.1) в тождество.

Перепишем систему (7.1) в следующем виде

¿^) = ,г?+1 ,...,гП+т)

¿п(*) = ЫА,*Г+1 ,■■■ ,4+т)

хп+1 (¿)

п

п+т\

¿п+т(+\ и ( ¿1 ¿п ¿п+1 ¿п+т\

^ \Ч ~ Пп+т\¿г ,..., ¿г , ¿г , . . . , ¿г ),

где Нг : С([—г,0],Мп+т) ^ М, г = 1,... ,п + т

и (Л ¿п ¿п+1 ¿п+т\

иг{¿г,... , ¿г , ¿г ,... , ¿г ) —

= 1г<Л,г?,гп+1(0),... ,4'+тт,

для г = 1,... ,п и

и (Л ¿п ¿п+1 ¿п+т\

ип+г\¿г ,■■■, ¿г , ¿г , ■ ■ ■ , ¿г ) ~

= дг{,2п+1(0),... ,г?+т(0)), г , . . . , т.

4 ф

¿

пт

0

где

фг{$) = фг{я), в е[-г,0], 1 = 1,..

Фп+г{в) = Уг0, в е [-т,0], г = l,■■ Кратко будем писать

¿(¿) = Цгг),

¿о = Ф,

, п, , т.

(7.3)

(7.4)

где г е Мп+т, Н-. С[-г,0], Мп+т) ^ Мп+т, ф е С([-г,0], Мп+т).

Непосредственно из определения решения задач (7.1), (7.2) и (7.3), (7.4) получаем следующие утверждения.

Лемма 7.1. Пусть $ > О и отображения

г ^ х{г) е мп, г е [-г,$],

и

г ^ у (г) е мт, г е [о, $]

. , . .

Тогда отображение г ^ ¿(г) е Жп+т, где

¿г(г) = хг(г), г е[-г, $], г = 1,...,п ¿п+г{г) = Уг, г е [-г,0], г = !,...,т ¿п+г(г) = уг{г), г е [о,$}, г = !,...,т

. , . .

Лемма 7.2. Пусть г ^ ¿(¿) е Мп+т, где г е [-г,$],

$>0 — решение задачи (7.3), (7.4). Тогда отображения

г ^ х(г) е мп, г е [-г, $], г ^ у(г) е мт, г е [о, $},

хг{г) = ¿г(г), г е[-г, $], г = 1,...,п уг{г) = ¿п+г(г), г е [о,$], г = 1,... ,т . , . .

Согласно этим леммам задачи выживания для смешанных уравнений могут быть исследованы с использованием соответствующих утверждений для уравнений с последействием. Следующая теорема дает достаточные условия выживаемости для смешанных уравнений и одного ограничения.

Теорема 7.1. Пусть

М = {(р,у) е С( [-г,0], Мп) х Мт : а(р, у)= 0}, где отображение а'. С( [-г, 0], Мп) х Мт ^ М есть

а(<р,у) = РЫ0),у) + / а{в,ф))(1з,

о —Г

функция @(х, у) непрерывно дифференцируема, функция а(Ь,х) непрерывно дифференцируема по х. Пусть далее, для множества М выполнены следующие условия:

1) во всех точках (ір, у) Є М выполнено неравенство

і її і Ґ і і

\вХ (х,у) | х=^(0) \ + \ву (Ф),у) К / \аХ (*>х) I х=<р{з)1 ЛвфО]

о —Г

2) во всех точках (<р, у) Є М выполнено равенство

(вх (х, У)|х=^(о) і Иф) ) + ІРУ ЫЩ,у) 1д(у)) +

)

+ / (аХ (в,х) ^ф) ,ф{зУ)<І8 = 0.

7—г

Тогда для всех точек (р>, уо) Є М таких, что

угаіяир |ф(«) | < + ^

«Є[—г,0]

найдутся число $ > 0 и отображения і ^ х{і) Є Мп, і Є [—т, $], і ^ у(Ь) Є Мт, і Є [О,Щ, являющиеся решением задачи (7.1),

(7.2) такие, что для всех і Є [О, $] выполнено включение

(хг,у(г)) Є М.

