CC BY
44
Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ВКЛЮЧЕНИЯ, посвященная памяти Александра Ивановича Булгакова
УДК 517.51
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО БАНАХОВА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА ПО КОНУСУ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
© Э. Г. Бахтигареева, М. Л. Гольдман, П. П. Забрейко
Ключевые слова: обобщенное банахово функциональное пространство; перестановочно-инвариантное пространство; ассоциированные нормы; конусы неотрицательных функций; принцип двойственности.
Исследуется задача о построении минимального обобщенного банахова функционального пространства, содержащего заданный конус неотрицательных измеримых функций. Получены общие формулы для обобщенной функциональной нормы, ассоциированной с нормой оптимального пространства, и дана их конкретизация в случае конуса, заданного интегральным представлением.
ВВЕДЕНИЕ
В работе рассмотрена проблема построения оптимального (т. е. минимального) банахова пространства измеримых функций, содержащего заданный конус неотрицательных функций. Подобная проблема часто возникает в теории вложения пространств дифференцируемых функций. Строится оболочка конуса, принадлежащая категории обобщенных банаховых функциональных пространств. Здесь мы расширяем аксиоматику, развитую в книге К. Беннетта и Р. Шарпли [1]. Более общая концепция идеальных пространств (векторных решеток) и, соответственно, симметричных пространств развивалась в книге С. Г. Крейна, Ю.И. Петунина и Е. М. Семенова [2], а также в работах [3-5]. В данной работе мы развиваем некоторые результаты [6], построения которой опирались на систему аксиом К. Беннетта и Р. Шарпли [1]. Обобщение системы аксиом позволило рассмотреть существенно более широкие классы конусов неотрицательных функций, к которым применены построения, развитые в [6].
Данная работа состоит из четырех разделов. В первом рассмотрено понятие обобщенного банахова функционального пространства (кратко: ОБФП ) и изложены общие свойства
ОБФП. Показаны справедливость для них леммы Фату, свойство полноты, рассмотрены ассоциированные ОБФП и принцип двойственности для ассоциированных норм.
Во втором разделе дано решение задачи о построении оптимального обобщенного банахова функционального пространства в общем случае. В разделе 3 приведена конкретизация такого построения в случае конусов, допускающих интегральные представления. Раздел 4 содержит пример построения оптимального ОБФП для конуса неотрицательных убывающих функций из Ьр(Ш+). Этот пример иллюстрирует возможные соотношения между оптимальными ОБФП и БФП, а также оптимальными перестановочно инвариантными пространствами для данного конуса неотрицательных функций.
Построение оптимальных ОБФП, БФП и перестановочно инвариантных пространств для заданных конусов неотрицательных измеримых функций дает основу для дальнейших применений в теории оптимальных вложений для пространств дифференцируемых функций, таких как обобщенные пространства Соболева и Бесова и пространства обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса(см. об этом работы [7-9]).
1. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОГО БАНАХОВА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Через (A; ß) обозначим пространство с мерой, которую считаем неотрицательной и а -конечной. Через M = M(A; ß) обозначим множество ß -измеримых функций, далее Mo = = Mo(A; ß) есть множество ß -измеримых конечных почти всюду функций, M +(A; ß) = {f £ £ M(A; ß), f > 0}; M+(A; ß) = M0(A; ß) П M + (A; ß). Напомним определения функциональной нормы (кратко: ФН) и порожденного ею банахова функционального пространства (кратко: БФН)(см. Беннетт—Шарпли, гл.1).
Определение 1.1. Отображение р: M + ^ [0, то] есть ФН, если для всех f, g, fn(n £ £ N) из M +, всех констант a > 0 и всех ß -измеримых подмножеств E С A выполнены следующие условия:
(P1) p(f ) = 0 & f = 0 ß-п.в.; p(af) = ap(f); p(f + g) < p(f) + p(g)
(P 2) 0 < g < f ß-п.в. ^ p(g) < p(f) (1.1)
(монотонность)
(P 3) 0 < fn T f ß-п.в. ^ p(fn) T p(f) (1.2)
(свойство Фату)
(P4) ß(E) < то^ i fdß < CeP(f) (1.3) Je
(локальная интегрируемость)
для некоторой Ce £ R+, зависящей от E и р, но не от f.
(P5) ß(E) < то ^ p(xe) < то. (1.4)
Определение 1.2. Пусть р есть ФН. Множество X = X (р) всех функций из M, для которых p(\f |) < то называется банаховым функциональным пространством (кратко: БФП), порожденным ФН р; при этом для f полагаем
f Ух = р(и\).
Мы обобщим эти определения, ослабляя (P4) и (P5).
Определение 1.3. Отображение р: M + ^ [0, то] есть обобщенная функциональная норма (кратко: ОФН), если оно удовлетворяют (P1)—(P3) из определения 1.1, а также условиям:
(P4)' /(E) < то ^ 3hß £ M+, He > 0 /- п.в. на E, такая что
f fhEd/ < p(f). (1.5)
Je
Здесь функция He зависит от E и р, но не от f £ M+.
(P5)' /(E) < TO^3fE £ M +, fE > 0п.в. на E; p(fE) < то.
Определение 1.4. Пусть р есть ОФН. Множество X = X (р) всех функций из M, для которых р( | f |) < то называется обобщенным банаховым функциональным пространством (кратко: ОБФП), порожденным ОФН р; при этом для f полагаем
\\f Ух = ((If I)- (1-6)
Отметим, что (P4) ^ (P4)'; (P5) ^ (P5)'. Действительно, если выполнено (1.3), то при He = C—1xe получим (1.5); если выполнено (1.4), то положим fE = Xe и получим свойство
(P 5)'.
Пример 1.5. Пусть X = X (A; /) есть БФП с нормой \\-\\х ; u £ M+, 0 <u< то / -п.в. на A. Тогда пространство
XM = {f £ M : \\fu\\x < то}
с нормой
\\f \\х„ = \\fu\\x .
есть ОБФП. Выполнение свойств (P1) — (P3) для Xu сразу следует из справедливости этих свойств для X. Из свойства (P4) для X следует свойство (P4)' для Xu с функцией He = CE. Свойство (P5) для X влечет свойство (P5)' для Xu с функцией fE = XE.
В частности, пусть X = Lp(A), 1 < p <то. Тогда при любом весе u £ M +, 0 <u< то / - п.в., весовое пространство Xu с нормой
Xu — \\J a\\Lp(A)
есть ОБФП. Для того, чтобы оно было БФП необходимо выполнение более жестких условий на вес. Именно, при p + p = 1
(P4) ^ U e Li/c(A); (P5) ^ u e Llpoc(A).
Ниже сформулированы и, для полноты изложения, обоснованы свойства ОБФП, аналогичные известным свойствам БФП, приведенным в [1, гл. 1].
Предложение 1.6. Пусть р есть ОФН и пусть X = X (р) с ||-\\х таково, как в определении 1.4. Тогда X С M0 и (X, ||-||х) есть линейное нормированное пространство с естественными операциями сложения и умножения на числа.
Доказательство П р е д л о ж е н и я 1.6. 1. Требуется доказать, что для У f e X выполнено условие: \f \ < то ц - п.в. на A. Для f e X имеем p(\f \) < то, так что согласно (1.5) \f\hß e L\(E). По известным свойствам интеграла отсюда следует, что \f\hß < то ц - п.в. на E. Так как hß > 0 ц- п.в. на E, то получаем: \ f \ < < то ц - п.в. на E. Поскольку мера ц а — конечна, то \f \ < то ц- п.в. на A, т. е. f e M0.
2. Для функций из Mo корректно определены операции сложения и умножения на числа, так что X есть линейное пространство с нормой ||-||x (1.6). Выполнение всех аксиом нормы следует из свойств (P 1)-(P2). Именно,
1) llf ||х > 0,yf G X; llf ||х = 0 & р(\f\) = 0 & f = 0; 2) Ы||х = р(Ы\) = \аШ\) = \а\ f ||х , а G R; 3) f + gUx = р(и + g\) < р(и\ + \g\) < ei\f \) + р(Ы) = f ||x + Мх.
Предложение 1.7. Пусть X = X (р) есть ОБФП, fn G X,n G N. Тогда
(i) если 0 < fn T f ß - п.в., то либо f/X и Ufn ||x T то, либо f G X и
HfnUx TUf ||x. (1.7)
(ii) если fn ^ f ß-п.в. и liminfn^<x HfnHx < то, то f G X и
Hf ||x < liminf HfnUx . (1.8)
n^tt
Доказательство Предложения 1.7. (i) следует из определения 1.4 и свойства (P3). Докажем (ii). Рассмотрим hn(x) = infm>n \fm(x)\, тогда 0 < hn T \f \ ß-п.в., так что р(Нп) T р(\f\) по свойствам (P2), (P3). Но hn <\fm\ ß - п.в. при всех m > n. Следовательно, р(К) < р(\т), Ут > n (по свойству (P2)). Отсюда р(Ю < infm>n р(\fm\) = infm>n HfmHx . Значит Hf ||x = р(\f \) = limn^tt р(Ю < limn^> inf m>n HfmHx = liminf m^tt 11 fm | x . Теорема 1.8. Пусть X есть ОБФП. Пусть fn G X,n G N и
X
J2wfnWx < то. (1.9)
n=1
Тогда, (=i fn сходится в X к функции f £ X и
n=l
мэо
X <Y.fn\\X . (1.10)
n=1
В частности, X есть банахово пространство.
Доказательство Т е о р е м ы 1.8. Пусть tN = J2N=1\fn\,t = Y^=i\fn\, так что 0 < tn T1.
N ж
\\tN\\x < у, \\fn\x
< \ fn
\\x <
n=i n=i
Таким образом, 0 < tN T t и supN \\tN\\x < то, откуда, согласно Предложению 1.7 (i) следует t £ X, т. е. ряд ХЖ=1 \fn\ сходится ц - п.в. Значит сходится абсолютно ц - п.в. ряд ХЖ=1 fn, т. е. ж=1 fn = f £ Mo. Следовательно, f = limN^ж Sn,Sn = Y1 n=1 fn.
Поэтому, УМ £ N Sn — Sm ^ f — Sm(N ^ то) ц - п.в. Далее, по неравенству Минковского
N ж
liminf \\Sn — Sm\\x < liminf E \\fn\\x = E \\fn\\x ^ 0 (M ^ то),
NN
n=M +1 n=M+1
т. к. ряд (1.9) сходится. Тогда, согласно Предложению 1.7, (ii): f — Sm £ X, \\f — Sm\\x < < liminfn^ж \\Sn — Sm\\x ^ 0 (M ^то).
Итак, f - Sm e^X,SM e X ^ f = (f - Sm) + Sm e X и Hf - Sm ||х ^ 0 (M ^то). Значит, f = Ж=1 fn (сходимость в X ). Кроме того,
M
||Sm ||х ^YsUfnUx . (1.11)
n=i
Из сходимости по норме следует сходимость норм:
X = Jim ||SM|x .
M ^ж
Переходя к пределу в (1.11), получаем:
M ж
f ||x = Jim ||SM||x < .lim E WfnWx = £ f ||x .
M^ж M^ж *—' ^—'
n=i n=i
Определение 1.9. Для ОФН р введем р' на M + формулой: для g e M+
p'(g) = sup{ A fgd-ц : f e M +, р(/) < 1} . (1.12)
Теорема 1.10. Пусть р есть ОФН. Тогда ассоциированная норма р' также есть ОФН; порожденное ею пространство X' = X(р') есть ОБФП.
Доказательство Т е о р е м ы 1.10. 1. Отметим, что справедливо неравенство
I fgdц < р(/)р'(д), yf,g e M+. (1.13)
A
Если f = 0 & р(/) = 0, то (1.13) примет вид: 0 < 0.
Если g = 0, то из (1.12) ^ р' (g) = 0, т.е. (1.13) снова примет вид: 0 < 0.
Пусть теперь f = 0,g = 0. Если р(/) = то, то (1.13), очевидно, выполнено. Итак, остается случай, когда 0 < р(/) < то. Положим f = pfy. Тогда р(f) = 1 и, согласно (1.12),
f g^ < р'^.
■) А
Отсюда сразу следует (1.13).
2. Покажем, что р'(д) = 0 ^д = 0 ц- п.в. на А.
Из (1.13) видим, что
р'(д) = 0 ^ [ /дйц = 0 У/ е М +. (1.14)
А
Для любого множества Е С А с ц(Е) < ж берем / = Не из условия (Р4)'. Тогда, с учетом (1.14), имеем
0 < / Недйц < Недйц = 0. зе за
Итак, /е Недйц = 0,Не > 0 ц - п.в. на Е ^ д = 0 ц - п.в. на Е. В силу а -конечности меры ц отсюда следует, что д = 0 ц - п.в. на А. Остальные свойства из (Р1) для р', очевидно, выполнены:
р'(ад) = ар'(д),а > 0; р'(д1 + д2) < р'Ы + р'(д2)
(см.(1.12)). Очевидно, выполнено также условие (Р2). Итак, р' удовлетворяет условиям (Р1), (Р2).
3. Покажем выполнение свойства Фату (Р3). Пусть дп,д £ М + и 0 < дп Т д у - п.в. По уже доказанному свойству (Р2) для р' имеем: р'(дп) Т,р'(дп) < р'(д),п £ N. Если р'(дп) = то при некотором п £ М, то доказывать нечего. Пусть р'(дп) < то,п £ N. Для любого числа £ £(0,р'(д)), согласно (1.12), найдется / £ М +, р(/)< 1, такая что /А /дйу>£. Но /а /дпйу Т /а /дйу. Следовательно, ЗМ = N(£), такое что /а /дпйу>£, Уп > N. Тогда р'(дп) > А /дпйу>£, Уп > N. Значит, р'(дп) Т р'(д), что и дает свойство (Р 3).
4. Докажем свойство (Р4)' для нормы р'. Согласно свойству (Р5)' для нормы р, для любого Е С А с у(Е) < то найдется /Е £ М+,/Е > 0 у — п.в. на Е,р(/Е) < то. Ясно, что р(/Е) > 0. Рассмотрим /е = рЕ). Имеем, р(/Е) = 1 и, согласно (1.12), для любой д £ М+
/ /Едйу < /Едйу < р(/Е)р'(д) = р'(д), зе за
причем /е > 0 у — п.в. на Е. Это и есть свойство (Р4)' для нормы р'.
5. Осталось проверить (Р5)' для нормы р'. Согласно (Р4)' для нормы р при Е С А с у(Е) < < то ЗНЕ £ М+,НЕ > 0 у — п.в. на Е, такая что верно (1.5). Положим НЕ = НЕхЕ £ М+. Для любой / £ М + с р(/) < 1 имеем
/ Не/йу = Не/йу < р(/) < 1. .Уа Зе
Значит,
р'(НЕ) = вир {А Не/йУ ■ / £ М+, р(/) < ^ < 1.
Итак, ЗдЕ = Не £ М+,дЕ > 0 у — п.в. на Е; р'(дЕ) < то, т. е. имеет место свойство (Р5)' для нормы р'.
Замечание 1.11. В определение идеальной структуры (см. [2]) входят свойства (Р1), (Р2) и свойство полноты. Для идеальной структуры со свойством Фату к этим требованиям добавляется свойство (Р3).
Из определений 1.3 и 1.4 и теоремы 1.8 видим, что ОБФП также есть идеальная структура со свойством Фату (в частности, X - полно).
1. Для таких структур в [2] доказано вложение X С Б(А, у) - пространство функций из М с топологией сходимости по мере на каждом множестве Е С А с у(Е) < то.
2. Для таких структур там сформулирован также принцип двойственности:
X'' = X. (1.15)
Таким образом, он применим к ОБФП.
2. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБОБЩЕННОЕ БАНАХОВО ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ЗАДАННОГО КОНУСА ФУНКЦИЙ
Пусть (А; у) — пространство с мерой, которую считаем неотрицательной и а-конечной. Через 9 (А; у) = {К = К (А; у)} обозначим множество конусов, К = К (А; у) С М+ (А; у), снабженных положительно однородными функционалами рк ■ К — [0, то) со свойствами:
1) Н £ К, а ^ 0 ^ аН £ К, рк (аН) = арк (Н);
п) рк (Н) = 0 ^ Н = 0 почти всюду на А.
Рассмотрим проблему построения оптимального (т. е. минимального) ОБФП Xо = Хо (А; ц) для вложения конуса К еЭ (А; ц) в ОБФП X = X (А; ц) :
К ^ X. (2.1)
Определение 2.1. Вложение К ^ X означает, что К С X и существует постоянная ск е Е+, такая что
\\Н\\Х < скрк (Н), Н е К. (2.2)
Определение 2.2. ОБФП X0 = X0 (А; ц) называется оптимальным (минимальным) для вложения (2.1), если
1) К»Xо;
2) если для некоторого ОБФП X = X (А; ц) справедливо вложение (2.1), то X0 С X.
Теорема 2.3. Пусть К е Э (А; ц) , причем выполнены условия: для любого подмножества В С А с ц (В) < ж существуют функции /в е М+(А; ц),Нв е К, такие что
/в, Нв > 0 ц — п.в. на В; К ^ Р1(В, /в), т. е.
Зсв е Е+ : Н/вйц < сврк(Н), УН е К. (2.3)
в
Тогда, пространство
К' = К' (А; ц) = {д е М (А; ц) : \\д\\к < ж} ,
с нормой
\\g\\K, = sup |У \g\hd¡л : h е К, рк (h) ^ 1
есть ОБФП, а ассоциированное с ним ОБФП Хо = Хо (A; ¡) = [К' (A; ¡)]' является оптимальным для вложения (2.1).
Замечание 2.4. Если бы вместо конуса К е9 (A; ¡л) в условии теоремы было ОБФП К = К (A; л), то по принципу двойственности для ОБФП (см. раздел 1) мы получили бы, что Хо = (К')' = К. Здесь же вместо конуса мы получаем минимальное ОБФП, его содержащее.
Доказательство Теоремы 2.3.
1. Для доказательства того, что К' (A; ¡л) есть ОБФП, нужно показать, что порождающий его функционал
р (g) = sup|y ghdл : h е К, рк (h) < l| , 0 < g е M + (A; ¡), (2.4)
является ОФН, т. е. он удовлетворяет условиям Определения 1.3. Сразу отметим, что для 0 < g е M + (A; ¡) , h е К,
j ghd^ < р (g) рк (h). (2.5)
A
Действительно, Н = 0 & рк (Ь) = 0, тогда (2.5) очевидно. Если же рк (Н) > 0, то Н0 := = рк (Н)-1 Н е К; рк (Но) = 1 и из определения (2.4) видим, что
У дНойц < р (д).
А
Отсюда следует неравенство (2.5).
Далее, для любого множества В С А с ц (В) < ж получим, используя (2.5), что для Нв е е К из условия теоремы,
J дНвйц <1 дНв ^ рк (Нв) р (д). (2.6)
в А
Отсюда следует свойство (Р4)': мы имеем
Нв = 0 * рк (Нв) > 0 * Нв = Нв рк (Нв )-1 е К, рк (Нв) = 1,
и, в силу (2.6), получим
/ дНвйц < р(д), в
причем Нв > 0 ц п. в. на В. Это неравенство показывает, в частности, что
р(д) < ж* дНвйц < р(д) < ж* д < ж
в
почти всюду на множестве В С А с ц(В) < ж, и значит, почти всюду на А.
Докажем свойство (Р1), т. е. что функционал (2.4) имеет нулевое ядро, удовлетворяет неравенству треугольника и положительно однороден. Если р (д) =0, то для любого множества В С А с ц (В) < ж получим, используя (2.6), что
J дНв йц = 0.
в
Следовательно, дНв = 0 почти всюду на В. Поскольку Нв > 0, то д = 0 почти всюду на В. Поскольку здесь В —любое подмножество множества А с ц (В) < ж, то д = 0 почти всюду на А. Таким образом, функционал имеет нулевое ядро. Неравенство треугольника следует непосредственно из формулы (2.4). Наконец, отметим, что р (ад) = ар (д). Тем самым доказано свойство (Р1) для функционала р.
Далее, свойство монотонности (Р2), очевидно, выполнено:
0 ^ д ^ / почти всюду * р (д) ^ р (/) .
Докажем свойство Фату (Р3). Пусть 0 ^д1Тд (почти всюду). Тогда,
О < я,Н т ф, Ш е К * ¡д,Мц т/ <Мц, ЧН е К (2.7)
АА
(последняя импликация следует из теоремы Б. Леви о монотонной сходимости). Имеем далее, используя свойство (Р2), р (дг) Т; р (дг) ^ р (д). По определению, для любого
£ £ (0,р (д)) найдем функцию Н = Н% £ К, такую что рк (НИ ^ 1, /дН%йу>£. Положим
А
тогда Н = в (2.7) и получим, что
З1 (£) £ N ■ А дгйу>£, У1 (£).
А
Тогда,
р (дг) ^ I дгкйу>£, У1 >I (£).
А
Таким образом,
£ < р (дг) < р (д), У1 > I (£) ^ р (дг) - р (д).
Этим доказано свойство Фату (Р3).
Осталось доказать свойство (Р5)'. Для этого используем условие теоремы: З/в £ М +, /в > 0 у - п. в. на В, для которой выполнено условие (2.3). Положим /в = /вХв. Тогда /в £ М+, /в > 0 у - п. в. на В, причем, с учетом (2.3), получим
р /в) = вир | А Н/вйу ■ Н £ К, рк (Н) ^ 11 = вир | А Н/вйу ■ Н £ К, рк (Н) ^ <
< св < то.
Таким образом, функционал (2.4) является ОФН. Поэтому из результатов раздела 1 следует, что К' (А; у) есть ОБФП, порожденное этой нормой.
2. Пространство [К' (А; у)]', ассоциированное с К' (А; у), также является ОБФП, причем для Xo (А; у) = [К' (А; у)]' имеем:
\ЩХо =вир {/\фд\ йу ■ д £ М (А; у); \\д\\к, < 1| . (2.8)
Для функции Н £ К получим, опираясь на (2.4), при д £ М (А; у),
У \д\ Нйу < \\д\\к рк (Н).
А
Следовательно, если Н £ К, то Н £ X0, ибо
х0 < Рк (h) sup {\\g\\K, : g £ M (A; ц); \\g\\K, < 1} = рк (h).
Итак, K ^ Xo. Далее, если банахово функциональное пространство X таково, что имеет место вложение (2.1), то X' С X0 = K'. Действительно, согласно (2.1), если h £ K, то h £ X (A; ц), \\h\\X^ cKрк (h). Тогда для любой f £ M (A; ц)
\\f \\x>(A^) = sup^ A \fg\ Лц: g £ X (A; ц), \\g\\x(A^) < ^ ^
^ sup I^A \f \ ^ц : h £ K, \\h\\x (A ; ц) < 1} ^ ^ su^/lf \ hdц : h £ K, рк (h) ^ c^j^ = K sup | A \f \ hdц: h £ K, рк ^hj ^ .
Это означает, что для любой У Е М (А; ц),
У\\х>(Л») > К У\\к>
Х'0 (Л&) ■
Следовательно
X' (А; ц) С Х0 (А; ц); У X(л^ < ск У\\х'(Л;») ■
По принципу двойственности для ОБФП отсюда следует, что Хо (А; ц) С X (А; ц) причем \\3\\ ^ ск, где 3 — оператор вложения. Итак, при Х0 (А; ц) = X (А; ц) вложение (2.1) справедливо, и, если (2.1) имеет место для некоторого ОБФП X (А; ц), то Х0 (А; ц) С X (А; ц) ■ Это означает, что Xо (А; ц) есть оптимальное ОБФП (2.1). Теорема доказана.
3. ОПТИМАЛЬНОЕ БАНАХОВО ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ КОНУСА, ЗАДАННОГО ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ
Приведем конкретизацию теоремы 2.3, когда конус К описывается действием интегрального оператора с неотрицательным ядром на функции из некоторого конуса Ео неотрицательных функций. Пусть заданы два пространства с мерами (А; ц) , (В; V) ■ Меры мы считаем неотрицательными и а— конечными. Пусть Е = Е (В; V) - ОБФП, Ео = Ео (В; V) - некоторый конус неотрицательных функций из Е = Е (В; V) ■
Далее, пусть ядро О (г, т) неотрицательно и измеримо на пространстве (А; ц) х (В; V) ■ Рассмотрим интегральные операторы
г Е А, А Е Ео (В; V) ;
(3-1)
К' (д; т)= О(г,т)д (г) йц (г) , т Е В, д Е М+ (А; ц) ■
ад
Л
Введем конус функций, имеющих интегральное представление:
К = [Н (г) = К (А; г): г Е А, А Е Ео (В; V)} ,
ад
снабженный функционалом
ад
д Е М+ (А; ц) ■
ад
Введем также другой вариант нормы
ад
В приведенных обозначениях имеем следующий результат.
Теорема 3.1. Пусть Ео = Ео (О; V) - некоторый конус неотрицательных функций из ОБФП Е = Е (О; V) ; пусть ядро О(г,т), описанное выше, таково, что для любого множества В С А, ц (В) < то существуют функции ¡в £ М + (А; ц),Хв £ Ео(О; V), такие что
1) ¡в > 0 ц — п.в на В; св ■=
о(г, ■) ¡в (г)(ц (г)
в
< то;
Е'
(3.7)
2) К (Хв; г) > 0, для ц — почти всех г £ В. Тогда, (3.6) есть ОФН, совпадающая с (3.5), а порожденное ею ОБФП
К = К0 (А; ц) = {д £М (А; ц) ■ ро (\д\) < то}
(3.8)
(3.9)
совпадает с ассоциированным ОБФП к оптимальному ОБФП Х0 = Х0 (А; ц) для вложения (2.1).
Замечание 3.2. Если еще конус Ео = Ео (О; V) согласован с множеством
Со = {ф = К' (д)■ д £ М+ (А; ц)} , в том смысле, что для любой ф £ Со,
Е'
= вир I \ф\ X(IV ■ X £ Ео,
и
Е
^ 1
то справедлива формула
ро (д) = ||К (д)\\Е' , д £ М+ (А; ц)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Пример 3.3. Важный в приложениях пример реализации формулы (3.12) получим в случае, когда (О; V) = (Е+; т) (с мерой Лебега т на полуоси Е+), Е = Е (Е+; т) есть перестановочно инвариантное пространство,
Ео = {X £ Е (Е+; т) ■ 0 < X I, X (т + 0) = X (т), т £ Е+} , а ядро О (г, т) убывает по т; О (г,т + 0) = О (г, т) для ц— почти каждого г £ А.
(3.13)
Свойства перестановочно инвариантного пространства подробно рассмотрены в [1, гл. 2]. Обоснование формулы (3.12) для данного примера приведено в [6].
Доказательство Теоремы 3.1.
1. Сначала проверим, что конус (3.4)—(3.5) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.3. Для Н £ К, а ^ 0 имеем: Н = К (X), X £ Ео ^ аН = К (aX) £ К, т.к. aX £ Ео и
рк (аН) = И {||aX||E ■ X £ Ео; К (X) = Н} = арк (Н).
Далее, для любого множества В С А с ц (В) < то рассмотрим функцию ¡в £ М +(А; ц) из условия теоремы. Тогда для любого Н £ К при X £ Ео ■ К (X) = Н имеем
J ¡в(ц (г) = ! и 0(г,т) X (т) (V (т) I ¡в(г)(ц (г). в в \о
Здесь О (Ь, т) Л (т) /в (Ь) ^ 0 — измерима на (А; ц) х (В; V) ; меры ц и V неотрицательный ст -конечны. По теореме Фубини можно переставить порядок интегрирования, и мы получим, применив еще неравенство Гельдера и условие (3.7), что
J Ь/вйц (*) = у и О(Ь,т) ¡в(Ь)йц (Ь)|Л (т) с!и (т) * св ||Л|Е .
в Б \в
Здесь Л € Е0 — любая функция, для которой К (Л) = Ь. Переходя к нижней грани по всем таким Л, получим
У Ь/вйц (Ь) < сврк (Ь), Ь € К.
в
Этим доказано включение К ^ Ь\ (В; /в), а также с учетом (3.7) и произвольности множества В С А с ц(В) < ж, что рк (Ь) = 0 ^ Ь = 0, ц - п.в. на В ^ Ь = 0, ц - п.в. на А. Итак, К € € ,1 (А; ц), более того, К^ Ь\ (В; /в). Наконец, в силу (3.8), положив Ьв = К (Лв) € К, имеем Ьв ^ 0; Ьв (Ь) > 0, для почти всех Ь € В. Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.3 и (3.5) есть функциональная норма, порождающая ОБФП К', ассоциированное с оптимальным ОБФП
2. Остается показать совпадение функционалов (3.6) и (3.5). Тогда мы получим по теореме 2.3, что Хо = (К0) есть оптимальное ОБФП для вложения (2.1).
Подставим в интеграл в (3.5) формулы (3.3) и (3.1) и получим для д € М + (А; ц)
У дЬйц = у дК (Л) йц = ^ д (Ь) Ц О (Ь, т) Л (т) йи (т) I йц (Ь).
А А А \п '
Применим теорему Фубини для неотрицательной измеримой на (А; ц) х (В; V) функции д (Ь) О (Ь, т) Л (т) и получим
У дЬйц = у Л (т) I У О(Ь, т) д (Ь) йц (Ь) I (IV (т) = у ЛК (д)^. (3.14)
А Б \А / Б
Далее, используя определение р0 (3.6) и учитывая, что Л € Е0, получим
У ЛК (g)йv * ЦЛЦЕ Р0 (д).
Б
Таким образом,
У дМц * 1Л11Е р0 (д).
А
Переходя здесь к нижней грани по Л € Е0, таким что К (Л) = Ь, получим
У дЬйц * рк (Ь) р0 (д) (3.15)
А
для любого Ь € К. Отсюда,
р(д) = „р{1дМ": Ь€К Рк(Ь)*1} *Л(д)- (316)
Получим обратное неравенство. Для д е М + (А; /л) имеем равенство (3.6). Но, как в (3.14)
У Ж' (д)& = ! дМ/; X е Ео,
Б А
где Н = К (X) е К. Отсюда, с учетом неравенства рК (Н) ^ ||Х||е ^ 1 следует, что
У ХК Ши < р (д).
Б
Это верно для любой функции X е Е0, ||Х||е ^ 1. Следовательно,
ро (д) < р (д). (3.17)
Из (3.16) и (3.17) следует совпадение функциональных норм (3.5) и (3.6). Из него по теореме 2.3 сразу следуют остальные выводы теоремы 3.1.
4. ПРИМЕР ЯВНОГО ОПИСАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ОБФП
В качестве примера рассмотрим задачу построения оптимального ОБФП, содержащего конус Ко неотрицательных убывающих функций из Ьр(0,Т), 1 < р< то; Т е (0, то] :
Ко = {Н е ьр(о,т): о < н 1,н(г + 0) = Н(г),г е (о,т)}, (4.1)
снабженный естественным функционалом:
РКо(Н) = ||Н||Мо;Т) = (£ Р . (4.2)
Здесь, опираясь на результаты Раздела 2, мы приводим явное выражение для оптимальной нормы. Сразу отметим, что оптимальное ОБФП Хо(0,Т), содержащее конус Ко, оказывается строго уже, чем все пространство Ьр(0, Т). Кроме того, при Т < то, оно является БФП в аксиоматике Беннета—Шарпли (см. определение 1.2), в то же время, при Т = то оно дает пример ОБФП, которое не является БФП. Отметим также, что решение подобной задачи в рамках теории перестановочно инвариантных пространств приводит к оптимальному перестановочно инвариантному пространству Хо(0, Т) = Ьр(0, Т).
Теорема 4.1.
1. В приведенных обозначениях, оптимальное перестановочно инвариантное пространство Хо(0,Т), содержащее конус Ко (4.1), совпадаете Ьр(0,Т).
2. Оптимальное ОБФП Хо(0,Т), содержащее конус Ко (4.1), имеет норму
гТ \ 1
г1 \ р
р
Ш ||*0 (о , Т) = Ш , Т) мо , Т) = ^ о Ш Т) Я) . (43)
З а м е ч а н и е 4.2. Имеет место строгое вложение
Хо(0,Т) С Хо(0,Т) = Ьр(0,Т). (4.4)
Кроме того, при Т = то пространство с нормой (4.3) является ОБФП, но не является БФП. Именно для него не выполняется свойство (Р5) из определения 1.1. Действительно, на полуоси М+ = (0, то) нетрудно построить множество конечной меры, характеристическая функция
которого будет иметь бесконечную норму (4.3). Однако любая положительная убывающая функция из Lp(0, ж) годится в качестве функции Je в свойстве (P5)' из определения 1.3.
Замечание 4.3. Если вместо конуса Ко (4.1) рассмотреть конус Ki всех неотрицательных функций из Lp(0,T) :
Ki = {h е Lp(0,T): h > 0} , (4.5)
снабженный естественным функционалом
PK! (h) = ||h||M(vr) = (£ hpdty, (4.6)
то для оптимальных БФП и ОБФП Xi(0, T) и перестановочно инвариантного пространства X1(0,T), содержащего конус К1, справедливы равенства
Xi(0,T) = Xi(0,T) = Lp(0,T). (4.7)
Обоснованию результатов раздела 4 будет посвящена отдельная заметка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. New York: Academic, 1988.
2. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.
3. Забрейко П. П. Нелинейные интегральные операторы // Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж, 1966. Вып. 8. С. 3-148.
4. Забрейко П. П. Исследования по теории интегральных операторов в идеальных пространствах функций // дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. 400 с.
5. Забрейко П. П. Идеальные пространства функций. 1 // Вестник Ярославского Университета. 1974. Т. 8. С. 12-52.
6. Гольдман М.Л., Забрейко П.П. Оптимальное восстановление банахова функционального пространства по конусу неотрицательных функций // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. Т. 284. (принята в печать).
7. Goldman M. L. Rearrangement Invariant Envelopes of Generalized Besov, Sobolev, and Calderon spaces // Contemporary Mathematics. 2007. V. 424. P. 53-81.
8. Гольдман М. Л. Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса // Труды Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2010. Т. 269. С. 91-111.
9. Goldman M. L., Haroske D. Estimates for continuity envelopes and approximation numbers of Bessel potentials // Journal of Approximation Theory. 2013. V. 172. P. 58-85.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-90014-Бел-а, № 11-01-00744-а, № 12-01-00554-а).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Bakhtigareeva E. G., Goldman M. L., Zabreiko P. P.
OPTIMAL RECONSTRUCTION OF GENERALIZED BANACH FUNCTION SPACE FOR GIVEN CONE OF NONNEGATIVE FUNCTIONS
The problem is investigated concerning the construction of minimal Generalized Banach function space containing the given cone of nonnegative measurable functions. The general formulas are obtained for generalized function norm of the associated space to the optimal one, and some concretizations of these descriptions are obtained in the case of a cone determined by integral representation.
Key words: Generalized Banach function space; rearrangement invariant space; associated norms; cones of nonnegative functions; principle of duality.
Бахтигареева Эльза Гизаровна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, дипломник кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Bakhtigareeva Elza Gizarovna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Graduate Student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Гольдман Михаил Львович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Goldman Mikhail Lvovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Забрейко Петр Петрович, Белорусский государственный университет, г. Минск, Белоруссия, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Zabreyko Pyotr Petrovich, Belarusian State University, Minsk, Belarus, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: [email protected]
УДК 517.9
КВАЗИБЕГУЩИЕ ВОЛНЫ КАК ЕСТЕСТВЕННОЕ РАСШИРЕНИЕ КЛАССА
БЕГУЩИХ ВОЛН
© Л. А. Бекларян
Ключевые слова: бегущие волны; волновое уравнение; функционально-дифференциальное уравнение.
Исследуется вопрос существования решений типа бегущей волны для конечноразност-ного аналога нелинейного волнового уравнения. В случае неоднородной среды для исчезающих решений типа бегущей волны дается их естественное расширение в виде решений типа квазибегущей волны.
1. Введение
Многие прикладные задачи приводят к изучению решений типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем. В частности, в теории пластической деформации изучается бесконечномерная динамическая система
тУг = Уг+1 - 2уг + У—1 + ф(Уг), г е Z, г е К, (1.1)
где потенциал ф(-) задается гладкой периодической функцией. Уравнение (1.1) является системой с потенциалом Френкеля-Конторовой [1]. Такие системы моделируют поведение счетного числа шаров массы т, помещенных в целочисленных точках числовой прямой, где каждая пара соседних шаров соединена между собой упругой пружиной. Изучение таких систем с различными потенциалами является одним из интенсивно развивающихся направлений в теории динамических систем. Для них центральной задачей является изучение решений типа бегущей волны, как одного из наблюдаемых классов волн.
Система (1.1) является конечноразностным аналогом нелинейного волнового уравнения, описывающего распространение волн в однородном бесконечном стержне.
Определение 1.1. Будем говорить, что решение {Уг(-)}-^ системы (1.1), определенное для всех г е К имеет тип бегущей волны, если существует т> 0 , не зависящая от г и г, что при всех г е ^ и г е К выполнено равенство
Уг(г + т )= уг+г(1). (1.2)
Константу т будем называть характеристикой бегущей волны. □
Одним из методов исследования таких систем является конструктивное построение решений, использующее явный вид правой части. На этом пути для системы (1.1) с гладкой периодической функцией ф(.) были построены специальные классы решений типа бегущей волны. Методами теории возмущений были построены решения типа бегущей волны и для близких потенциалов. Обзор по работам такого направления для бесконечномерных систем с потенциалами Френкеля-Конторовой и Ферми-Паста-Улама приведен в работе [2]. Вместе с тем такой подход не позволяет описать пространство всех решений типа бегущей волны, а также их возможный рост.
Другой подход для конструирования решений основан на использовании различных физических соображений относительно такой системы. На этом пути удается изучить некоторые системы и со специальными типами особенностей для потенциала (доклад Д. Трещева на международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. 2002, Москва).
Ниже предлагается подход, при котором решения типа бегущей волны для системы (1.1) могут быть реализованы как решения однопараметрического семейства функционально-дифференциальных уравнений точечного типа [3-5]. При этом систему (1.1) с потенциалом без особенностей удается исследовать при более общих предположениях на потенциал ф(-) в виде условия Липщица с константой Ь . В рамках предложенного формализма удается описать решения типа бегущей волны, а также их возможный рост, связанный с характеристикой бегущей волны. Оказывается, что решения типа бегущей волны могут быть реализованы как решения однопараметрического семейства функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Стационарные решения исследуются на устойчивость.
Предлагаемый подход позволяет исследовать распространение волн и в случае неоднородного бесконечного стержня, конечноразностный аналог которого описывается системой (1.1) с произвольными массами шаров.
В [6] показано, что для систем с различными массами шаров не существует решений типа бегущей волны, отличных от стационарных, либо прямолинейных равномерных движений. В связи с этим дается определение квазирешения типа бегущей волны как «правильного» расширения понятия решения типа бегущей волны и совпадающие в случае равных масс. В отличие от решений типа бегущей волны, квазирешения типа бегущей волны могут быть реализованы как решения из более широкого класса импульсных решений однопараметрического семейства функционально-дифференциальных уравнений точечного типа.
Ниже, будут сформулированы основные результаты и используемые подходы, приведенные в работе [6].
2. Пространства решений
Мы отмечали, что предыдущие авторы при исследовании решений типа бегущей волны использовали конкретный вид потенциала и, соответственно, его разложение. При таком подходе изучаются бесконечно дифференцируемые, либо аналитические решения. В нашем подходе мы будем изучать решения имеющие заданный рост (экспоненциальный) как по времени, так и по пространству.
Для этого определим семейства банаховых пространств функций с весами
со стандартной топологией полного прямого произведения (метризуемое пространство).
тгУг = У+ - 2Уг + у— + ф(Уг), г е Ъ, г е К,
(1.3)
а также векторное пространство
Кп = П К, К = К", г е Ъ геЪ
( к е Кп, к = ).
В частности, элементами пространства К2 будут бесконечные последовательности
к = {(щ,У^'Пг,Уг € М
(штрих означает транспонирование).
В пространстве Кп определим семейство банаховых подпространств КП^, ц € (0,1]
,:n = {к: sup llx..ll™
с нормой
К^а = {к: sup llxillnnл1Ц < +ж} iez
ЦкЦ^а = sup llxillRnц\г\, iez
и семейство гильбертовых подпространств КП, л е (0,1)
Г +Ж
КПа = к: к е Kn; Y1 <
с нормой
ЦкЦ2а = [ ^ llxillRn¡2|i|]1.
Здесь л это свободный параметр, за счет которого и будет подбираться пространство решений.
Будем полагать, что массы шаров удовлетворяют условию
{m-1}!™ е К^1, т. е. ( sup m-1 < ).
ieZ
Рассмотрим уравнение относительно двух переменных т е (0, +ж) и л е (0,1)
Ст [2л-1 + 1] =lnл-1, (2.1)
где
С = max{1; [L + 2] sup m-1}.
ieZ
Множество решений уравнения (2.1) описывается функциями л1(т), л2(т) , заданными на рис. 1.
Рис. 1. Графики функций ц\(т), ц2(т)
Имеет место равенство л = 2СГ . Так как 0 < л < 1, то для величины Г имеется некоторая абсолютная оценка
Г < (2С)-1.
3. Решения типа бегущей волны. Случай равных масс
Для случая равных масс сформулируем теорему существования и единственности решения типа бегущей волны.
Теорема 3.1. При любых начальных данных i £ Z , a,b £ R, t£ R и характеристиках т > 0 , удовлетворяющих условию
0 <т <т,
для исходной системы дифференциальных уравнений (1.1) существует единственное решение типа бегущей волны с характеристикой т такое, что оно удовлетворяет начальным условиям щ($) = a уО = b, при любом параметре ц £ (ц1(т),ц2(т)) вектор-функция u(t) = {(yi(t), yi(t))Tпринадлежит пространству при любом t £ R, а функция p(t) = ||w(t)||2jU принадлежит пространству L1^C(1)(R) . Такое решение непрерывно зависит от начальных данных a,b £ R . □
Теорема 3.1 не только гарантирует существование решения, но и задает ограничение его возможного роста как по времени t, так и по координатам i £ Z (по пространству).
Заметим, что величины т и ¡1 определяются лишь значениями массы m и константы Липшица L . Так как для любого т , 0 <т <т справедливо включение ¡1 £ (ц1(т), ц2(т)) , то на основании теоремы 3.1 мы можем сформулировать одно полезное замечание.
Замечание 3.1. При любых начальных данных i £ Z , a,b £ R , t £ R и характеристиках т > 0 , удовлетворяющих условию
0 <т <т,
для исходной системы дифференциальных уравнений (1.1) существует единственное решение {уг(^)}+ж типа бегущей волны с характеристикой т такое, 'что оно удовлетворяет начальным условиям yi(t) = a, y/i(t) = b, вектор-функция u(t) = {(yi(t), ryi(t))Tпринадлежит пространству Kпри любом t £ R , а функция p(t) = ||w(t)||2£ принадлежит пространству L1^C(1)(R) . Такое решение непрерывно зависит от начальных данных a,b £ R . □
Если потенциал ф(.) тождественно равен нулю, то решения типа бегущей волны, гарантированные в теореме 3.1, задают прямолинейные равномерные движения {yi(t)}+^ = = {bt + Ыт + а}+™ , (b = 0), либо состояние покоя (b = 0) . Если потенциал ф(.) тождественно не равен нулю, то среди решений типа бегущей волны, гарантированных теоремой 3.1, найдется решение с наперед заданной характеристикой т, 0 <т <т и не описывающее прямолинейное равномерное движение {yi(t)}+™ = {bt + Ыт + (b = 0), либо состояние покоя (b = 0)
(существование нетривиальных решений) .
Нас интересуют вопросы устойчивости стационарного состояния {yi(t)}-+^ = {ai}+^, ai = a, i £ Z типа бегущей волны для системы (6.1). Оно является стационарным тогда и только тогда, когда ф(о,) = 0. Изучение устойчивости системы (6.1) в исходном фазовом пространстве K2 затруднительно, т. к. оно всего лишь метризуемо. Поэтому мы будем рассматривать ее сужение на подпространствах Kц £ (0,1) исходного фазового пространства K2 . Заметим, что стационарное состояние типа бегущей волны принадлежит каждому из фазовых подпространств Kц £ (0,1) т. к. имеет вид {(a, 0)T.
Опредение 3.1. Стационарное решение {yi(t)}+™ = {ai}l^ = a, ai = a, i £ Z типа бегущей волны для системы (1.1) называется ц -устойчивым по Ляпунову, если для любого
е> 0 и любого to найдется такое 5> 0 , что для всякого другого решения {yi(t)}+^ , определенного в окрестности точки t0 и удовлетворяющего условию w(t) = {(yi(t), yyi(t))Tе для любого t из этой окрестности, из неравенства
||w(0) - (а, 0)' Ц2а <е
следует, что к(-) определено при всех t > t0 и
llw(t) - (а, 0)' Ц2а < □
Для изучения устойчивости дополнительно будем предполагать, что потенциал ф(.) дважды непрерывно дифференцируем с равномерно ограниченными производными. Введем обозначение
7 = |Ф(а)|,
где {ai}+^, ai = а, i е Z стационарное состояние типа бегущей волны.
Теорема 3.2. Для системы (1.1) стационарное решение {yi(t)}+^ = {ai}+^ =а, ai = а,
i е Z типа бегущей волны является л -неустойчивым по Ляпунову для любого л< (2 + 7)-1 • □
4. Решения типа бегущей волны. Случай неравных масс
В случае неравных масс вопрос описания решений типа бегущей волны также важен. Функция ф(-) также удовлетворяет условию Липщица. Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1. Если потенциал ф( ) тождественно равен нулю, то для системы (1.3) всякое решение типа бегущей волны c характеристикой т> 0 является стационарным, либо описывает прямолинейное равномерное движение, т.е. все решения типа бегущей волны c
характеристикой т> 0, и только они имеют вид {yi(t)}+^ = {(bt + Ыт + а)}-^ , а,Ь е R . □
Таким образом, как для равных масс, так и для неравных масс, в случае нулевого потенциала решения типа бегущей волны одни и те же. Они описывают либо прямолинейные равномерные движения, либо стационарные состояния.
Теорема 4.2. Если потенциал ф( ) тождественно не равен нулю, то для системы (1.3) всякое решение типа бегущей волны является стационарным решением. □
При ненулевом потенциале, в отличие от случая равных масс, в случае неравных масс нетривиальных решений типа бегущей волны, отличных от стационарных, не существует.
Для изучения устойчивости дополнительно будем предполагать, что потенциал ф(.) дважды непрерывно дифференцируем с равномерно ограниченными производными. Теперь мы в состоянии сформулировать теорему о неустойчивости стационарного решения дифференциального уравнения (1.3) в случае неравных масс. Напомним, что 7 = |ф(а)| .
Теорема 4.3. Если массы шаров таковы, что
sup m-1 < +ж, sup mi < +ж, ieZ ieZ
то для системы (1.3) стационарное решение {yi(t)}-££ = {а^-^ = а, аi = а, i е Z типа бегущей волны является л -неустойчивым по Ляпунову для любого л < (2 + 7)-1 . □
5. Некоторые элементы используемого подхода
Исследование решений типа бегущей волны с заданной характеристикой т> 0 для системы (6.1) означает изучение решений системы
ту = уг+1 - 2уг + у—1 + ф(уг), г е Ъ, г е М, (5.1)
Уг{1 + т )= уг+1 (г). (5.2)
Очевидно, что ограничение на интервал [0, т] всякого решения системы (5.1)—(5.2) с нелокальными ограничениями (5.2) является решением краевой задачи
тгУг = уг+1 - 2уг + у— + ф(уг), г е Ъ, г е [0, т] (5.3)
Уг (т )= ут(0), уг(т ) = ут(0) (5.4)
с нелокальными краевыми условиями (5.4).
В случае 'равных масс верно и обратное: всякое решение краевой задачи (5.3)-(5.4), продолженное в силу дифференциального уравнения (5.1), является решением системы (5.1)-(5.2). Для системы с неравными массами это утверждение является неверным. С другой стороны, в случае равных масс изучение решений краевой задачи (5.3)-(5.4) эквивалентно изучению пространства решений функционально-дифференциального уравнения
х(г) = т-1[ х(г + т) - 2х(г) + х(г - т) + ф(х(г))], г е М (5.5)
и соответствующие решения связаны следующим образом: для любого г е М
х(г) = у[ы-1](г - [гт-1]),
где [.] означает целая часть числа.
Заметим, что в случае неравных масс изучение решений краевой задачи (5.3)-(5.4) эквивалентно изучению пространства решений функционально-дифференциального уравнения
х(г) = [1(г)]-1[ х(г + т) - 2х(г) + х(г - т) + ф(х(г))], г е М, (5.6)
где для любого г е М справедливо тождество 1(г) = тг, г е [гт, (г + 1)т] и они связаны следующим образом: для любого г е М
х(г) = у\гт-1](г - [гт-1]),
где [.] означает целая часть числа.
Рассмотрим пространство К 2 с элементами к = {(иг, Уг)'( ' означает транспонирование). Определим линейный оператор А, оператор сдвига Т и нелинейный оператор ^, действующие непрерывно из пространства К2 в себя по следующему правилу: для любых г е Ъ , к е К2
(Ак)г = (уг, т-1[иг+1 - 2иг + иг-1])', (Тк)г = (к)г+1, (^(к))г = (0, т-1ф(иг))'.
Заметим, что оператор сдвига Т перестановочен с операторами А и ^.
Основная система (5.1)-(5.2) может быть переписана в следующей операторной форме
к = Ак + Е(к), г е М. (5.7)
к(г + т ) = Тк(г). (5.8)
Очевидно, что ограничение на интервал [0, т] всякого решение системы (5.7)—(5.8) с нелокальными ограничениями (5.8) будет решением краевой задачи
к = Ак + ¥(я), г е [0, т]. (5.9)
к(т) = Тк(0) (5.10)
с нелокальными краевыми условиями (5.10).
В случае равных масс операторы А и ^ коммутируют. В этом и есть отличие от случая неравных масс. Из условия коммутативности операторов А и ^ следует, что всякое решение краевой задачи (5.9)—(5.10), продолженное на все м в силу дифференциального уравнения (5.7), является решением системы (5.7)—(5.8).
6. О правильном расширении понятия бегущей волны
Мы видим, что в случае неравных масс шаров класс решений типа бегущей волны очень узок. Вместе с тем возможны решения которые по своему профилю близки к бегущей волне, к определению которых мы и приступаем. Поэтому следует изучать весь класс решений системы
ту = уг+х - 2уг + у— + ф(уг), г е Z, г е К, (6.1)
Уг(г + т)= Уг+\(г) + ф). (6.2)
Очевидно, что ограничение на интервал [0, т] всякого решения системы (6.1)—(6.2) с нелокальными ограничениями (6.2) является решением краевой задачи
тгуг = уг+1 - 2уг + у— + ф(уг), г е Z, г е [0, т] (6.3)
Уг (т) = уг+1(0)+ дг(0), уг(т) = уг+1(0)+ кг(0) (6.4)
с нелокальными краевыми условиями (6.4).
В свою очередь, изучение решений краевой задачи (6.3)—(6.4) эквивалентно изучению пространства импульсных решений того же функционально-дифференциального уравнения
х(г) = [¡(г)]-1[х(г + т) - 2х(г) + х(г -т) + ф(х(г))], г еМ, где для любого г е М 1(г) = тг, г е [гт, (г + 1)т] и справедливы условия
х(г + 0)= х(г - 0) + &, к(г + 0)= к(г - 0)+рг, (яг,рг) = (дг(0),^г(0)), а соответствующие решения связаны следующим образом: для любого г е М
х(г) = у\гт-1](г - [гт^^
где [.] означает целая часть числа.
Основная система (6.1)—(6.2) может быть переписана в следующей операторной форме
к = Ак + ¥(н), г е М, (6.5)
к(г + т)= Тк(г) + д(г), д(г) = {дг(г)}1™. (6.6)
Очевидно, что ограничение на интервал [0, т] всякого решение системы (6.5)—(6.6) с нелокальными ограничениями (5.8) будет решением краевой задачи
к = Ак + ¥(я), г е [0,т]. (6.7)
К(т) = Тх(0) + К, к =({дг(0)}+™, {дг(0)}+™)' (6.8)
с нелокальными краевыми условиями (6.8).
Введем обозначения q = {qi}-^, p = .
Определение 6.1. Будем говорить, что решение {yi(.)}+^ системы уравнений mijji = yi+1 - 2yi + y—i + ф(у^), i Е Z, t Е R
является (q, p) -решением, если существует т> 0 , не зависящее от t Е R, i Е Z , что для любых t Е R, i Е Z выполнены условия
yi(T) = yi+i(0) + 5i, yi(T) = yi+i(0) + pi, i Е Z.
Константу т будем называть характеристикой (q, p) -решения. □
Очевидно, что всякое решение типа бегущей волны является (0,0)-решением. В общем случае обратное утверждение неверно. Оно становится верным в случае равных масс.
Сформулируем теорему существования (q,p) -решения. Будем полагать, что массы шаров удовлетворяют условию
{m-1}-^ Е K^>1, то есть ( sup m-1 < +ж> ).
ieZ
Теорема 6.1. Для любых начальных данных i Е Z, a,b Е R, начального момента времени t Е R, характеристик т > 0 , удовлетворяющих условию
0 < т < Т
и векторе (q,p) Е К|д, Д > Д1(т), для исходной системы уравнений (1.3) существует единственное (), p) -решение с характеристикой т такое, что оно удовлетворяет начальным условиям y() = a, ifi() = b, при любом параметре д Е (д1(т),Д2(т)) П (Д1(т),Д] вектор-функция w(t) = {(yi(t), yi(t))T}-h принадлежит пространству при любом t Е R, а
функция p(t) = ||w(t)||2jU принадлежит пространству L1^C(1)(R) . Такое решение непрерывно зависит от начальных данных a,b, а также от вектора (), p) и массы шаров {m-1}-™ е Kh. □
Близость массы шаров понимается как близость элементов {m- 1}+h в пространстве K^ .
Замечание 6.1. Из теорем 2.1 и 4.1 следует, что в случае 'равных масс (0,0)-решение является решением типа бегущей волны, определенной ранее. □
Очевидно, что для любого д Е (0,1) справедливо вложение
Kn r Kn Kn = Pi Kn
K21 e K21 = I I
0<p<1
Тогда, из теоремы 4.1 следует, что в случае (),p) Е K21 каждая координата yi(.), i Е Z решения основного уравнения будет принадлежать пространству L1^C(1)(R) . Поэтому для таких решений выполняется условие
sup \yi(t + т) - yi+1(t)\^т< sup \yi(t + т) - y/i+1 (t)|ТТlTil <
teR,íez teR,íez
Сформулируем оптимизационную задачу. Пусть массы шаров таковы, что 1
001 .
{m-1}^ Е K1
Задача А. Минимизировать функционал
X(i,1,^Ь,Т; {m-1 }+™) =
= inf max{ sup \yi(t + т) - ym(t)\1Tsup \yi(t + т) - yi+1(t)\1Т^ц^} при ограничениях :
miiji = yi+1 - 2yi + y-1 + фУ), i £ Z, t £ R,
у (г) = а т(Ъ) = Ь,
уг(т)= уг+\(0) + Ъг, уг(т)= уг+\(0)+ рг, г е Z,
Ъ = р = {ргдр) е К22ь
уг(.) еС1^С(1)(М), щг е Z.□ Здесь аргументы г,1,а,Ь,т, {т-1}-™ являются параметрами.
Определение 6.2. (Ъ,р) -решение {уг(-)}1^ с характеристикой т, удовлетворяющее начальным условиям ЩО = а, Щ^Ъ) = Ь , на котором достигается оптимальное значение задачи А, называется квазирешением типа бегущей волны с характеристикой т . □
Теорема 6.2. При любых начальных данных г е Z , а,Ь е М, Iе М, характеристиках т > 0 , удовлетворяющих условию
0 <т <т,
и массах шаров {т-1}!^ е К^)1 существует квазирешение {уг(-)}-^ типа бегущей волны с характеристикой т , удовлетворяющее начальным условиям уц(1) = а, у^(г) = Ь . Для любого значения параметра л е (л-\_(т), л2(т)) вектор-функция ш(г) = {(уг(г),уг(г))Т}-™ принадлежит пространству Кпри любом г е М, функция р(г) = \\ш(г)\\2^ принадлежит пространству С(1) (М), а оптимальное значение функционала
А( г,1,а,Ь,т; {т-1 }-££), как функции от начальных данных а,Ь и масс шаров {т-1}-™ , полунепрерывно снизу. Более того, в каждой точке, заданной значениями параметров а, Ь, {т-1}-™ с равными массами тг = т, г е Z :
(1) квазирешение типа бегущей волны, в действительности являющееся решением типа бегущей волны, непрерывно зависит от начальных данных а, Ь , и массы шаров {т-1}-™ е К^1 .
(2) оптимальное значение функционала А(.), как функции от начальных данных а,Ь и масс шаров {т-1}!™ , непрерывно. □
Близость масс шаров понимается как близость элементов {т- в банаховом прос-
транстве К1 1 .
В отличие от теоремы 2.1 о существовании и единственности решения типа бегущей волны с заданными начальными данными a, b и характеристикой т , в теореме 4.2 отсутствует утверждение о единственности квазирешения типа бегущей волны с заданными начальными данными a, b и характеристикой т. Единственность квазирешения типа бегущей волны гарантируется только в случае равных масс mi = m, i Е Z , когда квазирешения типа бегущей волны становятся решениями типа бегущей волны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Френкель Я. И., Конторова Т. А. О теории пластической деформации и двойственности / / ЖЭТФ. 1938. Т. 8. С. 89-97.
2. Пустыльников Л. Д. Бесконечномерные нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения и теория КАМ // УМН. 1997. Т. 52. Вып. 3 (315). С. 106-158.
3. Бекларян Л. А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и связанные с ними метрические инварианты / / ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. 1999. Т. 67. С. 161-182.
4. Бекларян Л. А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений и их приложения. Групповой подход / / Современная математика. Фундаментальные направления. 2004. Т. 8. С. 3-147.
5. Бекларян Л. А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход. М.: Факториал Пресс, 2007. 288 с.
6. Бекларян Л. А. О квазибегущих волнах / / Математический сборник. 2010. Т. 201. №12. C. 21-68.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-00768-а), программы поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-5998.2012.1).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Beklaryan L.A.
QUASI-TRAVELLING WAVES AS NATURAL EXTENSION OF CLASS OF TRAVELING WAVES
We investigate a problem of the existence of traveling-wave-type solutions for the finite-difference analogue of a nonlinear wave equation. In case of an inhomogeneous medium for vanishing traveling-wave-type solutions a natural extension in the form of quasi-traveling-wave-type solutions is given.
Key words: running waves; wave equation; functional differential equation.
Бекларян Лева Андреевич, Центральный экономико-математический институт РАН, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Beklaryan Leva Andreevich, Central Economic-Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: [email protected]
УДК 519.688
РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
ДЛЯ НАСТРОЙКИ И ПОСЛЕДУЮЩЕЙ РАБОТЫ С РАЗНОСТНЫМИ НЕЙРОНЕЧЕТКИМИ ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫМИ МОДЕЛЯМИ
© С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, Н.Ю. Жбанова
Ключевые слова: параметрическая идентификация; разностная нейронечеткая переключаемая модель.
Рассматриваются разностные нейронечеткие переключаемые модели. Идентификация таких моделей имеет некоторые особенности, для учета которых был предложен специальный подход, послуживший основой программного комплекса.
Введение
Нечеткие модели с переключениями возникли на стыке нечетких моделей и переключаемых систем, и предназначены для моделирования процессов, для которых характерны резкие изменения в структуре, параметрах или окружающей среде [1]. Первые статьи, посвященные нечетким моделям с переключениями, появились около 15 лет назад [2], и интерес к ним как к разновидности переключаемых систем не утихает [3, 4]. Нечеткие разностные модели -традиционный инструмент для описания динамических процессов, характеризуются высокой точностью [5]. Нечеткие разностные модели с переключениями представляют собой синтез переключаемых и разностных нечетких моделей, сочетают их преимущества и применяются в задачах моделирования технологических процессов, для которых характерны сложность, многоэтапность, погрешности в измерениях и слабая изученность связей между переменными. Нейронечеткие разностные переключаемые модели отличаются от нечетких заимствованным у нейронных сетей подходом к настройке параметров.
1. Разностные нечеткие и нейронечеткие переключаемые модели
Разностная нечеткая переключаемая модель задается базой правил (1):
Rla : If m(t) is Ala 11,..., and um(t — n) is Alamn then y(t + 1) = Ub^ + cla (6.1)
Данная модель состоит из нескольких подмоделей и переключаемого сигнала a £ S = (1, 2,... ,s), значение которого определяет активную подмодель в каждый момент времени. Подмодели представляют собой разностные нечеткие модели. На входы каждой подмодели поступают значения процессов щ,... um за несколько моментов времени t,t — 1,... ... ,t — n + 1. Выход модели (6.1) вычисляется по формуле, стандартной для нечетких моделей Такаги-Сугено.
Добавив к модели (6.1) возможность настройки параметров на обучаемом множестве, перейдем от нечеткой модели к разностной нейронечеткой переключаемой модели (РННПМ).
Традиционный для нейронечетких моделей способ настройки -- когда из условия минимизации функции ошибки E подбираются значения всех параметров — зачастую дает не очень хорошие результаты, особенно в случаях большого количества входов модели. Для повышения точности в таких ситуациях используется менее распространенный способ [6], заключающийся в раздельной настройке параметров заключений а^, b^, cla и параметров нечетких множеств Alai- в предпосылках правил.
1.1. Связь РННПМ с нечеткими процессами и подход к идентификации параметров предпосылок правил
Заметим, что векторы значений ^ = [щ(Ь),..., щ(Ь — п + 1)] , приходящие на вход разностной переключаемой нейронечеткой модели (6.1), после фаззификации можно рассмотреть как нечеткие процессы. Нечеткий процесс — это процесс, каждый уровень которого задается некоторым нечетким множеством [7]. Центр и ширина нечеткого процесса представляют собой функции, зависящие от времени. Нечеткий процесс, описанный совокупностью треугольных нечетких множеств, изображен на рис. 1.
Рис. 1. Нечеткий процесс
Параметрическая идентификация модели (6.1) включает в себя задачу идентификации входных нечетких процессов ^ , т. к. нечеткие множества в предпосылках правил А1а^ представляют собой их сечения. Можно сказать, что идентификация параметров предпосылок правил РННПМ равносильна идентификации параметров нечетких процессов.
При стандартном подходе к идентификации предпосылок разностной нечеткой модели параметры каждого сечения нечеткого процесса задаются индивидуально. Количество сечений увеличивается с увеличением глубины памяти модели п. Таким образом, учет более полной информации о моделируемой системе оборачивается резким ростом числа параметров разностной модели и временными затратами на идентификацию. В этом случае возможен альтернативный подход - совокупный анализ всех сечений и описание нечеткого процесса не набором одномерных функций принадлежности, а некоторой единой двумерной функцией.
Такая функция в простейшем случае представляет собой математическое описание нечеткого процесса ^ с линейным центром и постоянной шириной. Можно также сказать, что она является функцией принадлежности двумерного нечеткого множества по аналогии с функциями принадлежности плоских (одномерных) нечетких множеств.
Двумерное гауссовское нечеткое множество В^ с линейным центром и постоянной шириной представлено на рис. 2. Сечения представляют собой одномерные входные нечеткие множества А^ ■ модели (6.1).
Рис. 2. Двумерное нечеткое множество Степень принадлежности нечеткому множеству В^ вычисляется по формуле:
Уаг
п+1
3=1
Е ехр --3 ) + д1°г - - 3))
(6.2)
Правила РННПМ (6.1) в случае использования функций принадлежности В1аг примут вид:
Е1а : щ гв В1а 1,..., аий ит гв В1ат, Шеи у(Ь + 1) = 3>а иъа + С1а.
(6.3)
Использование предлагаемого подхода к идентификации входных нечетких процессов ведет к существенному сокращению количества параметров разностной нейронечеткой модели с переключениями. В базе правил (6.3) задействовано в и раз меньше двумерных нечетких множеств В1аг по сравнению с количеством одномерных нечетких множеств Л1^ в базе (6.1). Чтобы идентифицировать входной дискретный нечеткий процесс иг в соответствии с предлагаемым подходом, нужно задать три параметра двумерной функции принадлежности В1аг: параметры линейного центра д11г, gl0i и параметр ширины . Однако требуется разработка алгоритма настройки параметров.
2. Программная реализация РННПМ
Программная реализация разностной нейронечеткой переключаемой модели была разработана в среде МЛТЬЛБ. Обобщенная структура комплекса программ представлена на рис. 3.
Рассмотрим основные модули программного комплекса более подробно.
2.1. Модуль определения структуры разностной нейронечеткой переключаемой
модели
В модуле БКР8М81шс1 исследователь задает структуру разностной нейронечеткой переключаемой модели — количество подмоделей в , количество ш входных процессов и1,... ... , ит каждой подмодели, количество двумерных гауссовских нечетких множеств для каждого входного процесса.
Выбирается также тип обучения РННПМ — раздельный или по всем параметрам сразу.
Информация, определяемая в этом блоке, передается в блок идентификации параметров. На ее основе также будет сформирована функция, вычисляющая выход модели.
2.2. Модуль предобработки входных значений разностной нейронечеткой
переключаемой модели
Модуль предобработки Ба1аРгос предусматривает возможности прореживания и сглаживания входных данных и представляет собой файл-функцию МЛТЬЛБ. Файл-функция Ба1аРгос получает входные значения (например, снимаемые в реальном времени датчиками) и обрабатывает перед подстановкой в модуль вычисления выходного значения. Пользователь задает длину каждого входного вектора. Для сглаживания используются стандартные алгоритмы МЛТЬЛБ — 1с№е88 (взвешенный МНК), sgolay (фильтр Савитского-Голея) и некоторые другие.
Так как при совокупном анализе сечений в нечеткий процесс можно преобразовать дискретный входной процесс ^ любой длины п, не увеличивая при этом число параметров двумерного нечеткого множества (6.2), на количество настраиваемых параметров разностной нейронечеткой переключаемой модели файл-функция Ба1аРгос не влияет.
Визуализация результатов вычислений
Модуль настройки предпосылок прав:-ьт
Рис. 3. Обобщенная структура комплекса программ
2.3. Модуль настройки параметров предпосылок правил разностной нейронечеткой переключаемой модели
К параметрам предпосылок правил подмодели РННПМ в случае использования функций принадлежности (6.2) относятся параметры центров д1и , gl0i и ширины hi двумерных нечетких множеств Blai. Для их определения разработан модуль настройки предпосылок, представляющий собой файл-функцию CenterFinding.
Пошагово алгоритм настройки предпосылочных параметров двумерных нечетких множеств Blai можно описать так. Алгоритм 1.
1. Пусть к -й элемент обучающего множества имеет вид (Uk, yk) , k = 1,... ,K . Здесь Uk =
l k k\T „ k
= (uk,..., u^J - матрица, составленная из значений входных процессов, uk =
= [uk (t),..., uk (t — n + 1)] - значения i -го процесса. По векторам uk (для к = 1,... ,K ) строятся линии регрессии вида ui = д0 + д1 t. В результате получим набор параметров
[(до1 ,д1),...,(д0°,д?)].
2. Пусть t0 = t — n + 1, u!k = дОЦ + дkt0 . Выберем значения u'max и umin . Отрезок [■Umin, umax] разобьем на Q участков. Здесь Q — требуемое количество двумерных нечетких множеств B^i,...,BQi для фаззификации входного процесса ui. В результате область значений входа ui окажется разбитой горизонтальными линиями на Q фрагментов.
3. Коэффициенты до и д1 прямых, попавших в интервалы, усредняются по каждому из интервалов. Усредненные значения (дО^д^р) , • • •, (д<ср, д?ср^ принимаются за параметры
центров входных нечетких множеств Ваг,..., В< входа номер г.
4. Параметры ширины нечетких множеств Ваг,..., В< выбираются равными 1/3 среднего расстояния между прямыми, определяющими центры.
5. Шаги 2-4 повторяются для каждого входа каждой подмодели РННПМ, г = 1,... ,ш , а = 1,... ,в .
Блок-схема алгоритма 1 приведена на рис. 4. На вход алгоритма поступают элементы обучающего множества по г-му входному процессу — ик = [ик(¿),... ,ик(£ — и + 1) , к = 1,... ,К . Кроме входных значений задается Q — требуемое количество двумерных нечетких множеств для входного процесса иг, а также начало входного вектора ¿о . В результате вычисляются параметры центров функций принадлежности (д0ср,д^с^ ,..., (д<ср,д<<ср^ .
Полученные в результате работы модуля Сеп1егРтё1^ параметры центров и ширины нечетких множеств (6.2) передаются в модуль настройки заключений.
2.4. Модуль настройки параметров заключений правил разностной нейронечеткой переключаемой модели
По сведениям, полученным из модулей БКЕВМЯ^ис! и CenterFinding, для каждой подмодели РННПМ формируется файл-функция МЛТЬЛБ.
Файл-функция (или целевая функция) представляет собой сумму квадратов ошибок подмок 2
дели на обучающем множестве Е = 2 £ {Утой — Ук) . Кроме этого, файл-функция включает
к=1
в себя производные функции Е по настраиваемым параметрам заключений.
Целевая функция минимизируется по параметрам заключений правил подмодели посредством стандартного алгоритма МЛТЬЛБ Гштипс. Полученные в результате минимизации параметры заключений правил передаются в модуль вычисления выходного значения РННПМ.
Модули настройки предпосылок и заключений представляют собой реализацию раздельного обучения. Раздельная настройка удобна и обеспечивает высокую точность нейронечеткой модели. Но предусмотрена и возможность настройки минимизацией функции ошибки Е всех параметров подмоделей РННПМ. Если в модуле DNFSMStruct было выбрано обучение по всем параметрам, формируемый файл-функция будет содержать в себе производные не только по параметрам заключений правил, но и по параметрам предпосылок. Модуль CenterFinding в этом случае в действие не вступает.
2.5. Модуль вычисления выходного значения
Таблица 1. Результаты моделирования
№ элемента 1 2 3 4 5 6 7 £(у^ — ук)2
Выход тестового множества 1.45 1.07 1.21 1.06 1.14 1.44 1.15
Выход РННПМ-1Б 1.52 1.15 1.16 1.16 1.16 1.52 1.20 0.0342
Выход РННПМ-2Б 1.51 1.14 1.23 1.12 1.23 1.60 1.32 0.0790
Модуль вычисления выхода DNFSMOutput получает сведения о структуре и настроенные параметры РННПМ, и на основе этих данных формирует файл-функцию МЛТЬЛБ, представляющий собой функцию выхода модели. Готовая функция выхода вступает в работу, получая из модуля DataProc входные значения и вычисляя отклик. Вычисленное значение выхода модели визуализируется.
Рис. 4. Блок-схема алгоритма настройки параметров двумерных нечетких множеств
3. Вычислительный эксперимент. Сравнение двумерных и одномерных
гауссовских нечетких множеств
Используя разработанный программный комплекс, проведем сравнительный анализ работы двух разностных нейронечетких переключаемых моделей. Моделировать будем простую зависимость некоторого отклика от единственного фактора y(t + 1) = f (u(t),..., u(t — 5)) .
Для идентификации предпосылочных параметров первой модели будет использоваться предложенный в п. 1.1 подход, заключающийся в совокупном анализе сечений входного нечеткого процесса. При этом будут применяться двумерные нечеткие множества (6.2) и модуль CenterFinding.
Для идентификации предпосылочных параметров второй модели будет использован стандартный подход к фаззификации входных процессов; параметры одномерных нечетких множеств в предпосылках правил будут задаваться вручную.
Рассмотрим самый простой случай РННПМ с единственной подмоделью. База правил модели с нечеткими множествами (6.2) и константами в заключениях имеет вид:
Ri : If u is Bi then y(t + 1) = ai, i = 1, 2. (6.4)
Здесь u = [u(t),..., u(t — 5)] - вектор значений входного процесса, который фаззифициру-ется двумя двумерными нечеткими множествами, B и B2 . Параметры множеств определяются по алгоритму 1.
База правил РННПМ с одномерными нечеткими множествами имеет вид:
Ri : Ifu(t) is A 1 ,...andu(t — 5) is A5 theny(t + 1) = ai, i = 1,2. (6.5)
Заметим, что в случае стандартного подхода к фаззификации входного процесса u требуется 10 одномерных нечетких множеств (при условии, что каждое входное значение описывается двумя множествами, Al и A2 ).
Минимизацией квадратичной функции ошибки определялись параметры заключений правил обеих моделей. При этом использовался модуль настройки заключений. Обучающее множество состояло из семи элементов, (yk(t + 1), [uk(t),..., uk(t — 5)) , k = 1,..., 7 .
После настройки параметров обеих моделей на тестовом множестве были вычислены их выходы. Результаты работы РННПМ с двумерными и одномерными нечеткими множествами представлены в табл. 1.
Суммы квадратов ошибок практически одинаковы; можно сделать вывод, что по точности 2Б-модель не слишком отстает от lD-модели. При этом основным ее преимуществом является меньшее количество настраиваемых параметров в предпосылках и, следовательно, меньшая трудоемкость настройки: у двух двумерных нечетких множеств было 6 параметров, у десяти одномерных множеств — 20. Это подтверждает рациональность подхода к фаззификации входных процессов, предложенного в п. 1.1.
Заключение
Приведенный эксперимент демонстрирует преимущества подхода к фаззификации входных процессов, основанного на совокупном анализе их сечений и использовании двумерных нечетких множеств (6.2). В этом случае может быть незначительная потеря точности на выходе РННПМ, зато существенно сокращается количество настраиваемых параметров и упрощается процесс обучения. Предложенный алгоритм настройки двумерных нечетких множеств позволяет улучшить результаты работы разностной нейронечеткой модели с переключением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Котов К. Ю., Шпилевая О. Я. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование (обзор) // Автометрия. 2008. Т. 44. №5. С. 71-87.
2. Yang H., Dimirovski G. M., Zhao J. Switched Fuzzy Systems: representation modeling, stability analysis, and control design // Proc. of the third International IEEE Conference on Intelligent Systems. L. 2006. P. 306-311.
3. Ojleska V., Stojanovski G. Switched Fuzzy Systems: Overview and Perspectives // Proc. of the 9th International PhD Workshop on Systems and Control. Izola, 2008. P. 221-226.
4. Жбанова Н. Ю. Построение и настройка переключаемой нейронечеткой системы для моделирования процесса варки сахара // Материалы 10 Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Управление большими системами». Уфа, 2013. С. 65-70.
5. Кудинов Ю. И., Келина А. Ю, Суслова С. А. Построение и идентификация нечеткой модели многосвязного объекта // Вести ВУЗов Черноземья. 2005. № 5. P. 35-39.
6. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином, 2009. 800 c.
7. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 296 c.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Blyumin S.L., Shmyrin A.M., Zhbanova N.Y.
DESIGN OF PROGRAM FOR TRAINING AND DEALING WITH DIFFERENTIAL NEURO-FUZZY SWITCHED MODELS.
This article surveys differential neuro-fuzzy switched models. Identification of such models has some peculiarities, to take into account, a specific method was proposed which, in its turn, became a basis for a software package.
Key words: parametric identification; differential neuro-fuzzy switched model.
Блюмин Семен Львович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Blyumin Semyon Lvovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Шмырин Анатолий Михайлович,Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, e-mail: [email protected]
Shmyrin Anatoly Mikhaylovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Engineering, Professor, Head of the High mathematics Department, e-mail: [email protected]
Жбанова Наталья Юрьевна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, ассистент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Zhbanova Natalya Yurevna, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Assistant of Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.9
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ "СПРОС-ПРЕДЛОЖЕНИЕ"
© А. Е. Болотин, Н. Г. Павлова
Ключевые слова: точки совпадения отображений; а -накрывающие отображения; функция спроса; функция предложения; равновесные цены.
Исследуется вопрос о существовании положения равновесия в модели "спрос-предложение" . В рассматриваемой модели функция спроса получена как решение задачи максимизации функции полезности, а функция предложения - как решение задачи максимизации прибыли при бюджетных ограничениях. В результате применения теорем о существовании точек совпадения а -накрывающего и липшицева отображений получены достаточные условия существования вектора равновесных цен.
Введение. В настоящей работе теория накрывающих отображений применяется для исследования вопроса об условиях существования положения равновесия в экономических моделях.
Формализуем поставленную задачу. Рассмотрим метрические пространства (X, рх) и (У, ру) . Через Вх(х,г) в пространстве X обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке х , а в пространстве У через Ву (у, г) — замкнутый шар радиуса г с центром в точке у.
Определение 1. ([1]). Пусть задано а> 0 . Отображение Б : X ^ У называется а -накрывающим, если
Б(Вх(х, г)) Э Ву(Б(х),аг) Уг > 0, Ух е X.
Теорема о точках совпадения ([1]). Пусть пространство X полно, а Б, В : X ^
^ У - произвольные отображения, первое из которых непрерывно и является а -накрывающим, а второе удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в <а. Тогда для произвольного х0 е X существует такое £ = £(х0) е X , что
Б (£) = В(£), (6.1)
ру (Б(хо), Р(х0))
рх (£,х0) -—а—в—.
Решение £ уравнения (6.1) называется точкой совпадения отображений Б и В.
Вектор равновесных цен в исследуемых моделях является точкой совпадения отображений спроса и предложения. Используя локальный вариант теоремы о точках совпадения, а именно, теорему 1 из [2], исследуем вопрос о существовании равновесия для различных экономических моделей.
Модель поведения потребителя.
Каждый потребитель при выборе различных наборов благ при определенных ценах и доходе, стремится к максимизации уровня удовлетворения своих потребностей. Способность блага удовлетворять ту или иную потребность потребителя называют полезностью блага. Потребителю предлагается и видов различных благ. Любой набор благ описывается
п -мерным вектором х = (х1,х2,...,хп) , где хг > 0 — количество г -го блага, приобретенного потребителем, г = 1, 2, ...,п. Предполагаем также, что потребитель способен упорядочить свое отношение к различным наборам благ и расположить их в порядке возрастания полезности. Функция предпочтений (функция полезности) является индикатором предпочтения потребителя: потребитель предпочитает набор благ X набору у , если и(х) > и(у) . Модель поведения потребителя заключается в максимизации функции полезности.
В экономическом анализе часто используются некоторые конкретные виды функций полезности. Вид функций, а также оценка числовых значений параметров зависят от статистических данных, наблюдений, анализа поведения потребителей, тенденций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния. Приведем некоторые типы функций полезности:
1) логарифмическая:
п
и(х) = ^ аз ы(хз— аз),
3 = 1
аз > 0, аз > 0, Х3 >аз, ] = 1,п ;
2) мультипликативная:
п
и(х) = а (хз — аз)а*, 3=1
0 <аз < 1, аз > 0, Х3 > аз, ] = 1,п, а> 0 ;
3) аддитивная:
п
и(х) = ^ азхв, з=1
аз > 0, хз > 0, 0 <вз < 1, ] = 1П;
4) квадратичная:
п п п
и(х) = ^ аз хз + ьз ххз,
з=1 1=1 з=1
п _
аз + X] Ьзхз > 0, ] = 1,п, где В = {Ьгз} — отрицательно определенная матрица.
1=1
Рассмотрим задачу о максимальном выборе потребителя
и(х1 ,х2, ...,хп) ^ тах,
п
52 Ргхг = I,
г=1 _
хг > 0, г = 1,п.
Здесь х = (х1,х2, ■■■,хп) — приобретаемый потребителем набор благ; I - доход потреби-
п
теля; р = (р1,р2, ..^Рп) — цены, по которым приобретаются блага; 52 Ргхг < I — бюджетное
г=1
ограничение (выражает ограниченность возможного выбора потребителя).
Оптимальный набор благ х* = (х\,х2,...,х*п) должен удовлетворять бюджетному ограничению как точному равенству. Действительно, если бы оптимальный набор достигался при условии нестрогого неравенства, то потребитель имел бы возможность приобрести на оставшиеся деньги некоторое количество блага и, таким образом, улучшить свой набор с большей полезностью.
Задача о максимальном выборе потребителя может быть решена с использованием математического аппарата: она сводится к задаче отыскания условного экстремума целевой функции полезности. Решение задачи на условный экстремум находится с помощью метода множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию Лагранжа
п
Ь (Х1,Х2, ...,Хп, А) = и(Х1,Х2, ...,Хп) + А - РгХ^ ,
где множитель Лагранжа А является оптимальной оценкой дохода.
Необходимые условия оптимальности решения определяются системой ограничений
ди
--Арг = 0,
дХг
п _
£ РгХг = I, г = 1,п. г=1
Это означает, что потребители должны выбирать блага таким образом, чтобы предельные полезности выбираемых благ были пропорциональны ценам:
ди/дхг = Арг.
Решение задачи о максимальном выборе потребителя позволяет построить функцию спроса. Функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на различные виды благ от комплекса факторов, влияющих на него.
Найдем функцию спроса для логарифмической функции полезности. Рассмотрим задачу
п
и(х\,х2, ...,Хп) = £ аз (xj — аз) ^ тах,
3 = 1
п
Е Рз Хз =1,
3=1 _
ч аз > 0, Хз >аз, ] = 1,п.
Здесь аг,г = 1,п, — необходимое минимальное количество г -го блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора, коэффициенты аг,г = 1,п, выражают относительную ценность товаров для потребителя. Составим функцию Лагранжа
пп
Ь(х\,х2, ...,Хп, А) = ^ аз 1п (хз — аз) + А II — ^рзХз 3=1 \ з=1
Найдем ее частные производные первого порядка по Хз и приравняем к нулю:
аз -
---—- — Арз = 0, 1 = 1,п.
(Хз — аз) 13 ' ' '
Следовательно,
аз . -— хз = аз + , 1 = 1,п. Арз
Умножив каждое 1 -е условие на Арз и просуммировав их по 1, получим
п п п
А Е Рз Хз = А Е аз Рз + Е аз. з=1 з=1 з=1
Поскольку в искомой точке £ PjXj = I, получим
j=i
n n
Л1 = XY1 aj pj + 2( j=i j=i
E aj j=i
Откуда
Л = „
1 - E aj Pj j=i
Таким образом, для любого i = 1,n функция спроса на i -й товар Di: R+ ^ R имеет вид
ai I 1 - Е Pj aj I
Di(pi,p2,...,pn) = ai + —^-П=--, P = (Pi,-,Pn) e R+. (6.2)
Pi E aj j=i
Модель поведения производителя. Предположим, что производитель при производстве n видов товаров использует все виды продукции, причем при производстве i -й продукции для приобретения ресурсов имеется бюджет в размере bi > 0, i = 1,n . Обозначим через Xj > 0 объем j -й продукции, расходуемый для производства i -й продукции i,j = 1,n .
Выбор производителя сводится к задаче отыскания условного экстремума функции прибыли:
п(хп,Х12,.. .,xin,...,Xni,Xn2, ■ ■ .,Xnn) ^ max,
bi3 ...............(6.3)
^РзХгЗ = Ьг, Хц > 0, = 1,п.
3 = 1
Предположим, что технологический процесс описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:
Fi(X-il,X-i2, X-in) = Ci Л X-j, i = 1,n
в, ij
j=i
где у-гз > 0 — объем 2 -й продукции, расходуемый для производства % -й продукции = 1,п ,
__п _
Сг > 0 , вз > 0 , = 1,п — заданные числа \ такие, что ^ /ц < 1, % = 1,п.
3 = 1
Тогда функция прибыли производителя определяется по формуле
п / п ч
п(х) = ^ ( СгРгП хЗ ) , Ух = (Хц,Х12, ХЫ, ..., Хп1, Хп2, Хпп) ^ R+Xn,
г=1 ^ Ц=1 '
и, следовательно, задача (6.3) сводится к задаче
Л, Xij
i=i j=i
Y^ ( CiPi]J Xj) ^ max,
n
y^PjXij = bi, Xij > 0,i,j = 1,n. j=i
(6.4)
С — коэффициенты нейтрального технического прогресса, вгз — коэффициенты эластичности по ресурсам.
Составим функцию Лагранжа:
Ь(ХП,Х12, . . .,Х1п, . . .,Хп1,Хп2, . . .,Хпп, А\,..., Ап) =
п п п
Хгз
Е СгРг П Х"?) + Е М Ьг — £ Рз Хгз
г=1^ з=1 ' г=1 ^ з=1
Необходимые условия оптимальности (в силу вогнутости производственных функций они являются и достаточными):
п в
ЗА > 0 : СгРгвгз П хк = АгРзХгз,
п к=1 __(6.5)
Хгз = Ьг, Хгз > 0, г. = 1,п.
з=1
Просуммировав первую строку системы (6.2) по . и подставив полученное равенство во вторую строку, имеем
Аг = 1 СгРг( П хвА (Е з, г = 1*. г к=1 з=1
Подставив это выражение в первую строку системы (6.2), находим ее решение:
= Ьгвгз . . =-.— Хгз = п , г,.] = 1,п.
Рз Е вгк к=1
Таким образом, функция предложения Бг: М+ ^ М г -го товара определяется по формулам:
Яг('Р) = КгЦ Р- ^ — ЬгР~1, г = 1,п, (6.6)
з=1
где
п
Е вц п
СгГ Цв'Г п ^
Кг =-, Ьг = £ , г = 1,п. (6.7)
/» V к?!вЫ
1к= ) з=1
Достаточные условия существования положения равновесия. Пусть заданы векторы с1 = (ец, ...,сп1), с2 = (012,..., сп2) € М+, причем сд <сз2, . = 1,п , и (с2,а) <1 .Компоненты векторов с\, 02 определяют естественные ограничения цен рз на . -й товар, т. е. с-д <рз < 0з2 для каждого . = 1,п.
пп
Определение 2. Вектор Р м р € М+ : ^ аз рз < I > называется вектором равновесных
з=1
цен, если Б(р) = о(р).
Теорема. Пусть выполнены условия
-1
аИ тах [агс-12 (I — (сЛ, а) + сга) (сг2 — сц) + агс- ((а, 02 — сЛ) — аг(сг2 — сц))] <
, , , г=1,п к=1 /
< mm
i=l,n
Li (Ci2 - Cil)
2сЧ2
- max \ Ki П<
^nV \j=l
cji
Ее
j=i
cj2 - Cjl
2c
ji
max
i=l,n
ai(2I -{a,C2 + Cl)) 2Li ^
ai +--n--1--:--Ki\\
n Ci2 + Cil i
3 = l
n / C + C \ -вп Cj2 + CjlX
(Ci2 + Cn) aj j=l
<
< min
i=l,n
l
Li(Ci2 - Cil)
2C2i2
- max
i=l,n
nn
-eij\iST~ q Cj2 - Cjl >ij
МП C-r-)(Y, в
j=l
j=l
2C
jl
2^2 aj max [aiCil2 (I - (Cl,a) + сцai) (сц - сц) + aiCill ((a,C2 - Cl) - ai(ca - сц))] .
k=l
i=l,n
Тогда существует вектор равновесных цен р = (р1,...,рп) такой, что рг <Е (сг1; сг2), % = 1,п.
Доказательство.
В пространстве Rn определим нормы по формулам
llXlh = 2 max
\Xi\
__\\x\\2 = max\Xi\ VX = (Xl,...,Xn) e Rn.
i=l,n Ci2 Cil i=l,n
Рассмотрим метрические пространства (X,px) и (Y, ру) , где X = R+, Y = R+ , метрика рх определяется нормой \\ • , а метрика ру — нормой \\ • \\2 . Оценим константу накрывания отображения S. Заметим, что
VP e „и* (Ц*. i) %(P> =
( LiP-2 - KlelW-lf[ P- Plj ... KlernP-lf[ P- Plj \
=l
n
r,-l тт
=l
n
l T-T -Pn
KnPnlP- П Pi "3 ... LnP-2 - KnfinnPn П P
=l
l
Согласно теореме Милютина о возмущении (см. [1])
др (р)) > соу( С(р)) - \\К(р)\\, где С(р), К(р): Rn ^ Rn — линейные операторы, определенные матрицами
L(P) =
LlP-
-2
f KlPllP-1 n P-в13
0 . . . LnP
2
K(P) =
=l
K^mP- П P- в1п X =l
n _a n
KnPnlP-ln P- j ... KnennP-lX\ P3Pnj l =l
Оценим константу накрывания отображения L(p) :
Li(Ci2 - Cil)
cov (C(p)) = min
i=l,n
2Pi2
j=l
> min
i=l,n
Li(Ci2 - Cil)
2c22
2
3
0
Кроме того,
||£(р)|| = тах ||^(р)х||Мп = тах I тах
= 1 |М|кп = 1 \ г=1,п
Е Кг&зР- Ч'П Рк
вгк
з=1
к=1
<
<
та;п^(^Е вгзР- 1 \хз| 1 1 <
к=1
Следовательно,
< тах тах =1 г=1,п
Кг П Рккв*к)[ Е^'
сз2 — сз1
2Р
< та^ Кг ( (
г=1,т\ \.
к=1 / хз=1 -виМ^Г а.. сз2 — сз1
з
<
з1 1\ Ивгз 2с з=1
з1
(дБ . Л соу "Т^(р) > тт
\др ) г=1,п
Ьг(сг2 — сц)
2с?2
«Д^П ¿-Г") (Ё *
з=1 з=1
тах
В силу теоремы 4 из [2], получаем, что
соу (Б\ Вх ((с1 + с2)/2,1)) =
И соу(Б\ р) > а(а).
ретЬБх ((с!+с2)/2,1)
> тш_
г=1,п
Ьг (сг2 — сц)
24
— тах I
г=1,п \
МП зРПТ. в
з=1
сз2 — сз1
з=1
Оценим константу Липшица отображения В . Имеем
Ур € Ш.Вх{ , 1) дВ (р) =
—а1\ I — £ Рк аП р2Т< ак
к=2 к=1
1
—апа1[ РпТ* ак к=1
Оценим норму оператора Ор (р) :
1
1
а1ап( Р1 Е ак \ к=1
п-1 п -1
—ап[ I — £ Рк аЛ рпТ, ак к=1 / \ к=1
Ур € \ntBxl , 1
дв ) дР(р)
<
-1
г=1,п
< ^2 Щ а^ тах [агс-2 (I — (с1,а) + сга) (сг2 — сц) + агс— ((а, с2 — с1) — аг(сг2 — сц))] Следовательно,
Ир( В\ Вх1 , 1
, Ч ) < а^ тах [агс— (I — (с1,а) + сцаг) (сА2 — сц) +
// \ к=1 ) г=1п
Заметим, что
+aici11 ({a, С2 - сл) - ai(cn - cn))] .
PY (S((ci + C2)/2),D((C1 + С2)/2)) =
max
i=1,n
+ ai(2I - {a,c2 + ci)) +
ai + n +
(ci2 + cn)I aj j=1
2 Li
ci2 + ci1
n / i \ ~0i'
- K n^2 + ^ '
j=1
2
Согласно теореме 1 из [2], существует вектор p £ X такой, что S(p) = D(p) и
PX(p, (c1 + c2)/2) <
< I min
Vi=1,n
Li(ci2 - cn)
2c2i2
- max! Ki Щ«
^nV \j=1
j1
x max
i=1
n
E^ij j=1
1
cj2 - cj1
2c
j1
2
ak
k=1
1
tax [aic-2 (I - {c1, a) + aa) (cц - cn) + aic- ({a, c2 - c1) - ai(cц - c^))] I x
1,n J
XPY(S((c1 + c2)/2), D((c1 + a)/2)). Отсюда следует утверждение теоремы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки / / Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Arutyunov A., Avakov E, Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points / / J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. P. 5-16.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31140).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Bolotin A.E., Pavlova N.G.
SUFFICIENT CONDITIONS FOR EXISTENCE OF EQUILIBRIUM IN "DEMAND-SUPPLY" MODEL
Existence of the equilibrium in demand-supply model is studied.The model under discussion, the demand function is obtained as a solution of the utility function maximization problem and the supply function obtained as a solution of the problem maximization under the budget restrictions. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. This result is obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.
Key words: coincidence points; a -covering mappings; demand function; supply function; equilibrium price-vector.
Болотин Артем Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Bolotin Artem Evgenievich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Postgraduate Student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Pavlova Natal'ya Gennad'evna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
x
УДК 517.9
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ МОДЕЛИ ЭРРОУ-ДЕБРЕ С ТРАНЗАКЦИОННЫМИ
ИЗДЕРЖКАМИ
© А.Е. Болотин, Н.Г. Павлова
Ключевые слова: точки совпадения отображений; а -накрывающие отображения; функция спроса; функция предложения; равновесные цены.
Исследуется вопрос о существовании положения равновесия в модели Эрроу-Дебре с транзакцонными издержками. В рассматриваемой модели функция спроса получена как решение задачи максимизации функции полезности, а функция предложения - как решение задачи максимизации прибыли при бюджетных ограничениях. В результате применения теорем о существовании точек совпадения а -накрывающего и липшицева отображений получены достаточные условия существования вектора равновесных цен.
Введение. В работе рассматривается модель, обобщающая модель Эрроу-Дебре, в которой учитываются транзакционные издержки производителей. Для получения достаточных условий существования положения равновесия и исследования его свойств применяются результаты работ [1-3], посвященных существованию и устойчивости точек совпадения отображений в метрических пространствах.
Будем рассматривать метрические пространства X и У с метриками рх и ру, соответственно. Через Вх(х,г) в пространстве X обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке х . Аналогичное обозначение введем в пространстве У .
Определение 1 ([1]). Пусть задано а> 0 . Отображение Б : X ^ У называется а -накрывающим, если
Б(Вх (г, х)) Э Ву (аг, Б (х)) У г > 0, Ух € X.
Для получения достаточных условий существования положения равновесия будем применять следующие результаты.
Теорема о точках совпадения ([1]). Пусть пространство X полно, а Б, В : X ^ У - произвольные отображения, первое из которых непрерывно и является а -накрывающим, а второе удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в <а. Тогда для произвольного х0 € X существует такое £ = £(х0) € X , что
Б(£) = В(£), рх(£,х0) < ру (Б(Х0) ВЫ). (6.1)
а — в
Теорема Милютина о возмущении([1]).Пусть X - полное метрическое пространство, У - нормированное пространство, отображение Б: X ^ У является непрерывным и а -накрывающим. Тогда для любого отображения В: X ^ У, удовлетворяющего условию Липшица с константой Липшица в <а, отображение Б + В является (а — в) -накрывающим.
Модель поведения производителя. Функции предложения. Пусть имеется п € N товаров, причем г -й товар для потребителя имеет цену рг > 0, г = 1,п. Будем также предполагать, что цены р = (р1,р2,... ,рп) , по которым производитель реализует товары,
меньше цен р = (р1,р2,...,рп) , которые платит за них потребитель, причем р = ар , где а € € (0;1).