Доказательство. Рассмотрим задачу (7.3), (7.4),

¿(¿) = к{гг),

¿о = Ф,

г Є Мга+т, и Є С(С([-Т,щ, Мга+т), Мга+т), ф є С([-г,Щ, мга+т), эквивалентную задаче (7.1), (7.2).

Построим функцию а : С{[—0], Мга+т) ^ М, являющуюся продолжением функции а : С{ [—0], М”) х Мт ^ М, по правилу

а{ф) = а{фЪф2Щ,

где

ф е с[-г,о],М^т, ф = ы,^),

р е С([-г,0],Мп), р е С([-г,0],Мт).

а

виям леммы 5.1. Согласно этой лемме, для всех точек ф из С - г, , Мп т ,

а(ф) = О

с существенно ограниченной производной существуют $ > О и отображение г ^ ¿(г) е Мп+т, г е [-г, $] являющееся решением задачи (7.3), (7.4) такие, что для всех г е [0, $] выполнено равенство

а{х^ = 0.

Согласно лемме 7.2 отображения г ^ х(г) е Мп, г ^ у(г) е Мт, г е [0, $], где

хг(г) = ¿г(г), г е[-г, $], г = 1,...,п

уг{г) = ¿п+г(г), г е [о,$], г = 1,... ,т

являются решением задачи (7.1), (7.2). При этом выполнено равенство

а{хиу{г)) = (¿) = 0.

Таким образом доказано, что при выполнении условий леммы найдутся число $ > 0 и отображения г ^ х(г) е Мп, г е [-г, $], г ^ у{г) е Мт, г е [0,$], являющиеся решением задачи (7.1),

(7.2) такие, тоо для всех г е [0, $] выполнено включение

{хг,у{г)) е М.

□

8. Задача выживания для включений

Напомним некоторые определения.

Пусть (X, || ■ Ух)— фиксированное банахово пространство. Обозначим через сотрХ С 2х— совокупность всех выпуклых компактных подмножеств X. Для двух множеств М\ С X и М С X обозначим

ах(М, М2) = шр рх{х, М2),

х^М\

где рх(х, М) — расстояние от точки до множества рх(х,М)= т£ ||х - уЦх

у£М

Напомним, что для произвольного множества М С X

Ех[М, е] = {х е X: рх(х, М) ^ е}

означает е-окрестность множества М.

Пусть каждой точке х е О некоторого множества О С X поставлено в соответствие множество Нх) е сотрф- Тогда будем говорить, что на О задана многозначная функция Е{х).

Определение 8.1 (см. [33, с. 52]). Отображение

х ^ Нх) е сотрф, х е О

называется полунепрерывным сверху в точке х е О, если для всякого положиетльного е найдется 5 > 0 такое, что для всех точек у е X таких, ч то ||х - у Ух <5 выполнено включение

Ну) с Щ[р{х),е].

Это включение равносильно неравенству

а®(Пу),Р[х)) < е.

Многозначное отображение х ^ Е(х) е сотрф называется полунепрерывным сверху на множестве О, если оно полунепрерывно сверху во всех точках х е О.

Определение 8.2 (см. [33, с. 53]). Отображение

x ^ F(x) € compY, x € D

называется непрерывным в точке x € D, если для всякого е > О найдется 5 > 0 такое, что для всех точек y € X таких, что ||x — y\\x <5 выполнено неравенство

тах{аф (F(x), F(y)) , а% (F(y), F(x))} < е.

Это включение равносильно неравенству

F(x) С By[F(y),e] и F(y) С BylF{x),e\.

Многозначное отображение называется непрерывным на мно-D, x € D.

Обозначим далее,

||F(x)||y = sup |MIy, ||f(d)\\y = sup||F(x)\\%.

y£F(x) x£D

В этом разделе исследованы условия, при которых для заданных непустого множества M С X и многозначного отображения x ^ Hx) € compY, x € M порождающего включение

5xt € F(xt), (8.1)

найдутся a > 0 и решение t ^ xt включения (8.1), удовлетворяющее при всех t € [0, а включению xt € M.

Напомним, что функция r(t) и последовательность {ti} в

x

элемента касательного конуса h € TXPM. Эту зависимость будем записывать следующим образом r(t,x,h) и t^x,h).