Предположим, что технологический процесс описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:
Рг(У-г1 ,У-г2,...,У-гп) = Сг\\ У%, г = 1,п,
п
в" гз
з=1
где у-гз > 0 — объем . -й продукции, расходуемый для производства г -ой продукции г,.. =
____п _
= 1,п , Сг > 0 , вз > 0 , г. = 1,п — заданные числа 1, такие, что £ вз < 1, г = 1,п . Будем
з=1
предполагать также, что множество имеющихся у производителя ресурсов является п -мерным
п 1- Е в"к _
параллелепипедом: Тк = [0, Ь]\ х [0,Ь2] х ... х [0, Ьп] , причем Ьг > £ С■ к=! , г = 1,п . Кроме
з=1
того, т. к. нас интересуют соотношения между ценами товаров, а не их абсолютное значение, то будем считать, что рз > вгз , г. = 1,п. Выбор производителя сводится к задаче отыскания условного экстремума функции прибыли:
пп
Е Рг I аСгП У-з — Е У-зг^ ^ max,
г=1 V з=1 з=1
^У-зг € [0,Ьг],г = 1, п. (6.2)
з=1
п _
Поскольку £ вгз < 1 для любого г = 1,п , то все производственные функции ^ вогнуты, и,
з=1
следовательно, достаточные условия для задачи (6.2) заключаются в выполнении следующих соотношений:
аСгвгз\\ У-% = РзУ-гз, г,.1 = 1,n, (6.3)
к=1
^У-зг € [0,Ьг],г = 1, п. (6.4)
з=1
Заметим, что соотношения (6.3) эквивалентны
Р1вгз
У-гз = —т~У-г1, г. = 1,п. (6.5)
Рз вг1
Подставляя (6.5) в (6.3), получим решение задачи (6.2):
У* ■■ =
У-гз Рз
_1
/ аСг П ввк^ в'к
к=1
V П Рик I
к=1
к=1
, г. = 1~п.
— коэффициенты нейтрального технического прогресса, вгз — коэффициенты эластичности по ресурсам.
п _
Заметим, что при сделанных предположениях 52 У-а £ [0, Ъг\, г = 1,п . Действительно,
3 = 1 *
0 <у 3
в (ас* П в%к\ Г п —г1
к=1
к=1 ' п 1-£ Г
ПрГ I
к=1 /
< ЕС к=1 < Ъг, г = 1,п.
3=1
Таким образом, функция предложения Бг: М+ ^ М г -го товара определяется по формулам:
-
-3г
3=1
Бг(Р) = Рг (у-ц,у-2 ..., у-П У
пп
= СгЦ (У-г* Л "Е У~3г
3=1 3=1
пп
где
КгЦ " р-1^ ЬзЦ Ри'к, г = 1,п, (6.6)
к=1 3=1 к=1
- вЗк -
вгзк = ~п-, г,Э,к = 1,п,
52вг1 " 1 1=1
п
Е к
к=1 1 ' п '
Кг = а к=1 Сг\[ вв к=1 , г = 1,п,
к=1
и* = взг аСз ]= ,г,э = 1, п.
Модель поведения потребителя. Функция спроса.
Перейдем к построению функции спроса потребителя. Пусть имеется потребитель с некоторым бюджетом 1> 0 . Задано множество С С М+ наборов товаров х = (х1, ...,хп), которые может приобрести потребитель. Будем считать также, что все товары обладают свойством произвольной делимости, т. е. может быть закуплено любое неотрицательное количество каждого из них.
Предположим, что потребительские предпочтения описываются функцией полезности Р. Стоуна. Пусть заданы числа а* >0, а* е (0,1), ] = 1,п. Положим С = {х еМ+ : х* >а* ] = 1,п} и определим функцию и : С ^ М по формуле
п
1>(х) = П(х*"а*) *=1
Число а* является минимально необходимым количеством ] -го товара, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора, а коэффициенты а* характеризуют
п
относительную "ценность" товаров для потребителя. Будем считать, что 52 Р* а* <!• В этих
*=1
предположениях максимум функции полезности достигается лишь в том случае, когда бюд-
п
жетное ограничение 52 Р*х* < I выполняется как точное равенство. *=1
1
1
Итак, модель Стоуна имеет вид:
и(х) = П Х — аз)а" ^ тах,
з=1
п _
£ РзХз = ^ Хз >аз,. = 1,п. з=1
(6.7)
Для решения этой задачи максимизации применим принцип Лагранжа. Функция Лагранжа для задачи (6.7) имеет вид
пп Ь(Х1 ,Х2,... ,Хп,А) = П (хз — аз)а" + А II — ^РзХз
з=1 \ з=1
В силу регулярности ограничений в задаче (6.7) необходимые условия оптимальности заключаются в существовании такого А > 0, что выполнено
п
азП (хг — аг)а
—г=х--Арз = 0, . = \~п,
Хз аз
п _
^2РгХг = I, Хз >аз, . = 1,п.
г=1
(6.8)
Поскольку функция полезности и является вогнутой, а ограничения в задаче (6.7) линейны, условия (6.8) являются достаточными условиями максимума. Таким образом, пара (х*, А*) является решением системы (6.8) тогда и только тогда, когда х* является решением задачи (6.7).
Система (6.8) эквивалентна следующей системе
аз П (хг — аг)
Хз = аз + '
г=1
АРз
-, 3 = 1,п,
£ РгХг = I, Хз > аз, . = 1,п.
г=1
Следовательно, решение системы (6.8), а значит и задачи (6.7), имеет вид
аг ( I — £ Рз аз
х* = аг +----п-—, г = 1,п.
Рг Ё аз з=1
Таким образом, для любого г = 1,п функция спроса на г -й товар Вг: М+ ^ М имеет вид
аг М — ¿2 Рз аз I
Вг(р1,р2,.. .,Рп) = аг +----Зп-—, р = (р1, ...,Рп) € М+.
Рг Ё аз
з=1
(6.9)
Заметим, что функции Вг определены для тех р € М+, для которых ^ рзаз <Р Для прочих п з=1 р € М+ мы доопределяем функции Вг формулой (6.9).
Существование положения равновесия. Пусть заданы действительное число I> 0, векторы a = (al,...,an), C = (C\, ...,Cn) G R+ и квадратная матрица B порядка n
__n _
с компонентами ^ij > 0 , i, j = 1,n , такая, что £ fîij < 1 V i = l,n . Пусть, кроме того, заданы
j=l _
векторы Cl = (cii, ...,Cnl), C2 = (ci2, ...,Cn2) G R+, причем Cil <Ci2, Ci2 - Cil = ai , i = 1,n. Для
n
произвольных векторов x = (xl, ...,xn), x = (xl, ...,xn) G Rn положим (x,x) = £ xixi.
i=l
Под математической моделью рынка будем понимать набор
а = (I, a, C, B, Cl,C2) G R+ x R+ x R+ x R+ x R+ x Rn
Множество всех наборов а = (I, а, С, В, с1, с^ , удовлетворяющих указанным выше предположениям, обозначим через Е. Очевидно, что множество £ С М+ +4п+1 открыто.
Набор параметров (I, a, C, B) однозначно определяет функцию предложения S : R'
Rn
по формуле (6.6) и функцию спроса В : М+ ^ Мп по формуле (6.9).
Компоненты векторов с1, с2 определяют естественные ограничения цен рг на г -й товар, т. е. будем предполагать, что сг1 < рг < сг2 для каждого г = 1,п.
Множество В(р) называется совокупным спросом, соответствующим вектору цен р, а вектор Б(р) называется совокупным предложением, соответствующим вектору цен р. Существование состояния равновесия в исследуемой модели эквивалентно выполнению равенства
Б(р) = В(р). Положим
п п
о—1 ^ ^ Т 1 Г I
а(а) = min
i=l,n
i2 Е L jH (Ci2 - Cil)/2 j=l k=l
— max
i=l,n
— max
i=l,n
n
ij
l,j=l
Lij Pijl Ce2
k=l
Pijk Cl2 — Cll 2Ci2Cl2
nn
Ki П в? E ^ ^ k=l l=l
2Cl2
-l
в(а) = max 2 ak i=lm\ k=l ,
а (I — (ci, a) + aa) (Ci2 — Cn) + — ((a, C2 — Cl) — ai(Ci2 — сц))
cil
c2 cil
Y(a) = max
i=l,m
n n / x eijk
Ck2 + Ckl Л eijk
ai (2I — (a,C2 + ci)) 2 v-^ т-г
ai +-n-+ C-+C-E Mil 2
(Ci2 + Cil) J2 aj Ci2 + Cil j=l k=lK 2
j=l
n
Ki
k=l
Ck2 + Ckl 2
0iik
Теорема. Пусть модель а G £ удовлетворяет условиям
1) а(а) >в(а);
2) j(a) <а(а) — р(а).
Тогда в исследуемой модели существует вектор равновесных цен p = (pl, ...,pn) такой, что Cil <Pi <Ci2, i = 1,n.
Доказательство. В пространстве Rn определим нормы по формулам
|x||l = 2 max ■
\xi\
i=l,n Ci2 — Cil
V x = (xl, x2, ...,xn) G Rn,
\х\\2 = тах \хг\ Vх = (х1,х2,..., хп) е Мп
г=1,п
Рассмотрим метрические пространства (X, р1) и (У, р2) , где X = {(с1, с2,..., сп)\а е [0; 1\ : сг = ас1г + (1" а)с2г} , У = М+ , метрика р1 определяется нормой , а метрика р2 — нормой
\2.
Положим
с = , М = Вх (с, 1).
Заметим, что метрическое пространство X не является полным, однако для дальнейших рассуждений достаточно полноты шара Вх (с, 1).
Оценим константу накрывания отображения Б . Для любого р е т1М имеем
дБ
др(Р) = С1(р) "С2(р) " К(р), где С1(р) , С2(р) , К(р): Мп ^ Мп - линейные операторы, определенные матрицами
-2
^(р) =
р1 Е ьи п Рк *=1 к=1
0
01] к
0
р-2 е ь23п рк *=1 к=1
0
¿2(р) =
02]к
0 0
пп *=1 к=1
п п п п
( р-2 е ь*-1п п р1г ... р-1*-1! ьц-ъпП р1г \
*=1
к=1
*=1
п
к=1
п
Р2
10 __10 /О 10 __10
1Р-1 Е Ь2*Рк ... р-1*-1! Ь2* РъпП Рк
02]к
*=1
к=1
*=1
к=1
п п п п
р-1*-1! Ьп*-ппП РГ" ... Р-2! Ьп*-щпП Рв *=1 к=1 *=1 к=1
/
/ - п 0 _ п 0 _ п 0 \
' К1-111Р-1]\ $1к К1-112Р-1]\ рк11" ... К1-11пР-1]\ Р011к к=1 к=1 к=1
к(р) =
К2-221Р-1 П Рк"" К2-222Р--1 П Рк'" • • • К2-22пР-1 П Р0
п022к
к=1
к=1
к=1
\
Кп-птР-1 П РкПП" Кп-п^Р-1 П РкПП" ... Кп-пппР-1]! Рк к=1 к=1 к=1
Следовательно, согласно приведенной выше теореме о возмущении,
0иик
(дБ \
— (р)\ > соу(С1(р)) " \\С2(р)|| " \\К(р)\
Имеем
соу( С1(р)) = тш_
г=1,п
пп
Р^Е ЬиЦ Рк3" (сг2 " сг1)/2 *=1 к=1
>
> тт
г=1,п
пп
г2 г*
*=1 к=1
Г^Е Ь^И (сг2 " сг1)/2
0
ЦС2(р)Ц = тах ЦС2(р)хУ =
1|х||1
тах тах ||ж||1 г=1,п
Ер-^Е Ьгз ^П Рк" XI
1=1 з=1 к=1
<
< тах тах 1Мк г=1,п
Ер-^Е ЬгзРгзгЦ рк"\Х1 1=1 з=1 к=1
<
< та^Е Ьгз Аз,П №
г=1п^1,з=1 к=1 2РгР1 '
ЦК(р)Ц =тах ЦК(р)хЦ2 =
тах тах
!М|1 г=1 ,п
ЕКгРшР-^ р1Ык
XI
1=1
к=1
<
а Ы Р1
< тах тах Кг\] Р^Е — 1 < № г=1 к=1 1=1 / п _ п
< тах( Кг ТТ р1ыкЕ Ргй
г=1 ,п *
к=1 1=1
с12 — сц
2Р1
Следовательно,
дБ
соу -т^(р) > тт
\др ) г=1п
пп
— тах
г=]
-^ Ь зЦ с" (сг2 — сц)/2
з=1 к=1
п
ах(Е Ьгз Ргзг П
1, п . , , ,
^к2
1, з=1 к=1
в"к с12 — с11 2сг2с12
— тах
г=1, п
КгП ^Е ^ к=1 1=1
с12 — сц 2с12
Из теоремы 4 из [2] следует, что
соу(Б\ М) = М соу(Б\ р) > а(а).
р&пкМ
Оценим теперь константу Липшица отображения В. Для любого р € \п1М имеем
дВг
дРз
(р) =
—агаз
рг ак
к=1
1
—аг \ I — Е Рк ак) ( р1 Е ак
к=1 ,п, к=г
к=1
1
при г = .;
при г = ..
Следовательно,
дВ ) др(р)
тах
г=1 ,п
<
I — Е Рка^ (сг2 — сц) + а Е аз(з — сз1)
к=1 ,п,к=г з=1, п ,з=г '
<
2 ак к=1
х 1
max
i=1,n
^ri I - E CklaA (Ci2 - Сц) + — E aj (j - Cjl) Ci1 \ , -,— , /• ' Ci1 , —— ...
Lcf1 v ^ , 7 ' cn — ,
k=1,n,k=i j=1,n,j=i -z, .
<-—-n--= M
2 £ ak k=1
для любого p G intM. Следовательно, lip(D| M) < /З(а).
Из предположений 1) и 2) теоремы и неравенств cov(S| M) > a(a), lip(D| M) < /З(а) следует, что существуют положительные числа a и (3 такие, что /3(а) <¡3 <a< a(a), Y(a) <a — в, отображение S является a -накрывающим на множестве M, а отображение D является (3-липшицевым на множестве M. Поскольку ру(S(c),D(c)) = j(v), из предположения 2) теоремы следует, что ру (S (c),D(c)) < (a — ¡3). Таким образом, существует вектор p G X такой, что S (p) = D(p) и
рх (p,c) < ру (S (c),D(c)).
Из последнего неравенства следует, что p G intM, поскольку M = BX(c, 1), а ру (S(c),D(c)) = = j(a) < (a — (3). Поэтому cj1 <pj <cj2 для любого j = 1,n. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Arutyunov A., Avakov E, Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. P. 5-16.
3. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Мат. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 163-169.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31140).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Bolotin A.E., Pavlova N.G.
APPLICATION OF COVERING MAPPING THEORY TO ARROW-DEBREU MODEL WITH TRANSACTIONS COSTS
The existence of the equilibrium in Arrow-Debreu model with transactions costs is studied. The model under discussion, the demand function is obtained as a solution of the utility function maximization problem and the supply function obtained as a solution of the problem maximization under the budget restrictions. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. This result is obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.
Key words: coincidence points; a -covering mappings; demand function; supply function; equilibrium price-vector.
Болотин Артем Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Bolotin Artem Evgenievich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Postgraduate student of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected] Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Pavlova Natal'ya Gennad'evna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.988
ОБ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С НАКРЫВАЮЩИМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
© Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский
Ключевые слова: накрывающее отображение; липшицево отображение; приближенное решение операторных уравнений; итерация.
Рассматривается уравнение т(х, х) = у, где отображение т по каждому аргументу действует из метрического пространства X в метрическое пространство У и является по первому аргументу накрывающим, а по второму — липшицевым. В ряде исследований этого уравнения для доказательства основных утверждений используются итерации {хп}, для построения которых требуется решать уравнение т(х,хп-1)= у. При практическом применении таких итераций возникают задачи исследования влияния погрешностей на сходимость итераций, нахождения оценок допустимых погрешностей на каждом шаге вычислений и т. д. В данной работе рассматриваются все перечисленные проблемы, предлагаются условия сходимости к решению рассматриваемого уравнения итераций, получаемых, если уравнение т(х, хп-1) = у решается приближенно. Для важного в анализе класса уравнений, решения которых называют точками совпадения отображений, перечисленные задачи ранее были решены А.В. Арутюновым.
В работах [1]-[8] получены условия разрешимости и корректной разрешимости, исследованы свойства множеств решений уравнений с накрывающими отображениями в метрических пространствах. Полученные результаты нашли применение в теории операторных и интегральных уравнений УоЙегга (см. [6]), неявных обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [7]-[9]), функционально-дифференциальных уравнений (см. [10], [11]), в задачах управления (см. [12]-[15]), в математической экономике (см. [16]). Для доказательства основных утверждений цитируемых работ используются итерации, сходящиеся к решениям исследуемых уравнений. Метод итераций удобен также тем, что позволяет строить приближенные решения. Практическое применение этого метода должно учитывать, что любые вычисления проводятся с некоторой погрешностью, и поэтому требуется исследовать влияние погрешностей на сходимость итераций, найти оценки допустимых погрешностей на каждом шаге вычислений и т.д. Исследованию этих проблем посвящена данная работа. Отметим, что для важного в анализе класса уравнений, решения которых называют точками совпадения отображений, перечисленные задачи решены А.В. Арутюновым в [17].
Пусть заданы метрические пространства X, У с метриками рх, ру, соответственно. Через Вх (и, г) обозначим замкнутый шар пространства X с центром в точке и радиуса г и аналогичное обозначение шара введем в пространстве У.
Определение 1 [1]. Отображение Г : X ^ У называется а -накрывающим ( а> 0 ), если
У и € X У г > 0 Ву (Г (и),аг) С Г (Вх (и, г)).
Пусть теперь заданы элемент У € У и отображение Т : X х X ^ У, удовлетворяющее следующему условию: существуют такие а> в > 0, что Т(-,ь): X ^ У является непрерывным и а -накрывающим при любых V € X, а Т(и, ■,): X ^ У является в-липшицевым при любых и € X. Рассмотрим уравнение
Т(х,х)= У. (1)
Для решения этого уравнения можно использовать итерации {хп} С X, определяемые следующим образом. Для произвольного хо € X, вследствие накрывания отображения Т(-,хо), существует такой х\ € X, что
Т(х1 ,хо) = у, арх(х1,хо) < ру (у, Т(хо,хо)).
И т. д., аналогично, на п-м шаге
3 хп € X : Т(хп,хп-1)= у, арх(хп,хп-1) < ру (у, Т(хп-1,хп-1)). (2)
Как показано в [7], если метрическое пространство X полное, то для любого элемента хо € € X итерации (2) сходятся к решению х = £ € X уравнения (1), и это решение удовлетворяет оценке рх(£,хо) < (а — в)-1ру (у, Т(хо,хо)).
На каждом шаге построение итераций (2) сводится к решению уравнения
Т(х,хп-1) = у,
Теперь будем учитывать погрешность нахождения этого решения и предполагать, что вместо точного его значения хп мы имеем его приближение ип. Наша задача состоит в определении допустимой погрешности такого приближения, при которой последовательность {ип} также сходится к решению уравнения (1).
Теорема 1. Пусть пространство X является полным. Пусть задана последовательность {ип} С X, отвечающая следующему требованию: существуют такие неотрицательные числа е, 5, что при любом натуральном п выполнены неравенства
рх (и n, хп ) < а 1ерх(ип,ип-1), ру ('Т(чп,Пп-1), у) < 5рх(ип,ип-1),
где хп — решение уравнения Т(х,ип-\)= у, удовлетворяющее неравенству
арх (хп ,ип-1) < ру {у, Т(ип-1,ип-1)).
Если, кроме того,
в + 5 < а — е,
то последовательность {ип} сходятся к решению х = £ € X уравнения (1), для которого справедлива оценка
рх(£,ио) < (а — в — 5 — е)-1ру (у, Т(ио,ио)).
Один из возможных алгоритмов нахождения итераций {ип}, удовлетворяющих теореме 1, предложен в работе [18].
Задача о сходимости итераций к точке совпадения отображений, при построении которых учитывается погрешность определения на каждом шаге значения хп, ранее исследовалось А.В. Арутюновым в [17]. В этой работе рассматривалось уравнение
Г (х) = Ф(х), (4)
в котором отображение Г: X ^ У является непрерывным и а -накрывающим, а отображение Ф: X ^ У — в -липшицевым, а> в > 0 (решение уравнения (4) называют точкой совпадения отображений Г, Ф), а также многозначные аналоги уравнения (4).
К решению уравнения (4) применимы итерации, аналогичные рассмотренным в теореме 1, а именно, имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть пространство X является полным. Пусть .задана последовательность {un} С X, удовлетворяющая условию: существуют такие неотрицательные числа е, 5, что при любом натуральном n выполнены неравенства
рх (u ni Xn) < а 1е рх (Un,Un-l), PY (F (Un),F(Xn))) < 5 рх (Un,Un-l),
где xn — решение уравнения F(х) = ф(хп-1), отвечающее неравенству
арх (Xn,Un-l) < PY (F (Un-l), <^(Un-l)) .
Если, кроме того,
в + 5 < а — е,
то последовательность {Un} сходятся к решению x = £ Е X уравнения (4), для которого справедлива оценка
рх(£,uo) < (а — в — 5 — e)-^Y(F(щ), Ф(т)).
Рассмотренная здесь теорема 2 и полученный ранее в [17] результат представляют независимые условия сходимости итераций к точке совпадения отображений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Мат. заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.
3. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. Вып. 1. С. 89-93.
4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
5. Arutyunov A., Avakov E, Gel'Man B., Obukhovskii V., Dmitruk A. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // Journal of Fixed Point Theory and Applications. 2009. Т. 5. № 1. С. 105-127.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
7. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
8. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
9. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения 2013. Т. 49. № 4. C. 439-455.
10. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 67-69.
11. Жуковский Е.С., Осинин В.Ф., Плужникова Е.А. О корректности функционально- дифференциального уравнения нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1078-1081.
12. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
13. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. Vol. 90. Iss. 6. P. 889-898.
14. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 49-54.
15. Плужникова Е.А. Корректная разрешимость задач управления для систем дифференциальных уравнений неявного вида // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. № 3. С. 49-64.
16. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е., Павлова Н.Г. Равновесные цены как точка совпадения двух отображений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. № 2. С. 225-237.
17. Арутюнов А.В. Итерационный метод нахождения точек совпадения двух отображений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 11 С. 1947-1950.
18. Жуковская Т.В., Пучков Н.П. О приближенном нахождении точек совпадения отображений // Современные методы теории краевых задач. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 2012. С. 65-67.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00877, № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskaya T.V., Zhukovskiy E.S.
ON ONE ITERATIVE METHOD OF FINDING SOLUTIONS TO OPERATOR EQUATIONS WITH COVERING MAPS
We consider the equation Y(x,x) = y, where the map Y acts, in each argument, from a metric space X into a metric space Y and is covering with respect to the first argument and Lipschitz with respect to the second one. In studies of such an equation, for proving the basic statements, the iterations {xn} are often used, and in order to build them, one has to solve the equation Y(x,xn-i) = y. In practical application of these iterations, there appears the problem of errors affecting the iterations convergence, as well as that of finding estimates of admissible errors at each iteration, etc. Here we consider all the listed problems and offer the conditions that guarantee the convergence of the iterations that one gets from the equation ) = y to a solution of the initial equation. For one important in analysis class of equations, the solutions to which are called the coincidence points of the maps, the mentioned problems were solved by A.V. Arutyunov.
Key words: covering map; Lipschitz map; approximate solution of operator equations; iteration.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]
Zhukovsky Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Zhukovsky Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.911
О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
© Е.С. Жуковский, А.В. Козадаев
Ключевые слова: неявное дифференциальное уравнение; непрерывная зависимость решений от момента импульсного воздействия; накрывающие отображения метрических пространств.
Рассматривается неявное дифференциальное уравнение, решение которого в заданный момент времени испытывает импульсное воздействие, зависящее от значения решения в этой точке. Для получения условий непрерывной зависимости решения от его начального значения и момента импульсного воздействия используется метрическое пространство кусочно абсолютно непрерывных функций, имеющих не более одного скачка в любой точке. Метод исследования основан на результатах о накрывающих отображениях метрических пространств.
Рассмотрим импульсную дифференциальную систему, относительно которой предполагаем, что ее решение есть функция х : [a, b] — Rn, возможно имеющая один разрыв первого рода в заданной точке т G [a, b), где непрерывна слева, а величина скачка Д х(т) = х(т + 0) — х(т) зависит от значения решения в этой точке. В остальных точках отрезка [a, b] эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению неявного вида.
Итак, пусть заданы удовлетворяющие условиям Каратеодори функции
f : [a, b] x Rn x Rn — Rm, p : [a, b] x Rn x Rn — Rk.
Исследуемую импульсную дифференциальную систему можно записать в следующем виде
f (t,x,X) = 0, t G [a, b], x(a) = A, р(т,х(т), Д х(т)) = 0. (1)
Нас интересуют условия непрерывной зависимости решения от начального его значения A и момента т импульсного воздействия.
Пусть ЬП — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций y :[a,b] —Rn с нормой \\y\\Ln = vraisupie |y(t)|; АСП — банахово пространство абсолютно непрерывных функций х : [a, b] — Rn, имеющих существенно ограниченную производную х G Ь П, с нормой \\х\\.сп = 1х(a)l + \\х\\г„ .
оо Lo
Следуя работам [1]—[3] определим метрическое пространство, в котором будем искать решения системы (1), следующим образом.
Для произвольного т G [a,b) обозначим хт :[a,b] — {0,1} характеристическую функцию полуинтервала (т,Ь], т.е. хт (t) = | 0 если t G Mi' Определим пространство Sn "функций-
с метрикой
Sn = {хт,з : [a, b] - Rn, хт,s(t) = Хт (t)s | т G [a,b), s G Rn}
b
PS (хт1, si ,хт2, S2 ) = J |хт1, si (t) — хт2 , S2 (t)ldt.
Теперь определим пространство SACП функций x : [a,b] ^ Rn, каждая из которых может иметь разрыв не более чем в одной любой точке т Е [a,b), где непрерывна слева и имеет предел справа. Любой элемент x Е SACП представим в виде суммы двух функций
x = x + xт s, где x Е ACn, xт s Е S .
Расстояние в SAC'n определим равенством
PSAC'n (xl,x2) — max{yxi x2 НаСП ' psn (xT1,Sl ,xT2,S2 )}-
Относительно этой метрики пространство SACП является полным [2].
Нам потребуется понятие условно накрывающего отображения, предложенное и исследованное в работах [4]-[6].
Пусть (X,pX), (Y, pY) - метрические пространства, U С X, W С Y, а> 0. Определение 1 [4]. Отображение F: X ^ Y называют а -накрывающим относительно множеств U, W, если для каждого шара BX (u, r) С U имеет место включение
BY (F(u), ar) р| W С F (Bx (u, r)).
Определение 2 [5], [6]. Отображение F : X ^ Y называют условно а -накрывающим относительно множеств U, W, если оно является а -накрывающим относительно множеств U и Wf)F(U).
Эти понятия и результаты [4]-[9] об уравнениях с накрывающими отображениями метрических пространств мы используем для исследования системы (1).
Пусть задан x0 Е SACЩ, тогда x0 — x° + xTo So, где x° Е AC^, xTo So — xT0 s° Е Sn. Предположим, что эта функция удовлетворяет системе
f (t,x0(t),x0(t)) = 0, t Е [a, b], р(т0,x0(T0),s0) = 0. (2)
Наша задача заключается в определении условий, гарантирующих близость (в метрике пространства SAC'n ) решения системы (1) функции x°, если его начальное значение A и момент "удара" т близки, соответственно, величинам x°(a) и т°.
Пусть заданы положительные числа R, v, 6. Для любого п Е T(6) = [т° — 5, т° + 6] П [a, b] положим xn = x° + xn,So. Для каждого t Е [a,b] определим множества
m= U BRn (xn(t),v), U(t) = Bmn (x°(t),R).
пет (6)
Далее, положим
V = BRn (s°,v), W = BRk (0,v). Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) при почти всех t Е [a,b], любом x Е Q(t) отображение f (t,x, ■) : Rn ^ Rm является условно накрывающим относительно U(t) и всего пространства Rm, кроме того, имеет место включение 0 Е f t, x, U(t) '
2) при почти всех t Е [a,b], любом y Е U(t) отображение f (t, ■,y): Rn ^ Rm является липшицевым на множестве Q(t);
3) при любых п Е T(6), u Е BRk (yx°(т°), v) отображение ф(п, и, ■) : Rn ^ Rk является накрывающим относительно множеств V, W, кроме того, имеет место включение 0 Е Е <p(n,u,V)'
4) отображение ■,s°):[a,b] х Rn ^ Rk непрерывно в точке (т°, x°(т°)).
Тогда существуют такое положительное е, что для произвольных A £ BRn (x0(a),e), т £ £ T(e) система (1) имеетрешение х(А,т) £ SAC'n такое, что при A ^ x0(a), т ^ т0 имеет место сходимость pSAcn (х(А,т),х0) ^ 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zhukovskiy E.S., Zhukovskaya T.V. About the correctness of impulsive functional differential equations // Functional Differential Equations. Ariel University Center of Samaria. Ariel, Israel, 2008. V. 15. № 3-4. P. 339-348.
2. Жуковский Е.С., Скопинцева О.В. О корректности дифференциального уравнения, испытывающего импульсные воздействия на заданной линии. // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2012. Т. 17. № 1. С. 45-48.
3. Жуковский Е.С., Пеньков Б.Д., Скопинцева О.В. Об одном подходе к исследованию дифференциальных уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 3. С. 735-737.
4. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. №. 1. P. 105-127.
5. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra gathers // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
7. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. №. 6. P. 889-898.
9. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00877, № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskiy E.S., Kozadayev A.V.
ON CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTIONS TO IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS ON IMPULSES
We study an implicit differential equation, a solution of which undergoes, at the given moment of time, an impulse depending on the solution value at this point. To obtain the conditions of continuous dependence of solution on its initial value and on the impulse moment, we use the metric space of piecewise absolutely continuous functions having no more then one jump at any point. The investigation method is based on the results on covering maps of metric spaces.
Key words: implicit differential equation; continuous dependence of solutions on impulse instant; covering map of metric spaces.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Zhukovsky Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
Козадаев Алексей Владимирович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Kozadayev Alexey Vladimirovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Postgraduate Student, Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.988.6, 517.922
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АВТОРЕГУЛИРУЕМЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ АРГУМЕНТА
© Е.С. Жуковский, И.И. Пасечников
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с авторегулируемым отклонением аргумента; периодические решения; краевая задача.
Получены условия существования периодических решений дифференциального уравнения с отклонением аргумента, зависящим от значения искомой функции. Такие уравнения описывают некоторые специальные системы управления, а также динамику точек в гравитационных, магнитных, электрических полях. Проблема исследования периодических решений сводится к проблеме разрешимости периодической краевой задачи для соответствующего дифференциального уравнения, которая решается с помощью известных принципов неподвижной точки.
Пусть Т> 0; Мп — пространство п -мерных вещественных векторов с нормой | • | ; Ьп -банахово пространство измеримых суммируемых функций х : [0, Т] ^ Мп с нормой ЦхЦьп — = 1х(Ь)1 йЦ; АСп - банахово пространство таких абсолютно непрерывных функций, что X £ Ьп, с нормой ||х|Ц — ЦХЦьп + 1х(а)1; Сп - пространство непрерывных функций, ||х||с« —
— тах |х(Ц)|.
ге[о,т]
Пусть заданы действительные числа ^г, функции Н: М х Мп ^ Мпхп, Ц : М х Мп ^ Мп, удовлетворяющие условиям Каратеодори и являющиеся Т-периодическими по первому аргументу. Кроме того, будем предполагать, что для любого г> 0 найдется функция М(•) £ Ьп такая, что что при любом х £ Мп, если х < г, то при почти всех Ц £ [0,Т] имеет место неравенство
Ц (г,х)К м (Ц).
Математическое описание движение зарядов в электрическом поле, или материальных точек в гравитационном поле [1] приводит к следующей системе функционально-дифференциальных уравнений
хг(Ц)+ ъхг(Ц) — ¡г^х^ Нц(Ц,х(Ц))) ,...,хп( Ып(Ь,х(Ь)))^), Ц £ М, г — 1,п. (1)
К системе (1) также сводятся некоторые задачи управления, вследствие чего такие уравнения называют уравнениями с авторегулируемым отклонением аргумента. Задача Коши для системы (1) на конечном промежутке "времени" исследовалась в работах [2-5]. Здесь рассматривается случай Ц£М.
Решение системы (1) — это абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая ее уравнениям при почти всех Ц £ М. В данной статье исследуется проблема существования Т-перио-дического решения системы (1).
Определим, для всех г] — 1,п, функции Нц(Ц,х) — Т{Н^(Ц,х)Т-1}, где символом обозначена дробная часть числа. Заметим, что Н^([0,Т]) С [0,Т], и для любой Т-периодической функции и: М ^ М выполнено и(Н^(Ц,и(Ц))) — и(Н^(Ц,и(Ц))).
Задача о существовании у системы (1) Т-периодического решения равносильна задаче о разрешимости следующей периодической краевой задачи
хг(Ц)+ ъхг(Ц) — Ц,х1(Нг1(Ц,х(Ц))),...,хп(Нгп(Ц,х(Ц)))), Ц £ [0,Т], г — т;п, (2)
хг(0) - хг(Т) = 0, г = 1,п. (3)
Для исследования краевой задачи (2),(3) воспользуемся '-подстановкой Н.В. Азбелева [6]. Выберем вспомогательную краевую задачу
хг(г) + ъх&)= уг(г), г е [0,Т], Хг(0) - Хг(Т) = 0, г = 1,п,
решение которой определяется формулой
т ,
т {пи ^ I пи Л (еът -1) 1 е^3—г+т), если 8 < г, ...
хг(г) = Сг(г,8)уг(8)й8, сг(г,8) = { ) — - ' (4)
0 { (е -1) е , если в>г.
Таким образом, краевая задача (2), (3) равносильна системе уравнений Уг(г) = ¡г( г, т С (Нг! (г, / С^, () уХ(() ((), в^в) (1,3, . . .
о о
т _ т . _
...,!Сп(Нги{г,$Сп(г,Оуп(0((),з)уп(з)(з), ге [0,т], г = 1,п.
оо
(5)
Если у — решение уравнения (5), то после подстановки этой функции в соотношение (4) получаем решение х краевой задачи (2),(3), периодическое продолжение которого будет решением исходного уравнения (1).
Для исследования разрешимости системы (5), мы воспользуемся классическим принципом Шаудера неподвижной точки вполне непрерывного отображения [7].
Теорема. Пусть для всех г = 1,п выполнены следующие условия: существует такое аг > 0, что при почти всех г е [0, Т] и любом х е Мп отображение ¡г(г,х, ■) : М ^ М является аг -накрывающим; для любого ] = 1,п существует такое ¡3^ > 0, что при почти всех г е [0, Т] и любом -ш е М, (х\,... , xj—1 , ху + \ , . . . , хп ) е Мп 1 отображение ¡г(г,х1,... ... , Хj—l, ■, Хj+l,..., хп, ,ш) : М ^ М является ¡3^ -липшицевым. Тогда, если матрица
С = ( (аг^г)—1вг^пхп (6)
имеет спектральный радиус д(С) < 1, то существует решение х е АС'П краевой задачи (5). Доказательство основано на результатах [3].
Определим для любого г = 1,п отображение Фг: Ь^ х ЬП ^ Ь^ соотношением
т т
Фг (иг, VI,...,Уп)) (г) = {г(г, ! С 1(йг1(г), в)у1 (в) (в,... ^ С п(Нгп(г), в) Уп (з)(з,пг(г)^.
оо Теперь запишем систему (5) в виде системы операторных уравнений
Фг(уг,у1,...,уп) =0, г = 1п. (7)
Для исследования полученной системы (7) воспользуемся результатами работы [3]. В силу [3, теорема 3] отображение Фг(-, у1, ..., уп): Ь^ ^ Ь^ является аг -накрывающим, г = 1,п. Далее, для произвольного ] = 1,п и любых Vj ,Vj е Ьвыполнено
(фг(щ,У1, ...,Vj,.. .,Уп)-Фг {иг,У1, ...,Vj,.. .,Уп)^
Г <
гОО —
т
< ^уга! 8Щ)( Сг^(г),,в)\^(в) - vj(в)\< 1^\\vj - vj\\ьх. *е[о,т] V у
о
Таким образом, отображение &i(ui, vi,..., Vj-i, •,Vj+i,Vn): L oo ^ Loo является липшицевым с константой Pij =Y-l@ij ■
Согласно [3, теорема 1], для доказательства утверждения остается заметить, что матрица {(аъ)-1 Pjnxn - это матрица C , которая определяется равенством (6), и ее спектральный радиус g(C) < 1.
Следствие. При выполнении условий доказанной теоремы уравнение (1) имеет Т-периодическое решение.
В заключение отметим, что идеи применения накрывающих отображений к исследованию неявных дифференциальных уравнений и условия разрешимости и корректности задачи Коши были предложены в работах [4]-[8], результаты о разрешимости апериодических краевых задач для таких уравнений получены в [3],[9],[10], периодическая краевая задача исследовалась в [11].
ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991, 280 с.
2. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. №2. С. 151-155.
3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.
4. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
5. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra gathers // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 75. 2012. P. 1026-1044.
7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. No. 6. P. 889-898.
8. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
9. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1673-1674.
10. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1082-1085.
11. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2012. Вып. 1 (39). С. 52-53.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках госзадания Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskiy E.S., Pasechnikov I.I.
ON PERIODIC SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH AUTOCONTROLLABLE ARGUMENT DEVIATION
The existence conditions for periodic solutions of a differential equation with argument deviation depending on the value of the required function are derived. Equations as such describe some special control systems as well as the dynamics of mass points in gravitational, magnetic, and electric fields. The problem of studying periodic solutions is reduced to the problem of solvability of the periodic boundary-value problem for the corresponding differential equation which can be resolved by means of the known fixed point principles.
Key words: differential equation with autocontrollable argument deviation; periodic solutions; boundary-value problem.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Zhukovsky Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
Пасечников Иван Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор кафедры общей физики, email: [email protected]
Pasechnikov Ivan Ivanovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technical, Professor of General Physics Department, e-mail: [email protected]
УДК 517
СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ НАКРЫВАЮЩИХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
© С.Е. Жуковский
Ключевые слова: локально накрывающее отображение; упорядоченно накрывающее
отображение.
Приведено сравнение различных определений локально накрывающих отображений.
Показана взаимосвязь между понятиями накрывания и упорядоченного накрывания.
Понятие накрывающего отображения используется при исследовании точек совпадения двух отображений, действующих в метрических пространствах (см., например, [1-5]). Изучению свойств накрывающих отображений посвящены работы [6-8] и мн. др. Некоторые результаты из перечисленных публикаций использовались при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений, управляемых систем, интегральных уравнений Вольтерра (см., например, [9-15] и др.).
Одним из ключевых понятий теории накрывающих отображений является понятие локально накрывающего отображения, концепция которого разработана в [4], [5] и др. В связи с тем, что в работах, касающихся накрывающих и локально накрывающих отображений, введены и используются различные определения понятия накрывания, представляется естественным выяснить взаимосвязь между этими определениями. Именно этой цели и посвящена настоящая заметка.
Пусть (Х,рх), (У,ру) - метрические пространства с метриками рх и ру, соответственно. Будем считать, что задано многозначное отображение Ф: X ^ У, ставящее каждому х £ X в соответствие непустое множество Ф(х) С У. Пусть, кроме того, заданы числа а, Я> 0, точки х0 £ X, у0 £ Ф(х0), некоторые множества и С X и V С У. Всюду далее через Вх(х0,К) и Ох(х0, Я) будем обозначать замкнутый и, соответственно, открытый шар в пространстве X с центром в точке х0 радиуса Я. Кроме того, положим
Ву(У,Я)— и Вх(х0,Я), Оу(У,Я)— и Ох(х0,Я).
хоЕУ хоЕУ
Приведем определения локально накрывающего отображения из [4], [5] и [8].
Определение 1 (см. [4]). Многозначное отображение Ф : X ^ У назовем а -накрывающим относительно множеств и С X и V С У, если
Вх(х,г) С и ^ Ву (Ф(х),аг) П V С Ф(Вх(х,т)).
Отображение Ф будем называть локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0), если существуют окрестности и и V точек х0 и у0, соответственно, такие, что Ф является а -накрывающим относительно и и V.
Определение 2 (см. [5]). Многозначное отображение Ф: X ^ У называется а -накрывающим на множестве и С X относительно множества V С У, если
Вх(х,т) С и ^ Ву (Ф(х) П V,ат) С Ф(Вх(х,т)).
Отображение Ф будем называеть локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0), если существуют окрестности и и V точек х0 и у0, соответственно, такие, что Ф является а -накрывающим на и относительно V.
Определение 3 (см. [8]). Многозначное отображение Ф: X ^ У называется локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0), если существуют окрестности и С X и V С У точек х0 и у0, соответственно, и число Е> 0 такие, что
Оу (у, аг) С Ф(Ох(х,г)) Vх е и, Vу е Ф(х) П V, Vг е (0,Е).
Сравним приведенные определения локального накрывания.
Теорема.
1) Если отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 2, то Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 1.
2) Пусть х0 не является изолированной точкой пространства X. Если отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 1, то отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 2.
3) Если отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 3, то Ф является локально (а-е) -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) и в смысле определения 1 для любого е е (0, а) .
4) Если отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 1, то отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 3.
Если х0 — изолированная точка пространства X, то локально а -накрывающее в смысле определения 1 отображение может не быть таковым в смысле определения 2. Приведем соответствующий пример.
Пример. Пусть X = {х0}, У = М, Ф: X ^ У, Ф(х0) = [-1,1], у0 = 0 и и С X, V С У — произвольные окрестности точек х0 и у0, соответственно. Для произвольного а> 0 положим г = 2а—1. Очевидно, что Вх(х0,г) С и. Кроме того,
Ву (Ф(х0) П V,аг) = Ву (Ф(х0) П V, 2) Э Ву(у0, 2) = [-2, 2],
а т. к. Ф (Вх (х0,г)) = [-1,1], то Ву (Ф(х0) П V,аг) ^ Ф(Вх (х0,г)). Следовательно, отображение Ф не является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 2 ни при каком а> 0 . Однако если положить V = (-1,1), то
Ву (Ф(х),аг) П V = Ву (Ф(х0),аг) П V = (-1,1) С Ф(Вх(х0,г)) = Ф(Вх(х0,г))
для любого шара Вх (х,г) С и. Поэтому отображение Ф является локально а -накрывающим в окрестности точки (х0,у0) в смысле определения 1 при любом а> 0 .
В [12] было введено определение накрывающего на некоторой системе однозначного отображения. Приведем многозначный аналог этого определения. Пусть задано множество А С X х М+.
Определение 4. Многозначное отображение Ф : X ^ У назовем а -накрывающим множество V на системе А, если
с
(х, г) е В ^ Ву (Ф(х),аг) Р| V С Ф(Вх(х,г))
Предположим, что Вх (и, г) С и для любого (и, г) е В. Отображение Ф: X ^ У назовем условно а -накрывающим множество V относительно и на системе А, если оно является а -накрывающим V П Ф(и) на системе А.
Аналог приведенного определения для "однозначных" отображений был сформулирован в [12]. Определение 4 достаточно универсально, поскольку обобщает различные определения накрываемости, часто встречающиеся в современной литературе. А именно,
1) если а — {(х,т) : Вх(х,т) С и}, то отображение Ф является а -накрывающим множество V на системе а тогда и только тогда, когда отображение Ф является а -накрывающим относительно множеств и и V (см. определение 1);
2) если в — X х М+, Ш — У, то отображение Ф является а -накрывающим множество V на системе а тогда и только тогда, оно является а -накрывающим в смысле определения из [1];
3) если система а — 0 такова, что
(х, т) £ а и т' + рх(х, х') < т ^ (х', т') £ а,
то а -накрывающее множество V на системе в отображение Ф в [7] называется а -накрывающим множество V на полной системе В.
В заключении этой заметки проясним взаимосвязь между понятием накрываемости из определения 4 и понятием упорядоченной накрываемости из [16, 17]. Напомним соответствующее определение.
Пусть (X, ^), (У, - частично упорядоченные пространства. Для произвольного х £ X положим
^х(х) — {и £ X : и ^ х}.
Определение 5. Многозначное отображение Ф: X ^ У будем называть упорядоченно накрывающим множество Ш С У, если для любого х £ X выполнено включение
Пу (Ф(х)) П Ш С Ф(Пх(х)).
Это определение было введено в [16, 17]. В указанных работах были получены достаточные условия существования точек совпадения монотонного и упорядоченно накрывающего отображений.
Пусть теперь (X,рX), (У, ру) - метрические пространства, а С X х М+. Зададим в а отношение частичного порядка следующим образом:
(х, т) (х, т) ^ рх(х, х) + т < т.
Аналогично определим отношение частичного порядка ^ в У х М+. Для произвольного многозначного отображения Ф : X ^ У определим многозначное отображение Фа : А ^ У х М+ по формуле
Фа(х,т) — {(у,ат) : у £ Ф(х)} V(х,т) £ А.
Утверждение. Если многозначное отображение Ф : X ^ У является а -накрывающим множество V на системе А, то многозначное отображение Фа : А ^ У х М+ является упорядоченно накрывающим множество Ш — V х М+.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // ДАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.
3. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.
4. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. С. 105-127.
5. Mordukhovich B.S. Variational Anaysis and Generalized Differentiation. Springer, 2005 V. 1.
6. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства // Тр. Мат. Инст. им. Стеклова В.А. 2010. Т. 271. С. 12-22.
7. Дмитрук А.В., Милютин А.А, Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН 1980. Т. 35. № 6. С. 11-46.
8. Dontchev A.L., Frankowska H. Lyusternik-Graves theorem and fixed points // Proc. of the AMS 2011. V. 139. №2. P. 521-534.
9. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
10. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
11. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. №6. P. 889-898.
12. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е., О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
13. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E., Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2011. V. 75. №3. P. 1026-1044.
14. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифф. уравнения 2013. Т. 49. № 4. C. 439.
15. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. № 1. С. 49-54.
16. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // ДАН 2013. Т. 453. № 5. С. 475-478.
17. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е., Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // ДАН 2013. Т. 453. № 6. С. 595-598.
БЛАГОДАРНОСТИ: Автор благодарит профессора А.В. Арутюнова за полезные обсуждения и внимание к работе. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00427, № 12-01-00506).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskiy S.E. COMPARISON OF SOME TYPES OF LOCALLY COVERING MAPPINGS
The comparison of different types of locally covering mappings is presented. The relationship between the covering and ordered covering properties is shown.
Key words: locally covering mapping; orderly covering mappings.
Жуковский Сергей Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Zhukovsky Sergey Evgenyevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.9
О РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ © С. Е. Жуковский, З. Т. Мингалеева
Ключевые слова: управляемая система; смешанные ограничения.
Исследована локальная разрешимость управляемой системы со смешанными ограничениями и дифференциальной связью неявного вида. Получены достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы.
I. Постановка задачи. Пусть заданы непрерывные функции Ц : М х Мп х Мп х Мт — , д: М х Мп х Мт — М5, множество и С Мт, вектор х0 £ Мп, число Ц0. Рассмотрим управляемую систему
Ц(Ц, х, х,и) — 0 (1)
с начальным условием
х(Ц0) — х0, (2)
смешанным ограничением
д(Ц, х,и) — 0 V Ц (3)
и ограничением на управление
и(Ц) £ и V Ц. (4)
Здесь Ц £ М - время; х £ Мп - фазовая переменная; и £ Мт - управляющий параметр. В качестве допустимых управлений рассматриваются всевозможные функции и(^) £ С([¿0,^0 + т], Мт) , т> 0, для которых выполняется условие (4). Здесь и далее С([^0, ^0 + т], Мт) - множество всех непрерывных функций и :[Ц0,Ц0 + т] —Мт, а СО([Ц0,Ц0 + т], Мп) - множество всех непрерывно-дифференцируемых функций х : [Ц0, Ц0 + т] — Мп .
Определение 1. Будем говорить, что система (1) —(4) локально разрешима в точке (Ц0,х0), если существуют число т> 0 и допустимое управление и(^) £ С ([Ц0,Ц0 + т],и), такие, что задача Коши
Ц(Ц, х, х, и(Ц)) — 0, х(Ц0) — х0
на отрезке [Ц0,Ц0 + т] имеет решение х( ) £ СВ([Ц0,Ц0 + т], Мп), для которого выполняется условие (3), т. е.
д(Ц,х(Ц),и(Ц)) — 0 VI £ [Ц0,Ц0 + т].
Пару функций (х( ), и(^)) будем называть локальным решением задачи (1)—(4) .
Основная цель настоящей работы - получение достаточных условий локальной разрешимости управляемой системы. Отметим, что достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем со смешанными ограничениями, в которых дифференциальная связь (1) разрешена относительно х, были получены в работах [1]-[3]. Задача, в которой дифференциальная связь (1) не разрешена относительно х, рассматривалась в [4], где были получены условия разрешимости в предположении накрываемости функций Ц и д по переменным х и и, соответственно. В перечисленных публикациях условия управляемости гарантировали существование локального решения (х(^),и() с измеримым управлением и(^). Мы же получим условия существования локального решения с непрерывным управлением.
II. Основной результат. Предположим, что
(Л) существуют точки и° € и,у° € Мп такие, что / (10,х°,у0,и°) = 0 и д(Ь°,х°,и°)=0;
(Б) функция д в некоторой окрестности точки (Ь°,х°,и°) дважды непрерывно дифферен-
02д
цируема по и равномерно по и,х), и отображение (Л,х,и) ^ (Л,х,и), определенное
ди2
в некоторой окрестности точки (1°,х°,и°), липшицево по и с константой Липшица, не зависящей от (Ь,х), т. е. существует с> 0 такое, что
д2 g д2f
(t, x, ui)[n, lA - dû?, (t, x, U2)[n, lA
< c\\ui - u?\
для любых ц, ц G Rm таких, что окрестности (t0,x0,u0);
Rm —
= 1, для любых (t,x,ui), (t,x,u2) из
(С) функция f в некоторой окрестности точки (Ь°, х°, у°, и°) дважды непрерывно диффе-
д
ренцируема по (х,и) равномерно по (1,х), и отображение (Ь,х,х,и) ^ —)2 (¿,х,х,и),
определенное в некоторой окрестности точки (Ь0,х0,у0,и°), липшицево по (х,и) с константой Липшица, не зависящей от (Ь,х).
Для сокращения записи далее будем пользоваться следующими обозначениями
д/ д/ дд
¿о = (г°,х°,у°,ио), (0 = (г°,хо,ио), и = дхх;(^0), /и = диди = ди(^°),
д2/ д2 / д2 / д2/ д2д
их = дх2(*о)' = дхсдй,(*о)' и± = дим(^о) /ии = дй2(*о)' дии = зй2
Положим
U — U + span{uo}, C —
fx V + fuu
guu
: vGRn, ueU
W —
u
v
: fxv + fuu — 0, guu — 0,v e Rra, u eU
Теорема. Пусть отображения / и д удовлетворяют свойствам (А), (Б) и (С). Предположим также, что существуют векторы Н\ € Мп, Н2 €Ы такие, что
fx hi + fuh2 = 0, guh2 = 0,
fxx[hi,hi] + fxu[hi, h2] + fux[h2, hi] + fuu[h2, h2] guu[h2,h2]
fx X [hi,v]+ fx u[hi,U]+ fuX [h2,v]+ fuu [h2,u] guu[h2,u]
Тогда система (1)-(4) локально разрешима в точке (t0,x0)
C +
u
v
e C,
G W \ — Rfc x Rs.
Приведенный результат представляет собой следствие теоремы о неявной функции в окрестности анормальной точки из [5], а его доказательство использует понятие 2-регулярности. Подробнее о теоремах об обратной и неявной функциях в окрестности анормальной точки см. [5-7].
III. Доказательство основного результата. Зададим отображение F : R x Rra x Rra х
xR"
x Rs по формуле
F'(t, x, x, uù) —
f (t, x, x>, u/) g(t, x, u)
R
m
R
s
R
m
->
Применим к отображению Г теорему о неявной функции из [5].
В силу предположений (А)-(С), отображение Г в некоторой окрестности точки £0 дважды непрерывно дифференцируемо по (хх,и), равномерно по (Ц,х), и отображение д2Г
(Ц,х,х,и) — д(х—(Ц,х,х,и), определенное в некоторой окрестности точки £0, липшицево
по (х,и) с константой Липшица, не зависящей от (Ц,х). Из предположений теоремы следует, что отображение Г(Ц,х, ■) 2-регулярно по паре (хх,и) в точке (у0,и0) относительно конуса Мп х и по направлению Н — (Н\,Н2) (см. определение в [5]). Из теоремы о неявной функции из [5] следует, что существует окрестность О точки (Ц0,х0) и непрерывное отображение р : О — Мп х и такое, что
Г(Ц,х,р(Ц,х)) — 0 V(t,x) £ О. (5)
Для любого (Ц,х) £ О обозначим через р\(Ц,х) и р2(Ц,х) проекции вектора р(Ц,х) на множества Мп и и, соответственно. Очевидно, что отображения : О — Мп, р2 : О — и непрерывны.
Рассмотрим задачу Коши
х — р\(Ц,х), х(Ц0)— х0.
Поскольку функция непрерывна, существует число т> 0 и решение х( ) £ СО([Ц0,Ц0 + + т], Мп) этой задачи на отрезке [Ц0,Ц0 + т]. Отметим, что (Ц,х(Ц)) £ О для любого Ц £ [Ц0,Ц0 + т]. Зададим функцию и() £ С([Ц0,Ц0 + т],и) по формуле и(Ц) — р2(Ц,х(Ц)) для любого Ц £ [Ц0,Ц0 + + т]. Из (5) следует, что пара функций (х(^),и() является локальным решением задачи
(1)-(4). □
ЛИТЕРАТУРА
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. №. 6. P. 889-898.
2. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
3. Жуковский С.Е., Мингалеева З.Т. Существование и непрерывность неявной функции в окрестности анормальной точки / / Вестник Московского университета. 2012. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. № 2. С. 1015.
4. Жуковским Е.С., Плужникова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. № 1. С. 4954.
5. Арутюнов А.В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 2. С. 205-215.
6. Арутюнов А.В. К теоремам о неявной функции в анормальных точках // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 30-39.
7. Арутюнов А.В. Теорема о неявной функции на конусе в окрестности анормальной точки // Матем. заметки. 2005. Т. 78. № 4. С. 619-621.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00427, № 13-01-00494).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskiy S.E., Mingaleeva Z.T.
ON LOCAL SOLVABILITY OF CONTROL SYSTEMS
The local solvability of control system with mixed constraints and dynamic constraints in implicit form is considered. The sufficient condition for local solvability is obtained. Key words: control systems; mixed constraints.
Жуковский Сергей Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Zhukovsky Sergey Evgenyevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Мингалеева Зухра Тагировна, Московский государственный университет, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра системного анализа, e-mail: [email protected]
Mingaleeva Zukhra Tagirovna, Moscow State University, Moscow, Russian Federation, Postgraduate Student, System Analysis Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.986.6
ОБ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМАХ, ЗАДАННЫХ ВЫРОЖДЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
© А.В. Завьялова
Ключевые слова: сюръективный оператор; замкнутый линейный оператор; управляемые системы; дифференциальные включения.
Данная статья посвящена изучению управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями. В ней проблема существования решений таких систем сводится к задаче существования решений у операторных включений содержащих замкнутые сюръективные операторы.
Введение
Настоящая работа посвящена изучению управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями. В ней проблема существования решений таких систем сводится к задаче существования решений у операторных включений содержащих замкнутые сюръективные операторы, т. е. включений вида
А(х) £ Г(х),
где А - замкнутый линейный сюръективный оператор, Г - многозначное отображение. Ранее такие включения изучались в работах [1, 2].
В работах [2, 3] изучались вопросы существования и свойства множества локальных решений вырожденных дифференциальных включений, у которых вырождение задается замкнутым линейным сюръективным оператором.
1. Необходимые сведения
Пусть E\, E2 - банаховы пространства, A : D(A) С E\ ^ E2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, D(A) - область определения оператора A . Тогда для любой точки y £ E2 множество
A-l(y) = {x £ Ei | A(x) = y} = 0
является замкнутым и выпуклым, то есть определено многозначное отображение A-1: E2 ^ ^ Cv(Ei) , где Cv(Ei) - множество непустых замкнутых выпуклых подмножеств пространства Ei .
Определение 1.1. Число
1 = (inf{||x|1 1 x £ E1, A(x) = y})
||A || = suP ( |T—1| )
yeE2 ПУП
называется нормой многозначного отображения A-1 .
Известно (см., например, [4]), что при сделанных предположениях ||A-1|| < ж .
Если подпространство Кег(А) (ядро оператора А) не является дополняемым в пространстве Е\ , то не существует линейного непрерывного оператора правого обратного к оператору А .
В [2] была доказана следующая лемма.
Лемма 1.1. (г) Пусть у0 - произвольная точка пространства Е2 , х0 - произвольная точка из множества А-1(у0), тогда для любого числа к, ||А-1|| <к, существует непрерывное отображение д : Е2 — Е1, такое, что выполнены следующие условия:
1) А(д(у))— у для любого у £ Е2;
2) ||х0 — д(у)11< Щу0 — у11 для любого у £ Е2.
(гг) Для любого числа к, ||А-1|| <к, существует непрерывное отображение д: Е2 — Е1, такое, что выполнены следующие условия:
1) А(д(у)) — у для любого у £ Е2;
2) Му)И< кЦуЦ для любого у £ Е2.
Если У - подмножество банахова пространства Е2 , обозначим Ки(У) - множество всех непустых компактных выпуклых подмножеств в У .
Пусть X - подмножество пространства Е1 , Г : X — Ку(Е2) - многозначное отображение. Необходимые сведения из теории многозначных отображений содержатся, например, в [4]. Рассмотрим следующее включение:
А(х) £ Г(х). (1.1)
Обозначим N (А, Г) множество решений включения (1.1). В работе [1] доказана следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть многозначное отображение Г : Е1 — К,0 (Е2) удовлетворяет следующим условиям:
1) Г - вполне непрерывно;
2) существуют неотрицательные числа с и (I такие, что для любого х £ Е1 справедливо неравенство:
шш Ы < сЦхЦ + (,.
иеР (х)
Если с < ц^хц , то N (а, Г) — 0 .
Применим эту теорему к изучению одного класса управляемых систем.
2. Об одном классе управляемых систем
Пусть Е1,Е2,Ез - банаховы пространства, А : Р(А) С Е1 — Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, f : Е1 х Е3 — Е2 нелинейное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
(11) / является вполне непрерывным отображением;
(¡2) существуют положительные числа С1 и (1 такие, что для любой точки (х, и) £ Е1 х х Е3 справедливо неравенство:
/(х,и)Ц< С1(ЦхЦ + ||и||) + (1; (/з) при каждом фиксированном х £ Е1 отображение
/х — /(х, ■): Ез — Е2
является аффинным отображением.
Пусть U : Ei ^ Kv(E3) - полунепрерывное сверху многозначное отображение, удовлетворяющее следующему условию: существуют положительные числа С2 и (2 такие, что
max ЦпЦ< C2HxH + (I2 (2.1)
пей (x)
для любого x £ E1.
Рассмотрим следующую задачу:
A(x) = f (x,u), (2.2)
u £ U(x). (2.3)
Задачу (2.2)-(2.3) будем называть задачей управления с обратной связью, а множество U(x) - множеством допустимых управлений для точки x£ Ei .
Решением управляемой системы (2.2—(2.3) будем называть пару (x*,u*) такую, что
A(x*) = f (x*,u*), (2.4)
u* £ U(x*). (2.5)
Точку x* £ E1 будем называть траекторией управляемой системы, а u* £ E3 - соответствующим управлением.
Рассмотрим многозначное отображение F : Ei ^ Kv (E2) ,
F (x) = f (x,U (x)).
В силу сделанных предположений множество F(x) является выпуклым компактом для любого x £ Ei и отображение F является полунепрерывным сверху (см., например, [4]). Рассмотрим включение
A(x) £ F(x). (2.6)
Очевидно, что каждому решению включения (2.6) отвечает некоторое решение задачи управления (2.4)-(2.5).
Докажем теорему существования решения задачи (2.4)-(2.5).
Теорема 2.1. Пусть отображение f удовлетворяет условиям (fi)—(f3), многозначное отображение U полунепрерывно сверху и удовлетворяет условию (2.1). Тогда если
1
ci(1 + С2) <
НА-"Т
то множество решений управляемой системы (2.4)—(2.5) непусто.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно доказать, что включение (2.6) имеет решение. Для этого воспользуемся теоремой 1.1. Сначала покажем, что отображение Г вполне непрерывно.
Пусть А С Е1 - ограниченное множество. Тогда существует такое число Я> 0 , что для
любой точки х £ А выполняется неравенство ||х||< Я .
Обозначим и(А) — и(х) . Следовательно, для любого у£ и(А) существует такая точка хеА
х £ А , что у £ и (х). Имеем
ЦуЦ < С2 ||х|| + (2 < С2Я + (2.
Получаем, что и (А) является ограниченным множеством. Таким образом множество А х х и (А) также является ограниченным в Е1 х Е3. Так как отображение / является вполне
непрерывным, то множество / (А х и (А)) является компактным. Следовательно, множество Р (А) С / (А х и (А)) и является компактным множеством, т. е. Р - вполне непрерывное многозначное отображение.
Проверим теперь выполнение условия 2 теоремы 1.1.
Пусть у € Р(х) = /(х, и(х)) , следовательно, существует V € и(х) такое, что у = /(х, у) . Тогда,
\\у\\< сл(\\х\\ + ||у||) + йх < сл(\\х\\ + С2\\х\\ + й2) + йх = \\х\\(С1 + С1С2) + йх + С^. Если
1
Сх + СхС2 <р-Ц'
то включение (2.6) имеет решение (см. теорему 1.1.). Следовательно, решение имеет и задача (2.2)-(2.3).
Теорема доказана.
3. Об одном классе управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями
Пусть Е\,Е2,Ез - банаховы пространства, А : О (А) С Ех ^ Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, д : [0, Т] х Ех х Е3 ^ Е2 - нелинейное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
(дх) д является вполне непрерывным;
(92) существуют непрерывные функции а и в , определенные на промежутке [0, Т] такие, что для любой точки (г, х, и) € [0, Т] х Ех х Е3 справедливо неравенство
\\д(1,х,и)\\< а(Ь)(\\х\\ + \\и\\)+ в(1). (3.1)
(д3) при любых фиксированных г € [0, Т] и х € Ех отображение д аффинно по и . Пусть многозначное отображение и : С([°,т],Ех) ^ (С([°тт],Е3)) - полунепрерывно сверху и существуют числа С2 и й,2 такие, что справедливо неравенство:
тах \\и\\< С2\\х\\ + (Ь (3.2)
и&(х)
для любого х € С^от], Ех).
Пусть х° € О (А) - некоторая точка. Рассмотрим следующую задачу:
(Ах)'(г) = д(ь, х(г), и(г)), (3.3)
где
и(г) € и(х)(г), (3.4)
для любого г € [0, Т] ,
А(х(0)) = Ах°. (3.5)
Теорема 3.1. Пусть отображение д удовлетворяет условиям (дх) — (д3), многозначное отображение и полунепрерывно сверху и удовлетворяет оценке (3.2). Тогда если
т
1
а(8)йз <
(1 + С2) J а(8)й8
\\А-1\\! 0
то задача (3.3) —(3.5) имеет решение.
Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой (2.1) Нетрудно видеть, что задача (3.3)-(3.5) эквивалентна следующей задаче
А(х) — J д(8,х(8),и(8))(8 + Ах0, (3.6)
0
и £ и(х). (3.7)
Рассмотрим отображение
/ : С([0,Т], Ех) х С([0,Т], Ез) — С([0,Т], E2), определенное по следующему правилу:
I
/(х,и)(Ь) — У д(8,х(8),и(8))(8 + Ах0.
Тогда уравнение (3.6) можно переписать в виде А(х) — /(х, и). Оценим норму /(х, и). Имеем:
||/^^^ — 0шахТ Ну д(8,х(8),и(8))(8 + 0
< тах (] [а(8)(||х(8)|| + Ци(8)Ц)+ /3(8)](8) + ||А(х0)|| — 0
Т Т
— (||х|| + ЦиЦ) I а(8)(8 + ! в (8)(8 + ||А(х0)|| 00
Т Т
Обозначим с1 — / а(8)(8, (1 — / в(8)(8 + ||А(х0)||. 00
Тогда
Ц/(х,и)Ц< С1(||х|| + Ы) + (1. В силу теоремы 2.1 задача (3.6)-(3.7) будет иметь решение, если
С1(1+С2) < рЦу,
т. е.
Т
(1 + С2) У а(8)(8 < ^^
|| 0
В силу условий теоремы это неравенство выполнено, тогда задача (3.6)-(3.7), а следовательно задача (3.3)-(3.5) имеет решение. Теорема доказана.
4
г
ЛИТЕРАТУРА
1. Гельман Б.Д. Об операторных включениях с сюръективными операторами // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2006. № 1. C. 119-127.
2. Гельман Б.Д., Завьялова А.В. Об одном классе вырожденных дифференциальных включений / / Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2013. № 1. С. 136-145.
3. Гельман Б.Д. О локальных решениях вырожденных дифференциальных включений // Функциональный анализ и его приложения. 2012. № 1. C. 79-83.
4. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. М.: КомКнига (URSS), 2005.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zavyalova A.V.
ON CONTROL SYSTEMS GIVEN BY DEGENERATE DIFFERENTIAL EQUATIONS
This article is devoted to studying the control systems given by degenerate differential equations. The problem of existence of solution to such systems is reduced to a problem of existence of solution to operator inclusions containing the closed surjective operators.
Key words: surjective operator; closed linear operator; control systems; differential inclusions.
Завьялова Антонина Владимировна, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант, кафедра высшей математики, e-mail: antonina.zavyalova@ gmail.com
Zavyalova Antonina Vladimirovna, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, Russian Federation, Postgraduate Student, High Mathematics Department, e-mail: [email protected]
УДК 51
О КОРРЕКТНОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ ОБЩЕГО ВИДА
© Д.Ю. Карамзин
Ключевые слова: импульсные управления; импульсные системы; корректность решения. Изучается свойство корректности решений импульсной системы, полученной в результате импульсного расширения обыкновенной системы дифференциальных уравнений. Доказываются необходимые технические леммы.
Будем изучать следующую управляемую дифференциальную систему
йх = /(х,и,г)йг + д(х,и,г)й§, г € Т, х(г°) = х°, (3.1)
включающую обычное измеримое существенно ограниченное управление и и импульсное управление § = (ц, {ит,ут}) . Определение импульсного управления и решения импульсной системы (3.1) было дано в работе [?]. Ниже установим корректность решения этой системы относительно специального вида метрики, возникающей при импульсном расширении.
Ниже приведем вспомогательные технические конструкции необходимые для формулировки и доказательства основного результата. Рассмотрим множество всех управлений, т. е. все пары р = (и, §). Обозначим это множество через V .
Зафиксируем пару р = (и,§), где § = (ц, {ит,ут}). Рассмотрим функцию п : Т ^ [0,1],
п(г) = г — , г € (ьм п(г°) = 0, (3.2)
где V = \§\ , С = — + V(Т) , называемую 'разрывной заменой времени Лебега. Существует обратная функция 9(8) : [0,1] ^ Т такая, что:
a) 9(8) монотонно неубывающая функция на отрезке [0,1] ;
b) 9(8) абсолютно непрерывна и \ 9(8) — 9(г)\< С\8 — г| V 8,г ;
c) 9(8)= т , V 8 € Гт , V т € Т, где Гт = [п(т-),п(т+)] .
Заметим что функция п(Ь) отображает (£ + \§\) -измеримые множества в £ -измеримые множества. Действительно, это непосредственно вытекает из определения п и из представления множества как объединения борелевского и множества нулевой меры. Поэтому, если множество А является (£ + \§\) -измеримым, то 9-1(А) измеримо. Это означает измеримость функции и(9(8)) , если только и(г) будет (£ + \§\) измерима. Так что теперь, например, следующая замена подынтегральной переменной оказывается возможной:
[ \и(г)\йц = с[ \и(9(8))\т(9(8))й8,
Л0
где т-производная Радона-Никодима меры ц по £ + \§\.
Пусть ф будет любая непрерывная функция переменных (х, и, г) , принимающая значения в Мг. Введем отображение
§]( 8) = 1ф(хт (£т (8)),ит ((т (8)), т) если 3т € Б8( \ § \):8 € Гт, [ф §](8) \ф(х(9(8)), и(9(8)), 9(8)) иначе,
действующее из отрезка [0,1] в Мг . Здесь
£т (8) —(8 — п(т- ))/£(Тт ):Тт — [0,1].
Снабдим сейчас множество V метрикой. Рассмотрим функцию распределения Г(Ь, V) скалярной борелевской меры V , т. е. Г(Ь, V) — V([Ь0, Ь}) VЬ £ (Ь0, , Г(Ь0, V) — 0 . Рассмотрим два элемента р1, р2 £Р , и пусть р1 — (и1, $1) , р2 — (и2, $2) . Пусть (з есть решения систем простейшего вида — , (з (Ь0) — 0 , ] — 1, 2 , построенных согласно определению решения. Расстояние в V определим по формуле:
P(P1,P2)= Vi(T) — V2 (T) + i11 F (t,Vi) — F (t,V2)
J to
dt +
+ max «е[од]
r 1
Ext[(i(-),Vi](s) — Ext[(2(-),^2](s)
+
(3.3)
+
Ext[ui(-),tfi](s) — Ext[u2(-),02](s)
ds.
Функции Ех^Сз(^),$з] непрерывны. Функции Ех1[из(^),$з] измеримы и существенно ограничены, как уже было отмечено выше. Поэтому и максимум, и интеграл в (3.3) определены корректно. Легко проверяется, что функция р(■, ■) удовлетворяет всем аксиомам метрики. Таким образом, V - это метрическое пространство. Пространство V, очевидно, полным не является. (Но если управления и берутся из 1,1(Т) , то оно будет полным). Обозначим — сходимость элементов в V . Заметим, что любой элемент (и, у) , где у(Ь) £ К, может быть рассмотрен как элемент (и,$) пространства V , если положить $ — (л; {0}) , где (л — у(Ь)М .
Целью рассмотрения именно такой метрики служат следующие два свойства управлений из .
о
(А) Множество обычных ограниченных управлений (и, у) является всюду плотным в V .
(Б) Предельные переходы относительно метрики р в системах вида (3.1) оказываются корректными.
В то время как свойство (А) является достаточно очевидным (оно доказывается простым построением нужной последовательности обычных управлений (щ,Vi) , мы опускаем детали), то свойство (Б) требует более аккуратной формулировки и доказательства. Сформулируем это свойство в виде следующей леммы (Корректность решения).
Лемма 1. Пусть (ui,§i) A (u,$), где пары (ui,^i), (u,$) принадлежат P. Предположим, что x0>i a x0 £ Мга и функции Ext[ui, $i](s) равномерно существенно ограничены. Предположим, что траектория xi(-) - решение (3.1), отвечающее управлению (щ,*&1) и начальному значению x0ii существует на всем отрезке T V i, и | Ext[xi, $i](s)| < const V s £ [0,1] , V i.
Тогда на всем отрезке T существует и решение x( ) уравнения (3.1), отвечающее управлению (u,$) и начальному значению x0 , и более того, Ext[xi; ^i](s) ^Ext[x,$](s) равномерно по s £ [0,1] , что также влечет, что xi(t) a x(t) V t £ (T \ Ds(|$|)) U{t0,ti} .
Доказательство основано на разрывной замене времени. Не ограничивая общности, можно предположить, что f (-,t)=0 Vt £ D , где D - произвольное множество точек меры нуль, которое сингулярная компонента меры |$| переводит во множество полной лебеговой меры. Поскольку 1(D) = 0, то значения функции f на этом множестве не участвуют в построении траектории. Аналогично поступим со значениями f ив случае мер |$i| , i = 1, 2,... Теперь f (-,t) измерима относительно мер £ + |$| и |$i| Vi. Будем использовать это ниже.
Рассмотрим разрывную замену времени , см. (3.2), связанную с импульсным управлением § . Обозначим обратную функцию в(в) : [0,1] ^ Т . Рассмотрим функцию
(£
тт = с • ЖЖ) • с = и - "+ | § | (Т
которая есть умноженная на константу производная Радона-Никодима меры £ по мере Лебега-Стилтьеса £ + | §| . Функция Ш\(г) является (£ + | §|) -измеримой. Из определения вытекает формула для в(в):
где
в (в) = г0 + / а(я) к, (3.4)
,)= ( тМя)) с * евз(И) гт, \ 0, иначе.
0,
В самом деле, если мера |§| не имеет атомов, то формула (3.4) очевидна, т. к.:
гп(Ь)
П0 Л0 ¿0
Г* г* гп(*)
' - и = (я = Ш\(я) (п(т) = Ш\(в (я)) (я. Лп Лп Уо
Когда |§| имеет конечное число атомов т\,...,тN , то формула (3.4) получается последовательным применением непрерывных замен переменной на отрезках [тг,тг+\] . Наконец, для произвольной меры |§| формула (3.4) верна, т. к. меру |§| можно приблизить мерой с конечным числом атомов.
Обозначим
Ш2(г) = с •
((£ + |§|)
умноженную на константу производную Радона-Никодима меры по мере £ + |§| . Функция Ш2(г) (£ + |§|) -измерима и существенно ограничена. Определим функцию
) = ( с • (£(ГТ))-1ут(Ст(я)) если 3 т е ЩЩ): я е Гт, \ т2(в(я)), иначе.
Несложно проверить, что
Ех1[(, §](в) = [ в (я) (я, где (( = (§, (('о) = 0. 0
Рассматривая в приведенных выше формулах управление (щ,§г) вместо (п,§) , для каждого г получим функции аг, вг и также аналогичные формулы для вг и Ех1[(г,§г] , где вг есть обратная функция к разрывной замене времени, связанной с импульсным управлением §г .
Обозначим уг :=Ех1[х1,§1] . По определению, в силу замены переменной имеем
Уг(в)= Хо,г + ( /(уг(я), Ех1[щ,§г](я), вг(я))аг(я)(я +
г Л (3.5)
+ д(уг(я), Ех1[п1,§1](я),вг(я))вг(я)йя. ¿0
Извлекая подпоследовательность и используя определение (3.3) метрики р, из сходимости элементов (иг,Аг) А (и, А) выводим, что вг ^ в , Ех^, Аг] ^ Ех^£, А] и Ех1[щ, Аг](в) А а Ех1;[и, А](в) , п.в. в Е [0,1] , а также что функции аг, /г равномерно ограничены. Снова переходя к подпоследовательности, используя слабую секвенциальную компактность единичного шара в 12 , получаем, что аг А а , и /г А у . После перехода к пределу в формулах
г в гв
вг(в)= Ьо + Сц(я)ск, Ех1[(г,<&г](в) = 0г(я)ск ■ 'о .'о
приходим к тому, что С = С , 3 = в .
Функции уг, в силу (3.5), равностепенно непрерывны и равномерно ограничены. Переходя к подпоследовательности, используя теорему Арцела, получим уг ^ у. Переходя к пределу при г а то , в (3.5) будем иметь
у(в)= хо + [ I(у(я), Ех1[и,А](я),в(я))с(я)йя +
+ / д(у(я), Ех1[и,А](я),в(я))в(я)ск. о
Но тогда в силу замены переменной траектория х(Ь) = у(п(Ь)) , где п - обратная функция к в, удовлетворяет (3.1). Значит, у = Ех1[х,А] . Поскольку приведенные рассуждения справедливы для любой подпоследовательности исходной последовательности функций уг(в) , то в силу теоремы единственности решения дифференциального уравнения мы доказали, что Ех1[хг, Аг] ^ Ех1[х, А] . Лемма доказана. □
Следующая лемма показывает, как с помощью интегрального функционала возможно аппроксимировать импульсные управления.
Лемма 2.
Пусть (иг, Уг) А (и, А), и
г ¿1
/ (\уг(Ь) - уг(Ь)\2 + \щ(Ь) - Уг(Ь)\2)тг(Ь) СЬ а 0, (3.6)
■По
где
уг(Ь) = ( (Уг, \уг\) Ст, уг(Ь) = ( (Уг, \уг\) Ст.
Jtо ¿¿о
тг(Ь) = 1 +
Но -Но
\Уг(Ь)\ + \3г(Ь)\
2
функции иг, 3г, Уг, и Уг класса ), а функции иг равномерно ограничены. Тогда, (иг, уг) а
А (у, А).
Доказательство. Рассмотрим разные замены переменных
Пг (Ь) = (Сг)"М Ь - Ьо + У \ Уг(я) \ ¿А ,
3г (Ь) = (бг)"^ Ь - Ьо + У \ Уг(Я) \ ,
где сг = - Ьо + (УгН^ , зг = - Ьо + ЦУгЦ^ .Обозначим вг(в) , вг(в) соответствующие обратные функции.
Рассмотрим также следующую замену переменных
<(г) = Ю )-г [*ш(я Ж
где с* = ||тг||ь1 ,и пусть в* - соответствующая обратная функция. Пусть £ обозначает первые к координат вектора у, а г его последнюю координату, т. е. у = (С, г), где г - скаляр. Аналогично уг = (Сг,гг) и уг = (£г,гг).
Из (3.6) следует, что гг(г) — ¿(г) = ^(г, |$|) п.в. г е Т . Установим, что гг(гг) — г(гг) (что означает слабую-* сходимость мер-вариаций). Из (3.6) имеем
0 (\т(з)) - шт2 + ывцз)) - тт2) ds — о, м
где
с-т*)) = Г(3) у-ш <и = Гв!(3) 2сы^т = г3 Сг(вг (*))=к т й =Л, 2 + ыг)1 + Ыг)\ =к вг(Я) '
Ш = ^^
2 + Ыв*(< ))| + (в* (я ))Г Аналогично
гг(в* (*))= [3\вгШя. ./о
Отметим, что \вг(я)| < 2с* , и следовательно, ввиду приведенных выше формул, семейства функций Сг(в*(*)),гг(в*(*)) равностепенно непрерывны и равномерно ограничены. Тогда по теореме Арцела, переходя к подпоследовательности, имеем £г(в*(*)) ^ С(*), гг(в*(*)) ^ г* , где С, г есть некоторые непрерывные функции на отрезке [0,1] . Точно такие же рассуждения справедливы и для функций £г(в*(*)) и гг(в*(*)) . Из (3.7), переходя к подпоследовательности, имеем Сг(в* (*)) ^ С (*), г(в* (*)) ^ г(*) .Но ¿г (в* (1)) = гг(гг) — г(г{) при г — ж ввиду р -сходимости. Отсюда гг(гг) = гг(в*(1)) — г(гг) . Поскольку эти рассуждения справедливы для любой подпоследовательности исходной последовательности, то мы доказали, что гг(г\) —
— г(и). _ _ _
В силу слабой-* сходимости мер-вариаций очевидно верно вг(*) ^ в(*) , вг(*) ^ в(*) , в*(*) ^ ^ в* , где в* есть обратная функция к
г - го + г(г)
п(г) =
гг - го + г(гг)'
По определению метрики р , поскольку (иг, уг) — (и, у) , имеем, что Ех^, уг](*) ^ СехЧ*) = = Ех^£, $](*) . Это означает, что £г(вг(*)) ^СехЧ*) . Покажем, что £(вг(*)) ^СехЧ*) . Для этого достаточно показать, что существует подпоследовательность, обладающая таким свойством. По определению имеем
Пг(в* (*))+ ТТг(в* (*)) ( *
-2-= пг (вг (*)) = *
Поэтому, учитывая, что гг(в*(*)) - гг(в*(*)) ^0 , по определению пг,Пг следует, что пг(в*(*)) ^ ^ * , щ(в*(*)) ^ * . Заметим, что
Г(з)) су (в ,(с))
Ш(*)) = I 11ыт)1= Ех([(г' уг](пг(в'т-
Отсюда получаем Ext[Zi,Vi](s) ^ Z(s) , потому что (i(#*(s)) ^ Z(s) и ni(9*(s)) ^ s . Аналогично
m(s)) = л d< = Ext[(i,Vi](ni(e;(s))).
Jo 1 + I Vi(6i(s)) |
Как отмечалось выше, Zi(9*(s)) ^ Z(s) . Однако ExtZ, Vi](s) ^ Cext(s) , и поэтому, и поскольку ni(9*(s)) ^ s , приходим к тождеству Z(s) = (ext(s) . Значит,
Zi(0i(s)) ^ Vext(s) ^ Ext[Zi,Vi](s) ^ Vext(s).
Чтобы доказать, что (ui,vi) а (и, А) , остается показать, что имеет место сходимость
Ext[ui,Vi](s) а uext(s) = Ext[U,A](s)
в L^^,1]) .Из (3.6) имеем
f11Ui(9*(s)) — Ui(9*(s))Ids а 0. (3.8)
o
В силу p-сходимости имеем Ui(9i(s)) а Uext(s) в Lj^QO, 1]) . Обозначим fi(s)= Ui(^(s)) — — Uext(s) , Ki(s) = ni(9*(s)) . Заметим, что функции fi(s) равномерно ограничены в L™ ([0,1]) . Поэтому, согласно уже сделанным выкладкам, несложно показать, что
fs 1
ds < const V i.
Jo Ki(s)
Функция Ki(s) отображает отрезок [0,1] в себя и строго возрастает. Поэтому
¡l\U (Ki(s)) \ ds = i \fi№)) \ ^7= ds < lo Jo V Ki(s)
Jo \fi(Ki(S))\2K'i(S) ds 0 ds <
< const ^ J \fi(s)\2ds a 0.
/0
Здесь мы воспользовались неравенством Коши. Тем самым установлено, что
| üi(9*(s)) - uext(Ki(s))| ds a 0.
o
Поскольку функция uext(s) непрерывна в среднем, а Ki(s) ^ s , получаем, что uext(ni(s)) а а uext(s) в L™([0,1]) . Таким образом, доказано, что ui(9*(s)) а uext(s) в L^QO,1]) . Следовательно, из (3.8), имеем ui(9*(s)) а uext(s) в L^^O, 1]) . Похоже, но рассматривая функции fi(s) = ui(9*(s)) — uext(s), Ki(s) = n*(9i(s)), окончательно установим, что ui(9i(s)) а uext(s) в L^QO, 1]) . Для чего надо только лишь проверить, если n*(9i(s)) ^ s .
Ясно, что Zi(9i(m(9*(s)))) = Ci(9i(ni(9*(s)))). Но по определению 9i(9i(s)) ^ 9is — 9 (s) + to (потому что 9ini(t) = t — to + 9i(t)). Поэтому, и т. к. ni(9*(s)) ^ s , ni(9*(s)) ^ s приходим к тому выводу, что 9i(9i(s)) ^ 9j,s — 9(s) +10 . Тогда по определению имеем
*(9 (s)) ni(9i(s))+ ni(9i(s)) s + ni(9i(s))
ni (9i(s)) =-2-=-2-=
_ CiS + di(s) - to + Zi(9i(s)) , _ 2ci ^ S -
Доказательство завершено. □
Замечание 1. Попутно мы доказали, что в* ^ в , (i о в* ^ Zext, ui о в* ^ Zext в
LT([0,1]) •
ЛИТЕРАТУРА
1. Arutyunov A.V., Karamzin D.Yu., Pereira F.L. Generalization of the Impulsive Control Concept: Controlling Systems Jumps // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2011. V. 29. № 2. P. 403-415.
2. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-00494a).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
D.Yu. Karamzin
ON WELLPOSEDNESS OF PASSAGE TO THE LIMIT IN IMPULSE SYSTEMS OF GENERAL TYPE
The property of wellposedness of solutions to impulse system obtained as the result of impulsive extension of an ordinary system of differential equations is under discussion. The necessary technical lemmas are proved.
Key words: impulse control; impulse systems; solution's wellposedness.
Карамзин Дмитрий Юрьевич, Вычислительный центр РАН, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Karamzin Dmitry Yuryevich, Computer center of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation, Doctor of physics and Mathematics, Senior Research Worker, e-mail: dmitry_karamzin @mail.ru
УДК 517.958
О КЛАССИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
© С.Р. Керимова
Ключевые слова: оператор Бесселя; смешанная задача; гиперболическое уравнение. Рассматривается смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка в параллелепипеде, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных с граничными условиями первого и второго порядка.
Пусть ]п+т действительное евклидово пространство точек (х,у), Паь = {(х,у) : 0 < хг < аг, 0 < уз < Ьу, г = 1,...,п, з = 1,...,ш, Qт = П^ь х (0 < г < Т)}. В работе рассматривается задача
д 2и
= Ри + / (г,х,у), (1)
и\г=о = <р(х,у), ди
= Ф(х,у), (2)
г=о
ди
и\х= = 0, и\Х1=а1 = 0, — 1 1 1 дуз
= 0,и\уз=ьз =0, г = 1,...,п, з = 1,...,ш, (3)
уз=о
„ д2и д2и д2и кг ди д2и кт ди
Р = 7^2 + ... + 7ТТ + + + ... + 7ТТ + , кз > 0.
дх{ дхП ду( уг дуг дут ут дут
Вопрос существования и единственности классических решений таких задач для широкого класса областей рассмотрен в работе [1]. При ш = 0 в [2]. В работе [3] для ш = 1 получено классическое решение задачи Дирихле для оператора Р в полусферической области. Пусть функции р(х,у), ф(х,у), и f (г,х,у) обладают гладкостью
Г п+т + к1+... + кт1 +3 Г п+т + к1+... + кт1 +2 Г п+т + к1+... + кт1 +2
V е н1.кт 2 ^ (Паь),Ф е Н^^т 2 ] (Пaь), f е Н^. ^ 2 ^ (Qт)
Г п + т + к1 + ...+кт+4"|
и удовлетворяют условиям согласования р,Рр,..., РУ 4
Г п + т + к1 + ...+кт+2"| о
ф,Рф,..., Р^ 4 принадлежат пространству Н к + ...кт (ПаЬ); f,Pf,...,
Г п+т+к1+... + кт +2"1 о о
Р^ 4 -I f принадлежат пространству Н к1.. . кт ( Qт), где Нк1... кт (&), Нрк1... кт (&)
определены в [4].
Тогда классическое решение задачи (1)-(3) представимо абсолютно и равномерно сходящимся рядом
и(г,х,у) = ^2 ...^ Е... Е
«1=г в„=г р1=г рт=г
г
¥тп С0Б\/Хтпг + [ 1'тп(т) л/Х^П^ - Т)йт
V Лтп ■/
тп
nsi . nsn —1 —m T fap \ T -xi ... sin-ХпУ1 2 ...ym J fci-1 -г- yi) •••J fem-1 -Tai an V bi I 2 \bm
2m+n
<mn —
ai... anb2i... b2mJ ki+i «)... JL+i №) 2 2
ai an bi bm ^
ns1 . nsn j ay \ i am
1 • • • ^i I 7 & 1 I " ^m -I- I 7
a1 an \ b1 ! 2 \ b
... I <(x, y) sin — xi... sin^^ XnJ k— ( ^ yi) ... J km-i ( ^^ Ут) У^ ... Уj dxdy
0 0 0 0
ap - положительные корни уравнения Jkj-i (a) = 0,
2
\2 = пМ. + + пМ + Ш! + , (amm)2
Amn a2 + ... + a2 + b2 + ... + b2 . ai an bi bm
Коэффициенты <mn, фmn, fmn определяются аналогично.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сазонов А.Ю., Фомичева Ю.Г. О классическом решении смешанных задач для некоторых сингулярных гиперболических и параболических уравнений // Вестник Тамбовского университета. 2013. Т. 18. Вып. 5. С. Этой статьи нет в журнале
2. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 2. С. 37-154
3. Олевский М. Н. Решение задачи Дирихле относящейся к управлению А и + р дхГ для полусферической области // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 770-776. ""
4. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы «Развитие деятельности студенческих объединений».
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Kerimova S.R.
ON CLASSICAL SOLUTION OF MIXED PROBLEMS FOR CERTAIN SINGULAR HYPERBOLIC EQUATIONS
The mixed problem for a hyperbolic equation in a parallelepiped containing the Bessel operator on some space variables with the first and second order boundary conditions is considered.
Key words: Bessel operator; mixed problem; hyperbolic equation.
Керимова Саида Рассимовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, студентка специальности «Прикладная математика и информатика» института математики, физики и информатики, e-mail: [email protected]
Kerimova Saida Rassimovna, Tambov state university named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Student of Institute of Mathematics, Physics and Computer Sciences in the Specialty «Applied Mathematics and Computer Sciences», e-mail:[email protected]
УДК 621.39
ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИОННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ СО СЛУЧАЙНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ И
РАЗНЫМ ЧИСЛОМ УЗЛОВ
© К.А. Литвинов
Ключевые слова: имитационное моделирование; телекоммуникационная сеть; КПД в смысле передачи информации.
Представлена имитационная модель сегментов телекоммуникационной сети (ТКС), отличающихся количеством узловых ее элементов. Топология сети является случайной, количество соседей определялось путем равновероятного выбора узлов из заданного множества. В качестве основных показателей качества информационного обмена в ТКС использовались: производительность сети, средняя временная задержка пакетов, количество потерянных пакетов в процессе передачи. С целью повышения эффективности передачи пакетов введено их время жизни. Если время нахождения пакета в сети превышало значение времени жизни, то пакет признавался потерянным. Обобщенным показателем эффективности сети в смысле передачи информации использован параметр КПД в смысле передачи информации. Приведена программная архитектура имитационной модели ТКС: описание основных классов и их взаимодействия, показаны основные алгоритмы обработки пакетов (алгоритм приема информационных пакетов, алгоритм отправки информационных пакетов), приведено описание работы модели на этапе инициализации и во время работы основного цикла. Для всех основных алгоритмов приведены блок-схемы.
В условиях возрастающей информационной нагрузки на телекоммуникационные сети (ТКС) актуальными задачами становятся не только эффективное управление ресурсами сети, но и оценка эффективности ТКС. В настоящее время для решения последней задачи используется система показателей эффективности, в частности, для сетей коммутацией пакетов используется вектор показателей эффективности [1]. Основными из них являются вероятностно-временные характеристики пребывания пакетов в сети, своевременность доведения пакетов от источника до адресата и вектор эксплуатационных показателей. Для оценки информационной эффективности ТКС используют показатели [2]: производительность ТКС, временная задержка пакетов при передаче по сети и информационные потери пакетов. Последняя характеристика указывает на то, что часть пакетов в сети вынужденно уничтожается с целью обеспечения основных показателей информационной эффективности. В связи с этим важной задачей является исследование показателя КПД сети в смысле передачи информации [2], который, в зависимости от используемых протоколов, дает количественную меру близости ТКС к идеальности в смысле передачи информации.
Цель: провести анализ информационной эффективности сегмента ТКС со случайной топологией и различным числом узлов с учетом использования показателя КПД в смысле передачи информации.
Имитационная модель ТКС представляет собой реализацию сегмента сети передачи информации, в которой используется процедура маршрутизации на основе алгоритма поиска
кратчайших путей на графе (алгоритм Дейкстры). Топология представлена в виде ориентированного графа G(V,E), где V - вершины графа (узлы ТКС), а E - ребра графа (каналы связи ТКС).
Имитационная модель ТКС использует ряд упрощений.
Дискретное системное время. Для простоты расчетов время в имитационной модели ТКС предполагается дискретным с шагом дискретизации At (зависит от параметров моделирования), причем At<tф tф ^ tn , где tф - время формирования пакета, tn - время доведения пакета до адресата
Буферы пакетов в узлах системы могут накапливать очереди бесконечной длины. Для оценки предельно возможных нагрузок на систему все буферы устройств предполагаются неограниченной емкости.
Все изменения в сети, необходимые для реализации алгоритма маршрутизации, доводятся с задержкой, не влияющей на эффективность передачи данных в ТКС, т. е. предполагаются идеальные каналы обмена служебной информацией.
Модель ТКС имеет модульную структуру. Сеть позволяет производить исследование информационных характеристик в зависимости от применения расширенных алгоритмов маршрутизации и топологии ТКС. Моделью предусмотрено пошаговое выполнение операций:
- формирование пакетов и их идентификация для пар источник-адресат;
- маршрутизация пакетов;
- отправка пакетов;
- прием пакетов;
- сбор данных для расчета информационной эффективности (информация о производительности системы, информация о задержках, информация для расчета КПД ТКС в смысле передачи информации).
Модель состоит из следующих основных логических блоков (структур данных):
PACKET (пакет) - логическая структура данных, предназначенная для описания поведения пакета в сети;
NODE (узел) - узел в информационной сети;
LINK (канал связи, связь, КС) - логическая структура, которая описывает основные характеристики канала связи;
PACKETSOURCE (генератор пакетов, ГП) - генератор пакетов предназначен для добавления новых пакетов в ТКС с заранее определенными параметрами;
NET^^) - логическая структура, которая управляет взаимодействием других элементов системы, отвечает за сбор данных о работе имитационной модели ;
Основными элементами взаимодействия являются PACKET, NODE и NET, которые используются непосредственно для обработки пакетов и сбора необходимых данных. На рис. 1 представлена общая блок-схема работы сети, на рис. 2 и рис. 3 - процедуры обработки пакетов при приеме и отправке пакетов.
Описание процессов инициализации при моделировании.
Этап 1. Загрузка параметров моделирования из файла.
Из файла осуществляется загрузка следующих параметров модели:
- информация об узлах ТКС (какие каналы связи соединены с узлом);
- информация о каналах связи (с какими узлами соединены, пропускная способность каналов);
- информация о параметрах для генерации новых пакетов в сети (размер пакетов, количество пакетов для генерации, адресат пакета, время жизни пакета).
Этап 2. Начало моделирования.
На основе загруженных данных строится связный граф. Формируемый граф имеет случайную топологию с использованием вероятности связи. Коэффициент связанности сети тем выше, чем больше узлов в сети. Для данного графа строится таблица маршрутизации на основе кратчайших путей (алгоритм Дейкстры). Производится начальная инициализация всех счетчиков данных в системе и установка времени моделирования, осуществляется хеширование всех необходимых элементов для ускорения работы имитационной модели ТКС.
Этап 3. Генерация пакетов.
Генерация пакетов происходит на каждом интервале АЬг . При этом, поступление пакетов в сеть описывается распределением Пуассона. Все пакеты равномерно распределены между узлами системы и имеют одинаковый размер. Адресат пакета определяется случайным образом, с вероятностью Рг = цу , где Рг - вероятность выбора 1-го узла, \\У|| - мощность множества узлов ТКС.
Цикл процессов передачи информации.
Данный цикл является основным, в нем осуществляются следующие операции:
- генерация входящих пакетов ТКС;
- отправка пакетов узлами сети;
- прием пакетов узлами сети;
- сбор данных о работе имитационной модели сети.