Введем следующие обозначения. Пусть h € TYM, обозначим через

r ti x, h , x, h

c(x, h) = sup

h

ti x, h

X

Если задано многозначное отображение x ^ F(x) € compY, x € M и для всех x € M выполнено включение F{x) С TxpM, то обозначим

c{x) = sup c(x,h).

h&F(x)

Теорема 8.1. Пусть Xu Y удовлетворяют условию A ( см. с. 21) и заданы локально компактное множество Me Xu полунепрерывное сверху многозначное отображение

F : X ^ comр Y •

Пусть далее:

x€M

F(x) С TxpM;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех x € M выполнено неравенство

sup c{x) < с.

x£M

Тогда для всякого р € M существуют число а > 0 и непрерывное отображение t ^ xt € M, t € [0, а] такое, что

x$ = р и 5xt € F(xt) t € , а .

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма 8.1. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда, для любой точки x € M и всякого целого m существуют число e(x,m) € (0,1/m) и элемент u(x,m) € X т,акие, что имеют место свойства: x, m

x + ^x, m)u(x, m) € M;

x, m

u{x,m) € By F(Bx[x,l/m]),l/m

3) при каждом натуральном m функция x ^ e(x,m) ограничена снизу некоторым положительным числом, то есть

inf eix, m) = §m > 0:

xeM

4) функция x ^ u(x, m) ограничена сверху при всех натуральных m и всех x € M некоторым положительным числом, то есть

sup \\u(x,m) Ух <+ ж.

m€N, x&M

Доказательство. Возьмем m € N, y € M и h € Ну) С TYM. Тогда выполнено неравенство

sup

r(ti( y,h),y,h)

ti{y, h)

= c{y,h) < c{y) < с.

Из включения Н е Т^М и теоремы 1.1 следует, что существуют число 5у е (0,1/т) и элемент Ну е X, удовлетворяющие следующим условиям:

y + Sy hy € M,

(8.2)

h~hh<2^,

(8.3)

\\hyУх <с. (8.4)

hy

hy € By[F{y),l/m}.

Рассмотрим Вх(у,г]у), где у € М, щ = 2{k + l)m'

В силу условия теоремы о локальной компактности пространства M, не ограничивая общности будем считать, что само пространство M компактно (в противном случае будем рассматри-M

дется конечное покрытие [В%(yj,nVj)} множества M. Далее, для каждого x € M найдется j, too x € В%{yj ,nyj). Обозначим

t ч . г t ч . ? У1 - x

е{х,т) = ду., и{х,т) = hy. Н-----------.

syj

Докажем, что пара e{x,m) и u(x,m)— искомая для x и т. Действительно, из определения u(x,m) получаем

х + е(х, т)и(х, т) = х + 5yj (hyj + Vj Х) = yj + 5yjhyj.

dyj

Из включения (8.2) следует, что x + e(x,m)u(x,m) € M. Тем самым доказано, что первое утверждение леммы выполнено. Далее, имеем оценку

pYu(x, m),F(yj)) < \\u{x,m) - hyj\\% + p%(hyj ,F(yj)).

Первое слагаемое в правой части оценим сверху, используя определения u(x, m) и nyj '■

\u(x,m) - hyj\\y ^

; -x||g) < k\\yj-x\\x

Syj Syj

<k%L< к < "" 5yj "" 2(k + 1 )m "" 2m’

Второе слагаемое из неравенства (8.3) ограничено

1

рфу,,рШ) < 2^-

Следовательно,

1

Ря)(и(х, т), F(уj)) < —.

Поэтому из включения yj € ВХx,%j) имеем:

u{x,m) € В^ F(Bx[x,l/m]),l/m

Второе утверждение леммы выполнено.

Пусть вт = min 5yj. Так ка к [В%( yj ,nyj)}— конечное покрытие множества M, и каждое 8yi > 0, то 9т > 0. Поэтому, в силу равенства e{x,m) = 5yi, имеем inf e{x,m) = tfm > 0.

i xGM

Следовательно, третье утверждение леммы выполнено. xm

\\и(х,т)\\х < \\hyjWx ' ^Уз

из неравенства (8.4) следует, что \\и(х,т)\\х ^ с

$yj

2m(k + 1) ’

откуда получаем неравенство

Бир \\и(х,ш) Ух < +

шбМ X еМ

Таким образом, четвертое утверждение леммы тоже доказано.