Генерация входящих пакетов ТКС осуществляется аналогично этапу инициализации системы.
В имитационной модели ТКС каждый узел может осуществлять две операции: прием и отправку пакетов.
Отправка пакета
Из буфера пакетов выбирается первый пакет очереди передачи. Перед отправкой пакета узел посылает запрос адресату. Адресат собирает все заявки, поступившие к нему от других узлов, и случайным образом (равномерное распределение случайной величины) выбирает отправителя. Выбранный отправитель получает подтверждение отправки. Все остальные пакеты получают отказ отправки. После этого начинается отправка пакета.
Получение пакета узлом.
После начала отправки пакет помечается статусом «отправляется» до момента его приема в другом узле. Там пакет попадает в конец буфера пакетов.
После обработки всех действий с пакетами в ТКС имитационная модель собирает информацию о показателях эффективности.
Оценка информационной эффективности ТКС.
Для вычисления производительности применяются счетчики выходных пакетов через узел за единицу времени (устанавливается условиями моделирования). Входящий поток равен сумме потоков создаваемых каждым генератором пакетов Авх = £П=\ Аг, где Аг - входящий поток в 1-й узел. Выходной поток равен сумме всех пакетов вышедших из системы в единицу времени: Авых = ; где £р - сумма всех пакетов вышедших из системы; Т = АЬ ■ N , АЬ -временной интервал тика, N - количество тиков в единичном интервале времени (1 секунда).
Для вычисления потерянных пакетов, в модели сети используется счетчик пакетов, которые были изъяты из обработки имитационной моделью в силу следующих причин: переполнение буфера устройства; пакет существует в системе больше своего времени жизни.
Средняя задержка вычисляется путем усреднения всех времен доведения всех пакетов в имитационной модели ТКС.
КПД ТКС определяется выражением:
Рис
РИМС '
п
где Рис - кибернетическая мощность модели моделируемого сегмента ТКС; Риме - кибернетическая мощность идеальной модели ТКС.
Для вычисления полной кибернетической мощности сети (кибернетической мощности идеальной сети) рассчитывается мощность каждой одноканальной системы в сети, которые затем суммируются.
На рис. 4 приведены производительности сетей, на рис. 5 - средней временной задержи пакетов, на рис. 6 - информационные потери, на рис. 7 - КПД моделируемых сегментов ТКС. Причем, рисунки а) соответствуют элементарному сегменту из трех узлов, б) - сети из 9 узлов, в) - сети из 18 узлов, г) - сети 36 узлов.
Рис. 1. Блок-схема имитационной модели сети
I
Ш> алшогрошогпрэд *
Слуийний выЕф ри шйчриещ
Отмт Мнушныузивш *
Подтверждение ДОиейа
ЕНб05НЩЙ ЗМШ *
т
Рис. 2. Обработка приема пакетов узлом
Рис. 3. Обработка отправки пакетов узлом
Рис. 4. Производительность сети
Рис. 5. Время доведения пакетов
Рис. 6. Потери пакетов в сети
г) д)
Рис. 7. КПД сети в смысле передачи информации
В результате моделирования показано, что КПД ТКС в смысле передачи информации имеет минимальное значение, если не используется свойство хранения информации при выполнении необходимых требований по передаче (ограничения на время доведения информации). Увеличение значения КПД обусловлено ростом допустимых накоплений. Особенностью поведения имитационной модели на рассматриваемых интервалах является линейный характер увеличения КПД в информационном смысле. Это обусловлено:
1) уничтожением пакетов в системы при превышении их времени жизни;
2) неограниченным размером очередей накопления в узлах сети;
3) линейной зависимостью мощности от интенсивности входного потока. Разработанная имитационная модель ТКС позволяет более качественно изучать поведение
ТКС в предельно нагруженных состояниях и условиях перегрузки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шаров А.Н., Стенанец В.А., Комащинский В.И. Сети радиосвязи с пакетной передачей информации / под ред. А.Н. Шарова. СПб.: ВАС, 1994. 216 с.
2. Пасечников И. И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей. М.: Издательство машиностроение-1, 2004.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Litvinov K. A.
EVALUATION OF INFORMATION EFFICIENCY OF TELECOMMUNICATION NETWORK WITH RANDOM TOPOLOGY AND DIFFERENT NUMBER OF NODES
The article presents a simulation model of the telecommunications network (TCN), differing in the number of it nodes. The network topology is random. Number of connected nodes depends upon number of nodes in network. The main indicators of quality of information exchange in the TCN are network performance, the average packet delay time, the number of packets lost during transmission. To improve the efficiency packet their lifetime is entered. If Time Spent packet in the network was greater than the lifetime of the package confessed lost. Generalized indicator of the effectiveness of the network in terms of information transfer efficiency parameter used in the sense of information transfer. The article describes the software architecture of a simulation model of TCN: a description of the main classes and their interactions, shows the main processing algorithms packages (algorithm receiving data packets, the algorithm sending information packages), a description of the model in the initialization phase and during operation of the main loop. For all of the basic algorithms are given in the block diagram.
Key words: simulation; telecommunication network; performance of net.
Литвинов Кирилл Александрович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Litvinov Kirill Alexandrovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Postgraduate Student, Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.988.6, 517.922
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ
АРГУМЕНТОМ
© И.И. Пасечников, В.С. Трещев
Ключевые слова: дифференциальное уравнение неявного вида с отклоняющимся аргументом; периодические решения; краевая задача; накрывающие отображения. Получены условия существования периодических решений дифференциального уравнения неявного вида с отклоняющимся аргументом. Используется редукция соответствующей периодической краевой задачи к интегральному уравнению с помощью Ш -подстановки Н.В. Азбелева. Для исследования полученного интегрального уравнения применяются утверждения о накрывающих отображениях.
Пусть T> 0. Будем использовать следующие обозначения для пространств функций, определенных на [0, T] со значениями в Rn : bn - банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций с нормой ||x|Ln = vrai sup |x(t)|; АСЩ - банахово пространство та°° te[o,T]
ких абсолютно непрерывных функций, что x G Ц^, с нормой ||ж|Цс£, = ЦхЦьп, + ^(a)!; Cn -
пространство непрерывных функций, ||х||с™ = max |x(t)|.
te[o,T ]
Пусть для любого i = 1, n заданы действительные числа Yi, измеримая T-периодическая функция h : R — Rnxn и функция f : R x Rn x Rn — Rn, удовлетворяющая условиям Кара-теодори и являющаяся T-периодической по первому аргументу. Будем предполагать, что для любого r > 0 найдется такое число M, что при любых x,w G Rn, удовлетворяющих оценке x + |w| < r, и при почти всех t G [0, T] (а значит, и при почти всех t G R ) имеет место неравенство f (t,x,w^< M.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
fi[t,xi(hii(t)),...,xn(hin(t)),xi(t)+ YiXi(t))=0, t G R, i = 1П. (1)
Нас интересуют условия существования Т-периодического решения уравнения (1), т. е. удовлетворяющей этому уравнению при п.в. t G R абсолютно непрерывной Т-периодической функции х : R — Rn, такую, что ее сужение на [0,T] является элементом пространства ACn .
Определим для всех i,j = 1,n измеримые функции hij(t)= T{hj(t)T-1}, где символом {•} обозначена дробная часть числа. Заметим, что hij([0, t]) С [0, t], и для любой Т-периодической функции u :[0,T] — R выполнено u(hj,j(t)) = u(hj,j(t)). Рассмотрим теперь следующую краевую задачу:
fi(t,Xi(hii(t)),...,Xn(hin(t)),Xi(t) + YiXi(t)^=0, t G [0,T], i = 1П, (2)
Xi(0) - Xi(T) = 0, i = 1n. (3)
Уравнение (1) имеет Т-периодическое решение тогда и только тогда, когда определенная здесь периодическая краевая задача (2), (3) разрешима. Если х : [0, T] — Rn — решение этой краевой задачи, то ее Т-периодическое продолжение будет решением уравнения (1) на всем R, и
обратно, если х : М а Мп — Т-периодическое решение уравнения (1), то его сужение на [0,Т] будет решением задачи (2), (3).
Итак, исследуем краевую задачу (2), (3). Воспользуемся '-подстановкой Н.В. Азбелева [1]. Выберем вспомогательную краевую задачу
хг(г) + цх&)= уг(г), г е [0,Т], хг(0) - хг(Т) = 0, г = 1П,
решение которой определяется формулой
т ,
т {пи ^ I пи Л (еът -1) 1 е^3—г+т), если 8 < г, ...
Хг(г)= Ог(1,8)уг(з)й8, Сг(1,8) = { ) — ~ ' (4)
0 { (е -1) е , если 8>г.
Таким образом, краевая задача (2), (3) равносильна системе уравнений т т
¡г (г^ Сгфгг^^—г^йз,..., ! Сп(Пгп(г),8)упШ8, Уг(г)) = 0, г е [0,Т], г = 1П. (5) о о
Если у — решение уравнения (5), то, подставляя эту функцию в соотношение (4), мы найдем решение х краевой задачи (2),(3) (периодическое продолжение которого, как уже отмечалось, будет решением исходного уравнения (1))
Для исследования разрешимости системы (5) мы воспользуемся утверждениями о накрывающих отображениях [2-5].
Пусть X, У метрические пространства с метриками рх, ру, соответственно. Будем использовать следующее определение.
Определение [2]. Отображение Г: X — У называется а -накрывающим, а> 0, если для любых хо е Х,у е У существует х е X, удовлетворяющий уравнению Г (х) = у и оценке
рх (х, хо) < а-1 ру (у, Г (хо)).
Теорема. Пусть для всех г = 1,п выполнены следующие условия: существует такое аг > 0, что при почти всех г е [0, Т] и любом х е Мп отображение ¡г(г,х, ■) : М а М является аг -накрывающим; для любого ] = 1,п существует такое ¡3^ > 0, что при почти всех г е [0, Т] и любом -ш е М, (х-\^,... , xj—1 , ху + 1 , . . . , хп ) е Мп 1 отображение ¡г(г,х1,... ... , Хj—l, ■, Хj+l,..., хп, ,ш) : М а М является ¡3^ -липшицевым. Тогда, если матрица
С = ( (аг^г)—1вг^пхп (6)
имеет спектральный радиус д(С) < 1, то существует решение х е АС^ краевой задачи (5). Доказательство основано на результатах [3].
Определим для любого г = 1,п отображение Фг: Ь^ х ЬП —^ Ьоа соотношением
т т
'п \'Нп(г), 8) Уп(8 )иг
Фг (иг, У1,..., Уп)^ (г) = ¡г(г, I С1 (Нц(г), 8)У1 (8)й8, ...^ Сп {Ып(г),8)Уп (8)$8, Пг(г)^.
оо
Теперь запишем систему (5) в виде системы операторных уравнений
Фг(уг ,у1,...,уп) =0, г = 1, п. (7)
Для исследования полученной системы (7) воспользуемся результатами работы [3].
В силу [3, теорема 3] отображение Фг(-, ..., уп): Ь ж ^ Ьж является а% -накрывающим, г = 1,и. Далее, для произвольного ] = 1,п и любых Vj€ Ьж выполнено
...,Vj,.. .,Vn)-Фг (Ui,Vi, . . . ,Vj,.. .,Vn)^j
T <
T
< рц уга! 8Щ)( С г (Нц \ ^ (в) - vj (в) I ^в) < ъ 1¡3^ \\vj - vj \\ьх.
о
Таким образом, отображение Фг(иг, VI,..., Vj-l, : Ь
ж ^ Ьж является липшицевым с
константой Рц ■
Согласно [3, теорема 1], для доказательства утверждения остается заметить, что матрица {(агЪ)-1 Рч)пхп - это матрица С , которая определяется равенством (6), и ее спектральный радиус д(С) < 1.
Следствие. При выполнении условий доказанной теоремы уравнение (1) имеет Т-периодическое решение.
В заключение отметим, что идея применения накрывающих отображений к исследованию неявных дифференциальных уравнений была предложена в работе [4]. Для таких уравнений в [4]-[8] сформулированы условия разрешимости и корректности задачи Коши, в [3], [9], [10] исследована апериодическая краевая задача, в [11] — периодическая краевая задача. В работе [12] получены условия разрешимости апериодической краевой задачи для скалярного уравнения с отклоняющимся аргументом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
2. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.
4. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
5. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra gathers // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. №. 6. P. 889-898.
8. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
9. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1673-1674.
10. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1082-1085.
11. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2012. Вып. 1 (39). С. 52-53.
12. Трещёв В.С. Разрешимость краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18.
Вып. 5. С. 2708-2710.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00877, № 14-01-97504).
Pasechnikov I.I., Treshchev V.S.
EXISTENCE OF PERIODIC SOLUTIONS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DEVIATING ARGUMENT
The conditions of resolvability of a periodic boundary-value problem for am implicit differential equation with deviating argument are derived. The reduction of a boundary value problem to an integral equation by means of W-substitution N.V. Azbelev is used. Statements about covering mappings are applied to study the integral equation obtained.
Key words: an implicit differential equation with deviating argument; periodic solution; boundary-value problem; covering mappings.
Пасечников Иван Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор кафедры общей физики, e-mail: [email protected]
Pasechnikov Ivan Ivanovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor of General Physic Department, e-mail: [email protected]
Трещев Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Postgraduate Student, Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 519.46
НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП ЛИ
© А. М. Попов, А. Ю. Лисица
Ключевые слова: каноническое подпространство; линейное представление; стационарная подгруппа общего положения.
Приводятся канонические подпространства для некоторых полупростых линейных групп Ли с конечной стационарной подгруппой общего положения.
Будем считать основным полем поле комплексных чисел С. Топологические термины будем считать относящимися к топологии Зарисского. Для действия алгебраической группы С на алгебраическом многообразии X подгруппа Н С С называется стационарной подгруппой общего положения, если в X существует открытое по Зарисскому множество, стационарные подгруппы точек которого сопряжены Н. В этом случае для множества Xй = {х е X\Нх = х} , очевидно, СXн = X.
В настоящей работе рассматриваются связные полупростые комплексные линейные группы Ли С С СЬ(У). Подпространство Ь С V будем называть каноническим подпространством, если СЬ = V и Ь - минимальное (по включению) подпространство с таким свойством. Очевидно, если СЬ = V и йгшС + д,гшЬ = йгшУ , то Ь - каноническое подпространство. В этом случае с помощью действия группы С на линейном пространстве V «почти любой» элемент из V (а точнее, любой элемент из открытого по Зарисскому подмножества в V) можно привести к каноническому виду, т. е. к элементу из Ь.
Всюду в дальнейшем 0 - алгебра Ли группы С, г -ранг алгебры 0, фг (1 ^ г ^ г) -старший вес г -го базисного представления, Я(Л) - неприводимое представление со старшим весом Л. В работах [1], [2] автора найдены все простые и неприводимые полупростые линейные группы С над полем С, у которых для действия в линейных пространствах V стационарные подгруппы общего положения Н = {е} и конечны. Все эти группы перечислены в таблицах работ [1] и [2]. Для них ^н = V, и для некоторых линейных групп из таблицы работы [2] проверено, что подпространство Vн является каноническим подпространством, а сами канонические подпространства Vн найдены и перечислены в работе [2]. В настоящей работе приводятся канонические подпространства для групп из [2], не найденные ранее.
1. Рассмотрим действие группы Бр(С4) 0 БЬ(С3) 0 БЬ(С2) в пространстве V = Б 0 и 0 0 Ш, где Б = С4, и = С3, Ш = С2. В этом случае Н = (Z2)2 и элементы Н приведены в работе [2]. Пусть {81,82, 83, 84} - базис в пространстве Б, {и1,и2,и3} - базис в пространстве и, {ш1,ш2} - базис в пространстве Ш. Тогда {8г 0 Uj 0 ши, 1 ^ г ^ 4, ] = 1, 2, 3, к = 1, 2} - базис в пространстве V и для любого V е V V = 8г 0 Uj 0 Ши. Легко видеть, что подпространство Vн задается системой уравнений х111 = х121 = х211 = х221 = х331 = х431 = х312 = х322 = х412 = = х422 = х132 = х232 = 0, dгшVн = 12, и подпространство Vн не является каноническим, т. к. оно не минимальное. Но подпространство Ь С V,
Ь =< 83 0 и,1 0 Ш1 + 82 0 и,2 0 Ш2 , 84 0 и,1 0 Ш1 + 81 0 и,2 0 Ш2 , 84 0 и,2 0 Ш1 + 81 0 и,3 0 Ш1 + 81 0 0 и1 0 ш2 + 84 0 и3 0 ш2 > - каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что Ь + 0Ь = V, т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 24-го порядка. Кроме того, $гшС + $гшЬ = 21 + 3 = 24 = dгшV, т. е. Ь - минимальное. Таким
образом, любой тензор из открытого по Зарисскому множества в V можно привести действием группы С к каноническому виду
П(в4 ® и,2 ® 'Ш1 + 81 ® из ® 'Ш1 + 81 ® и,1 ® W2 + в4 ® из ® 'Ш2) + Х(вз ® и,1 ® 'Ш1 + в2 ® Щ ® '^2) + р(в4 ® ® и,1 ® Wl + 81 ® и,2 ® W2)■
Представляя тензоры из V трехмерными матрицами, можно утверждать, что любую трехмерную (4, 3, 2) -матрицу из открытого по Зарисскому подмножества в V можно привести
действием группы С к каноническому виду
0 0
п
X 0 0
р
п 0
п р
0
0 X 0
где ле-
вая матрица - верхний слой трехмерной матрицы, а правая матрица - ее нижний слой.
2. Рассмотрим действие группы БЬ(С5) ® БО(С'3) (Я(р2) ® гд) в пространстве V = и ® ® Ш, где и = и(Л4,К(^2)) - пространство представления Я(<р2) группы БЬ(С5), Ш = С'3. В этом случае Н = (Z2)2 и элементы Н приведены в работе [2]. Пусть {и1,... ,и5} - базис в пространстве С5, - базис в пространстве Ш. Тогда базисом в пространстве и является {иг Л Uj, 1 ^ г< ] ^ 5}, а базисом в пространстве V = и ® Ш является {(иг Л Uj) ® ® Wk, 1 ^ г< ] ^ 55, к = 1, 2, 3}. Легко проверить, что подпространство Vн =< (и1 Л и2) ® ® Wl - (и4 Л и5) ® Wз, (и,1 Л из) ® Wl - (из Л и5) ® Wз, (и,1 Л и4) ® Wl - (и,2 Л и5) ® Wз, (и,2 Л и5) ® ® Wl - (и,1 Л щ) ® Wз, (из Л и5) ® Wl - (и,1 Л из) ® Wз, (и4 Л и,5) ® Wl - (и,1 Л и2) ® Wз, (и,2 Л из + из Л Л и4) ® w2, (и1 Л и5) ® w2, (и2 Л и4) ® w2 >, dгmVн = 9, и подпространство Vн не является каноническим, т. к. оно не минимальное. Но подпространство Ь С V,
Ь =< (и,1 Л (из + 44)) ® Wl - ((и2 + из) Л и5) ® Wз, (и,2 Л и4 + и,1 Л и5) ® W2, (и4 Л и,5) ® Wl - (щ Л Л и2) ® w3 > - каноническое. Для доказательства этого нужно проверить, что Ь + 0Ь = V, то есть что не равен нулю соответствующий определитель 30-го порядка. Кроме того, дгтС + + дгтЬ = 27 + 3 = дгтУ.
3. Рассмотрим действие группы Бр( С4) ® БЬ( С4) ® БЬ( С2) в пространстве V = Б ® и ® Ш, где Б = С4, и = С4, Ш = С2. В этом случае Н = ^2)2 (см. [2]). Пусть {вьв2,вз-базис в пространстве Б, {и1,... ,и4} - базис в пространстве и, - базис в пространстве Ш. Тогда {и ® иц ® Wk, 1 ^ г ^ 4,1 ^ ] ^ 4, к = 1, 2} - базис в пространстве V, и подпространство VH =< ¿1 ® и,1 ® Wl + в4 ® и,2 ® W2, ¿1 ® и,2 ® Wl + в4 ® Щ ® W2, в2 ® Щ ® Wl + вз ® Щ ® W2, в2 ® ® и,2 ® Wl + вз ® и,1 ® W2, -вз ® из ® Wl - в2 ® и4 ® W2, -вз ® Щ ® Wl - в2 ® из ® W2, в4 ® из ® Wl -- в1 ® и4 ® w2,в4 ® и4 ® w1 - в1 ® из ® w2 >. dгmVн = 8, и подпространство Vн не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например, подпространство Ь С V, Ь =< < в1 ® и,1 ® Wl + в4 ® и,2 ® W2, в 2 ® и,1 ® Wl + вз ® Щ ® W2 + вз ® из ® Wl - в2 ® и 4 ® W2,в2 ® Щ ® ® w1 + вз ® и1 ® w2,в4 ® и4 ® w1 - в1 ® из ® w2 > - каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что Ь + 0Ь = V, т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 32-го порядка. Кроме того, дгтС + дгтЬ = 28 + 4 = 32 = dгmV, то есть Ь - минимальное подпространство.
Представляя тензоры из V трехмерными матрицами можно утверждать, что любую трехмерную (4, 4, 2) -матрицу из открытого по Зарисскому подмножества в V можно привести
действием группы С к каноническому виду
0 0 0 0 0 -V 0
X 0 0 0 0 0 -р
0 р 0 , X р 0 0 0 0 V ] [0 п 0 0
а правая матрица - ее нижний слой. 2
где
левая матрица - верхний слой трехмерной матрицы,
4. Рассмотрим действие группы Бргп7 ® БЬ(С2) ® БЬ(С2) в пространстве V = Б ® и < ® Ш, где Б = Б(Бз,Е(^з)) - пространство спинорного представления Я(<рз) группы Бргп7, дгтБ = 8, и = С2, Ш = С2. В этом случае Н = (^2) и элементы Н приведены в работе [2].
Пусть {в1,...,в8} - базис в пространстве Б, {и1,и2} - базис в пространстве и, ^2} -базис в пространстве Ш. Тогда базисом в пространстве V = Б ® и ® Ш является {вг ® иц ®
0 wk, 1 ^ i ^ 8, j = 1, 2, к = 1, 2}. Пусть ±£1, ±£2, ±£3, 0- веса (относительно стандартной картановской подалгебры) простейшего представления алгебры B3.
Тогда представление Spin7 имеет веса (±£1 ± £2 ± £3)/2, и его старший вес Л1 = (£1 + + £2 + £3)/2. Простые корни алгебры B3-это а1 = £1 — £2, а2 = £2 — £3, а3 = £3. Обозначим веса представления Spin7 через ±Л1; ±Л2, ±Л3, ±Л4, где Л2 =Л1 — а3 = (£1 + £2 — £3)/2, Л3 = Л2 — а2 = (£1 — £2 + £3)/2, Л4 = Л3 — а1 = (—£1 + £2 + £3)/2. Пусть базисные векторы в пространстве S представления группы Spin7 - это: Si = s\i - весовые векторы с весами Лг,
1 = 1, 2, 3, 4, s5 = s-a4 , s6 = s-a3 , s7 = s-a2 , s8 = s-a1 . Легко видеть, что 16-мерное подпространство VH не является каноническим, т. к. оно не минимальное. Но, например, 5-мерное подпространство L С VH, L =< s3 0 u1 0 w1 + s6 0 u2 0 w2, s5 0 u1 0 w1 + s4 0 u2 0 w2, s6 0 u1 0 0 w1 + s3 0 u2 0 w2,s1 0 u2 0 w1 — s8 0 u1 0 w2,s8 0 u2 0 w1 — s1 0 u1 0 w2 > - каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V, т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 32-го порядка. Кроме того, dimG + dimL = = 27 + 5 = 32 = dimV, то есть L - минимальное подпространство.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов А.М. Конечные стационарные подгруппы общего положения простых линейных групп Ли // Труды ММО. 1985. Т. 48. С. 7-59.
2. Попов А.М. Стационарные подгруппы общего положения для некоторых действий простых групп Ли // Труды ММО. 1987. Т. 50. С. 209-248.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Popov A.M., Lisitsa A.Yu.
SOME CANONICAL SUBSPACES OF SEMISIMPLE LINEAR LIE GROUPS
The canonical subspaces for some semisimple linear Lie groups with finite isotropy subgroup in general position are given.
Key words: canonical subspace; linear representation; isotropy subgroup in general position.
Попов Александр Митрофанович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Popov Alexander Mitrofanovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Лисица Андрей Юрьевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Lisitsa Andrey Yuryevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Senior Lecturer of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
УДК 519.46
НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП ЛИ
© А. М. Попов, А. Ю. Лисица
Ключевые слова: каноническое подпространство; линейное представление; стационарная подгруппа общего положения.
Приводятся канонические подпространства для некоторых комплексных полупростых линейных групп Ли с конечной стационарной подгруппой общего положения.
Основным полем будем считать поле комплексных чисел С . Топологические термины будем считать относящимися к топологии Зарисского. Для действия алгебраической группы С на алгебраическом многообразии X подгруппа Н С С называется стационарной подгруппой общего положения, если в X существует открытое по Зарисскому множество, стационарные подгруппы точек которого сопряжены Н . В этом случае для множества Xн = {х еX\Нх = х} , очевидно, СXн = X .
Для связной полупростой комплексной линейной группы Ли С С СЬ(V) подпространство Ь С V будем называть каноническим подпространством, если С ■ Ь = V и Ь - минимальное (по включению) подпространство с таким свойством. Очевидно, если С ■ Ь = V и ё1шС + ё1шЬ = = dimV , то Ь - каноническое подпространство.
Из соображений размерности ясно, что существует немного представлений, для которых имеются обозримые интересные канонические подпространства. Так, размерность простой классической линейной группы Ли, состоящей из матриц порядка п , имеет порядок п2 , а размерность пространства неприводимого представления в тензорах валентности к имеет порядок пи . При к> 2 размерность канонического подпространства для больших п имеет порядок (пи — п2) ~ пи , и эти случаи не представляют интереса. Следовательно, интересные канонические подпространства могут существовать либо для представлений с маленьким п , либо для представлений с маленьким к . Некоторые обозримые канонические подпространства найдены в работах [1] - [5]. В настоящей работе приводятся канонические подпространства для групп из таблиц работы [2], не найденные ранее.
Всюду в дальнейшем 0 - алгебра Ли группы С , г - ранг алгебры 0 , фг (1 ^ г ^ г ) -старший вес г -го базисного представления, Я(Л) - неприводимое представление со старшим весом Л .
1. Рассмотрим действие группы С = С2 0 БО(С3)(Е(ф1) 0 гд) в пространстве V=U0Ш , где и = и(С2,К(ф1)) - пространство представления Е(ф1) особой группы С2 , Ш = С3 . В этом случае Н = (Ъ2)2 и элементы Н приведены в работе [2]. Пусть {и1,..., и7} - базис в пространстве и , {ш1,ш2,ш3} - базис в пространстве Ш .Тогда {иг 0 Wj, 1 ^ г ^ 7, ] = 1, 2, 3} - базис в пространстве V и для любого V е V V = £ х^иг 0 Wj . Пусть ±е1 , ±е2 , ±е3 , 0 - веса (относительно стандартной картановской подалгебры) простейшего представления К(ф1) алгебры С2 и е1 - старший вес, простые корни алгебры С2 - это а1 = —е1, а2 = е1 — е3 , и пусть базисные векторы в пространстве и - это и1 = и£1 , и2 = и—£3 , и4 = ио , и5 = и£2 , и6 = и£3 , и7 = и—£1 . Можно проверить, что Vн =<и1 0 ш1 + и7 0 Ш3,и2 0 ш1 + и6 0 ш3, и7 0 ш1 + и1 0 Ш3,и6 0 ш1 +
+u2 & w3,u3 & w2 — u5 & w2,u4 & w2> , dimVH = 6 , и подпространство VH не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например, 4 -мерное подпространство L С VH, L=<u\&wi + u7 & w3,u2 & wi + u6 & w3,u7 & wi + ui & w3,u4 & w2> - каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V , то есть к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 21-го порядка. Кроме того, dimG + dimL =17 + + 4 = 21 = dimV , то есть L - минимальное подпространство. Таким образом, любой тензор из открытого по Зарисскому множества в V можно привести действием группы G к каноническому виду a(ui & wi + u7 & w3) + в^2 & wi + u& & w3) + Y(uj & wi + ui & w3) + 5(щ & w2) .
2. Рассмотрим действие группы G = SL(C3) & SL(C3) & SL(C3) в пространстве V = S & & U & W , где S = U = W = C3 . В этом случае H = (Z3)2 (см. [1], [2]). Легко убедиться, что
/0 0 1\
H =<gi,g2> , где gi = a & a & a , g2 = b & b & b, a = 11 0 01 , b = diag(1, e, e2), e = — + ^i.
010
Пусть {si,s2,s3} - базис в пространстве S, {ui,u2,u3} - базис в пространстве U, {wi,w2,w3} - базис в пространстве W .Тогда {s^ & uj & wk ,i,j,k = 1, 2, 3} - базис в пространстве V . Легко проверить, что подпространство VH =<si & ui & wi,s2 & u3 & wi, s3 & u2 & & wi,si & u,3 & w2,s3 & ui & w2,s2 & щ & w2,si & щ & w3,s2 & ui & w3,s3 & u,3 & w3> , dimVH = 9 , и подпространство VH не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например, подпространство L С V , L =<si &ui & wi + s2 &u2 & w2 + s3 &u3 & w3, s3 &u2 & wi + si &u3 & & w2 + s2 & ui & w3,s2 & u3 & wi + s3 & ui & w2 + si & u2 & w3> - каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V , то есть к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 27-го порядка. Кроме того, dimG + dimL = 24 + 3 = 27 = = dimV , то есть L - минимальное подпространство.
Представляя тензоры из V трехмерными матрицами можно утверждать, что любую трехмерную (3, 3, 3) -матрицу из открытого по Зарисскому подмножества в V можно привести
( /а 0 ^ /0 0 y\ ¡0 в 0\ Л
действием группы G к каноническому виду <1 0 0 в I , ( 0 а 01 , I y 0 0 |> , где
1\0 Y 0/ \в 0 0/ \0 0 аJ
первая матрица - верхний слой трехмерной матрицы, вторая матрица - ее средний слой, а третья матрица - ее нижний слой.
3. Рассмотрим действие группы G = Sp(C6) & SL(C2)(R(^3) & R(^\)) в пространстве V = = U & W , где U = U(C3, R(<p3)) - подпространство в пространстве тривекторов Л3(C6) , dimU = = 14 , W = C2 , dimV = 28 . В этом случае H = (Z2)4 (см. [1], [2]). Можно считать, что H =<gi,g2,g3,g4> , где gi = diag(—1, —1,1,1, —1, —1) & E, g2 = diag(1, —1, —1, —1, —1,1) & E, g3 = diag(i,i,i, —i, —i, —i) &diag(i, —i), g4 = D6(i) & D2(i), E - единичная матрица второго порядка, D§(i) и D2(i) - матрицы соответственно шестого и второго порядка, у которых на побочной диагонали стоят числа i, а остальные элементы равны нулю.
Пусть {ui,... ,u6} - базис в пространстве C6 , {wi ,w2} - базис в пространстве W . Можно проверить, что подпространство VH =<ui A u2 A u3 & wi + u4 A u5 A u6 & w2, ui A u4 A u5 & wi + + u2 A u3 A u6 & w2,u2 A u4 A u6 & wi + ui A u3 A u5 & w2,u3 A u5 A u6 & wi + ui A u2 A u4 & w2 > > , и значит, dimVH = 4, dimG + dimVH = 24 + 4 = 28 = dimV . Кроме того, VH + GL = V . Доказательство этого факта сводится к проверке того, что, не равен нулю соответствующий определитель 28-го порядка. Следовательно, подпространство VH - каноническое.
4. Рассмотрим действие группы G = SL(C5) & SL(C5)(R(^2) & R(^\)) в пространстве V =
= S & W , где S = S(A4, R(p2)) - пространство бивекторов Л2(11), U & W &C5 , dimS = 10 ,
dimV = 50. В этом случае H = (Z5)2 (см. [1], [2]). Легко убедиться, что H =<gi,g2> , где
g1 = a ® a ® a, g2 = b <g> b ® b, a = diag(1,e, e ,e ,e4), e =
2ni
e б
b=
/0
1 0
0 0
1 0 0
0 0
Пусть {u-\_,... ,u5} - базис в пространстве U , {w-\_,... ,w5} - базис в пространстве W . Можно проверить, что подпространство VH =<u3 Л u4 0 w1 + u4 Л u5 0 w2 — u1 A u5 0 w3+ + +u1 Л u2 0 w4 + u2 Л u3 0 w5 , —u2 Л u5 0 w1 + u1 Л u3 0 w2 + u2 Л u4 0 w3 + u3 Л u5 0 w4 — u1 Л u4 0 0 w5> , и значит, dimVH = 2 , dimG + dimVH = 48 + 2 = 50 = dimV . Кроме того, VH + GL = V . Доказательство этого факта сводится к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 50-го порядка. Следовательно, подпространство VH - каноническое.
Заметим, что для действия группы G в ассоциированном проективном пространстве P(V) стационарная подгруппа общего положения И' = (Z5)2 ■ Z2 (см. [1], [2]), и Z2 =<c> , где c = = D5(1) 0 D5(1) , а D5(1) - матрица пятого порядка, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов А.М. Конечные стационарные подгруппы общего положения простых линейных групп Ли // Труды ММО. 1985. Т.48, С. 7-59.
2. Попов А.М. Стационарные подгруппы общего положения для некоторых действий простых групп Ли // Труды ММО. 1987. Т. 50, С. 209-248.
3. Элашвили А.Г. Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых линейных групп Ли// Функц. анализ. 1972. Вып. 1, №6, С. 51-62.
4. Элашвили А.Г. Стационарные подалгебры точек общего положения для неприводимых линейных групп Ли// Функц. анализ. 1972. Вып. 2, №6, С. 65-78.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Popov A.M., Lisitsa A.Yu.
SOME CANONICAL SUBSPACES OF SEMISIMPLE COMPLEX LINEAR LEE GROUPS The canonical subspaces for some complex semisimple linear Lie groups with finite isotropy subgroup in general position are given.
Key words: canonical subspace; linear representation; the isotropy subgroup in general position.
Попов Александр Митрофанович, Российский университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Popov Alexander Mitrofanovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Лисица Андрей Юрьевич, Российский университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected] Lisitsa Andrey Yuryevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Senior Lecturer of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.95
О КЛАССИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ОПЕРАТОР БЕССЕЛЯ ПО ЧАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
© А. Ю. Сазонов
Ключевые слова: оператор Бесселя; смешанная задача; параболическое уравнение. Устанавливаются достаточные условия на границу области, коэффициенты оператора, правую часть и начальную функцию, при которых ряд Фурье представляет классическое решение смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка, содержащего оператор Бесселя по нескольким пространственным переменным.
Обозначим через М++т часть пространства у1 > 0,... ,ут > 0 точек х = (х1хп, у1,... ■ ■ ■ , ут) = (х', у') действительного евклидового (п + т) -мерного пространства Мп+т. Пусть - произвольная ограниченная область, расположенная в Мп+т и прилегающая к гиперплоскостям у1 =0,...,ут = 0. Обозначим через Г^,..., Гт часть границы области 0+, лежащей на гиперплоскостях у\ = 0,..., ут = 0 , Г0 = Г0 У ... и Гт , Г+ - замыкание оставшейся части границы, Q+ - (п + т + 1) -мерный цилиндр, равный произведению х (0 <1 <Т) . В данной статье изучается вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанной задачи
для сингулярного параболического уравнения следующего вида:
ди
— - Ьу>и = / (х,£) в цилиндре Q+, (3.1)
и(х, 0) = ^(х) в области 0+, (3.2)
. ди
и\г+ =0,т—
дуг Г0
= 0, г = 1, т. (3.3)
Здесь <^(х) , /(х,1) - заданные функции, определенные в областях 0+ и Q+, соответственно. Ьу> - В -эллиптический оператор, определенный в области 0+ :
£ щ- (х) 4)+£ ь-(х')Ву+с(х) Ву = щ + к • ъ
ЬУ' = Е Я^ \ач+2_.ь>(х')Ву, + с(х).Ву, = + - —.
где с(х) < 0, кг > 0, г = 1,т. Условие В -эллиптичности, сформулированное в [1], сводится к выполнению условий а^(х) = а^г(х) и равномерно по х € 0+ и любого 7 = (^1,... ,^п+т), Ы =
= 0,
пт
Е аг3 (х)лЪ + ^ Ъг(х')72п+г > 5^?, (3.4)
г,]=1 г=1
где 5 некоторое положительное число.
Классической задаче (1)-(3) (т = 0,Ьу> - самосопряженный эллиптический оператор) посвящено большое количество работ, начиная с самого первого результата (п = 1, т = 0)
В.А. Стеклова [2] и до наиболее полных к настоящему времени результатов (т = 0) В.А. Ильина [3]. В неклассической задаче случай т = 1 рассмотрен в работе [4]. Общее решение задачи (1)-(3) представимо рядом Фурье
+ j fp(r)e-Xp(t-T)dT
Ppe p + fp(T)e
(3.5)
u(x,t) = vp(x) p=i
в котором vp(x) - ортонормированные собственные функции, а \р - соответствующие собственные значения краевой задачи:
dv
Ly,v + v = 0 в области Q+, v|r+ = 0, ——
dyi
= 0, i = l,m.
r0
Через фр и /р(1) обозначены коэффициенты Фурье разложения функций ф(х) и /(х,1):
фр = I ф(х)ьр(х)ук йх,/р(г) = у / (х,г)ур(х)ук (1х,ук = ук1 ...ут. п+ п+
д
Пусть а = (а1,...,ап,в1,...,вт) = (а',в'), \а\ = а1 + ... + ап + в\ + ••• + вт, = —,
дхг
д
Dx, = (DX1 ,...,DXn), Dyi = —, Dy, = (Dy1 ,...,Dym).
yidyi
Через С+ и Г0) , в = 0,1,..., оо - обозначим множество функций, четных по переменным у\,...,ут и в раз непрерывно дифференцируемых в и Г0. Обозначим через И^+(0+) (см. [5]) замыкание множества С+ (0+ У Г0) по норме
= J НУ dx +Y, j Da Deul2yk+2e'dx.
Q+ H=SQ+
Положим И0+(О+) = (0+). Замыкание подмножества С + (0+ У Г0) функций из класса С+(0+иГ0) равных нулю вблизи Г+, по норме пространства И1+(0+) образуют функ-
01
циональное пространство H k
о
Лемма 1. Если р е H k +(^+), Ф £ Hk +(^+), то
Фуkdx = — dx, i = l,n. (3.6)
J -xi J дxi
П+ П+
0 2 + Если ф <Е И к +(0+), то
I ТТдгукйх = - I фукйх,г = 1т. (3.7)
} дуг дуг ]
п+ п+
Доказательство. Докажем равенство (7). Согласно определению пространства 0 1 +
И к +(0+) существует последовательность функций ф$, четных по переменным уг, непрерывно дифференцируемых и равных нулю вблизи Г+, сходящихся по норме пространства Ик +(0+) к функции ф. Для функции фъ имеем
dPs дф„ k
y dx = — psByiфу dx,i = l,m. (3.8)
J dyi -У n+ n+
t
Согласно неравенству Коши-Буняковского,
д** - ^ ¿х <
п+
дуг дуг
ду& ду
дуг дуг
У (у& - ^)ВУ1 фукйх <
ду& ду
дуг дуг
п+
ф2ук йх, (3.9)
У (ВУгФ)2укйх, г = 1т. (3.10)
н1 + (о,+) 1
2к
(ВУ1Ф)
п+
при 5> 0. Переходя к пределу при 5 —► 0 в равенстве (8) и неравенствах (9), (10), получим формулу (7). Равенство (6) устанавливается аналогично.
0 1 +
Лемма 2. Для любой функции у € Н к +(0+) справедливо неравенство следующего вида:
^ур2Хр 5
<
р=1
п+
пт
£ аг, Ш + £ *( - СУ2
г,3=1
г=1
дуг
ук йх,
(3.11)
где ур(х) - коэффициент Фурье функции у(х) по системе собственных функций {ур(х)} В частности, утверждается сходимость числового ряда, стоящего в левой части (11).
Доказательство. Для любой у € Н1 +(0+) и ур(х) имеем:
п+
пт
Едур ду ут-^ 1 дур ду
аг, + Е Ьг дуду - ™рУ
г,=
1 4 дхг дх, = г дуг дуг
укйх = Хр У уурукйх = ХрУр. (3.12)
Полагая в тождестве (12) у(х) = У[(х) , получим:
пт
а..дУрдУ1 + ьдУрдУ1 _ су у
/ ^ ^^ дх * дх ■ ^ г ■ . р 1
п+
4 дх г дх, ' 'дх г дх. ,,=1 =1
п+
ук йх J ХР,1 = Р,
0,1 = р.
(3.13)
Рассмотрим следующую неотрицательную величину:
р0
п+
д
, (У - Е УРУР| Щ
,, =1 р =1
р0
у - Е Урур I +
р=1
д
р0
р0
+ Е Ьгду. (у - Е урур\ - с (у - Е урур
укйх > 0.
Раскрывая скобки и учитывая (12) и (13), получим
п+
Е<
,,=1
ду ду
, дх дх,
+
=1
су
р0
укйх урур > 0
р=1
откуда вытекает неравенство Бесселя (11).
о 1 +
Л е м м а 3. Для любой функции у € Н к + (0 ) и обладающей обобщенными производными второго порядка принадлежащих классу Ь2,к(0+) справедливо неравенство вида:
ро г,
Еурур < ] (£У'у)укйх. (3.14)
р=1
п+
2
2
2
В частности, утверждается сходимость числового ряда, стоящего в левой части (14). Доказательство. Для любой функции ф(х), удовлетворяющей условиям леммы 3 справедливо тождество (12). Производя в этом тождестве интегрирование по частям с помощью леммы 1, в которой полагаем ф = ур, получим
— J ьрЬУ>фукйх = \р J фьрукйх = \рфр
п+ п+
или
— (Ьу' ф) р = хрфр. (3.15)
Здесь (Ьу>ф) обозначает коэффициент Фурье функции Ьу>ф. Записывая для функции Ьу>ф неравенство Бесселя и учитывая равенство (15), получим неравенство (14).
Лемма 4. Пусть коэффициенты аг, « (х), оператора Ьу> имеют в замкнутой области 0+ непрерывные производные до порядка в, коэффициенты Ьг(х) и с(х) - до порядка в — 1, в - любое целое положительное 'число. Пусть функция ф € Ик+1(0+) удовлетворяет следующему требованию:
\ ^ ] 0 1 + ф, Ьу>ф,..., Ьу2 ф принадлежат пространству И к,+(0+).
Ш 0
у'
Тогда для функции ф(х) справедливы неравенства вида: для четного в
Еф2рК+'
те
р=1 п+
¿а« £ (Ь^ + Е *( £ ^ — с^
г« = 1 ' г=1
ук йх, (3.16)
Е ф2рК+1 <1 (4'+1] ) 2 ук йх. (3.17)
р=1 /-,+
для нечетного в
те
№ < I
р=1 п+
В частности, утверждается сходимость числовых рядов, стоящих в левых частях (16) и (17).
Доказательство. Для нечетного в лемма 4 доказывается последовательным
\—]
применением леммы 3 к функциям ф, Ьу'ф,..., Ь^2 ф.
При четном в лемма 4 доказывается применением леммы 3 к функциям ф,Ьу'ф,... \—1
... ,Ьу'2 ф и применением леммы 2 к функции Ьу'.
Лемма 5. Пусть коэффициенты оператора Ьу', начальная функция ф(х), и правая часть уравнения /(х,Ь) удовлетворяют следующим требованиям:
1) коэффициенты аг«(х) и с(х) удовлетворяют условию В -эллиптичности (4) и условию с(х) < 0 в замкнутой области 0+.
2) коэффициенты аг«(х) имеют непрерывные производные до порядка 1 + +
2
+ 1,
а коэффициенты Ьг(х') и с(х) до порядка
п + т + к
2
\ п+т + к 1 + 1 \ п+т + к 1
3) ф € И к + 2 (0+) и, кроме того, функции ф,Ьу' ф,...,Ьу' 4 ф принадлежат пространству И к +(0+);
\ п + т + к 1 +2 \ п+т + к + 2 1
4) / € И к + 2 №+) и, кроме того, функции /,Ьу'/,...,Ьу' 4 / принадлежат 0
пространству И1 +№+).
Тогда утверждается сходимость следующих числовых рядов
~ ~~ т
[ п+™+к ]+1
р=1
р=10
Гп + т + к 1 , 2
[р 2 2 йт,
(3.18)
к = к1 + ... + кт, [а] - целая часть числа а.
Доказательство. Поскольку у(х) удовлетворяет условиям леммы 4 при в = п + т + к]
, то сходимость первого ряда (18) следует из упомянутой леммы. Функция
2
f (х, Ь) удовлетворяет условиям леммы 4 при в = ряда
" [
п + т + к
г + т + к
2
]+2
из которой следует сходимость
Р=1
для почти всех т € [0, Т] . Следовательно, существует интеграл
т ^
~ [п+т+к ]+2
йт.
Р=1
Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега вытекает сходимость второго ряда в (18).
Лемма 5 в классической формулировке.
Лемма 6. Пусть коэффициенты оператора Ьу>, начальная функция у(х), и правая часть уравнения (х,Ь) удовлетворяют следующим требованиям:
1) коэффициенты а^(х), Ьг(х') и с(х) удовлетворяют условию В -эллиптичности (4) и условию с(х) < 0 в замкнутой области П+.
2) коэффициенты а^(х) имеют непрерывные производные до порядка в + 1, а коэффициенты Ьг(х') и с(х) до порядка в;
3) у(х) непрерывно дифференцируема до порядка в;
производная порядка в + 1 принадлежит классу (^+);
у\г+ = 0, Ьуу\г+ = 0
+т + к
Г п+т А 4
Ь у'
У
0;
г+
4) f (х,Ь) непрерывно дифференцируема до порядка в + 1; производная порядка в + 2 принадлежит классу Ь2,ь
f \г+ =0,1 у' f \г+ =0,...,Ьу
[ п+т + к + 2 ]
0.
г+
Тогда при в =
п+т+к 2
справедливы утверждения леммы 5.
Теорема 1. Если (х,Ь) = 0 коэффициенты оператора Ьу' и функция у(х) удовлетворяют условиям леммы 5, то ряд (5) сходится равномерно во всем замкнутом цилиндре Q+, а ряды, полученные однократным почленным дифференцированием ряда (5) по Ь и двукратным дифференцированием вида д2¡дх^дх,, ВУ1 сходятся равномерно в любой строго внутренней подобласти Q+ С Q+. При этом сумма ряда (5) определяет классическое решение задачи (1)—(3).
2
]
Доказательство. В условиях теоремы 1 ряд (5) имеет вид
u
(x,t) vp(x)^p(x)e-p=i
(3.19)
Применяя к (19) неравенство Коши-Буняковского
Е \vpfpe Xpt < S Е V2X' p=l lp=1
Up/\p _
и используя сходимость числового ряда £
Г n+m + k 1 1 __Г n+m + k l . л
2\ "[ +2+ j [ +2+ j + 1
E^pap
P=1
n+m+k 2\[ 2 j+1
мерную в Q+ сходимость ряда £ v^(x)\p
p=1
p=1
n+m+k "[-2-j -1
установленную в лемме 5, и равно, установленную в [4], получаем равно-
мерную сходимость ряда (19) в замкнутом цилиндре Q+. Обозначим ряды, полученные однократным дифференцированием ряда (5) по t, дифференцированием ряда (5) вида д2/dxidxj l < i,j < n, Byi, i = 1,m через Ut, UXiXj, UBy., соответственно. Указанные ряды достаточно исследовать лишь при t > е, е - произвольное положительное число. Докажем сходимость этих рядов при единственном условии ф £ L2,k(^+)- Пользуясь неравенством
e~Xpt <
Со
s+3
, s
n + m + к
2
,t> е> 0,
оценим ряды Ut, UXiXj, UBy. следующими рядами:
EMxKi, Co,s+1 ,E
p=1
(v^py
p=1
d2vp(x)
dxidxj
Vp
Со _ Со
s+3 > E lByi vp(x)Vp\-"
p=1
s+3 '
(3.20)
Со - некоторая положительная константа. Применяя неравенство Коши-Буняковского к по-
_
лученным рядам, используя сходимость числового ряда £ vp, имеющую место в силу ра-
p=1
венства Парсеваля для любой функции ф £ L2,k(^+) и используя равномерную сходимость рядов
Е
p=1
д2vp(x)
dxidx
ij
^ lBy.vp(x)l(
s3
p=1
установленную в [6], получим равномерную сходимость рядов (20).
Лемма 7. Пусть область 0+, коэффициенты оператора Ьу' и /(х,Ь) удовлетворяют требованиям леммы 5. Тогда ряд
Т,/р(г)ур(х) р=1
сходится равномерно в замкнутом цилиндре Q+• Доказательство. В силу леммы 5 при в =
(3.21)
n + m + к 2
ряд
2U )х[ n±m±kkj+1
Ef2(T )>p
p=1
сходится для почти всех Ь € [0,Т], в частности, для некоторого Ьо € [0, Т] Применяя к (21) неравенство Коши-Буняковского
^ I ^ Г I I 1.1 г . ,, I 2
I _ п + т + к _1 п+т +к 11 I
Ет>р(х)\< У2р\-[ 2 £ 2 М(3.22)
р=1 [р=1 р=1 )
и учитывая равномерную сходимость в первого из рядов в правой части (22), получим сходимость почти всюду в [0,Т] ряда (21), в частности, для Ьо € [0,Т]. Из леммы 4, примененной к ^(х,Ь), предельным переходом под знаком интеграла Лебега следует сходимость ряда
т
оо „
[п+т+к ]+1 2 1 + 1
£ ЕР;(т)йт\[р р=1о
где Ер(т) - коэффициент Фурье функции ^(х,Ь). Как и выше, применяя неравенство Коши-Буняковского, покажем равномерную сходимость в Q+ ряда
т
оо
^р(х) [ рр(т)йт. (3.23)
р=1 о
Пусть ф(Ь) непрерывно дифференцируемая на [0,Т], равная нулю вблизи Ь = 0 и Ь = Т, Узр(х) - последовательность непрерывно дифференцируемых в функций, равных нулю вблизи Г+, сходящихся в норме пространства И^+(0+) к собственной функции ур(х). Тогда
для ф(х,Ь) = ф(Ь)у,р(х) € С справедливо тождество
т т
У Jf (х,Ь)ьзр(х)^йТУ'йЬйх = ! J ft(x,t)vjp(x)'^¡J(t)ykйЫх. П+ о п+ о
Применяя теорему Фубини и переходя к пределу при ] — 0, получим равенство
т т
йф(Ь)
~ййЬ
fp(t)^гl йЬ = Рр(Ь)ф(Ь)йЬ.
Отсюда следует, что Ер(Ь) - обобщенная производная функции /р(Ь) на [0,Т]. Поскольку /р(Ь) непрерывна на [0,Т], то
t
У Ер(т )йт = fp(t) — fp(tо)
или
^ те те \
^2и(Ь)Мх) — £ и(Ьо—р(х) = Е Мх) рр(т)йт.
^_1 ^_1 ^_1
р=1 р=1 р=1
В силу равномерной сходимости ряда (23) отсюда следует равномерная сходимость в Q+ ряда (21).
Теорема 2. Если коэффициенты оператора Ьу', у(х) (х,Ь) и удовлетворяют условиям леммы 5, то относительно суммы ряда (5) и рядов, полученных почленным дифференцированием ряда (5), справедливы утверждения теоремы 1.
Доказательство. Покажем, что ряд
(х) У /р(т)е-Хр(г-т\1т
рр р=1 0
является классическим решением задачи (1)-(3), в которой ф = 0. Имеем
те те „
иг = Е Ур(х)/р(г) — ^ Ур(х)\р /р(т)е-Хр(г-тЧт. р=1 р=1 0
(3.24)
В силу леммы 7 первый ряд (24) сходится в Q+. Учитывая оценку
/ /р(т)е-Хр(г-т)йт <! е-2Хр(г-т)йт I /2(т)йт < | /2р(т)
и применяя ко второму ряду в (24) неравенство Коши-Буняковского, получим:
Е
р=1
Ур(х)\рУ /р(т )е-Хр(г-Х)й
<
Еурдр р=1
п+т+к 2 \-\-2-] -1
Е / /¡(т)йт\\
\ п+т+к1 +2
р=1\
(3.25)
Равномерная сходимость первого ряда в (25) установлена в [4], сходимость второго ряда в (25) следует из леммы 5. К ряду
г
ивуг = Е ВугУр(х) I /р(т)е-Хр(г-ХЧт
р=1 0
применим неравенство Коши-Буняковского
Е
р=1
г
ВугУр(х) I /р(т)е-Хр(г-Х)йт
< ^ Е (ВугУр(х))2 Х-\"' ^Е I /2(т)йт\
+т + к
1 -3'
\ п+т+к1 +2
р=1
р=1'
В силу равномерной сходимости второго ряда в (21) в произвольной подобласти 0+ С 0+ и леммы 5 вытекает равномерная сходимость в Q+ С Q+ ряда иву1 . Аналогично устанавливается равномерная сходимость в Q+ ряда их^х^.
З а м е ч а н и е 1. В условиях леммы 6 справедливы утверждения теорем 1 и 2. Замечание 2. Ограничение с(х) < 0 в лемме 5 можно снять. В случае с(х) > 0 замена и(х, г) = у(х, г)еаг приводит к уравнению
дУ
— — Ьу' у = / (х,г)е-аг,
в котором коэффициент с(х) = —а + с(х) в силу непрерывности с(х) на 0+ отрицателен при достаточно большой постоянной а > 0.
Автор выражает благодарность Т.Д. Воробьевой и М.В. Борзовой за внимание к работе и обсуждения.
г
2
г
г
г
г
г
г
г
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158. № 2. С. 275-278.
2. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. Пг. 1922. Т 1.
3.Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 2. С. 97-154.
4. Сазонов А.Ю. О классическом решении смешанной задачи для сингулярного параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 8.
5.Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.
6. Сазонов А.Ю, Фомичева Ю.Г. О разрешимости смешанной задачи для гиперболического уравнения, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных // Междунар. конф. "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Новосибирск: Октябрь, 2008.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00877, № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Sazonov A.Yu.
ON CLASSICAL SOLUTION OF MIXED PROBLEM FOR PARABOLIC EQUATION CONTAINING BESSEL OPERATOR ON SOME SPACE VARIABLES
The work derives the sufficient conditions on the area boundary, the operator coefficients, the right-hand side, and the initial function, under which the Fourier series is a classical solution of the mixed problem for a second order parabolic equation containing the Bessel operator on some space variables.
Key words: Bessel operator; mixed problem; parabolic equation.
Сазонов Анатолий Юрьевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Sazonov Anatoly Yuryevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.911
О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
© О. В. Скопинцева
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с с импульсными воздействиями, краевая задача.
Рассматривается дифференциальное уравнение с импульсными воздействиями, происходящими в точках пересечения траекторией заданной линии. Получены условия разрешимости апериодической краевой задачи. Используется представление краевой задачи в виде операторного уравнения в пространстве кусочно абсолютно непрерывных функций со специально построенной метрикой.
Пусть R = (—то, то) — множество действительных чисел, C — пространство непрерывных функций x :[a,b] a R с нормой ||x||C = maxt^ ^ь] \x(t)\; Lж - пространство измеримых существенно ограниченных функций (классов эквивалентности) y :[a,b] a R с нормой ||y||L = = vrai supse аь] \y(s)\; AC^ пространство абсолютно непрерывных функций x :[a,b] a R, имеющих существенно ограниченную производную X G Lж, с нормой ||x||L = \x(a)\ + ЦХ.
Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием широко применяются при описании процессов, в которых возможны мгновенные или очень быстрые изменения состояний. Основы теории таких уравнений изложены в [1]. В работах [2]-[4] используется несколько иной подход к исследованию дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями, основанный на сведении к операторному уравнению в соответствующем функциональном метрическом пространстве. Ранее аналогичные идеи применялись в случае импульсных воздействий в фиксированные моменты времени [5],[6]. Для рассмотрения ситуации, когда "удары по траектории" возможны в любые моменты времени, например, на заданной линии в расширенном фазовом пространстве, в [2]-[4] предложена метрика для пространства функций, терпящих не более одного разрыва в любой точке, что позволило получить условия непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий, правой части уравнения, величины импульсного воздействия и линии, на которой оно происходит. Здесь используется аналогичная идея, основанная на сведении к операторному уравнению в соответствующем функциональном метрическом пространстве, для исследования разрешимости краевых задач.
, , ( 0, если t G [a, т
Пусть Хт(t) = | i если t g (т b] Определим пространство
S = {xt,s : [a, b] a R, xT,s(t) = sXt(t) \ т G [a, b), s G R} b
с метрикой pS (xT1, si ,xT2 ,S2 ) = f \xT1 ,si (t) — xT2, S2 (t)\dt. Теперь определим пространства SC,
a
SAC^ функций x : [a, b] a R, каждая из которых может иметь разрыв не более чем в одной любой точке т G [a,b), где непрерывна слева и имеет предел справа. Любой элемент x G SC представим в виде x = x + xT,S, где x G C, xT,S G S. Соответственно, элемент x G SACж можно задать в виде такой же суммы двух функций, где x G AC^. Метрики в этих пространствах определим равенствами
Psc (x1,x2)=max{||xl — x2^c ; Ps (xTi,si ,xT2,S2 Psac^ (x1,x2 ) = = max{||xi — os^ACov ; Ps (xTi,si ,xT2,S2)}.
Лемма. БС, БАСо - полные .метрические пространства.
Пусть заданы удовлетворяющая условиям Каратеодори функция / : [а, Ь] х М — М, непрерывные функции д : М — [а,Ь], р :[а,Ь] — М и числа А, В, С. Рассмотрим дифференциальное уравнение
х = /(1,х), t € [а,Ь], (1)
испытывающее импульсные воздействия
.х
с краевым условием
Ах \г=д(х)=х^ + 0) - х(^= Ф), (2)
Ах (а) + Вх(Ь) = С. (3)
Мы получим условия, при которых решение импульсной дифференциальной системы (1), (2) испытает не более одного "удара". Тогда решением х будет функция, терпящая не более одного разрыва первого рода в точке т: т = д(х(т)), абсолютно непрерывная на каждом из промежутков [а, т], (т,Ь], имеющая существенно ограниченную производную х € Ьо. Таким образом, решение — элемент пространства БАСо, и для решения х € БАСо имеет место представление
г
х() = х(а) + р(т)Хт й + / ад*.
а
Следовательно, краевую задачу (1)-(3) можно считать системой двух уравнений
г
х(£) = /^,х(а) + р(т)хт(^ + / х(в)йв), t € [а,Ь],
а
ь
(А + В)х(а) + Вр(т) + В/х(в)йв = С, т
а
где т: т = д(х(а)+ х(в)йв),
а
относительно пары неизвестных (х,х(а)) € Ьо х М. К исследованию разрешимости полученной системы теперь можно применить теорему Банаха о сжимающем отображении. Таким образом получаем следующее утверждение.
Теорема. Пусть существуют такие положительные числа М, Ф, что имеют место оценки \/^,х)\< М, \р(^\< Ф при любых х € Е и почти всех t € [а,Ь]. Пусть, далее, существуют такие константы Ь, К, Ы, что
К
Ь(Ь - а)(1+ 1 - КМ(Ф + N(Ь - а))) < 1,
В < 1 - Ь(Ь - а)(1 + -—Км(Ф + N(Ь - а))) < --Км + Ь(Ь - а)(1 + --Км(Ф + N(Ь - а)))
А+В
и выполнены неравенства:
\/{Ь,х\) - /(Ь,х2)\< Ь\х- - х2\ Ш € [а,Ь], У х-,х2 € Е;
\д(х-) - д(х2))\ < К\х- - х2\ У х-,х2 € Е; \<р(Ь) - ф2))\ < N\ь - t2\ У € [а, Ь]. Тогда задача (1) имеет единственное решение х € БАСо .
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. Самойленко, Н. А. Перестюк. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища шк. 1987.
2. Е.С. Жуковский,О.В. Скопинцева. О корректности дифференциального уравнения, испытывающего импульсные воздействия на заданной линии. // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2012. Т. 17. № 1. С. 45-48.
3. Е.С. Жуковский, Б.Д. Пеньков, О.В. Скопинцева. Об одном подходе к исследованию дифференциальных уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 3. С. 735-737.
4. О.В. Скопинцева. Непрерывная зависимость от параметров решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Вестник Тамбовского университета. Исследовательские проекты студентов. Приложение к журналу. Тамбов, 2011. С. 207-210.
5. Н.В. Азбелев, В.П.Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280с.
6. А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1-6 // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2009. Т. 14. № 6-2. С. 1275-1318.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы "Развитие деятельности студенческих объединений".
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Skopintseva O.V.
ON SOLVABILITY OF BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSES
A differential equation with impulses that place at the points of intersection of the trajectory by the given line is considered. The existence conditions for an a-periodic boundary-value problem are derived. The presentation of a boundary-value problem in the from of an operator equation in the space of piecewise absolutely continuous function with a specific metric is used.
Key words: differential equation with impulses; boundary-value problem.
Скопинцева Олеся Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки "прикладная математи-ка"Института математики, физики и информатики, e-mail: [email protected]
Skopintseva Olesya Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, master of Institute of Mathematics, Physics and Computer Sciences in the Specialty «Applied Mathematics», e-mail: [email protected]
УДК 517.5
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМА
© В. М. Тихомиров
Ключевые слова: гладкость; выпуклость; принцип Лагранжа; выпуклая двойственность; компактность.
Статья посвящена некоторым принципам теории экстремума: Ферма и Лагранжа в необходимых условиях, Гамильтона в достаточных условиях, двойственности в теории выпуклости, а также некоторым общим идеям в теории существования и конструировании алгоритмов оптимизации.
В статье приводятся основные положения моего доклада на заседании международной конференции «Колмогоровские чтения. ОПУ-2013», посвященном памяти А.И. Булгакова.
В этом докладе мне хотелось бы подвести некоторые итоги моей деятельности в теории экстремума.
Основные разделы теории:
- теория гладких задач;
- вариационное исчисление;
- теория выпуклых и ляпуновских задач;
- теория оптимального управления.
Роль теории экстремума в математике и ее приложениях
Вариационное исчисление лежит в основании математического естествознания, теория оптимального управления — в основании управления динамическими системами, а теория выпуклости — в основании математической экономики.
Структура теории
Основными главами теории экстремума являются:
- база теории, состоящая из исчислений (дифференциального и выпуклого исчисления, а также исчисления дифференциальных уравнений)
- необходимые условия экстремума
-устойчивость решений и достаточные условия экстремума
-теория существования решений
-алгоритмы оптимизации.
Зародыши основных идей доклада содержались в нашей совместной с А.Д. Иоффе монографии [1], написанной сорок лет тому назад. В этой монографии была сделана попытка осмыслить всю историю экстремума с неких общих позиций.
Необходимые условия экстремума. Принцип Лагранжа
Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни назад ни вперед. И. Ньютон
Эта идея была аналитически оформлена Ферма, Ньютоном и Лейбницем. Назовем ее принципом Ферма.
Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, о которой говорилось, функции, задающие уравнения связи,
умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум и минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных. Ж.-Л. Лагранж
Необходимые условия экстремума (т. е. минимума или максимума) со времен Ферма и Лагранжа и до наших дней в задачах, где воедино слиты гладкая и выпуклая структуры и присутствует некая «невырожденность»», соответствуют одному общему принципу — принципу Лагранжа снятия ограничений.
Принцип Лагранжа заключается в том, что в задачах с ограничениями с гладкой и/или выпуклой структурой для выписывания необходимого условия экстремума, следует составить т. н. функцию Лагранжа, включающую в себя ограничения, и применить к ней принцип Ферма — необходимые условиям экстремума в более простой задаче — в задаче на экстремум функции Лагранжа, «как если бы переменные были независимы».
Роль выпуклости в теории экстремума во многом связана с феноменом выпуклости, вызванной интегрированием. В конечномерном случае знаменательным подтверждением этого феномена может служить теорема А. А. Ляпунова [2]. Вот ее формулировка.
Пусть А — это сегмент на прямой R, U(-) = (щ(-),..., un(•)) — интегрируемая вектор-функция, A — а -алгебра измеримых по Лебегу множеств. Тогда образ отображения A ^ ^ fA U(t)dt (т. е. множество M = {x £ Rra | fA U(t)dt, A gA} ) — выпуклый компакт в RN .
Это лишь один из фактов, подтверждающих феномен выпуклости, который несколько вольно можно выразить так: интегральные операторы, определенные на пространствах с непрерывной мерой, имеют выпуклые или «почти выпуклые» образы (такой «почти выпуклостью» обладают отображения классического вариационного исчисления и оптимального управления).
В конце тридцатых и в сороковые годы началось интенсивное развитие ветви, занимающей промежуточное положение между математическим анализом и геометрией, получившей название выпуклого анализа. Это развитие было во многом стимулировано рождением линейного программирования, возникшего в трудах Канторовича Л.В. по математической экономике, начавшихся с работы Канторович Л.В. Математические методы организации и планирования производства. Л: Изд-во ЛГУ, 1939. Возрождение выпуклого анализа (некоторые начальные разделы его возникли еще в XIX веке), во многом связано с появлением работы В. Фенхеля 1951 г. [3].
Придадим высказанной выше эвристической идее, названной принципом Лагранжа, форму математического результата.
Принцип Лагранжа для гладко-выпуклых задач
Требования гладкости в формулируемой далее теореме выражаются через два понятия дифференциального исчисления (относящегося к базе теории).
Пусть X и Y — нормированные пространства, V С X — окрестность точки ж £ X и F: V ^ Y . Говорят, что отображение F дифференцируемо (по Фреше) [4] в точке x (и пишут F £ Dl(x)), если существует линейный непрерывный оператор Л: X ^ Y такой, что для любого £ > 0 найдется число 5> 0 , для которого
\\x — x\\x ^ ||F(x) — F(x) — Л(х — ж)Уу < £\\x — x\\x.
Оператор Л, входящий в эту формулу, называется производной отображения F в точке x. Его обозначают F'(x).
Говорят, что отображение F строго дифференцируемо в точке x (и пишут F £ SDl(x)), если F £ Dl(x) и для любого £> 0 найдется число 5> 0 , для которого из \\£ — x\\x <$ и \\x — x\\x <$ следует неравенство \\F(£) — F(x) — Л(£ — x)\\y < £\\£ — x\\x (это определение принадлежит Е. Личу: Leach E. Proc. AMS. V. 12 (1961). P. 694-697).
Теперь можно переходить к формулировке теоремы.
Теория необходимых условий опирается далее у нас на два результата: теорему Люстерника [5] (т. е. в конечном счете теорему о неявной функции) из дифференциального исчисления и теорему отделимости из теории выпуклости. Теорема отделимости порождает принцип двойственности выпуклых объектов, согласно которому выпуклые множества функции и задачи допускают двойное описание (в основном и двойственном пространстве).
Пусть X и Y — нормированные пространства, U — некоторое множество, V С X — окрестность точки x , f0 : V — R и F : V xU — Y . Рассмотрим задачу:
f0(x) — min; F (x,u) = 0. (P)
Далее на fo и F накладываются требования гладкости по x и выпуклости по u , и потому задачу (P) с такими условиями мы называем гладко-выпуклой.
Необходимое условие экстремума в задаче без ограничений
Если ограничение F = 0 в задаче отсутствует, задача (P) называется задачей без ограничений. Имеет место следующее предложение
Если в задаче (P) без ограничений точка x доставляет локальный экстремум и в этой точке fo дифференцируема, то f'0 (x) = 0 .
Этот результат часто называют теоремой Ферма.
Первое общее правило исследования задач на экстремум содержится в письме Ферма Декарту (1638) [6]. Оно было переведено на язык математического анализа Ньютоном и Лейбницем.
Суть дела замечательно выразили Кеплер, Ферма и Ньютон.
Кеплер (вычислитель): Вблизи максимума и минимума изменения несущественны [7].
Ферма (аналитик): В точке экстремума линейная аппроксимация нулевая [6].
Ньютон (естествоиспытатель): Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни назад ни вперед. (Ньютон И. Метод флюксий и бесконечных рядов. Ньютон И. Математические работы. М.: УРСС, 2012. C. 73.).
Необходимое условие в задачах с ограничениями
Пара (x,u) называется (сильным) локальным минимумом в задаче (P) , если существует такое число £> 0 , что f0(x) > f0(x) для всякой пары (x,u) , для которой F(x,u)=0 и \\x — x\\x < £ .
Функцию Лагранжа задачи (P) определим равенством
L((x,u),X) = Xofo(x) + (X,F (x,u)),
где X = (X0, X) E R x Y* ( Y* — пространство, сопряженное к Y ) — набор множителей Лагранжа. Имеет место следующий результат:
Принцип Лагранжа для гладко-выпуклых задач [1]. Пусть выполнены следующие условия: а) X и Y — банаховы пространства (условие полноты), b) f0 E Dl(x), а отображения x — F(x,u) принадлежат SD1(x) Vu EU (условия гладкости), c) множества F(x,U) выпуклы в Y Vx E V (условие выпуклости), d) подпространство Fx(x,u)X замкнуто в Y и имеет конечную коразмерность (условие слабой регулярности). Тогда, если пара (x,u) доставляет локальный минимум в задаче (P) , то существует такой ненулевой набор множителей Лагранжа X = (X0,X), что для задачи (P) выполнены условие стационарности:
Lx((x,u),X) = 0 & Xof0(x) + Fx(x,u))*y* = 0, (1)
и принцип минимума
minL((x,u),X) = L((x,u),X) & min(y*,F(x,u)) = 0. (2)
u u
Соотношения (1) и (2) находятся в соответствии с принципом Лагранжа, о котором говорилось выше: условие стационарности — это не что иное, как применение теоремы Ферма к задаче L((x,и)Л) — min, а принцип минимума есть просто тавтологическое условие минимальности y -{Л,у — при y E F(х,и), и EU .
Доказательство (в случае, когда: Fx(х,и)Х = Y ). Пусть и EU и £ таковы, что
Fx(x, и)£ + F(x, и) = 0. (i)
Положим Ф(х, а) = (1 — a)F(x + х,и) + aF(x + х,и). Дифференцируя (с использованием условия гладкости), получаем:
Ф'(0,0)[х ,а] = Fx(x,n)x + aF (х,и). (ii)
Из (i) и (ii) следует, что (£, 1) E КегФ'(0, 0) , и тогда, применив теорему Люстерника, получаем, что
Ф^£ + r(t),t + p(t)) = 0, |t|< е, \\r(t)\\x = o(t), \p(t)\ = o(t).
Это соотношение можно переписать так:
(1 — a(t))F(x + x(t), и) + a(t)F(x + x(t), и) = 0, (iii)
где a(t) = t + p(t), x(t) = x +t£ + r(t) . Используя условие выпуклости, найдем такой элемент и(t) , для которого
F(x(t)^(t)) = (1 — a(t))F(x(t), и) + a(t)F(x(t),v) = 0, \t\ < е. (iv)
Это означает, что (x(t),v,(t)) — допустимый элемент, и значит,
f(x(t)) = f(x +t£ + p(t)) > f(x) ^ {f'(x),£ -> 0. (v)
Пусть теперь £ E KeTFx(x,n) . Тогда, положив в (i) и = и, получим, что (i) выполнено, и значит, в силу (v) , {f'(x),£ —> 0. Но —£ также принадлежит KerFx(x,v) , откуда {f'(x),£ —< 0 и значит, {f'(x),£ -=0 , т. е. f'(x) E (KerFx(x,n))± . По следствию теоремы отделимости (о ядре регулярного оператора), существует такой элемент Л E Y* , что f'(x) + + F* (x,v)Л = 0, а это — не что иное, как условие стационарности для функции Лагранжа. Пусть теперь v EU и £(v) таковы, что Fx(x,n)£(v)+ F(x,v) = 0. Действуя линейным функционалом f'(x) + F*(x,v)Л на £(v) и используя (v) и условие стационарности, приходим к условию минимума:
{^F(x,v) -= —{Л, Fx(x, u)£(v) -= —{F*(x, и)Л, £(v) -= {f'(x),£(v) -> 0,
т. е. f (x) + {Л, F(x, v) —> f (x) , и значит, в силу того, что F(x, и) =0 , получаем, что L(x, v, Л) > > L(x, и, Л). □
Принцип Лагранжа для конкретных классов задач
Следствие 1 (принцип Лагранжа для гладких задач). Если в .задаче
fo(x) — min, fi(x) < 0, 1 < i < m, F(x) = 0 (Pi)
функции и отображение определены в окрестности некоторой точки x банахова пространства X, являются строго дифференцируемыми в этой точке, и при этом отображение F определено в той же окрестности,, отображает ее в банахово пространство Y и при этом
Т'(х)Х является замкнутым подпространством в У, тогда, если в точке х достигается локальный минимум, то найдется набор множителей Лагранжа Х = (Х0,..., Хт, X) £ Мт х
_ т
х У *, такой, что для функции Лагранжа С(х, X) = £ Хг/г(х) + {X, Т (х) а выполнены условия
_ г=0
стационарности: Сх(х,Х) = 0 , неотрицательности: Хг > 0, г > 0 и дополняющей нежесткости: Хг/г(х) = 0, г > 1 .
Для доказательства следует применить гладко-выпуклый принцип к задаче (Р) , в которой ^ (х ,п) = (Ь(х) + т,..., ¡т(х) + Пт, Т (х )) , Ы = ^ .
При этом сам результат можно сформулировать так: необходимое условие минимума в задаче (Р\) находится в соответствии с принципом Лагранжа.
Отметим, что для доказательства следствия 1 достаточно использовать лишь доказанный ослабленный вариант гладко-выпуклого принципа: если Т'(х)Х , то надо применить теорему отделимости, а в регулярном случае надо последовательно присоединять к Т (применяя теорему о неявной функции) или отбрасывать функции г > 1.
Следствие 2 (принцип Лагранжа для выпуклых задач). Если в задаче
/0(х) а шш, /г(х) < 0, 1 < г < т', /г(х) =0, г > т' (Р2)
функции / при г < т выпуклы и их значения точке х конечны, а функции г>т' аффин-ны, и при этом в х достигается абсолютный минимум в задаче (Р2), то найдется набор множителей Лагранжа Х = (Х0,..., Хт) £ Мт , такой, что для функции Лагранжа С(х, Х) =
т ___
= £ Хг/г(х) выполнены условия минимума: тт Ь(х, Х) = Ь(х,Х), неотрицательности: Хг >
г=0 х^А
> 0, 0 < г < т' и дополняющей нежесткости: Хг/г(х) = 0, 1 < г < т'.
Для доказательства следует применить гладко-выпуклый принцип к задаче (Р) , в которой ^ (х ,п) = (Ь(х) + пъ..., /т(х) + Пт, Т (х )) , Ы = М^? X А .
При этом сам результат можно сформулировать так: необходимое условие минимума в задаче (Р2) находится в соответствии с принципом Лагранжа.
Принцип исследования гладких конечномерных задач с равенствами был впервые высказан Лагранжем (в приводившейся выше цитате) в 1797 г. [8], и получил название правила множителей Лагранжа. Правило множителей Лагранжа в банаховом случае для задач с равенствами было доказано Л.А. Люстерником в 1934 г. [5], а общий результат (следствие 1) был впервые получен А.Я. Дубовицким и А.А. Милютиным в 1965 г. [9].
Следствие 2 было доказано Карушем в 1939 г. [10], но осталось незамеченным. Оно было передоказано и вошло в обиход развивавшейся тогда теории выпуклости Куном и Таккером в 1951 г. [11].
Принцип Лагранжа для задач вариационного исчисления и оптимального управления
Пусть А = [г0,г1] , -то <г0 <Ь < То , и С Мг , Ь :А х Мга х Мг А м , 0 < г < т , и : Мга х Мга А А М , 0 < г < т , у : А х Мга х Мг а Мга , Е = {{ = (х(^),п(^))} , определим
Ш) = I и(г, х(г),п(г)) м + ф(го), х(ь)), 0 < г < т.
Задачу
ш А тт, Ш) = 0, 1 < г < т, х = у(Ь,х,ь), п(Ь) £ и, (Р')
назовем задачей оптимального управления в понтрягинской форме. Задачу
д0(и(•)) = Ь(Ь,и(Ь))(М а тт, п(Ь) £ и ./д
назовем элементарной задачей оптимального управления (или элементарной ляпуновской задачей).
Задачу оптимального управления в понтрягинской форме будем рассматривать на множестве PC 1(А, Мга) х PC (А, Мга) кусочно-непрерывно дифференцируемых x(-) и кусочно-непрерывных u(-) . Говорят, что пара (x(-),u(-)) £ PC 1(А, Rra) х PC (А, Rra) является оптимальным процессом в задаче (P3) или доставляет задаче (P3) сильный локальный минимум, если найдется число £> 0 такое, что для любой допустимой пары (x(-),u(-)) , для которой ||x(-) — ж(-)||с(ддп) < £, выполнено неравенство f0(x(-), u(-)) > f0(x(-), U(-)).
Если U = Rr , задачу (P3) называют задачей Лагранжа классического вариационного исчисления. Задачу
fo(0 = j Lo(t,x(t),u(t))dt + lo(x(to).x(ti)) a min А
называют элементарной задачей вариационного исчисления (или задачей Больца). Сформулируем условия минимума в элементарных задачах.
a) Пусть и(-) — кусочно-непрерывная функция на А со значениями в Мг , а функция h(■, ■) непрерывна на А х U . Тогда для того чтобы функция u(-) доставляла абсолютный минимум в элементарной задаче оптимального управления, необходимо и достаточно, чтобы в любой точке t непрерывности и(^) выполнялось условие минимума h(t,u) > h(t,u(t)) iu £ U.
b) Пусть в задаче Больца интегрант L является непрерывной функцией по совокупности переменных и непрерывно-дифференцируемой функцией по x и x в окрестности графика {(t,x(t),x(t), 11 £ А} (где x() £ C 1(А) ), а функция l непрерывно дифференцируема в окрестности точки (x(t0),x(t1)) . Тогда если функция x(^) доставляет слабый минимум задаче Больца, то Lx(■) £ C1 ([to, 11 ]) и выполняется уравнение Эйлера
d
— JL (t)+ Lx(t) = 0
и условия трансверсальности
Lx (ti) = (—l)ilx(ti), i = 0,1,
где Lx(t) = Lx(t,x(t),x(t)), Lx(t) = Lx(t,x(t),x(t)), Tx(U) = lx(ti)(x(to),x(t1)), i = 0,1. Функцию Лагранжа задачи (P3) определим равенством
_ m rt1
£((x() uO)), = Xi/i((xO),nO))) + p(t) • (x(t) - <p(t, x(t),u(t))dt
„•_n j to
rti
= I p(t) • (x(t) - y(t,x(t),u(
i=0 -'t0 tl
= J L(t,x(t),x(t),u(t))dt + l(x(to),x(ti)),
to
~ m
где L(t,x,X,u) = L(t,x,u) + p(t) • (X — y(t,x,u), L(t,x,u) = Y^ ^ifi(t,x,u), а l(x(t0),x(tl)) =
i=0
m
= Y1 Xili(x(to), x(ti)) (ограничение u(t) £ U в функцию Лагранжа не вносится).
i=0
Следствие 3 (принцип Лагранжа для задачи Лагранжа и задачи оптимального управления). Если в задаче (P3) выполнены требования гладкости, то необходимое условие минимума в них находится в соответствии с принципом Лагранжа.
В задаче оптимального управления условия гладкости на Li и у состоят в том, что эти функции должны быть непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по x , а в задаче Лагранжа они должны быть непрерывно-дифференцируемы и по x и
по и в окрестности графика {(t,x(t),x(t), \ t E А} ,а li должны быть непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x(t0),xc(tl)) .
Теперь остается лишь расшифровать формулировку следствия 3. Согласно принципу Лагранжа, надо рассмотреть две задачи:
C((x(-),n( ), Л) — min и C((x( ),n( ), Л) — min и написать для них необходимые условия минимума, «как если бы переменные были независимы».
Таким образом, если в точке (£(-),п(-)) достигается соответствующий локальный минимум в задаче (P3) , то найдется отличный от нуля набор множителей Лагранжа Л = (Ло,... ... ,Лт,р()) , такой, что удовлетворяются условия неотрицательности ( Л-i > 0, 0 < i < m'), дополняющей нежесткости ( Лifi(£) =0, 1 < i < m') и, в соответствии с необходимыми условиями для задачи Больца, уравнения Эйлера-Лагранжа по x(-):
d - - -— JtLi:(t) + Lx(t)=0 ^ —P(t) = p(t)Ux(t) — Lx(t) = 0 (2a)
и условия трансверсальности
Lx(ti)= кi, i = 0,1 (2b)
Необходимое условие во второй задаче о минимизации функции Лагранжа по и(-) для задачи оптимального управления, в соответствии с необходимым условием для элементарной задачи оптимального управления, приводит к условию минимума:
min L(t, x(t), U(t), и) = L(t), (3)
u£U
а в задаче Лагранжа задача о минимизации функции Лагранжа по и(-) является задачей Больца и, в соответствии с необходимым условием для нее, приходим к уравнению Эйлера по и :
Lu(t) = 0. (3')
Аналог теоремы Ферма в вариационном исчислении (уравнение Эйлера) впервые получил Эйлер [12]. Правило множителей Лагранжа к задачам вариационного исчисления Лагранж применял с самого начала своего творчества (см. например, [13]). Так возникли в вариационном исчислении уравнения Эйлера-Лагранжа (2a) и (3'). Условия трансверсальности (2b) возникли с появлением других видов формализации задач вариационного исчисления (задач Майера, Больца и др.). Все это нашло отражение в первом фундаментальном учебнике по вариационному исчислению [14]. Бурное развитие вариационного исчисления в течение двух веков, начиная с работы Эйлера [12] до середины XX века, во многом было стимулировано тем, что многие законы природы являются следствием вариационных принципов. В середине XX века появилось оптимальное управление, включающее в себя вариационное исчисление, как часть. Родоначальником новой теории был Понтрягин Л.С., который со своими учениками Болтянским В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и Мищенко Е.Ф. в 1961 г. выпустил монографию [15]. В ней уравнения Эйлера-Лагранжа были дополнены условием (3), получившим, совместно с (2a), название принципа максимума Понтрягина.
Некоторые комментарии
1. О доказательствах. Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для задачи Лагранжа вариационного исчисления не требует новых идей и методов: при достаточной гладкости условий в задаче Лагранжа она становится гладкой задачей и справедливость принципа Лагранжа вытекает из следствия 1. Задачи оптимального управления «линейные по фазе» редуцируются к ляпуновским (т. е., по сути дела, к выпуклым задачам) и принцип Лагранжа для них вытекает из следствия 2. Для вывода принципа максимума Понтрягина нужно чуть модифицировать
доказанный выше гладко-выпуклый принцип, в котором условие регулярности сочетается не с выпуклостью, а c «почти выпуклостью».
2. О конкретных задачах. Начиная с классической изопериметрической задачи, обсуждавшейся еще Аристотелем в V веке до н. э. по наши дни, было исследовано огромное количество конкретных экстремальных задач (бездна геометрических задач на экстремум, аэродинамическая задача Ньютона, задача Бернулли о брахистохроне, задачи о неравенствах (которым посвящена монография Харди-Литтлвуда-Пойа, экстремальные задачи теории аппроксимации и т. д., и т. п.). Безусловным мотивом создания теории экстремума является разработка средств для решения конкретных задач. По мнению докладчика (который демонстрировал это во многих своих книгах), подавляющее число «явно» решенных (без помощи компьютеров) конкретных задач решаемы методом Лагранжа, который (при удачной формализации) приводит к разрешимым уравнениям. А если уравнения не решаются, то методы оптимизации при современной компьютерной технике позволят для почти всех задач получить (хотя бы приближенный) ответ.
Устойчивость решений и достаточные условия экстремума
Необходимое условие «первого порядка» для минимума в точке x в гладкой задаче f (x) — — min , состоящее в условии стационарности f '(x) =0 , было дополнено Ньютоном и Лейбницем условием «второго порядка» f >> (x) > 0 . При этом условие f >> (x) > 0 является достаточным условием минимума и гарантирует устойчивость этого минимума при малых возмущениях.
Начальные необходимые условия второго порядка в задачах вариационного исчисления были получены Лежандром (условия Лежандра) [16], но путь к достаточным условиям оказался достаточно далек. Для простейшей задачи вариационного исчисления этот вопрос был решен усилиями Гамильтона [17], Якоби [18] и Вейерштрасса [19]. Фундаментальную роль в этом круге вопросов играет следующая идея Гамильтона о том, что следует включать отдельную экстремаль в семейство (стали говорить — поле) экстремалей.
Посмотрим на эту идею с «общих позиций», рассмотрев задачу
f(x) — min, F(x) = 0, (1)
где f — функция на гильбертовом пространстве Hi , а F — отображение из Hi в гильбертово пространство H2 .Пусть L(x,n) = f (x) + {n,F (x) — — функция Лагранжа задачи (1) (с Л0 = = 1). Рассмотрим «стандартное возмущение» задачи (1) :
f(x) — min, F(x) = y. (2)
Теорема о поле экстремалей. Пусть производная F в точке x сюръективна, существует множитель Лагранжа и такой, что Cx(x,rj) = 0 и при этом
Lxx(£,V)[x,x\ > a\\x\\2 Vx E KerF'(x).
Тогда существуют окрестность W С Hl точки 0 E Hl и отображение y — (x(y),n(y)), определенное на W , такие, что Lx(x(y),n(y)) = 0, x(0) = x, n(0) = и и F(x(y))= y .
Принцип компактности в теории существования
Одним из основных принципов доказательства теорем существования решения задач на экстремум является принцип компактности, когда при выборе этого пространства функционал (или его расширение) полунепрерывен снизу, а ограничение компактно. При этом, существует убеждение, что почти каждая естественным образом поставленная задача имеет решение, возможно, в некоем естественном же обобщенном толковании этого понятия.
Вторая часть нашего тезиса фактически является пересказом мысли Гильберта, высказанной им при формулировке его 22 проблемы, в которой обсуждались задачи вариационного
исчисления. «Я убежден, — писал Гильберт, — что доказательства существования можно будет провести с помощью некоего основного положения, на которое указывает принцип Дирихле и который, вероятно, приблизит нас к вопросу о том, не допускает ли всякая регулярная вариационная задача решение, если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование» [20].
«Основное положение», о котором говорит Гильберт, по-видимому, принцип компактности, согласно которому полунепрерывная на компакте функция достигает своего минимума, с которым естественно связать имена Вейерштрасса, Лебега и Бэра.
Концепция Гильберта получила свое воплощение сначала в теории Тонелли для одномерных задач вариационного исчисления, а затем в концепции Соболева С.Л., который начал создавать шкалу пространств специально приспособленных к задачам вариационного исчисления многомерных задач.
Некоторые принципы оптимизационных алгоритмов
Ввиду нехватки места — лишь перечисление некоторых методов численного решения задач на экстремум:
- методы «рационального» спуска решения гладких задач (например, метод градиента)
- прямые методы решения задач вариационного исчисления (например, методы Бубнова и Галеркина)
- методы «отсечения» решения выпуклых задач (например, методы А. Левина, эллипсоидов, Немировского-Нестерава)
Заключение. В докладе я постарался представить то, что отношу к основным идеям и принципам теории экстремума (которые полезно знать всем). Их так немного, что я могу их здесь всех назвать. Это:
- принцип Ферма для задач без ограничений;
- принцип Лагранжа для задач с ограничениями;
- идея Гамильтона о полях экстремалей;
- принцип двойственности в выпуклом анализе;
- принцип компактности в теории существования;
- идеи рационального спуска, отсечений и штрафов в методах оптимизации.
Все это (в принципе) было известно и сорок лет тому назад. О принципах и идеях родившихся в последние годы (о которых полезно знать всем), должны рассказывать другие.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1Q74.
2. Ляпунов A.A. О вполне аддитивных функциях Ц Изв. АН СССР. Сер. матем. 1Q4G. Т. 4. № 6. С. 465-47S.
3. Fenchel W. Convex Cones, Sets and Functions. Princeton Univ. Press, 1Q51.
4. Frechet V. Sur la notion de différentielle Ц Nouvelle annale de mathematique. 1Q12. Ser. 4. V. 12. P. S45.
5. Люстерник Л.A. Об условных экстремумах функционалов Ц Матем. сб. 1Q34. Т.41. №3. С. 3QG-4G1.
6. P. de Fermât Oeuvres de Fermat. V. 1. P. Gauthier-Villars. 1SQ1. Рус. пер. Ферма П. Метод отыскания наибольших и наименьших значений. Декарт Р. Геометрия. Москва; Ленинград: Техтеорлит, 1Q3S.
7. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. Москва; Ленинград: ГТТИ, 1Q35. 36G с.
S. Lagrange J.L. Theorie des fonctions analytiques. P. 17Q7.
Q. Дубовицкий A.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений Ц ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. № 3. С. 3Q5-453
1G. Karush W.E. Minima of functions of several variables with inequalities as side conditions. Univ. of Chicago Press, 1Q3Q.
11. Kuhn H.W., Tucker A.W. Nonlinear programming Ц Berkley. Univ. of California Press. 1951. P. 4S1-4S2.
12. Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latssimo sencu accepti. Lausanne, 1744. Рус. пер. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий... Москва; Ленинград: Гостехтеориздат, 1934.
13. Lagrange J.L. Essai d'une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima periales // Petropolitanae, 1766. V. 10. P. 51-93.
14. Kneser A. Lehrbuch der Variationsrechnung. Berlin, 1900.
15. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных поцессов. М.: Физматлит, 1961.
16. Legendre A.M. Memoire sur la maniere de distingue les maxima des minima dans le calcul de variations. Histoire de l'Academie Royallle des Sciences. P. 1788. P. 7-37.
17. Hamilton W.R. Second Essay on a General Method in Dynamics. Philos. Trans., 1835.
18. Jacobi C.G. J. Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen // Krelle's Journall. 1837. Bd. 17.
19. Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd. 7. Vorlesungemn uber Variationsrehtung. Berlin; Leipzig: Akad. Verlag., 1927.
20. Гильберт Д. Избранные труды. О вариационном исчислении. 1906. Т. 2. с. 351-370. Анализ. Физика. Проблемы. Personalia. М.: Изд-во «Факториал», 1998.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Tikhomirfov V.M.
GENERAL PRINCIPLES OF THEORY OF EXTREMUM
The article is devoted to general principles of the theory of extremum: Fermat and Lagrange principes in necessary conditions, Hamiltonian principles in sufficient conditions, duality principles in convexity and some general ideas in the theory of existence and algorithms of optimization.
Key words: smoothness; convexity; Lagrange's principle; convex duality; compactness.
Тихомиров Владимир Михайлович, Московский государственный университет, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Tikhomirov Vladimir Mikhaylovich, Moscow State University, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: [email protected]
УДК 517.9
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ
© В. С. Трещёв
Ключевые слова: накрывающие отображения; дифференциальное уравнение неявного вида с отклоняющимся аргументом; краевая задача.
Получены условия разрешимости апериодической краевой задачи для дифференциального уравнения неявного вида с отклоняющимся аргументом. Используется метод исследования краевых задач, основанный на утверждениях о векторных накрывающих отображениях.
Используются следующие обозначения для пространств определенных на [a, b] вещественных функций: Ь^ - банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций с
нормой \\х\\ьх = vrai sup \x(t)\; AC- банахово пространство таких абсолютно непрерывных
te[a,b]
функций, что X G Ь^, с нормой НхЩс» = \\Х\\Lx + \x(a)\; C - пространство непрерывных функций, \\х\\с = max \x(t)\; Bn - декартово произведение множеств B х ... х B.
te[a,b]
В работах [1]—[3] предложен метод исследования неявных дифференциальных уравнений, основанный на утверждениях о накрывающих отображениях. Использованные идеи и подходы применимы и к функционально-дифференциальным уравнениям неявного вида. В частности, утверждения о векторных накрывающих отображениях [3] позволяют исследовать краевые задачи для таких уравнений. Здесь получены условия разрешимости апериодической краевой задачи для дифференциального уравнения неявного вида с отклоняющимся аргументом.
Пусть X, Y метрические пространства с метриками рх, Py, соответственно. Будем использовать следующее определение.
О преде ление [4]. Отображение F : X — Y называется а -накрывающим, а> 0, если для любых хо G X,y G Y существует x G X, удовлетворяющий уравнению F (x) = y и оценке
рх(x,xo) < а-1 pY(y, F(xo)).
Пусть заданы измеримая функция h : [a, b] — Rnxn и функция f : [a, b] х Rn х Rn — Rn, удовлетворяющая условиям Каратеодори (т. е. измеримая по первому и непрерывная по совокупности остальных аргументов). Будем предполагать, что для любого r> 0 найдется такое число M, что при любых x,w G Rn, удовлетворяющих оценке \x\ + \w\< r, и при почти всех t G [a,b] имеет место неравенство \f (t,x,w)\< M. Далее, пусть для любого i = 1,п заданы числа Ai,Bi, Ai, измеримые существенно ограниченные функции yi : [a,b] — R и измеримые по Борелю ограниченные функции фi : (-œ, a) U(b, œ) — R. Исследуем систему дифференциальных уравнений вида
fi(t,xi(hii(t)),..., xn(hin(t)) ,x i(t)^ = yi (t), t G [a, b]; xi(s) = ipi(s), если s G [a,b], (1) с краевыми условиями
Aixi(a) + Bixi(b) = Ai, i = 1П. (2)
Воспользуемся представлением краевой задачи (1), (2), предложенным И.В. Азбелевым [5]. Для любых г] = 1,п определим множества
Ег] = Н~1[а, Ь] = [г е [а, Ь] ■ Нц(г) е [а, Ь]}, являющиеся, очевидно, измеримыми, и числа Н^ = уга18ир(Нг?-(г) — а). Определим оператор Бь^ ■С а Ь^
(С х)(,) = { Хг(Нг3 (г)), если г е Егз,
1 А ' \ уг(Нц(г)), если К/Ец, и запишем систему (1), (2) в следующем виде
/г[ г,Бьа(х1(а) + / Х1(в)йв) (г),...,Бь1п (Хп(а) + / Хп(в)йв) (г),Хг(г)) = уг(г), ге [а, Ь],
а ь _а (3)
(Аг + Вг)хг(а) + Вг / Хг(в)йв = Аг, г = 1,п.
а
Решением полученной системы естественно считать функцию, определенную на [а, Ь]. Мы будем искать решение в классе АС^п - векторных функций, каждая компонента которых -элемент АСЖ. Любой хеАС^п однозначно определяется парой (Х,х(а)) е Ь^п х Кп. Таким образом, мы можем считать краевую задачу (3) системой 2п уравнений с двумя 2п неизвестными Хг е Ь^([а,Ь], К), хг(а) еК, г = 1,п.