□

Перейдем далее, к доказательству теоремы 8.1. Доказательство. Рассмотрим р € М. Обозначим а = г/с, где г = тах \\х — р\\х-

х£Ы

На основании леммы 8.1, для всякого т € N построим целое число ] и конечный набор чисел ■■■ёт € (вт,1/т) и элементов хт ■ ■ ■ хт € М, где

xm = ^,

4+1

um € В.

F[Bx[xm,1/m}), 1/m , i = l...j,

(8.5)

emum

j-1

причем индекс j определяется го неравенства £Т ^ а.

i=0

Согласно лемме 8.1, для всяких гит имеет место неравенство:

\\uT\h « с.

Тогда xm € Bx[р, г] доя всякого г, так как

i- i- i-

\xm — p\\x « £ 1\*п+1 - xm «x= £ ¿т\к\\* « =г.

q=0 q=0 q=0

Положим rim = ¿m + ■ ■ ■ + ¿m . Ha каждом из отрезков [rim, построим линейную функцию xm = xm+ (t — rnU++. Для всех t € [TimiTi+i} имеет место неравенство

с

IlхТ - xTWx = (t- тП\\иГ\Ы < еТШЫ < -• (8-6)

Для всякого t € [тП, т+i) имеет место равенство 6x+ = um. На основании (8.5), (8.6) имеем, что для всякой точки t € [0,а]

x+ € Bx(M,c/m, (8-7)

bxm € By

F{Bx[xT,c/m]),l/m . (8.8)

Докажем, что последовательность функций хт, т € N удовлетворяет условиям теоремы Арцела. Для всякого т функция £ ^ хт € сотМ, £ € [0, а], где сот М — выпуклая оболочка М, действует из компакта в компакт.

Равномерная ограниченность следует из (8.7).

Докажем теперь, что последовательность равностепенно непрерывна. Рассмотрим произвольную функцию хт. Возьмем произвольное £ > 0. Тогда доя всяких Ь2 € [0,а] таких, что |^1 — ¿21 < £ количество тт € [Ь, ¿2) та превосходит (т + 1)£. Следовательно,

с(т + 1)£

Н2 ПЖ ^-----------•

2 т

\\xm — xm\\x «

По теореме Арцела существует движение t ^ xt € M, где t € [0, а, такое, что \\xt — xTWx ^ 0 равномерно на [0, а]- Из (8.7) следует, что xt € M.

Далее, имеет место следующая оценка

PY5xT, F(xt)) = pYuT, F(xt)) <

< PYuT, F(x?)) + aYF(x?),F(xt)).

Из включения (8.5) получаем pYuT>F(xT)) ^ 0, то есть nep-

t.

Fx

\\xt — xT\\x < \\xt — xTWx-

I xm — rmW*

\'-L,t I 11x5

получаем, что второе слагаемое равномерно по £ стремится к 0. Получаем, что х™ ^ хг и pYЬх^, Р(хг)) равномерно по Докажем, что для всех £ € [0, а) выполнено включение

дхг € Нхг)■

Фиксируем произвольное ¿о € [0,а). Для выполнения включения 5х¿0 € Нхг0) достаточно доказать, что для любого £ > 0 при достаточно малых д£ выполнены неравенства

PY

xto+&t xt0

At

, F(xt0

< e,

xt t — xt

t

< + те.

Так как \\хт — хг\\х ^ 0 равномерно по для выполнения этого

т

имеют место неравенства

PY

mm ■Ltg+At Xto

At

, F(xto

< e,

mm ■Ltg + At Xto

t

< + те.

x

Из полунепрерывности сверху F(p) имеем, что для всяких e > 0 и to найдется число п > 0 такое, что

F(<P) С BYFixt0),е\

для всех \\р — xto Ух <(4с + 1)ц.

Возьмем m достаточно большим, чтобы l/m < ц и \xm — xt\\x <2сц для всех t G [0, а), и возьмем At < ц.

Найдутся номера i\ и ¿2 такие, что

^ -L ^ „.m ^ ^ ^ -L | Л -L ^ _m

Ti\ ^ ^ < Ti|+1 < " " " < Ti2 — 1 < ^0 ""t"" ^t \ TÍ2 '

Докажем, что для всех номеров i\ ^ s ^ г2 выполнено включение

Вх[хШЛ/m] С Bx[xt0,4(с+ 1)ц]. (8.9)

Все тШ, s = ii,... , i2 отличаются от to менее, чем на 2ц. Следовательно,

\\xm — xt0Ух < \\xm — xm\\x+ \\xm — xt0Ух <2сц + 2сц = 4сц.