Теорема1. Пусть для всех г = 1,п выполнены следующие условия: Аг + Вг = 0, суще-ствуеттакое аг > 0, что при почти всех ге [а,Ь] и любом х еМп отображение /г(г,х, ■)■ К а а К является аг -накрывающим; для любого ] = 1,п существует такое ¡3^ > 0, что при
почти всех г е Ег, и любом ш е К, (х1,... , Хj— 1 , х 2 + \ , ... , Хп ) еМп 1 отображение /г(г,х1,... ... , Хj—l, ■, Хj+l,..., хп, ш) ■ К а К является ¡3^ -липшицевым. Тогда, если матрица
Сц С12
С=
1 п п С21 С22
С11 = (а—1^ Н^ С12 = (а—1^* (4)
С21 = ^{ | Аг + Вг\ — 1\Вг\(Ь — а) }пхп, С22 = (0 )пхп, имеет спектральный 'радиус д(С) < 1, то существует решение хеАС^п краевой задачи
(3).
Доказательство основано на результатах о векторных накрывающих отображениях
[3]. _
Определим для г = 1,п отображения Фг ■ Ь^ х Ь^п х Кп а Ь^, фг ■ К х Ь^п х Кп а К соотношениями
(фг(пг,Ь1,.. .,Уп,Уп+1,... ,У2п))(г) = = /г[ г, БНа (уп+1 + ! У1(в)йв) (г),..., БНп (У2п + ! Уп(в)йв) (г),щ(г)^;
аа
ь
(фг(иг+п,У1 ,...,Уп,Уп+1,...,У2п)^ (г) = (Аг + Вг)иг+п + Вг ^ Уг(в)йв.
а
Теперь запишем краевую задачу (3) в виде системы операторных уравнений
Фг(Хг,Х 1, . . . , Xп, Х\(а), . . . , Х,п(а)) = Уг,
фг(хг(а),Х г,... ,Хп,Х1(а),... ,Хп(а)) =Аг. (
К исследованию полученной системы (5) применим [3, теорема 1]. В силу [3, теорема 3] отображение ... ,уп, ..., у2п) ■ Ью — Ью является аг -накрывающим. Далее, для
произвольного 2 = 1,п и любых 1)3€ Ью выполнено
(фг(щ,Уг, ...,Vj,.. .^п^п+г,.. .^2п)-Фг(щ^г,.. . ,Рз,.. .^п^п+г,.. 2п))
(•)
— вз уга18иЫ / \vj (в) - р (в)\ёв)) (г) — вз \\vjj - Рз у^вир^з (г) - а) геЕц у J у геЕц
Г <
= в3Н3\к - V\\ьх .
Таким образом, отображение Фг(иг, VI,..., Vj-l, ■,Vj+l,Vn, ..., ^^п) ■ Ь ю ^ Ью удовлетворяет условию Липшица с константой Рз = вз Н3.
Аналогично, при всех ] = п + 1, 2п отображение Ф,, ... ... ■^з+х,...
... , V2п) ■ М — Ью является в3 -липшицевым (Рз = в3 ).
Также легко проверяется, что функционал фг по первому аргументу фг(■, VI,..., vn, ... ... ^2п): М — М является \Аг + Вг\-накрывающим; не зависит от остальных аргументов кроме vi, и по этому аргументу функционал фг(иг+п, VI,...., vi-l, ■, vi+l,..., vn, ..., v2n) ■ Ью —М удовлетворяет условию Липшица с константой Рч = \В^(Ь - а).
Согласно [3, теорема 1], для доказательства утверждения остается заметить, что матрица (а-гРч)2пх2п - это матрица С, которая определяется формулами (4), и ее спектральный радиус д(С) < 1. Теорема доказана.
Рассмотрим частный случай краевой задачи (1), (2) - апериодическую краевую задачу для скалярного уравнения с отклоняющимся аргументом. Пусть заданы измеримая функция Н ■[а,Ь] — М и функция / ■[а,Ь] х М х М — М, удовлетворяющая условиям Каратеодори. Предполагается, что для любого г > 0 существует такое число М, что при любых х^ € М, удовлетворяющих оценке \х\ + \-ш\ — г, и при почти всех г € [а,Ь] имеет место неравенство \/(Ь,х^)\ — М. Далее, пусть заданы числа А, В, А, измеримая существенно ограниченная функция у ■ [а,Ь] — М и измеримая по Борелю ограниченная функция ф ■ (—то, а) У(Ь, то) — М. Используя теорему 1, сформулируем условия разрешимости краевой задачи
/ (г,х(Ь(г)),х(г)) = у(г), г € [а,ь],
х(в) = ф(в), если в€ [а,Ь], (6)
Ах (а) + Вх(Ь) = А.
Определим измеримое множество
Е = Н-г[а, Ь] = {г € [а, Ь] ■ Н(г) € [а, Ь]}
и число Н = уга\8ир(Н(г) — а). Для системы (6) матрица С имеет вид геЕ
С = (а Рч )2 х 2 = её характеристический многочлен
= а-1вН а-г в
43)2х2 = ^ \А + В\-г\В\(Ь - а) 0
Х(\) = X2 - а-гвНХ - а-г\А + В\-гв\В\(Ь - а) = 0,
согласно теореме Виета, имеет два действительных корня разных знаков Ai < 0, A2 > 0, причем A2 > |Ai|, и поэтому q(C) = A2. Таким образом, оценка спектрального радиуса g(C) < 1 выполнена тогда и только тогда, когда х(1) > 0.
Итак, из теоремы 1 следует, что при выполнении неравенства
ßH ß\B\(b - a) > 0 а \A + B\a
краевая задача (6) будет разрешимой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.
4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991, 280 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00877, № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Treshchev V.S.
SOLVABILITY OF BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DEVIATING ARGUMENT
Conditions of solvability of an a-periodic boundary-value problem for an implicit differential equation with deviating argument are derived. The method based on the statements about vector covering mappings due to E.S. Zhukovskiy and E.A. Pluzhnikova is used.
Key words: covering mappings; implicit differential equation with deviating argument; boundary-value problem.
Трещёв Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Postgraduate Student, Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 519.46
О КОРРЕКТНОСТИ И ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА Rn В ПРОСТРАНСТВАХ
СОБОЛЕВА - СЛОБОДЕЦКОГО
© В.М. Тюрин
Ключевые слова: функциональные пространства Соболева - Слободецкого; дифференциальный оператор; эллиптичность; фредгольмовость.
При некоторых дополнительных условиях показано, что из корректности дифференциального оператора в пространствах Соболева следует его корректность в пространствах Соболева - Слободецкого, и приведены условия компактности дифференциального оператора на Еп в последних пространствах.
Введение
Обозначим произвольное банахово пространство через X ; Ьр = Ьр(Еп,Х) - пространство Лебега сильно измеримых по Бохнеру функций и:Яп^х с конечной нормой || и ||0 (р> 1,пе еМ); Нт = Нт(Еп,Х) - пространство Соболева [1, с. 60; 2, с. 21; 3, с. 228], норма в которой задается формулой
II и Цт = £ II и ||0 < те, (теМ),
\а\<т
а = (а1,...,ап) - мультииндекс, | а | - его длина, Оаи = дхд1 дхап .
Пространство Соболева-Слободецкого Нт1 = Нт1 (Кп,Х) [3, с. 228] состоит из функций ие Ьр с конечной нормой
У и Ут7 = У и Ут + (и)~(т + (и)т ,
где а а
(и)1т = £ йир XиШ - гельдеровская полунорма, (и)0 = (и)^ (0 <^< 1) ;
\а\<тх,уеяп 1
= ^ , I \\Dau(x) - Dau(y)\\p\1/p
{u)m \ _ |x_y| V+PY
, \ J Rn X Rn \x - y\r
\a\<m ici
LPY = LPY(Rn, X) - банахово пространство функций u:Rn^X с нормой \\ u= \\ u \\0 + {u)Yf + + {u)0 < œ .
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор P : HmY a LPY в частных производных, действующий по формуле
Pu = Y^ Aa (x) Dau (x)
\a\<m
с коэффициентами Aa G C(Rn, EndX).
Оператор P : HmY a LPY назовем существенно эллиптическим на Rn , если существуют оператор A-1 gC (Rn, EndX ), числа \0 gR и XgR такие, что найдется число c1 (X), для которого выполняется неравенство
{u)m + {u)Ym ^ C1 (X) (A-lpmu - Xu)0
при Re\<\o , Pm - главная часть оператора P [4].
Оператор P: Hm — Lp будем считать корректным [5, с. 166], т. е. найдется такая постоянная k\ > 0 , что выполняется неравенство
\\ u \L — k1 II f lio
как только u £ Hm , f £ Lp и Pu = f . Число k1 не зависит от u .
Аналогично определяется корректность оператора P : HmY — LPY . Именно существует такая постоянная k2 > 0 , что
\\ u \\mY — k2 \\ f \\oy ,
если u £ HmY , f £ LPY и Pu = f , при этом k2 не зависит от u .
В статье исследуется вопрос корректности оператора P : HmY — LPY и его фредгольмово-сти.
Корректность оператора P : HmY — LPY
Лемма. Пусть оператор P : HmY — LPY существенно эллиптичен на Rn и существует оператор A-1 (X) при всех x £ Rn , причем A-1 £ C(Rn, X) . Положим
ao = || A-1 \\C ,ai = (A-*)10 < ж,а3 = ^ (A-1Aa)0 < ж,а2 = ^ \\ Aa \\C .
0<| a\<m-1 0<| a\<m-1
Тогда справедливо неравенство
(u)m + (u)jm — a0C1 (X) (f ^ + ac (X) (2 (f )y + a \\ f Ц^ +
+ a0a2C1 (X) (u)(m-1) + a3C1 (X) (2 iu)mj + a W u W^ + C1 (X) (1 + \X\) (u)0 (3Л)
при ReX < X0 для решения u £ HmY уравнения Pu = f , f £ LPY . Постоянная a> 0 зависит n , p и числа r << 1.
Доказательство. Так как P = Pm + Q + A0 , где Q = Y1 AaDau (0 <a — m — 1), то в силу существенной эллиптичности имеем
(u)7m + (u)m — С1 (X) (A-1Pu)0 + C1 (X) (A-Q^ +
+C1 (X)(1 + \X\) (u)0 . (3.2)
Несложные выкладки показывают, что
(A^1Pu)0 — a0 (f )0 + 2a1 (f+ a1a \\ f Ц0 , (3.3)
(A-1Q>u0 — a0a2 (u)(m-1) + 2a3 (u)jm + aa3 \\ u \\m . (3.4)
Неравенства (3.2)-(3.4) дают искомую оценку (3.1). Введем обозначения:
a4 = max \\ Aa \\c , a5 = max (Aa)0 ,
\a\=m \a\=m
c2 = max (a0, aa1, 2a1, (aa1a4 + aa1a5 + aa5) k1),
c3 = max (a0a2, a0a4), c4 = max (a1a4,2a1a5,2a3).
Теорема 1. Если оператор P : Hm — Lp корректен, выполнены условия леммы, а также неравенства
4a3C1 (X) + 2c1 (X) (1 + \X\) C4 < 1,2a0a2C1 (X) + C1 (X) (1 + \X\) C3 < 1,
то оператор Ит7 а ЬР1 корректен.
Доказательство. Пусть и е Ит1, / е ЬР1 и Ри = / . Прямым подсчетом убеждаемся, что имеют место следующие оценки:
1.
"х Я"
А-1(х)/(х) - А-1(у)/(у)
1х - У1
П+Р1
1/р
-йхйу\ < ао (/)0 + 2аг (/)„ + а^а || /
0
Ео<\а<т-1\ А-1(х)Аа(х)Ваи(х) - А-1(у)Аа(у)Баи(у)
1/р
"х Я"
1х - у1
П+Р1
-йхйу
<
< аоа2 (и)(т-1) + 2а3 (и)1т + аа3
и
3.
А-1(х)Рти(х) - А-1(у)Рт(у)
1/р
" Я"
1х - у1
П+Р1
-йхйу
<
< а0а4 (и)т + (аха4 + 2аха5 + а5) (и) + (ааха4 + ааха5 + аа5) || и Отсюда следует
(и)0 < с2 У / ^ + с3 (и)1т + с4 (и)1т .
Согласно (3.1) и (3.5), получаем
(и)т + (и)1т < 2с2 Н / ,
С2 = тах(аосх (Л), 2ахсх (А), аахсх (Л), аа3сх (Л) кх, сх (Л) (1 + |А|) с2). Неравенство (3.6) дает оценку
(3.5)
(3.6)
и
< к2 У / ||07 ,к2 = к\ + 2С2.
□
Дифференциальные Ф-операторы в Кп
Оператор Р : Нт1 а называется Ф-оператором (фредгольмовым), если его область значений ,1т (Р : Ит7 а Рр7) замкнута и ядро кег (Р : Нт7 а Рр7) конечномерно [6, с. 246].
Рассмотрим функцию ут(х,0 = ут: Лп а [0,1], при этом ут - гладкая финитная функция с носителем вирр ут в шаре В (£, 2Т) , причем ут (х, £) = 1, если х е В (£,Т) и | Оаут| < < ЬоТ-1 (Ьо не зависит от Т>п , £ еМп , а = 0), т.е. ут е С° .
Теорема 2. Для того чтобы оператор Р : Нт1 а Рр1 был Ф-оператором, необходимо существовали такие постоянные к> 0 и Я>п, для которых
У и Ут1 < к У Ри ^ + к || уЯи ^ : и достаточно при конечномерном X , если
и
< к | Ри ||0 + к | уЯи |
о •
(3.7)
(3.8)
Доказательство. Пусть известно, что оператор Р: Нт1 а РТ' является Ф-оператором и У0 - его ядро. По теореме Хана-Банаха можно представить банахово пространство НР1 в виде прямой суммы Нт1 = Уо + У\ замкнутых подпространств. Согласно [6, с. 247] существует такая постоянная к' > 0 , что
и
т7
< к' | Ри ||о7 (и е Ух).
р
2
т
р
т
В силу конечномерности Vo имеет место неравенство
II u \\mj < k' II u ||0y (u e Vo). Произвольную функцию u e HmY представим в виде u = u0 + u1 , u0 e V0 , u1 e V1 . Тогда II u \\mY < II uo I\mY + II ui \\mY < k' II uo ||0y + kk II Pu ||0y <
< k' || uo ||0Y + (k + kk') || Pu ||0Y ,
т.е. оператор P : HmY a Lpy есть Е-оператор.
Допустим, что неравенство (3.7) для оператора P: HmY a Lpy не выполняется. Тогда можно найти последовательности элементов uj e HmY и чисел Rj e R, обладающих свойствами
|| uj || = 1, lim || Pu, L =0, lim || u |L =0.
Ii j 11 mY ' j y ' ^Rj Oy
Так как P: HmY a Lpy есть Ф-оператор, а последовательность Puj сходится, то из последовательности uj можно выбрать сходящуюся последовательность в HmY . Будем считать, что в HmY сходится последовательность uj и lim uj = u . Очевидно, || u \\ =1, Pu = 0 .
j^те 1
Оператор P : HmY a Lpy есть Е-оператор, поэтому, учитывая, что lim Ц yRju L = || u ||oy ,
j^^ j oy 1
будем иметь.
1 = \\ u \\mY < k' \\ u \\Oy < k' 11 u - uj iU + k' 11 ^Rj uj '
Устремляя j a то , получим 1 < 0, что невозможно, т.е. неравенство (3.7) справедливо. Необходимость доказана.
В другую сторону. Пусть X конечномерно и uj - ограниченная последовательность в HmY , для которой последовательность Puj сходится в Lpy . Возьмем последовательность положительных чисел £j a 0 при j ato и для каждой функции uj . Найдем гладкую функцию Vj e C^(Rn,X) такую, что
\\ uj — vj \\mY < £j ■
Положим Vj = у (x, 0,T) Vj (x) (T> R) . Последовательность Vj обладает свойствами:
1. || Vj || < M (число M не зависит от j );
2. / || Vj (x)|| dx < M ;
| ж\>T
3. Для любого e > 0 существует такое 5 (е) > 0 , что при \y\ <5 (е) выполняется неравенство
У \\Vj(x + y) — Vj(x)\\P dx < e.
Rn
Свойства 1) и 2) очевидны, а свойство 3) следует из неравенства
I \\Vj(x + y) — Vj(x)\IP dx < M\y\P nP-i.
Rn
По теореме Рисса-Колмогорова [7, с. 379] множество функций {Vj} предкомпактно в Lp . Поэтому, не ограничивая общности, считаем, что последовательность Vj фундаментальна в Lp . Согласно (3.8), имеем
\\ Vj - Vi \\т1 < к II Pvj - Pvi IIoy + k II PR (vj - vi) llo <
< k (£j - Ei) \\ P \\ + a4k ((-Vj - Uj)m + (vj - Ui)m) +
+2a5k ((vj - uj )lm + (vi - uj )m + aa5k (W vj - Uj \\m + W vi - Ui Hm) +
+k W vj - Vi \\0 + W Puj - Pui \|0y .
Отсюда видно, что последовательность vj фундаментальна в HmY , и, следовательно, имеет предел lim vj = v (j — o) в HmY .Последовательность uj также сходится в HmY и lim uj = = v (j — oo) . В этом случае, как известно, оператор P : HmY — LpY является Ф-оператором. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 60 с.
2. Тейлор М. Псевдо-дифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 21 с.
3. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 228 с.
4. Тюрин В.М., Шмырин А.М. О корректности и обратимости линейных дифференциальных опреаторов в пространствах Соболева-Слободецкого // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 2013. С. 848-851.
5. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 166 с.
6. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: в 4 т. Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987. 246 с.
7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 379 с.
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Tyurin V.M.
ABOUT WELLPOSEDNESS AND FREDHOLM PROPERTY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS ON Rn IN SPACES OF SOBOLEV - SLOBODETSKIY
Under some additional conditions, it is shown that the wellposedness of a differential operator in the Sobolev spaces implies wellposedness in the Sobolev - Slobodetskiy spaces. The conditions of compactness of a differential operator on Rn in the Sobolev - Slobodetskiy spaces are given.
Key words: function spaces of Sobolev - Slobodetskiy; differential operator; ellipticity; Fredholm property.
Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: [email protected]
УДК 517.965, 517.929.7
ОБОБЩЕННЫЕ КВАЗИРЕШЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С НЕВЫПУКЛОЙ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
© О. В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; обобщенное решение; обобщенное квазирешение.
Вводятся понятия обобщенного решения и обобщенного квазирешения задачи Коши для импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой по переключению правой частью, с импульсными воздействиями. Сформулировано основное свойство обобщенных квазирешений, когда множество решений «овыпукленной» задачи Коши совпадает с множеством обобщенных квазирешений.
Обозначим через Мп п -мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • | ; 1*п[а, Ь] - пространство суммируемых по Лебегу функций х : [а, Ь] ^ Мп с нормой —
— / 1х(в)1д,8 ; 1++[а,Ь] - множество неотрицательных функций пространства 1}[а,Ь] ; Q(Ln[a,Ь})
а
— множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства \!П[а,Ь] ; Ь]) - множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства \!П[а,Ь] ; 0(8'№^п[а, Ь])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a,Ь] .
Пусть 1к € [а,Ь) С М , к — 1,т, < ... < 1т) - конечный набор точек. Обозначим через С [а,Ь] пространство непрерывных на каждом промежутке [а,Ь\], ..., (Ьт,Ь\ функций х : [а, Ь] ^ Мп, имеющих пределы справа в точках ^, к — 1,т, с нормой ||х||сп^а щ —
— яир{|х(^) |: £ € [а, Ь]}; С + [а,Ь] - множество неотрицательных функций пространства С [а,Ь].
Для функционально-дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости по переключению значений, рассмотрим задачу Коши следующего вида:
х € Ф(х),
А(х(Ьк))— 1к(х(1к)), к — 1, т, (3.1)
х(а) — х0,
где отображение Ф: С [а,Ь] ^ Q(Ln[a, Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а,Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией и найдется такое непрерывное и симметричное отображение Р : С [а,Ь] х С [а,Ь] ^ Ll+[a,Ь}, что для любых х,у € € С [а, Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется оценка Нщ-и) [Ф(х), Ф(у)] ^ < ЦР (х,у)И Ь1 и); отображения 1к : Мп ^ Мп непрерывны, А(х(Ьк))— х(Ьк + 0) — х(Ьк), к — 1,т.
Пусть Ф - непустое подмножество пространства Ъп[а,Ь]. Выпуклой по переключению
I
оболочкой з-шФ множества Ф называется совокупность всех элементов вида у — £ х(и)хг,
г=1 _
где хг € Ф, I - любое натуральное число, а произвольные измеримые множества иг, г — 1,1,
осуществляют разбиение отрезка [а,Ь], т. е. Ыг ПЫ) = 0 при г = ] и и Ыг = [а,Ь] , х() -
г=1
характеристическая функция. Пусть далее, 8шФ - замыкание множества 8-шФ в пространстве Ъп[а,Ь].
Определение 1. Под обобщенным решением задачи (3.1) понимается функция х Е Е С [а, Ь], для которой существует такое д Е вШФ(х), что при всех г Е [а, Ь] имеет место представление г
х(г) = хо ^У д(в)(18 + 1к(х(Ьк))Х(гк,ь](1)- (3.2)
а к=1
Данное определение отличается от определения обобщенного решения, введенного А.Ф. Филипповым для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью (см. [1]). Здесь обобщенное решение определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества значений отображения Ф : Сп[а, Ь] а Q(Ln[a, Ь]) (которое, вообще говоря, не обладает свойством выпуклости по переключению значений). При этом, если Ф(х) является выпуклым по переключению, то 8шФ(х) = Ф(х) , и тогда обобщенное решение совпадает с «классическим».
Для задачи (3.1) в [2] получены условия существования обобщенного решения, доказано, что локальное обобщенное решение продолжаемо до "максимального". Эти результаты удовлетворяют одному из требований к обобщенным решениям дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, сформулированных в монографии А.Ф. Филиппова [1]: "решение не должно прерываться".
Применительно к задаче (3.1) определение квазирешения можно сформулировать следующим образом.
Определение 2. Будем говорить, что функция у Е С [а,Ь], имеющая представление
£ т
у(г) = хо + сС(8)й8 + !к (у(£к))Х(1к,ь](£), £ Е [а,Ь], (3.3)
а к=1
является обобщенным квазирешением задачи (3.1) , если найдется такая последовательность хг Е С [а,Ь], г = 1, 2,..., что для каждой функции хг, г = 1, 2,... найдется функция дг Е в7ШФ(у), для которой при любом г Е [а, Ь] имеет место равенство
£ т
хг(г)= хо + дг(8)й8 + ^ 4 (хг (г к ))Х(гк,ь](г), (3.4)
к=1
где хг а у в пространстве СП[а,Ь].
Отметим, что понятие квазирешения впервые было введено Важевским (Т. ^^е"№8к1)(см. [1]) для обыкновенного дифференциального включения и играет фундаментальную роль в изучении свойств решений функционально-дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Отметим также, что если множество Ф(х) в определении обобщенного квазирешения выпукло по переключению, то обобщенное квазирешение совпадает с квазирешением, введенным в работах [2], [3], [4].
Пусть Н(хо)— множество всех обобщенных квазирешений задачи (3.1). Определим отображение Фсо : Сп[а, Ь] а 0(8"№(Ьп[а, Ь])) равенством
ф со(х) = ео(ШФ(х)). (3.5)
Оператор фсо : фП[а,Ь] а 0(8-№(Ьп[а, Ь])) будем называть обобщенно овыпукленным оператором.
Рассмотрим «овыпукненную» задачу
х € Ссо(х), А(х(гк)) — 1к(х^к)), х(а) — хо. (3.6)
Пусть Нсо(х0,Ь) - множество всех решений задачи (3.6) на отрезке [а,Ь] . Теорема. Справедливо равенство Н(х0) — Нсо(х0, Ь). Доказательство. Вначале докажем вложение
Н(хо) С Нсо(хо,Ь). (3.7)
Пусть у €Н(х0) и пусть у € С [а,Ь] имеет представление (3.3), в котором у(а) — х0. Тогда, согласно определению обобщенного квазирешения задачи (3.1), найдется такая последовательность хг € С [а,Ь], г — 1, 2,..., что для каждой функции хг, г — 1, 2,... найдется функция дг € Ф(у), для которой при любом £ € [а, Ь] имеет место равенство (3.4). Так как хг —у в пространстве С [а,Ь] при г -ж, а отображения 1к : Мп — Мп, к — 1, 2,...,т непрерывны, то при любом £ € [а, Ь] справедливо равенство
ÄEIk (xi(tk ))X(tk,b](t) = Y1Ik (y(tk ))X(tk,b](t). (3.8)
k=l k=l
Из равенства (3.8) следует, что при любом t £ [a, b] имеет место соотношение
t t
lim / qi(s)ds = / q(s)ds, (3.9)
J J
a a
где для каждого i = 1, 2,... функция qi £ Ф(у) удовлетворяет представлению (3.4), а функция ф удовлетворяет равенству (3.3), в котором y(a) = x0.
Далее покажем, что qi — ф слабо в пространстве Ln[a,b] при i — о. Так как множество ф(у) ограничено суммируемой функцией, то для доказательства слабой сходимости достаточно показать, что для каждого измеримого по Лебегу множества U С [a, b] имеет место равенство
lim / qi(s)ds = / qq(s)ds. (3.10)
J J
U U
Докажем равенство (3.10). Из аддитивности интеграла и равенства (3.9) следует, что для любых t,T £ [a, b] справедливо соотношение
t t
lim / qi(s)ds = / qq(s)ds. (3.11)
J J
T
n
Пусть е> 0 и пусть функция в € Lп[а,Ь] такова, что при любых г € Ф(у) и при почти всех £ € [а, Ь] справедлива оценка
|г(£)| < в(1). (3.12)
Не уменьшая общности, далее будем считать, что и функция С из представления (3.3) удовлетворяет неравенству (3.12). Далее, пусть 5> 0 таково, что при всех измеримых множествах ЕС [а,Ь], удовлетворяющих неравенству ц(£) <5, выполняется неравенство
/ < е. (3.13)
Далее пусть Ы С (а, Ь) - измеримое множество и Ы С (а,Ь) - такое открытое множество, что Ы СЫ и ц,(Ы \Ы) <5. Далее пусть
те
Ы ={}(аг,Ьг)= Ы^и Ы2,
г=1
где (аг,Ьг), г = 1,2,...- составляющие открытые интервалы множества Ы С (а, Ь),
~ р ~
Ы = [](аг,Ьг), С = У (аг,Ьг), г=1 г=р+1
причем р выбрано так, что ц(Ы2) <5. В силу равенства (3.11) выберем N = 1, 2,... таким, что при всех г ^ N выполняется неравенство
дг(в)й8 — J д(в)(1в
< е.
(3.14)
иг иг
Так как для любого г = 1, 2,... справедливо равенство
(дг^) — д(в))йв = !(дг(в) — д(в))й& — ^ (дг(в) — д(в))йв,
й й то для любого г = 1,2,... справедлива оценка
й\й
и(дг^) — д(в))йв\< \ /(дг(э) — д(8))^\ + |/(дг(з) — д(в))йв\ + й йх й2 + \I (дг(э) — д(s))ds\. й\й
Так как для функции в € ^п[а,Ь] выполняется неравенство (3.12), то получаем оценку
((дг^) — д(,в))(1,в < J (дг(,в) — д(,в))(1,в + 2 ^ в(,в)(1,в + 2 ^ в(,в)(1,в. й й й2 й\й
Отсюда в силу неравенств (3.13), (3.14) для любого г ^ N получаем оценку
(дг^) — д^)^
< 5е.
и
Таким образом, для любого измеримого множества ЫС [а,Ь] справедливо равенство (3.10). Следовательно, дг а д слабо в пространстве Ъп[а,Ь] при г а то. Так как выпуклое замкнутое множество пространства замкнуто и в слабой топологии этого пространства, то из включения дг € еоФ(у) вытекает включение д € еоФ(у). А это означает, что функция уеС [а,Ь], представимая в виде (3.3), является решением задачи (3.6), т. е. у€Исо(х0,Ь). Следовательно, включение (3.7) справедливо. Теперь докажем вложение
Исо(хо,Ь) сН(хо). (3.15)
Пусть у € Исо(х0 ,Ь). Тогда функция у € С [а,Ь] представима в виде равенства (3.3), причем функция д € соС (у), у (а) = х0. Так как множество С (у) € 8"№(Ьп[а,Ь]), то для функции д найдется такая последовательность дг €С (у), г = 1, 2,..., что дг а д слабо в пространстве
^а[а,Ь] при г ^ж . Далее, определим последовательность хг € (С [а,Ь], г = 1, 2,... равенством (3.4). Так как дг ^ д слабо в пространстве Ъи[а,Ь] при г ^ж, то
lim / qi(s)ds = / q(s)ds J J
равномерен относительно Ь € [а,Ь]. Поэтому в силу непрерывности отображений : Кга ^ Мга, к = 1, 2,..., т, получим равенство
Иш ^ - y\\à™[о>ь] =0.
А это означает, что у €Н(хо). Таким образом справедливо вложение (3.15). Из соотношений (3.7), (3.15) следует равенство Н(х0) = Нсо(х0,т). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
2. Булгаков А.И., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 6. С. 1617-1620.
3. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys. 1962. V. 10. №1. P. 11-15.
4. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестнк Удмуртского университета. Математика, механика. 2005. № 1. С. 3-20.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках госзадания Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Filippova O.V.
GENERALIZED QUASI-SOLUTION OF IMPULSIVE FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL INCLUSION WITH DELAY AND WITH NON-DECOMPOSABLE RIGHT-HAND SIDE
Concepts of the generalized solution and the generalized quasi-solution of the Cauchy problem for a functional differential inclusion with impulses and with the right-hand side part not necessarily convex-valued with respect to switching are presented. The main property of generalized quasi-solution is formulated, namely, the set of solutions to the «convexited» Cauchy problem is equal to set of generalized quasi-solutions.
Key words: functional-differential inclusion; generalized solution; generalized quasi solution.
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Senior Lecturer of Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
УДК 519.6
ЗАДАЧА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБХОДА МЕГАПОЛИСОВ © А.А. Ченцов, А.Г. Ченцов
Ключевые слова: маршрут; трасса; динамическое программирование; условия предшествования.
Рассматривается задача о посещении конечной системы мегаполисов с условиями предшествования; посещение мегаполисов сопровождается выполнением некоторых работ. Предполагается, что затраты на перемещения и выполняемые работы агрегируются аддитивно. Рассматривается вариант широко понимаемого динамического программирования, на основе которого конструируется оптимальный алгоритм, реализованный на ПЭВМ. Предлагается способ улучшения маршрута в задаче большой размерности посредством локальной беллмановской вставки с учетом условий предшествования.
Методы решения задач маршрутизации, разработанные в ИММ УрО РАН, неоднократно докладывались на конференциях, проводимых в Тамбове, в ТГУ им. Г.Р. Державина; одним из организаторов этих конференций был профессор Александр Иванович Булгаков, безвременно ушедший из жизни в 2013 г., но успевший многое сделать для организации очередной конференции. Работы Александра Ивановича хорошо знали и знают в Свердловске-Екатеринбурге; в них содержатся глубокие научные результаты и новые подходы к исследованию широко понимаемых задач управления. Он был энтузиастом математики, педагогом, организатором науки; ему удалось сделать очень многое для университета и всех математиков Тамбова. Светлой памяти Александра Ивановича Булгакова посвящается настоящая статья.
1. Введение
В статье рассматриваются задачи маршрутизации перемещений с ограничениями в виде условий предшествования; упомянутые условия возникают в различных задачах (демонтаж энергоблока АЭС, листовая резка деталей в машиностроении, морские и авиационные перевозки) и имеют смысл осуществления некоторых действий в строгой очередности «одно после другого». Разумеется, упомянутые задачи имеют своим прототипом известную трудно-решаемую задачу коммивояжера (ЗК), но содержат целый ряд принципиальных особенностей, связанных с приложениями. В связи с решением ЗК отметим работы [1-3]; отметим также исследования [4,5], связанные с применением динамического программирования (ДП). В связи с ЗК особо отметим метод ветвей и границ [6]. В [1] рассматривались многочисленные задачи прикладного характера, в той или иной степени близкие к ЗК. Отметим [7, 8] в связи с «реальными», условиями предшествования в маршрутных задачах, а также [9] в связи с динамической ЗК.
В настоящей работе развивается подход [10], связанный с модификацией ДП, отвечающий решению задач о посещении мегаполисов (непустых конечных множеств) при условиях предшествования; монографии [10] предшествовал целый ряд журнальных статей [11-14]. Отметим [15], где отражено развитие упомянутого подхода для более общих задач маршрутизации (некоторые другие публикации будут указаны ниже). В настоящей статье упомянутые
исследования продолжаются и связываются с идеей улучшения решения маршрутных задач большой размерности посредством вставки фрагментов с элементами ДП. Важную роль играют при этом условия предшествования, которые в [10,11] (и в ряде других работ) активно использовались для сокращения перебора. В данном случае речь идёт о выделении некоторой «части», этих условий для обработки на основе ДП и, напротив, о встраивании локально допустимых маршрутов в глобальное решение. Само исходное решение большой задачи (маршрут и трасса) может предварительно определяться тем или иным эвристическим методом и быть проанализировано затем с целью выделения неудачного фрагмента, после чего данный фрагмент предлагается заменить «частью», отвечающей идее широко понимаемого ДП. Будем именовать эту процедуру беллмановской вставкой, для которой стремимся (в целях ощутимого улучшения результата) к «охвату» значительного фрагмента первоначального решения. Поскольку реализация ДП связана с неизбежными затруднениями в вопросах вычислительной реализации, то при осуществлении упомянутого «охвата», предлагается в максимальной степени задействовать условия предшествования «большой» задачи, вырезая из них «часть», отвечающую заменяемому фрагменту первоначального решения, что требует, конечно, определенного согласования ограничений «большой» задачи и подобных по смыслу ограничений встраиваемой задачи.
2. Обозначения и определения общего характера
Используется стандартная теоретико-множественная символика: кванторы, связки, специальные символы: = — равно по определению, 0 — пустое множество; ёе£ заменяет фразу «по определению». Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Для всяких объектов х и у (случай х = у не исключается) через {х; у} обозначаем множество, содержащее х,у и не содержащее никаких других элементов ( {х; у} —
неупорядоченная пара объектов х,у). Если г — объект, то {г} = {г; г} есть одноэлементное
множество, содержащее г. Если а и Ь — объекты, то [16, с. 67] (а,Ь) = {{а}; {а; Ь^ есть упорядоченная пара (УП) с первым элементом а и вторым элементом Ь. Для всякой УП г через рг^г) и р^(г) обозначаем, соответственно, первый и второй элементы г, однозначно определяемые условием г = (рг1(г), рг2(г)); если г € А х В, где А и В — множества, то рг1(г) € А и рг2(г) € В. Как обычно [17], для любых трёх объектов х,у и г полагаем
(х,у,г) = ((х,у),г). Кроме того, следуя [17], полагаем для любых трёх множеств А, В и С,
что А х В х С = (А х В) х С; при р € А х В и д € С имеем, следовательно, свойство (р, д) € € А х В х С. Напомним, что [16] отношение есть подмножество (п/м) декартова произведения двух множеств, т. е. множество, состоящее из УП.
Для всякого множества Т через V(Т) (через Р'(Т)) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м Т; Ет(Т) есть ёе£ семейство всех конечных множеств из Р'(Т) (семейство всех непустых конечных п/м Т).
В дальнейшем широко используется индексная форма записи отображений (см. [15]): если А и В —непустые множества и Ьа € В У а € А, то (Ьа)а^А есть ёе£ такое отображение /: А ^ ^ В, что / (а) = Ьа У а € А.
При обозначении функций двух и трёх переменных используем обычные правила экономии скобок, рассматривая УП и триплеты как аргументы соответствующих функций. Напомним в связи с вышеупомянутыми соглашениями, что при всяком выборе непустых множеств А, В, С и О, функции / : А х В х С ^ О, а также точек х € А х В и у € С определено значение /(х, у) € О; это обстоятельство часто используется в дальнейших обозначениях.
Всюду в дальнейшем М — вещественная прямая, М = {1;2;...}, N0 = {0} и N = {0; 1; 2;...}
и
к~\ = {г € N1 (к < г)&(г < I)} Ук € N У1 € N (2.1)
(в (2.1) допускается реализация 0). Далее [0, то[= {{ € М| 0 ^ {}; для каждого непустого множества Б через ^+[5] обозначаем множество всех функций из Б в [0,
Если А и В — непустые множества, а у есть биекция [18, с. 87] множества А на В, то через у-1 обозначаем биекцию В на А, обратную к у. Перестановкой непустого множества Ь называется биекция Ь на себя (см. [18, с. 87]); каждой перестановке Л множества Ь сопоставляется, стало быть, обратная перестановка Л-1 (множества Ь), для которой Л(Л-1(1))= Л-1(Л(1)) = I У1 € Ь. Непустому конечному множеству К сопоставляется его мощность 1К|€ N а также непустое конечное множество (Ы)[К] всех биекций [18, с. 87] 1, К| на
К; пусть |0| = 0. В дальнейшем при т € N часто будут использоваться перестановки 1,т, называемые маршрутами. Кроме того, будут использоваться частичные маршруты, в качестве таковых рассматриваются элементы (Ы)[К], где К €Еш^) является п/м «промежутка» 1,т при некотором фиксированном т € N.
3. Специальные обозначения и понятия; постановка задачи.
В дальнейшем рассматривается (не в самом общем виде) задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования. Предполагается, что с каждым из мегаполисов связано выполнение (исполнителем) некоторых работ. Одной из содержательных задач, приводящих к рассматриваемой проблеме, является задача листовой резки деталей на станках с числовым программным управлением (ЧПУ) [19]; в этом смысле настоящая работа продолжает [20]. Другие прикладные задачи, имеющие отношение к рассматриваемой ниже проблеме, могут быть связаны с моделями популяций в биологии.
В конструкции, рассматриваемой далее, существенно используется модель с мегаполисами (непустыми конечными множествами), что, с одной стороны, согласуется с потребностями практики (см., например, [19,20] в связи с задачей о листовой резке), а, с другой, доставляет некоторые удобства математического характера.
Условимся о некоторых обозначениях, имея в виду как возможность непосредственного использования схемы на основе (нестандартной версии) ДП для решения исходной маршрутной задачи (в случае "умеренной" её размерности), так и возможность применения беллмановской вставки в решение (маршрут-трасса), полученное тем или иным эвристическим методом. В последнем случае определяемые ниже объекты будут играть роль параметров, которые следует затем "привязать" к схеме решения "большой" задачи; последнее по причине затруднений с вычислительной реализацией не может быть построено оптимальным за приемлемый промежуток времени. Фиксируем произвольное непустое множество X, точку х0 € X, именуемую базой, число N € N 2 ^ N, а также множества М1 € Ет(Х),..., Мм € Ет(Х), называемые мегаполисами; последние образуют кортеж (Мг)г^Тм ■1N а Еш(Х). Полагаем, что
(х° € Мз У] € 1,N&(МРпмч = 0 Ур € 1,N Уд € 1,N\ {р}). (3.1)
Через Р обозначаем множество всех перестановок 1, N, т.е. множество всех (полных) маршрутов. Выбор а € Р позволяет рассматривать кортеж занумерованных мегаполисов (Ма(^геТм'; индексу Ь можно при желании придавать смысл дискретного времени. Далее на выбор а € Р накладываются ограничения; сейчас отметим, что для каждого такого выбора можно рассматривать трассу или траекторию
х0 а (хц € Ма(1) а х1,2 € Ма(1)) а ... а (хм,1 € Ма(м) а хм,2 € Ма(м)), (3.2)
где прямые стрелки соответствуют внешним в смысле (3.1) перемещениям, а волнистые — внутренним работам.
Условия предшествования. В дальнейшем Р= (Ы)[1,Ы]; разумеется, Р есть множество (а, на самом деле, группа) всех перестановок индексного множества 1,Ы; элементы Р называем (полными) маршрутами. Напомним, что при а € Р определена перестановка а-1 € € Р, обратная к а, которая, следовательно, также является маршрутом. Среди маршрутов из Р выделяем допустимые по предшествованию.
Фиксируем множество К €Р(1,Ы х 1,Ы); итак, К —множество, для которого К С 1,Ы х х 1,Ы (случай К = 0 не исключается и соответствует отсутствию условий предшествования). Элементы К называем адресными парами; итак, г € К есть УП, для которой р^(г) € 1,Ы и рг2(г) € 1,Ы; называем индекс рг1(г) (индекс рг2(г)) отправителем (получателем) адресной пары г. Условия предшествования определяем в виде требования: для каждой адресной пары посещение отправителя должно предшествовать посещению получателя. Тогда [10, часть 2]
А = {а € Р| а-1(рг1(г))< а-1 (рг2(г)) У г € К} (3.3)
есть множество всех маршрутов, допустимых в вышеупомянутом смысле. Полагаем в дальнейшем, что
УКо €Р '(К) Зго € Ко : рг^го) = рг2(г) У г € Ко. (3.4)
Тогда [10, (2.2.53)] А €Р'(Р), и, в частности, А есть непустое конечное множество. Кроме того, из (3.4) следует, что (в рассматриваемом далее случае) рг1(г) = рг2(г) У г € К; итак, в нашем случае имеет место невырожденность каждой из адресных пар. Подчеркнём, что хо, N М1,..., МN, К играют роль параметров, относительно которых постулируются только условия (3.1), (3.4).
Трассы, согласованные с маршрутом. Пусть (здесь и ниже)
N
X = {х°}и(и М^; (3.5)
г=1
ясно, что X € Рт(Х). Заметим, что, согласно (3.2), мы анализируем далее перемещения в
X х X; с этой точки зрения логично и хо «заменить» на z(0) = (хо, хо) € X. Обозначаем через Z множество всех кортежей (гг)гео^ :0, N ^ X х X; тогда (3.2) характеризует фактически
некоторый кортеж из Й : го = z(0), г1 = (х1;1, х1>2),... ,гN = (х^ъ ХN,2). Уместно ввести совокупность всех таких (соответствующих (3.2)) кортежей. Итак,
2а = {(гг)гео^ € Й | (го = z(0)) & г € Ма(4) х Мф) Уг € 1Ы)}€ Пп(^) У а € Р. (3.6)
Множества (3.6) можно рассматривать как пучки трасс или траекторий, согласованных в смысле (3.2) с наперёд выбранным маршрутом. Если а € А и (гг)гео-^ €2а, то УП (а, (гг называем допустимым решением (ДР). Разумеется, ДР составляют непустое (конечное) п/м Р х Й.
Функции стоимости. Мы фиксируем в дальнейшем
с € П^ х X], (Сг)ге1^ : 1Ы ^ п^ х X], / € П+[Х] (3.7)
в качестве способов оценивания внешних перемещений, внутренних работ (связанных с мегаполисами) и терминального состояния. По соображениям методического характера полагаем функции (3.7) максимально продолженными.
Замечание 3.1. Значения с(х,у) функции с существенны лишь в следующих двух ситуациях: 1) х = х0 и у € М^, где ] € 1,Ы; 2) х € Мг,у € М), где г € 1,Ы,] € 1,Ы,г = ]. При
в € 1N значения с3(х,у) функции с3 существенны при х € М. и у € М.. Наконец, значения /(х) (терминальной) функции / существенны при х € М\, где I € 1N. Продолжение данных (существенных) фрагментов функций стоимости до о,в1,... ,см,/ (3.7) может быть любым (в частности, всегда возможно доопределение нулём). □
Отметим, что с, С1,..., см, / также можно рассматривать в качестве параметров, дополняя таким образом систему (х0, N, М1,..., Мм, К). В терминах данного (расширенного) набора параметров вводим аддитивный критерий, полагая сначала
м-1 м
са[(гг)гео^] = £ с {pг2(zt), Р^+ОН^ СФ)(гФ + / {Рг2(гм ^ Уа € Р У^г)гео;м € ^ (3.8) г=о г=1
Однако использовать величины Са[(гг)^ом] (3.8) будем только в случаях а € А, (гг)^см € 2а; тогда, согласно (3.6),
м-1 м
¿а^г&м^ = c(x0, Р^ОН £ с(Рг2(zt), Р^+ОН^ са(г)(гф + /{рг2(гм^. (3.9)
г=1 t=l
Посредством (3.8), (3.9) можно оценивать каждое ДР. Рассматриваемая далее основная задача (ОЗ) имеет вид:
¿а^г^ом} а ^ а € A, (гг)гесм € ^ (3Л0)
Через V условимся обозначать её экстремум (значение), т. е. наименьшее из чисел (3.10) при переборе а € А и (гг)геом €^а. Как обычно, ДР (а0, (г°)геом), где а0 € А и (г°)ге0^ €2а называем оптимальным, если Сао [(¿^г^см] = V. Наша цель состоит в определении V и какого-либо оптимального ДР. Для достижения данной цели используем аппарат ДП, следуя [10, ч. 3], [11], [21].
4. Динамическое программирование, 1.
Напомним сначала схему расширения ОЗ, следуя [10, ч. 2]. Пусть n = Р'(1N), множества — элементы n — называем списками (заданий); через I обозначаем оператор [10, ч. 2], действующий в n по правилу: при К € n
1(К) = К \{рг2(г): г € Е[К]}, (4.1)
где ЩК] = {г € К| (рг1(г) € К) (рг2(г) € К)}. Из (4.1) легко следует, что 1({Ь}) = {Ь} УЬ € 1N. В соответствии с [10, (2.2.54)] имеем, что
(I - Ы)[К] = {а € (Ы)[К]| а(т) € I({а(г): г € т, К} Ут €Т,Щ} =
= {а € (Ы^Щат) € ЦК \{а(г): г € Тт—Т}) Ут € 1\Щ }€ (4.2)
€Р'((Ы)[К]) УК € n
(напомним, что 1, 0 = 0, а потому при Н € n и а € (I — Ы1)[Н] а(1) € 1(Н)). При этом [10, (2.2.32), теорема 2.2.1]
А = (I — Ы)[17Ж] = {а € Ра(т) € Ц!^\ {а(г) : г € 1,т — 1}) Ут € 1N}• (4.3)
Из (4.3) следует простое правило пошагового построения маршрутов, допустимых по предшествованию: в момент Ь = 1 выбираем ] € Щ N); если Ь € 1N — 1 и индексы ] € ,... ... ,jt € 1N уже найдены, то выбираем € !(1, N \ {]. : в € 1, Ь}). Разумеется, упомянутые
процедуры выбора j1 € 1(1, Ы),]2 € 1(1, N \ }),... ,jN € 1(1, N \ {js : § € 1, N — 1}) (имеется в виду случай N > 3) можно подчинить тем или иным дополнительным условиям.