Таким образом,

xm G Bx[xt0 ,4сц]

и требуемое включение выполнено.

По определению ломанной xm, имеем равенства:

xm — xm = (t — to)um, t G %,тШ+1 ],

xm — xm — (t — T m \u,m t G \т m Tm 1

xt xix+i — \Ь Tii+1 )ип+1, 1 G LTii +l,Tii+2J,

xm — xm^ = (t — Tim_x)um_x, t G [тШ-!,h + At].

По построению um, имеем неравенство

\\um\\x < с,

откуда следует, что для всех t G [tí,tí+i] имеют место неравенства

\\xm — xm\\x ^ ф — Ti),

сложив которые получим

-t

Поделив обе части на t — io и обозначив At = t — to, получаем

< c

„m

ltp + At

„m

to

t

для всех At < п- Перейдя к пределу m ^ +те, получим неравенство

xto+At xt0

t

< c.

Таким образом, второе неравенство из определения öxt выполнено.

Докажем, что первое неравенство имеет место. Для всех номеров s = i\ ... ¿2 — 1 ПО определеНИЮ um имеем включение

< € By F^Bx^yl/m^l/m

то есть найдется y € BXXm А/m] такое, что

Pyium, F(y)) ^ l/m.

Из включения (8.9) имеем, что y € Bx[xto,4(c+ 1)п] и по построению п получаем

НУ) с By[Hxt0),4

um

py(um,Hxt0)) < py{um,Hy)) + ay{Hy),Fixt0)) < i/m + e.

Следовательно, все неравенства

pY

xm — xm -i- q

t — rQ

FK)) = py{um, F(xto)) < i/m + £

можно сложить и получить, что для достаточно больших т и д£ < п имеет место неравенство

pY

xm — xm

■^to+At ^to

At

Перейдя к пределу по т, получаем требуемое неравенство

f Xto^-At Xt0

РЮ ( -----~t----> F(xto) ) <£-

□

Аналогично задаче выживания для уравнения, интерес представляет случай, когда правая часть включения

5xt е F{xt)

F : X ^ compY не является непрерывным сверху отображением. Для доказательства теоремы достаточно замкнутости графика отображения F. Сначала, напомним определение замкнутого многозначного отображения.

F

твует из X в comp Y .Отображение F называется замкнутым, F

F

T(F) = {(a,f): а е D(F), f е F(a)},

a D(F) С X— область определения отображения F.

Другими словами, отображение F : X ^ compY является замкнутым, если и только если из условий

||а - а\\х ^0, {ai} С D(F), f - f ||ф ^0, f е F(а)

а, f е F ,

а е D F , f е F а .

XY

,

жение

F : X ^ comр Y

DF.

компактное множество Me D(F) и выполнены условия

1) для каждого x е M имеет место включение

F(x) С TxpM;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех x е M выполнено неравенство

sup c(x) < с.

x£M

Тогда для всякого р е M существуют число а > О и непрерывное отображение

t ^ xt е M, t е [О, а]

такое, что

x0 = <р и Sxt е F(xt) t е , а .

Имеет место следующее утверждение, доказательство которого полностью повторяет доказательство теоремы 8.1.

XY

,

F : X ^ comр Y DF.

компактное множество Me D(F) и выполнены условия

1) для каждого x е M отображение x ^ H{x) е compY, x е M построенное по правилу

H(x) = F(x) П TxpM

является замкнутым;

с > x е M

выполнено неравенство c(x) < с, где c(x) есть

, r{ti{ x,h),x,h) х

с(х) = sup ^sup п Н--------------——------ \.

ti x, h

h£H(x) i

X'

Тогда для всякого р Є М существуют число а > 0 и непрерывное отображение

і ^ Хі Є М, і Є [О, а]

такое, что

х$ = р и 5хі Є Нхі) для почти всех і Є [О,а).

9. Задача выживания для включений с последействием

Введем следующие обозначения. Для произвольной функции т ^ х(т) Є Мп, т Є[-т,Щ, г > О, її>0

обозначим

хДв) = х(і + в), в Є [—г, 0], і Є [0, #].

В дальнейшем будем считать, что

Х = ЛС([-г,0], Мп), % = ¿і([-г,Щ, Мга) х Мп.

Нормы ||- Их и || - Уф соответственно равны

£ = sup |p(s) 1+ I |p(s)Ids,

«ЄІ—r.Ol J—r

r0

ll(<P,b) ||ф = тах{/ Hs)Ids,|b|}.

—r

XY

вию А (см. с. 21), (напомним, что условие А означает включение

I С 3) и выполнение неравенства sup < +°°) будем

НрНх

рассматривать элемент р е X, как пару

(р(•)^(о)) е X,

где

X = {( р( •) ,Ь) е AC{ [—r,0], Rn) х Rn : Ь = ф)}

с нормой

11(Р(0,b)llx = mа^ЦрЦх |b|}.

XX

X Y.

Везде в дальнейшем считается, что f : X ^ comp Rn — полунепрерывное сверху отображение.

Пусть имеется задача Коши для дифференциального включения с последействием

x{t) е f{xt), x0 = р, (9.1)

f : X ^compRn.

Определение 9.1. Решением задачи Коши (9.1) называется функция

t ^ x{t) е Rn, t е[—г,д], д>О

непрерывная на интервале [—г,д), абсолютно непрерывная на любом отрезке [0, т], 0 < т < д и удовлетворяющая условиям

x(t) = р, при всех t е [—г, 0],

x(t) е f{xt), при почти всех t е [0, д].

Введем в рассмотрение отображение F : X ^ compY, определенное равенством

F(a) = (а( • )

и вместе с задачей (9.1) будем рассматривать задачу

öxt е F(xt), x$ = p. (9.2)

Определение 9.2. Решением задачи (9.2) называется отображение t ^ xt е X, t е [0, а, а > 0 такое, что Хо = р, отображение xt абсолютно непрерывно на любом отрезке [0, в, в < а и для почти всех t е [О,а) выполнено включение öxt е F(xt).

Как и в случае дифференциальных уравнений с последействием справедливы леммы, устанавливающие взаимно однозначное соответствие между решениями задач (9.2) и (9.1).

Лемма 9.1. Пусть функция

t ^ x(t) е Rn, t е -r, а, а > О .. t ^ xt е х, t е [о,а,

построенное по правилу

xt(s)=x(t + s), t е [0,а, s е [—г, 0], t е , а öxt

..

Доказательство. Пусть движение t ^ xt е X,

t е , а . .

öxt öxt = (а, Ъ) е L [—г, 0] х Rn

такая, что

II Xt+£ — Xt х || л

lim ---------------— oxt m — и,

£—о" e Y

где

II Xt+£ xt ¡- ||

II-------------OXt L =

£

f|| Xt+£ Xt ¡ ч ¡ ч|| | Xt+e(0) Xt(0) ,|^

= max{||—_—-------------------------------------- ----------b\}.

Откуда получаем, что

/ч Xt+e(s) - Xt(s)

a{s) = lim ----------------

£—0+ е

и

b= lim x+M-MQ) _

£^0+ £

Для всех s < 0, начинал с некоторого е, справедливо s + е < 0, поэтому

, ч Xt{s + e) — Xt(s) .

cr(s) = lim -----------------= xt(s).

£—>0+ e

для почти всех s € [—r, 0].

Для b, по определению решения задачи (9.1) имеем

г t-f-£

ít \ XÍt) + / fÍXs) ds — X(t)

X(t + e) — X{t) v 1 Jt M s; w

b = lim —-------------— = lim ----------—------------------- € f(xt)

£—0+ e £—>0+ e

при почти всех t € [0, а).

Таким образом

ÖXt € (Xt(s),f(Xt)) почти всюду на [0, а)- □

Лемма 9.2. Пусть отображение t ^ yt, t € [0,а), а > 0

является решением задачи (9.2). Тогда отображение Ь ^ х(Ь) € Мга, Ь € [—т, а,

где

Ф)=ф), в €[-т,0], х(£) = ш(0), г € [0,а)

..

Доказательство. Пусть почти всюду на интервале [0, а) имеют место включения

дуг € ^уг) = (Уг, ¡Ш) € сотр

По определению вариации 5уг получаем, что для почти всех Ь € [О, а) имеет место равенство

Дт „ Ш =0.

Откуда следует выполнение равенств

Уг+Лв) — Уг{в)

Нш

£—— О

- ш(в)

^в = 0 (9.3)

1пп р«п (Ш+£(0)£ Ш(0), Дш)) = 0. (9.4)

для почти Ь € [0, а).

Рассмотрим отображение Ь ^ х(Ь) € Мга, Ь € [—г, 0], построенное по правилу

х(в) = р(в), в € [—т,0], х{Ь) = уг{0), Ь € [0,а).

Для х{Ь) из равенства (9.4) получаем, что

Для доказательства утверждения леммы требуется доказать, что имеет место включение

x{t) € f(xt),

следовательно, необходимо показать, что yt = xt, то есть для всех s € [—r, 0] выполнено равенство yt(s) = xt(s). По определе-xt

x t s yt s .

xt yt+s(0) = yt{s).

y t, s yt s ,

t € [0, a), s € [—r, 0].

Аналогично случаю, когда правая часть является однознач-

y t, s

вдоль отрезков прямой s + t = const, s € [—r, 0], t € [0, a).

Покажем, что yt+T{s) = yt+s(т) для всех s,t € [—r, 0). Имеют место равенства

• / ч yt+s(т + £) - yt+s(т) . , 4

yt+s(T) = lim ------------------------= yt+T(s).

£

Так как yt+s(т) € AC[—r^], то

yt+s(0)= i yt+s(T)dT + yt+s(s).

s

С другой стороны,

yt{s)= ! yt+т(s)dT + yt+s(s),

s

и поэтому yt+s(0) = ytis). □

Таким образом, на основании теоремы 8.1 и лемм 9.2, 9.1, можно сформулировать достаточное условие выживаемости для включений с последействием.

Теорема 9.1. Рассмотрим некоторое локально компактное множество М С X. Для того, чтобы существовало движение £ ^ хг € М, порожденное дифференциальным включением с последействием

Х(Ь) € ¡(хг)

и начальным условием х§ = р € М, достаточно, чтобы для всякой точки а € М выполнялось включение

ад С Т^М,

где Р(а) = (а(з),Ца)).

Возьмем, теперь, в качестве пространств

Х = С([-г,Щ, Мга), % = £х([-т,0], Мга) х Мп.

Докажем, что отображение а ^ Р(а) € сотр^, а € X, действующее по правилу

Яа) = (аЛа))

является замкнутым.

Лемма 9.3. Пусть отображение

а ^ ¡(а) € Мп, а € X

является полунепрерывным сверху многозначным отображением. Пусть отображение а ^ На) действует из пространства С([—г,0],Мга) в пространство сотр(^([—г,0],Мга)) по правилу

р(а) = (а ¡НК

областью определения является пространство абсолютно непрерывных функций О(Г) = ЛС([—г, 0], Мга). Тогда это отображение является замкнутым.

Доказательство. В параграфе 4 доказана замкнутость оператора дифференцирования

F0(a) = а.

Полунепрерывное сверху многозначное отображение

а ^ Яа)

является замкнутым (см. [33, с. 53]).

Поэтому, многозначное отображение

Fia) = (аЛа))

□

Из этой леммы, теоремы (8.2) следует утверждение, дающее достаточные условия выживаемости для включений с последействием и множества, заданного в пространстве непрерывных функций.

Теорема 9.2. Пусть M — некоторое подмножество пространства абсолютно непрерывных функций, локально компактное в пространстве непрерывных функций. Для того, чтобы существовало движение t ^ xt € M, порожденное дифференциальным включением с последействием

X{t) € f(xt)

и начальным условием, x$ = р € M, достаточно, чтобы для всякой точки а € M выполнялось включение

F(a) С TYM,

F а а s , f а .

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. М., 2002. 384 с.

2. Андрианов Д. Л. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием. Автореф. докт. дисс. Ижевск. 1994. 29 с.

3. Андрианов Д. Л., Полушкина Г. Л. Прогноз — анализ — решение // Банковские технологии, 1997, Г1 8. С. 54-57.

4. Баранов В. Н. Численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2000. Г1 3(20). С. 3-30.

5. Баранов В. Н. Об одном численном методе интегрирования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью / / Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам ’’Ломоносов”. Вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 2000. С. 319.

6. Баранов В. Н. Численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью / / Труды XXXII региональной молодежной конференции ’’Проблемы теоретической и прикладной математики”. Екатеринбург. 29 января

- 2 февраля 2001 г. С. 87-91.

7. Баранов В. Н. Обобщение теоремы Нагумо для систем дифференциальных уравнений с последействием // Тезисы докладов 5-й Российской университетско-академической научно-практической конференции. Ч. 10. Ижевск, 2001. С. 8.

8. Баранов В.Н. Теорема Нагумо для системы с последействием // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002. Г1 2(25). С. 11-14.

9. Баранов В.Н. Теорема Нагумо для систем с последействием // Вести. Удм. ун-та. Ижевск, 2002. Вып 1. С. 29-32.

10. Баранов В. Н. Достаточные условия выживания для систем с последействием // Вестн. Тамбовского ун-та. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 3. С. 343.

11. Баранов В. Н. Достаточные условия локальной выживаемости для систем с последействием // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. I" 6. С. 858.

12. Баранов В. Н. Задачи выживания для систем с последействием // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2003. Г1 2(28). С. 3-114.

13. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-251.

14. Гусейнов X. Г., Субботин А. И., Ушаков В.Н. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы упр. и теории информации. 1985. Т. 14, f. 3. С. 1-14.

15. Гусейнов X. Г., Ушаков В.Н. Об инфинитизимальных конструкциях в теории обобщенных динамических систем. I // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, f. 2. С. 157-165.

16. Гусейнов X. Г., Ушаков В.Н. Об инфинитизимальных конструкциях в теории обобщенных динамических систем. II // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, f. 4. С. 457-464.

17. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, I". 3. С. 395-453.

18. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М., 1974. 478с.

19. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1989. 624с.

20. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.

21. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, i" 1. С. 38-41.

22. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Об оптимальном описании пучка выживающих траекторий управляемой системы / / Дифференц. уранения. 1987. Т. 23. I" 8. С. 1303-1315.

23. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Тр. матем. инта РАН. 1995. Т. 211. С. 304-315.

24. Незнахин A.A., Ушаков В.Н. Построение ядра выживаемости с ограниченным блужданием для дифференциального включения // Деп. в ВИНИТИ 16.12.00 f. 3083-В00 24с.

25. Незнахин A.A., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Распределенные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде. Сборник докладов к Международной конференции. Научное издание. Екатеринбург: УрО

РАН, 2000. С. 156-158.

26. Никольский М. С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы // Докл. РАН. 1996. Т. 350. f. 6 С. 739-741.

27. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1 Функциональный анализ. М., 1977. 357с.

28. Сатимов Н., Азамов А. К задаче избежания столкновений в нелинейных системах // Докл. АН УзССР. 1974. Г1 6. С. 3-5.

29. Тонкое Е.Л. Динамические задачи выживания // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион.-дифференц. уравнения (спец. вып.). 1997. I" 4. С.138-148.

30. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика 4. 1980. С. 32-45.

31. Фазылов А.З. Достаточные условия оптимальности для задачи выживания // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3 С. 535-537.

32. Фазылов А.З. К задаче избежания столкновений // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1987. Г1 3. С. 30-36.

33. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., 1985. 223с.

34. Филиппова Т. Ф. Задачи о выживаемости для дифференциальных включений.: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Екатеринбург. 1992. 266. с. /Ин-т математики и механики УрО РАН.

35. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421с.

36. Aubin J.-P. Viability theory. Boston: Birkhauser, 1991. 326 p.

37. Aubin J.-P. Mutational and Morphological Analysis. Tools for Shape Regulation and Optimization. 1998. 352 p.

38. Aubin J.-P. A survey of viability theory // SIAM J. Contr. and Optim. 1990. V. 28. N 4. P. 749-788.

39. Blagodatskih V. I. Sufficient condition for optimality in problems with state constraints // Appl. Math, and Optim. 1981. V. 7. N 2. P. 149157.

40. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. of Math. 1984. 31. P. 83-100.

41. Nagumo M. Uber die Lage der Intergralkurven gewohnliker Differentialgleichungen // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. 24. P. 551-559.