Частичные трассы. Если К € N то 1К| € 1,N и через Ък обозначаем множество всех кортежей (гг)геощ : 0, КX х X. При этом Ъ = Ъ-^. По аналогии с (3.2) полагаем при х € X, К € N и а € (Ь1)[К], что
2(х, К, а) = {(гг)гёот € Ък| (го = (х, х)) & г € М^ х М«® Уг € ~ЦЩ)}, (4.4)
получая всякий раз непустое конечное множество (в (4.4) важен случай а € (I — Ы)[К]). По аналогии с (3.8) полагаем, что
~ = \K 1-1 ( ) K , )
а
ie°,\K\|K] = =° С( pr2(zt), pr1(zt+1)) + = ca(t)(Zt) + f (pr2 (z\K (4.5)
УК en Уа e (bi)[K] y(zi)ie0m e Zk•
Разумеется, посредством (4.5) можно, при x e X и К e n, оценивать качество УП (а, (zi)ieo^K|) для которых а e (I — bi)[K] и (zi)i€0 \k\ —элемент множества (4.4). Это позволяет определить
при x e X и К e n частичную задачу (ЧЗ) [(*)
ieö\K\ I K] ^ min, а e (I — bi)[K], (zi)ieö7jK| eZ(x,K,a); (4.6)
задаче (4.6) сопоставляется значение (экстремум) v(x, K) e [0, в виде наименьшего из чисел ¿a[z| K],a e (I — bi)[K], z eZ (x,K,a). Учитывая (4.3) и то, что Za = Z (x0,1,N,a) при а e A, получаем равенство
V = v(x0,1N). (4.7)
В силу (4.7) систему ЧЗ (4.6) рассматриваем в качестве расширения ОЗ. Полагаем также, что
v(x, 0) = f (x) yx e X. Тем самым завершается определение зависимости v efö+[X xV (1,N)], имеющей смысл функции Беллмана. При этом (см. [11,21,22])
v(x, K) = miK) MV (x, Pr1(z^+ci (z) + v (pr2(z), K \{j })] yx e X yK e n; (4.8)
в (4.9) имеем уравнение Беллмана, соответствующее расширению на основе (4.6). Из (4.7), (4.9) имеем, в частности, что
V = min min |c(x°, pr1(z^+cj(z) + v(pr2(z), 1, N \ {j})l. (4.9)
jei(1,N) * e MjxMjL y ' 4 /J
5. Динамическое программирование, 2.
Напомним экономичную версию ДП, предложенную в [10, §4.9]. Для этого, прежде всего, введём существенные (по предшествованию) списки: список K e n называем существенным, если yz e K (pr1(z) e K) ^ (pr2(z) e K). Все прочие списки из n далее не рассматриваем. Итак,
G = {K e n|yz e K (pr1(z) e K(pr2(z) e K)} (5.1)
есть множество всех существенных списков. Если s e 1, N, то Gs = {K e GIs = IK|} есть множество всех s -элементных существенных списков. Ясно, что семейство {Gi: i e 1, N} образует
А
разбиение G (5.1). Разумеется, GN = {1^} и при К1 = {рг1(г) : г € К} ( К1 — множество всех отправителей) справедливо равенство G1 = { {г} : г € \ К^. Кроме того, [21, с. 60]
Gs-l = {К \{г} : К € Gs,г € 1(К)} € 2,N. (5.2)
Итак, имеем рекуррентную процедуру на основе (5.2): Ом а Ом-1 а ... а д1. Из [10, предложение 4.9.2] следует, что = 0 У к € 1^.
Для последующих построений понадобится обратная в некотором смысле процедура: если в € 1N — 1 и К €Я3, то полагаем, что
да) = {] € ~г;м \ к| {]} и к € д.+1}. (5.3)
В связи с (5.3) напомним [21, предложение 4]:
п € Ц{п}и К) У в € 1N — 1 УК €дз Уп €38(К). (5.4)
Наконец, из [21, (36)] имеем, что
) = 0 У в € 1N — 1 УК €дз. (5.5)
Предложение 5.1. Если в € 1, N — 1, то справедливо равенство
О.+1 = и {{]}и К : ] €^(К)}. (5.6)
к еда
Доказательство. Обозначим через О множество в правой части (5.6). Тогда в силу (5.3) получаем, что
О С д.+1. (5.7)
Пусть Н €д.+1. Тогда, согласно (5.2),
Н \{Ь}€д. УЬ € ЦН); (5.8)
здесь мы учли, что в + 1 € 2N. Напомним, что, поскольку Н € n (см. (5.1)), непременно ^Н) € n и, в частности, ^Н) = 0. Выберем п € цН). Тогда, в частности, п € Н (см. (4.1)). Из (5.8) получаем, что
Н = Н \{п}€д., (5.9)
причём {п} и Н = Н. Заметим, что, согласно (5.3), (5.9),
Л(Н) = {] € \ Н} и Н €д.+1}. (5.10)
При этом п € 1N и, согласно (5.9), п€Н; в итоге п € 1N \ Н, причём {п}и Н = Н €дз+1 по выбору Н. Следовательно (см. (5.10)), п €^3(Н), а тогда по определению О и с учётом (5.9) получаем, что Н = {п} и Н € О, чем и завершается проверка вложения дз+1 С О. С учётом (5.7) имеем требуемое равенство д. +1 = О. □
Предложение 5.1 характеризует свойство определённой полноты процедуры пошагового наращивания существенных списков, указанной в (5.3). Напомним, что семейство д1 определяется (по К) явным образом.
Слои пространства позиций. Следуя [21,22], введём непустые п/м X XV(1N), обозначаемые далее через В0, Б1,..., Бм. В терминах
М = и Мг € V'(X) ге1м\к
определяем Б0 : Б0 = {(х, 0) : х € М} = М X {0}; кроме того, Бм = {(х0,1^)} (синглетон). Если в€ 1N — 1 и К €д., то в терминах
м.К]= и Мз € V'(X) земк)
(см. (5.5)) определяем клетку Ds[K] = {(x,K) : x G Ms[K]}. С помощью упомянутых клеток конструируем множества Di,..., Dn-i :
Ds = U Ds[K] G V(X x Gs) Ув G 1, N — 1. (5.11)
Kegs
В (5.11) определены промежуточные слои в X xG; множества Do, D\,..., Dn именуем слоями пространства позиций. Легко видеть, что (у, K \ { j}) G Ds-i ^sG 1,N УК G Gs Уj G I(K) Уу G G Mj. В частности, (см. (5.11)), имеем очевидное следствие:
(pr2(z),K \{j })g Ds-i У в G 1N У(х, K) G Ds yj GI(K) Уг G Mj x Mj. (5.12)
6. Попятная процедура.
Отметим, что с учётом (5.11) корректно определяются сужения функции Беллмана: если в G0, N, то функция vs GR+[Ds] задаётся естественным правилом
Vs(x,K) = v(x,K) У(х, K) G Ds. (6.1)
Из (6.1) следует, в частности, что v0 gR+[D0] определяется условием
vo(x, Щ = f (x) УxG M (6.2)
и, таким образом, v0 известна. Из (4.9) и (5.12) следует, в свою очередь,
Предложение 6.1. Если sG 1,N, то преобразование vs-i в vs имеет вид
vs(x,K)= min min [c(x, pii(z))+Cj(z) + vs-Apr2(z),K \ {j})] У(x,K) G Ds. (6.3) jei(K) zeMj xMjL
Из (4.7) и (6.1) имеем, что V = vN(x , 1,N), а потому, согласно (6.3),
V = mi^ imm [ф^ pii(z))+cj (z)+ vN-l(pr2(z), 1,N\{j})]. (6.4)
jei(i,N) zeMj xMj 4 ' 4 /J
Алгоритм построения слоёв функции Беллмана на функциональном уровне.
Предлагается следующая процедура, состоящая из 3 этапов.
1) Используя Gn = {1,N} в качестве начального элемента, конструируем на основе (5.2) семейства G1,..., Gn .
2) Располагая Gt,tG 1,N, конструируем для каждых sG 1,N — 1 и K gGs множество Js(K) (5.3), с помощью которого всякий раз определяются Ms[K] и клетка Ds[K]. Затем посредством (5.11) определяются слои Di,... ,Dnпоскольку Do и Dn известны, мы получаем кортеж (Di)ieQ-N непустых множеств, составленных каждое из позиций.
3) С использованием предложения 6.1 находим слои функции Беллмана. В самом деле (6.2) определяет v0. Если m G0,N — 1, то vm преобразуется в vm+i по правилу, вытекающему из (6.3):
vm+i(x,K) = min min [c(x, pri(z))+Cj(z) + vm(pr2(z),K \ {j})] У(x,K) G Dm+i; (6.5) jei(K) zeMj xMj
в (6.5) учитываем, что, согласно (5.12), (pr2 (z),K \{j}) G Dm при (x,K) G Dm+i ,j Gl(K) и z G Mj x Mj. После N этапов, подобных (6.5), все функции v0, vi,... ,vN будут построены и, в частности, будет определено значение V. Кортеж (vs)seoN обычным для теории ДП образом используется при построении оптимального ДР.
Сейчас ограничимся совсем кратким обсуждением (напомним, что z(0) = (х0,х0); см. раздел 3). Полагаем этапы 1)—3) завершенными; с учётом (6.4) выбираем ^ € 1(1, N и z(1) € € М-31 х М-31 так, что
V = с(рг2^(0)), рг^«)^^(1)) + ЗД-1(рГ2^(1)),Т^ \ {jl}); (6.6)
согласно (5.12), (рг2^(1)), 1,N\{j1}) € Ду—1 и в силу предложения 6.1
Зд-1(рг2^(1)), 1, N\Ш}) = шш [с(рг2^(1)), рг^г^+е,- (г) +
зе1(1,м\Щ}) ^ем1 хм1 (6.7)
+УМ-2{ рг2 (г), 1, N \{ц; Л)];
в (6.7) учтено, что, согласно (5.12), (рг2(г), \{jl; Л) = (рг2(г), \ {jl})\Ш)€ Ом-2 при j € 1(1, N\{jl}) и г € Мз х Мз. Выбираем с учётом (6.7) j2 € 1(1, N \Ш}) и z(2) € М32 х х М-32 так, что при этом
ЗД-!^«), И^ШЬ с(р^(1)), рг^)^ —2 (рг2^(2)), ^Ш; j2}), (6.8)
где (см. (5.12)) (рг2^(2)), 1,N\{j1;j2})€-2. Из (6.6), (6.8) следует, в частности, что
V = с(рг2^(0)), рг^(1)))+ ф^1^^)^ ^(1))+ ^ (z(2))+ (69)
-2(pГ2(z(2)), 1, N \{jl; j2^.
Если N = 2, то, как легко видеть (см. (6.2), (6.9), построение оптимального ДР завершено. Если же N> 2, то процедуру последовательного выбора экстремальных элементов (см. (6.7), (6.8)) следует продолжить вплоть до исчерпывания списка заданий.
7. Локальное улучшение маршрутов и трасс.
Рассмотрим один из вариантов применения вышеизложенной конструкции на основе ДП для локального улучшения ДР, построенного на основе эвристических алгоритмов.
Итак, пусть х0 € X, п € N 4 ^ п, Ь1 € Пп(Х),...,Ьп € Пп(х). Полагаем выполненными условия, подобные (3.1):
(хо € Ь5 У,] € 1П) & (Ьр П Ьд = 0 Ур € 1ГБ У я € \ {р}). (7.1)
В дальнейшем подразумевается, что (Ь1,..., Ьп) — «большой», кортеж мегаполисов; точнее, 2 ^ N < п, а целевой кортеж раздела 3 является его «частью». Через Р обозначаем множество всех перестановок 1, п: Р = (Ь1)[1, п]; выбор перестановки, т. е. маршрута, из Р должен, вообще говоря, осуществляться при соблюдении условий предшествования. С целью введения последних фиксируем к €Р(1, п х 1, п); УП из к также называем адресными. Подобно А раздела 3, мы в виде
А = {а € Р| а-1 (рг1 (г))< а-1(рг2(г)) У г € к} (7.2)
имеем множество всех к -допустимых (по предшествованию) маршрутов; содержательный смысл условий предшествования и к -допустимости аналогичен разделу 3. Постулируем, что
Уко € V' (к) Зго € ко : рг1(го) = рг2(г) У г € ко. (7.3)
Из (7.2), (7.3) следует (см. [10, (2.2.53)]), что А€Р'(Р) и, в частности, А€ Пп(Р).
Подобно разделу 3, определяем трассы, согласованные с маршрутом, полагая для удобства обозначений
X = {хс}и (У . (7.4)
г=1
Тогда через 3 обозначим множество всех кортежей (гг)гео~п • 0, п а x х x. Полагаем далее, что трассы определяются подобно (3.6): если вЕ Р, то
ъв = {ЫгеонЕ 5| ((го = (хо, еЬт х Ьт Ш Е1п)}Е¥т(Ъ). (7.5)
Как и в разделе 3, УП [в, (гг)гео~п), где в еА и (гг)гео~пЕ Ъв, рассматриваем как ДР «большой», задачи. Ясно, что так определённые ДР составляют непустое конечное п/м Р х 3 По аналогии с (3.7) определяем функции стоимости в «большой», задаче:
С еП+ [x х Х],с\ ЕП+[Х х X],...,cП ЕП+[Х х x],/ * ЕП+Щ. (7.6)
Разумеется, определение (7.6) избыточно, но при таком способе построение основных элементов «большой», задачи значительно упрощается (см. содержательное обсуждение существенных фрагментов функций (3.7) в разделе 3). Если в ЕР и (гг)гео~п ЕЪ, то полагаем, что
п-1
(7.7)
4 [(гг)геоп] = £ с*(ъ)+ / КрЬ(*п )) =
г=о г=1 у '
п-1 ,
= Е [СЧPr2(zt), ргМ+1))+св(+1)(гг+1)]+/Р^Ы). Рассматриваемая ниже «большая», задача имеет вид:
св[(гг)геоп] ^ т[п, в Е А, (гг)геи~п Е Ъв■ (7.8)
Итак, в (7.7), (7.8) определена задача, подобная ОЗ (3.10). Мы полагаем, однако, что размерность задачи (7.8) является достаточно большой (^ < п), чем затрудняется построение точного её решения (данная задача, как и (3.10), является труднорешаемой в традиционном понимании); в этой связи предполагается, что в задаче (7.8) используется тот или иной эвристический алгоритм (см., например, жадный алгоритм работы [23]).
Сейчас мы полагаем, что найдено какое-то ДР (А, (Ь)г)геощ) задачи (7.8): А еА, (Ь)г)геощЕ
еЪл- Мы ставим своей целью улучшить значение £д[(Ьг)геоп], привлекая ОЗ (3.10). В этой связи напомним, что А Р и при этом
А-1 (рг1(г))< А-1(рг2(г)) Шг Е к. (7.9)
Кроме того, (Ьг)г^о"п • 0, п а x х x; Ьо = (хо, хо) и
htЕ Ьл^) х Ьт Ш1Е 1П. (7.10)
Условимся о следующих правилах действий. Фиксируем число V Е 1, п, для которого V + N + + 1 < п (здесь N Е N соответствует предположениям раздела 3; на неформальном уровне полагаем, что N выбрано, исходя из возможностей вычислительной реализации схемы ДП; в настоящее время алгоритм, реализованный на ПЭВМ, позволяет полагать N = 31). Конкретный выбор V может осуществляться на основе анализа ДР (А, (^)геощ)- Тогда V + вЕ Е 1, п — 1 ШвЕ 1, N. Поэтому определены индексы А(V + 1) Е 1, п,..., А(V + N) Е 1, п. С учётом этого принимаем следующее соглашение:
Ы3 = Ьл(у+а) ШвЕ 1N. (7.11)
Пусть Г = {Х(и + в): в € }, а Л:1,N ^ Г определяется правилом
Л= (Х(и + 5)^ етм; (7.12)
Л есть биекция на Г: |Г| = N и Л € (Ы)[Г]. Тогда, согласно (7.11), имеем при j € равенство Мз = Ьл(з), где Л]) = Х(и + ,]). Введём в рассмотрение следующее множество
Я = {г € к|(рг1(г) € Г)&(рг2(г) € Г)} € V(к). (7.13)
Тогда Я есть п/м 1, п х 1, п. Соответственно, полагаем
К = {(л-1(рг1(г)),Л-1(рг2(г))): г € Я}, (7.14)
получая, конечно, вложение К С 1,N х 1,N. Для К (7.14) используем множество А раздела
з. Итак, мы конкретизируем К раздела 3 посредством (7.14), после чего «включаем» (3.3). Ясно, что У а € А, У г € Я
а-1 (Л-1 Ыг))) < а-1 (Л-1 (р^г))). (7.15)
При этом в случае а € Р композиция Л о а отображений а и Л есть отображение 1,N на Г
и, более того, биекция 1,N на Г. При этом, согласно (7.15), имеем, что
(Л о а)-1(рг1(г))< (Л о а)-1(рг2(г)) Уа € А Уг € Я. (7.16)
Предложение 7.1. Множество К (7.14) обладает свойством (3.4). Доказательство. Пусть К0 €Р'(К), т.е. К0 — непустое п/м К. Тогда К0 С К и
УН € Ко Зг € Я : Н = (л-1(рг1(г)),Л-1(рг2(г))). (7.17)
Из (7.17) вытекает с очевидностью, что
УН € Ко Зг € Я : (л(рг1(Н)),Л(рг2(Н))) = г. (7.18)
Из (7.13), (7.18) получаем также очевидное свойство
(л(рг1(Н)),Л(р^(Н)))€ Я УН € Ко (7.19)
и, как следствие, (см. (7.13)), Н = { (^(рг^Н)), Л(рг2(Н))): Н € Ко} €Р'(К). С учётом (7.3) подберём г* € Н так, что при этом
рг1(г*) = рг2(г) У г € Н. (7.20)
Теперь, используя (7.19) и определение Н, подберём Н* € К0 так, что при этом
г* = (Л(рг1(Н*)), Л(рг2(Н*))). (7.21)
Из (7.20), (7.21) следует теперь, что
Л(рг1(Н*))= рг2(г) Уг € Н. (7.22)
В этом случае из определения Н и (7.22) вытекает, что
Л(рг1(Н*))=Л(рг2(Н)) УН € Ко. (7.23)
Как следствие, из (7.23) следует свойство
рг1(Н*) = рг2(Н) УН € Ко. (7.24)
По выбору Н* получаем из (7.24), что Зг0 € К0 : рг1 (г0) = рг2(г) Уг € К0. Поскольку множество К0 выбиралось произвольно, предложение доказано (К (7.14) удовлетворяет (3.4)). □
Напомним, что (см. предложение 7.1, определения раздела 3) А есть непустое п/м Р. Возвращаясь к (Ь^^о^, отметим, что Ь € x х x, а потому рг2(Ь^) € x. Мы полагаем далее, что в построениях раздела 3
х0 = р^). (7.25)
Следуем теперь соглашениям раздела 3 в конкретизации, определённой в настоящем разделе. В данной локальной задаче с базой (7.25) используем ДР раздела 3.
Рассмотрим нужную в дальнейшем конкретизацию функций стоимости (3.7). Здесь, конечно, следует учесть, что, согласно (3.5), (7.4) и (7.11), X С x. Поэтому с в (3.7) можно определить посредством сужения с^ :
с(г) = с^(г) Уг € X х X. (7.26)
Кроме того, заметим, что, согласно (7.6),
сЛ(1) € х x],..., сЛ(м) € х x]. (7.27)
С учётом этого определяем функции а,..., см следующим образом: если ] € 1,N, то сз € € [X х X] имеет вид
сз (г) = сЛ(з)(г) Уг € X х X. (7.28)
Иными словами, при ] € 1, N функция сз определяется в виде сужения сЛ^ на X х X. Заметим, что
с«(з)(г) = с\лоаШ(г) Уа € А Уг € X х X. (7.29)
Наконец, f €R+[X] определяем условием
f (х) = х, рг^Ь^+м+1))+^+м+1)(Ь^+м+1) Ух € X. (7.30)
В терминах (7.26), (7.28), (7.30) определяется аддитивный критерий раздела 3: каждой УП {а, (гг)г еом), а € А, (гг)г еом €2а, сопоставляем число с«[(гг )г (3.9). В результате получаем вариант задачи (3.10).
Пусть (а0, (г^^ом) есть оптимальное ДР задачи (3.10) в упомянутой её конкретизации: а0 € А, (г0) г еом € 2«о и при этом
с«о [(гг°)г ео^ ] < £а[(гг)г еоМ У а € А У(гг)г еом € 2«. (7.31)
Обсудим естественный вариант «встраивания», (а0, (г0)г ео~м) в решение (Х, (Ьг)г еоп) «большой», задачи. Начнём с рассмотрения процедуры «встраивания», а0 в маршрут Х. Для этого заметим, прежде всего, что при г € и + 1, V + N определены индексы г — V € 1, N, а0(г — и) € 1, N и, как следствие,
(Л о а0)(г — и) =Л(а0(г — и))= Х(и + а0(г — и))€ Г. (7.32)
При этом множества 1^^ +1^ + N,v + N + 1, п образуют разбиение 1, п. С учётом этого введём отображение п, действующее в 1, п, посредством следующего правила, учитывающего (7.32):
(п(3) = А(3) Ш; Е!(V) & (п(з) = (Л о оР)(] — V) Ш; Е V + 1^ + N) &
& (п(3)= А(з) ШЗЕ^гж+т;п). '
Предложение 7.2. Отображение п есть допустимый маршрут в «большой», задаче: пЕ еА.
Доказательство. Свойство п ЕР легко следует из биективности А, ао и Л. Ограничимся сейчас проверкой допустимости п по предшествованию, фиксируя произвольную адресную пару в Е К «большой» задачи. Тогда вЕ 1, п х 1, п, рг1(0)Е1, п и рг2(в) Е 1, п. По выбору А имеем неравенство ( ) ( )
А-1 (ргЛв))< А-1 (р^в)). (7.34)
Возможен (см. (7.13)) один из следующих двух случаев
(вЕЯ) V (вЕ К \ Я). (7.35)
Упомянутые в (7.35) случаи рассмотрим отдельно.
1) Пусть сначала вЕЯ. Имеем свойства рг1(в)ЕГ и рг2(в) ЕГ; как следствие,
(л-1(рг1(в)),Л-1(рг2(в)^Е К, (7.36)
согласно (7.14). С учётом (7.36), К -допустимости ао и простейших свойств композиции ао и Л получаем, что ( ) ( )
(Л о а0)-1 (]Ыв)) < (Л о а0)-1{рг2(в)), (7.37)
откуда с учётом (7.33) и легкопроверяемых равенств
п-1(рг1(в))= V + (Л о ао)-1(рг1(в)),
п-1(рг2(в))= V + (Л о ао)-1(рг2(в)), вытекает, что п-1^р^(в))<п-1{р^(в)) в рассматриваемом случае 1); имеем импликацию
(в ЕЯ) ^ [п-1(рг1(в))< п-1(рг2(в))). (7.38)
2) Пусть в ЕК \ Я. Согласно (7.13), имеем, что
(рг1(в) Е Г) V (рг2(в) Е Г). (7.39)
Обе возможности, отмеченные в (7.39), рассмотрим отдельно. 2.1) Пусть рг1 (в) Е Г. Легко видеть, что в этом случае
(Л о а0)(в) = рг1(в) Шв еТК (7.40)
(используем биективность Л). С учётом (7.33) и (7.40) получаем, что
п(з) = рг1(в) Ш; Е V + 1^ + N. (7.41)
С учётом (7.41) и биективности п имеем, что
п-1(рг1(в))Е IV и V + N + 1, п, (7.42)
откуда легко следует равенство
п-1(рг1(в))= А-1(рг1(в)) (7.43)
и, как следствие, в силу (7.9), (7.34) имеем неравенство
п-1(рг1(в))<А-1(рг2(в)). (7.44)
При этом )рг2(в)Е Г V(рг2(в)ЕГ). Если рг2(в) Е Г, то, подобно (7.43), проверяется равенство п-1(рг2(в)) = А-1(рг2(в)), а тогда из (7.44) следует, что
п-1 (рг1(в))<п-1(рг2(в)). (7.45) Тем самым устанавливается (при условии рг^в) Е Г) истинность импликации
(рг2(в) Е ГН (п-1(ррч(в))< п-1(ррг2(в))). (7.46) Пусть теперь (при условии рг1(в)Е Г) справедливо включение рг2(в)ЕГ. Тогда
в, = Л-1(рг2(в))Е Т^ (7.47)
и, как следствие, (см. (7.12)) А-1(рг2(в)) = V + в,. Учитывая (7.44), получаем цепочку неравенств ( )
п-1(pг1(в))<v + вв ^ V + Я, (7.48) означающую (см. (7.42)) непременно, что
п-1(рг1(в)) Е IV. (7.49)
С другой стороны, из (7.47) имеем с учётом биективности ао, что
V + 1 ^ п-1(рг2(в)) (7.50)
(используем также второе выражение в (7.33)). В итоге справедливо (при условии рг2(в) Г) неравенство (7.45), что означает истинность (при условии рг^в) Е Г) импликации
(рг2(в) Е Г ^ {п-1 {ргМ) < п-1{рг2(в))). (7.51)
Стало быть (см. (7.46)), в рассматриваемом случае 2.1) всегда выполняется (7.45). Итак, установлена импликация
(рг1(в) Е ГН (п-1(рг1(в))< п-1(рг2(в))). (7.52)
2.2) Пусть теперь рг2(в) Е Г. Тогда, как легко видеть, (Л о а )(в) =рг2(в) ШвЕ 1,Я. С учётом (7.33) получаем следующее свойство: п(3) = рг2(в) ШjЕv + 1^ + N. В силу биективности п это означает, что п-1{pг2(в))/v + 1^ + N и, стало быть,
п-1(рг2(в)) Е \ V + 1^ + N. (7.53)
Из (7.33) и (7.53) получаем равенство А-1 (рг2(в)) = п-1{рг2(в)). С учётом (7.34) имеем
А-1(рг1(в))<п-1(рг2(в)). (7.54)
Отметим две очевидные возможности
(рг1(в) Е Г^(рг1(в)ЕГ). (7.55)
Эти две возможности рассмотрим отдельно.
Допустим сначала, что рг1(0) €Г. Тогда подобно способу проверки (7.43) устанавливается равенство Х-1(рг^в)) = п-1(р^(в)) (т. е. (7.43)), а потому в силу (7.54) имеем (7.45). Итак, установлена импликация
(рг^в) € г)н [п-1(рг1(е))< П-1(рг2(0))) (7.56)
(условие р^(в) € Г предполагается выполненным).
Пусть теперь рг1(0)€Г. Тогда те = Л-1(pг1(в))€l,N и, как следствие, для и + -те € €и + 1, и + N имеем, что
и + те = Х-1(Х(и + те))= Х-1(рг1(в))< п-1(рг2(в))
(учитываем (7.54)). Это означает, что и + 1 <п-1(рг2(в)). С учётом (7.53) получаем, что
П-1(рг2(^))€ и + N + 1, п, (7.57)
откуда вытекает (см. (7.33)), кстати, что п-1 (рг2(в)) = Х-1 (рг2(в)). Далее, в рассматриваемом случае (Л о а0)-1(рг1 (в))€l,N, откуда легко выводится свойство п-1(рг1 (в)) € и + 1,и + N. С учётом (7.57) получаем неравенство (7.45) при условии рг1(в)€Г. Итак,
(рг1(в) € г)н (п-1(рг1(в))< п-1(рг2(в)^ (7.58)
при условии рг2(в) € Г. Тогда из (7.55), (7.56) и (7.58) вытекает при упомянутом условии, что (7.45) имеет место во всех возможных случаях. Импликация
(рг2(в) € Г)н (п-1(рг1(в))< п-1(рг2(в)^ (7.59)
установлена. Тогда, согласно (7.39), (7.52) и (7.59), получаем (7.45) в случае 2), т. е. при в€ €К \ Я. Итак, имеем импликацию
(в € к \ Я) Н (п-1(рг1(в))< п-1(рг2(в)^ . (7.60)
Из (7.35), (7.38) и (7.60) получаем окончательное неравенство п-1 (рг^в))<П-1(рг2(в)) во всех возможных случаях. Поскольку выбор в был произвольным, установлено, что п-1(р^(г))< <П-1( рг2(г)) У г € К. С учётом (7.2) имеем требуемое свойство п €А. □
Рассмотрим естественную процедуру встраивания (г^^ом в трассу (Ьг)геотп "большой" задачи. С учётом (3.6) и (7.11) имеем, что (см. (7.25))
(го0 = (х0,х0) = (р^),р^))) & (г0 € Ь(ло«от х Ь(Ло«оУг € ^М). (7.61) С другой стороны, имеем (7.10) и, в частности,
Ь € Ьл(у) х Ьл(и). (7.62) Наряду с (7.62) из (7.10) легко извлекается свойство
Ь^ € Ьл^) х ЬА^) Ув € 1Ж (7.63) Из (7.11), (7.12) и (7.63) вытекает следующая система включений:
Ь^ €М3 х М3 У в € 17Ж (7.64)
Из (7.7) получаем, в частности, что
сЛ[(Ьг)г еоп]= §1 + §2 + §3, (7.65) где слагаемые в правой части определяются (см. (7.12), (7.30)) выражениями
V-1 V
§1 = £ с^рг2(Ь4), рг1(Ьт))+^ сЛ(1)(Ь), (7.66) 1=0 1=1
N-1 N
§2 =Е с*(рг2^),рг1(Ь^+1)) + £^(Ь^) + f (pГ2(hv+N)), (7.67) 1=0 1=1 п-1 п
§3 = Е с^рг2(Ь1), рг1(Ь1+1^+ £ сЛ(1)(Ь1) + f ^р^п)). (7.68)
1=V+N+2
Введём кортеж : 0, N — X х X посредством условий
(Ьо = (х0, х0)) & (Ь = hv+1 Уг € т;N). (7.69)
Из (7.67) и (7.69) получаем очевидное равенство
N-1 N
с
1=0 1=1
^(р^ь ), рг!(Ь1+1)) + ^ сЛ(1)(Ь1) + f (РГ2(ЬN)). (7.70)
Введём в рассмотрение тождественную перестановку 1 € Р, полагая далее, что 1: 1, N — 1, N определяется выражениями 1(в) = в У в €1N. С учётом (3.6) и (7.64) легко проверяется, что
(Ь 1)1 ео^ € 21. (7.71)
Отметим теперь, что на самом деле в рассматриваемой конкретизации ОЗ (3.10) 1 € А.
Замечание 7.1. Проверим последнее утверждение, фиксируя ( € К. Тогда ( = (Л-1^^)), Л-1(рг2^))^), где q € Я. По свойствам Х имеем неравенство
Х-1 (рг1Ы)<Х-1(рг2Ы), (7.72)
где р^^) €Г и рг2^) €Г, согласно (7.13), причём, как легко видеть,
(Л(рг1(0)= рг1 & (Л(рг2(0)= р^)) . (7.73)
Из (7.73) вытекают (см. (7.12)) следующие два равенства
(Х-1(рг1^))= и + рг1(С)) & (Х-1(рг2Ы)= и + рг2(С)) .
С учётом (7.72) получаем, что рг1 (£) < рг2(£). Поскольку 1 — тождественная перестановка, а выбор ( был произвольным, установлено, что 1 € А.
Таким образом, УП (1, (h1)1eом) (см. (7.71)) есть ДР ОЗ (3.10) и, согласно (3.8), определена величина £l[(h1)1egN:] € [0, причём, как легко видеть,
С1 [(Ь 1)1 ео^ ] = §2. (7.74)
Из (7.31) и (7.74) вытекает очевидное неравенство
c«o 1(г0)гет] < §2- (7.75)
Склеивание трасс. Свойство (7.75) характеризует по сути дела факт улучшения (неухудшения) «глобального» ДР. Проверим это. Поскольку X С x,
(z0)i€0ñ : 0,n а x х x
и, стало быть, у Е x х x ШtЕv,v + N. С учётом этого введём в рассмотрение кортеж
(Ъ^оп : А x х x, (7.76)
определяемый следующими правилами:
(1 = 1 ШЬЕ 0^)&(Ь = го-и Ш Е & (1 = 1 ШЬЕ^ТЖГТп). (7.77)
Предложение 7.3. Кортеж (7.76), (7.77) является трассой, согласованной с маршрутом п: (1^ео;п еЪп.
Доказательство следует из определений. Таким образом, (п, (1^еопп) есть ДР «большой»
задачи, а потому определено значение [(1^еох] Е [0, для представления которого введём
и-1 V
§1 = £ с\рг2(к), рг1(Ы+1)) + ^2 с\^(1), (7.78)
Ь=о 1=1
I тлу / ^ . \ тлу / ^ . . - \ II Ч ,
cn(t)
t=v t=v+l
Y^^ip^ht), pr1 (ht+1))+ Y Í<t) (ht), (7.79)
n-l
Д
£ С*{рг2(к), рг^+1))+ с^(1) + /\рг2(Ъп)). (7.80)
В самом деле, согласно (7.7), (7.78)-(7.80) имеем равенство
СП [(1^ео,п] = §1 + §2 + §а. (7.81)
Представление (7.78)-(7.80) подобно (7.64)-(7.68). С учётом (7.33), (7.66), (7.77) и (7.78) получаем равенство §1 = §1. Кроме того, §2 = Сао [(г®)^-^] (данное равенство легко следует из (7.33), (7.77)), а тогда, согласно (7.75),
§2 < §2. (7.82)
Наконец, имеем с учётом (7.33) и (7.77) равенство §3 = §3. В результате (см. (7.82))
§1 + §2 + §3 < §1 + §2 + §3. (7.83)
Из (7.64), (7.81) и (7.83) вытекает следующее
Предложение 7.4. Встраивание локального ДР (а°, (г®)геош) в глобальное ДР (А, «большой» задачи не ухудшает результат: С,[(1 ] ^ сЛК^)^^].
8. Вычислительный эксперимент.
Рассматривалась задача маршрутизации на плоскости: X = R х R . Предполагалось, что
функция С в (7.6) определена условием c^(x,y) = p(x,y) , где р — евклидово расстояние на плоскости; здесь x G x и y G x. Условимся, что каждому мегаполису сопоставлен плоский вектор; исполнитель должен прибыть в точку мегаполиса, затем достичь упомянутый вектор, после чего, выбрав произвольный город мегаполиса, переместиться в него и затем покинуть мегаполис. Итак, фиксируем ai GX,..., an GX и, кроме того, числа
f 1 G]0, ..., fn G]0, Полагаем, что при всяком j G 1, n функция cj имеет вид:
cj (x, y) = Hj (p(x, aj) + p(aj ,y)) Ух G x У y G X.
Здесь fij играет роль коэффициента замедления или ускорения при выполнении работы, связанной с обслуживанием Mj . Допускается, что для одних мегаполисов реализуется замедление, а для других — ускорение. В отношении f ^ (см. (7.6)) условимся, что при x GX f \x) = = $p(x, (0, 0)) , где я G]0, . Полагая xo = (0, 0) , мы приходим, следовательно, к замкнутой задаче (по постановке требуется возврат на базу).
Рассматриваемый в настоящей статье способ локальной оптимизации на основе МДП маршрута и трассы обхода системы множеств, полученных в результате применения приближенного алгоритма, был реализован в виде программы для ПЭВМ. В качестве приближенного метода использована адаптированная под специфику данной задачи версия известного жадного алгоритма [23], для которой принято название «иди в ближайший». Программа написана на языке программирования С++ (использована среда разработки Embarcadero С++ Builder XE5), работающая в 64-х разрядной операционной системе семейства Windows не ниже Windows 7. Вычислительная часть программы реализована в отдельном от интерфейса пользователя потоке. Для случая решения задачи на плоскости имеется возможность графического отображения траектории движения по множествам и увеличения отдельных участков графика; возможно сохранение изображения в файл графического формата bmp. Программа предоставляет возможность ввода индекса v, начиная с которого производится локальная оптимизация, а также длины оптимизируемого участка исходного маршрута N . Применение локальной оптимизации будет носить итерационный характер: сначала оптимизируется участок доставляемой жадным алгоритмом траектории (1-я итерация), а далее применяется локальная оптимизации к маршруту и трассе, получаемым на предыдущей итерации.
Вычислительный эксперимент проводился на портативном компьютере (notebook) с центральным процессором Intel Core i7, объемом ОЗУ 6 гБ с установленной операционной системой Windows 7 x64 SP1 Максимальная.
В нашем примере рассматривается задача обхода 60 мегаполисов (n = 60) на плоскости. Множества являются равномерными сетками на окружностях по 12 точек в каждой. Еще раз отметим, что функции С и (c!-)¿ei-n в (7.6) заданы посредством евклидова расстояния, при использовании в е1,..., еП соответствующих коэффициентов fi,...,fn , а внутренние работы в мегаполисах заключаются в переходе из точки входа в некоторую точку, ассоциированную с мегаполисом (для выполнения в ней некоторых внутренних работ) и затем перемещении в точку выхода из мегаполиса. В нашем примере начальная точка xo совпадает с началом координат, а условия предшествования (множество k) заданы посредством указания 47 адресных пар. Описания мегаполисов (перечисление точек) и адресных пар опустим по соображениям объема. При реализации процедуры локальной оптимизации на всех итерациях «длина» оптимизируемого участка траектории равна 15 (N = 15) .
Приведем численные результаты работы программы (явное указание маршрута и трассы опускаем по соображениям объема). В результате применения жадного алгоритма получили величину совокупных затрат 4988,18, время счета составило менее 1 с. Полученная траектория движения приведена на рис. 1.
-120 100 -ВО -00 -40 -20 0 20 40 60 ВО 100 120
Рис. 1. Маршрут и трасса обхода множеств после применения жадного алгоритма
Мы провели 12 итераций, заключающихся в локальной оптимизации маршрута и трассы. Приведем кратко их результаты (величины совокупных затрат):
1 я итерация (со 2-го пункта маршрута) 4851,2.
2 я итерация (с 16-го пункта маршрута) 4842,36
3 я итерация (с 44-го пункта маршрута) 4693,58
4 я итерация (с 30-го пункта маршрута) 4646,02
5 я итерация (с 10-го пункта маршрута) 4646,02
6 я итерация (с 25-го пункта маршрута) 4646,02
7 я итерация (с 40-го пункта маршрута) 4612,44
8 я итерация (с 35-го пункта маршрута) 4582,09
9 я итерация (с 28-го пункта маршрута) 4539,79
10-я итерация (с 23-го пункта маршрута): 4539,78.
11-я итерация (с 42-го пункта маршрута): 4536,53.
12-я итерация (с 3-го пункта маршрута): 4536,53.
Время счета на каждой итерации всякий раз получалось разное; оно колеблется от 4 с до 3 мин. 1 с. При этом оно сильно зависит от того, сколько адресных пар, заданных для исходной системы мегаполисов, попало в данный подлежащий оптимизации участок траектории. Улучшение результата по сравнению с жадным алгоримом составило около 9 процентов.
Рис. 2. Маршрут и трасса обхода множеств после многократной локальной оптимизации
Как видно из приведенных числовых результатов, не всякая итерация являет результативной в плане улучшения результата, мы остановились на 12-й итерации, обнаружив, что уменьшение величины совокупных затрат прекратилось.
ЛИТЕРАТУРА
1. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.Х. Задача коммивояжера. Вопросы теории // Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. С. 3-34.
2. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.Х. Задача коммивояжера. Точные алгоритмы // Автоматика и телемеханика. 1989. № 10. С. 3-29.
3. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.Х. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы//Автоматика и телемеханика. 1989. № 11. С. 3-26.
4. Беллман Р. Применение динамического программирования к задаче о коммивояжере / Кибернетический сборник. Т. 9. М.: Мир, 1964.
5. Хелд М., Карп Р.М. Применение динамического программирования к задачам упорядочения / Кибернетический сборник. Т.9. М.:Мир, 1964.
6. Литл Дж., Мурти К., Суини Д., Кэрел К. Алгоритмы для решения задачи о коммивояжере // Экономика и математические методы. 1965. Т.1. Вып. 1. С. 94-107.
7. Ташлыков О.Л., Сесекин А.Н., Щеклеин С.Е., Ченцов А.Г. Разработка оптимальных алгоритмов вывода АЭС из эксплуатации с использованием методов математического моделирования // Изв. вузов. Ядерная энергетика. 2009. № 2. С. 115-120.
8. Сесекин А.Н., Ташлыков О.Л., Щеклеин С.Е., Куклин М.Ю., Ченцов А.Г., Кадников А.А. Использование метода динамического программирования для оптимизации траектории перемещения работников в ради-ационно опасных зонах с целью минимизации облучения // Изв. вузов. Ядерная энергетика. 2006. № 2. С. 41-48.
9. Сергеев С.И. Гибридные системы управления и динамическая задача коммивояжера // Автоматика и телемеханика. 2008. № 1. C. 45-54.
10. Ченцов А.Г. Экстремальные задачи маршрутизации и распределения заданий: вопросы теории. Москва; Ижевск: РХД, 2008. 238 с.
11. Ченцов А.А., Ченцов А.Г., Ченцов П.А. Метод итераций в задаче маршрутизации с внутренними потерями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. №4. С. 268-287.
12. Ченцов А.А., Ченцов А.Г. К вопросу о решении задачи последовательного обхода множеств с использованием "незамкнутой"задачи коммивояжера // Автоматика и телемеханика. 2002. №11. С. 151-166.
13. Ченцов А.А., Ченцов А.Г. Редукция задач маршрутной оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2000. №10. С. 136-150.
14. Ченцов А.А. Метод итераций в задаче последовательного обхода множеств (обобщенная задача коммивояжера на узкие места) // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений: [Сб. науч. тр.]: Екатеринбург: УрО РАН. 2002. Вып. 6. С. 209-230.
15. Сесекин А.Н., Ченцов А.А., Ченцов А.Г. Обобщенная задача курьера с функцией затрат, зависящей от списка заданий // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2010. № 2. С. 68-77.
16. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
17. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.
18. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 1990. 960 с.
19. Петунин А.А. О некоторых стратегиях формирования маршрута инструмента при разработке управляющих программ для машин термической резки материала // Вестник УГАТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. Т.13. № 2 (35). C. 280-286.
20. Петунин, А.А., Ченцов А.Г., Ченцов П.А. К вопросу о маршрутизации движения инструмента в машинах листовой резки с числовым программным управлением // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. Серия: Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2013. № 2 (169). С. 103-111.
21. Ченцов А.Г. Одна параллельная процедура построения функции Беллмана в обобщенной задаче курьера с внутренними работами // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2012. 18 (277). № 12. C. 53-75.
22. Ченцов А.Г. Одна параллельная процедура построения функции Беллмана в обобщенной задаче курьера с внутренними работами // Автоматика и телемеханика. 2012. № 3. C. 134-149.
23. Ченцов А.А., Ченцов А.Г., Ченцов П.А. Экстремальная задача маршрутизации с внутренними потерями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14. № 3. С. 183-201.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программ Президиума РАН (проекты № 12-П-1-1012, № 12-П-1-1019) и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты "№ 12-01-00537, № 13-08-00643, № 13-01-90414 Укр_ф_а).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Chentsov A.A., Chentsov A.G.
THE PROBLEM OF MEGALOPOLISES CONSISTENT DETOURING
The problem of visiting a finite system of megalopolises with precedence conditions is under discussion; visiting megalopolises is accompanied by some work execution. It is assumed that transference and work expenses aggregate additively. The version of broadly understood dynamical programming is considered on which basis the optimal algorithm is build and then performed on PC. For a high dimensional problem, a
method of the route improving is offered; it is done by means of the local Bellman embedding with provision for the precedence conditions.
Key words: route; trace; dynamical programming; precedence conditions
Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом управляемых систем, e-mail: [email protected]
Chentsov Alexander Georgiyevich, Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russian Federation, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head Managed Systems Department, e-mail: [email protected]
Ченцов Алексей Александрович, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, e-mail: [email protected]
Chentsov Alexey Aleksandrovich, Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin, Yekaterinburg, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, e-mail: [email protected]
УДК 517.51
СУПЕРПОЗИЦИОННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ ПРИ ОБОБЩЕННЫХ УСЛОВИЯХ КАРАТЕОДОРИ
© И. В. Шрагин
Ключевые слова: а -алгебра; борелевские множества; суперпозиционная измеримость; условия Каратеодори.
Доказывается суперпозиционная измеримость функции f : Т х Мт — М (на множестве Т задана а -алгебра), измеримой на Т и непрерывной слева по каждому хь €М, к = = 1, ..., т.
1. Введение
Пусть Т - непустое множество, Т - а-алгебра на Т, т. е. (Т, Т) - измеримое пространство. Если X - метрическое пространство, то через В(Х) обозначим совокупность всех бо-релевских множеств в X.
Функция р:Т — X называется (Т, В(Х)) -измеримой, если (У В €В(Х)) р-1(В) €Т. Обозначим через (Т, В(Х)) множество всех таких функций.
Далее для функции р : Т — X рассматривается функция С^ : Т — Т х X, где С^(г) = = (г,р(г)) (так что С^(Т) - график функции р ).
Пусть заданы измеримое пространство (Т, Т) и метрические пространства X и У, а также функция f : Т х X — У. Рассмотрим для функций р : Т — X суперпозиции f о С^ : Т —► У, т. е. и о Ср)(г) = f(г,р(г)).
Определение 1. Функция f называется суперпозиционно измеримой (короче: суп-измеримой), если У р€ (Т, В^)) суперпозиция f о С^€ (Т, В(У)).
Каратеодори [1, § 577] доказал суп-измеримость функции f: (а, Ь) х Мт — М, измеримой по Лебегу на (а,Ь) при каждом х = (х1,...,хт) и непрерывной по каждому хк €М, к = 1,...,т, в отдельности при любом г € (а, Ь).
Нашей целью является доказательство суп-измеримости функции f: Т х Мт — М при более общих условиях. А именно, мы будем предполагать, что выполняются условия:
(С1) (У х € Мт) f (■, х) €(Т, В(М));
( С2 ) (У г€Т) функция f (г, ■): Мт — М непрерывна слева по каждому хк €М, к = 1,...,т, в отдельности.
2. Вспомогательные предложения
Пусть (Т, Т) - измеримое пространство, а X и У - метрические пространства. Обозначим через Л произведение Т х В^), т. е. а -алгебру на Т х X, порожденную системой {А х х В : А € Т, В € B(X)}.
Лемма 1. Функция р € (Т, В^)) тогда и только тогда, когда С^ € (Т, Л).
Доказательство. Если р € (Т, В^)), то при А€ Т, В € В^)
С-1(А х В) = {г€Т : (г, р(г)) € А х В)} = А П р-1(В) € Т,
откуда, как хорошо известно (см., например, [2], Предложение 11.1.1), следует, что (У Б Е Л) С-1(Б) ЕТ, т. е. Е {Т, Л). Обратная импликация очевидна. □
Лемма 2. Если функция / : Т х X а У (Л, В(У)) -измерима, то она суп-измерима. Доказательство. Пусть у Е {Т, В(Х)) и С Е В(У). Тогда (/ о С^)-1(С ) = = С-1[/-1 (С)] ЕТ в силу Леммы I (так как /-1(С) ЕЛ). □
Рассмотрим пространство Мт ( т> 1), снабженное какой-либо метрикой с покоординатной сходимостью. Положим
[В(М)]т = {В1 х ... х Вт : Вк Е В(М), к = 1,..., т}.
Хорошо известно, что система [В(М)]т порождает а -алгебру В(Мт) (см., например, [3, с. 154], где рассмотрен случай т = 2, или [4, Лемма 4]).
Пусть дана функция у : Т а Мт, т.е. у(1) = (у1({), ...,ут({)), где ук (I) Е М, к = 1,...,т. Лемма 3. Функция у Е {Т, В(Мт)) тогда и только тогда, когда ук Е {Т, В(М)), к = = 1, ... , т.
Доказательство. Пусть у Е {Т, В(Мт)). Возьмем В Е В(М) и положим Вк = М при к = р и Вр = В. Тогда у-1(В) = у-1(В1 х ... х Вт). Т. к. В1 х ... х Вт Е [В(М)]т сВ(Мт), то у-1(В) ЕТ, т.е. ур Е{Т, В(М)), р = 1,..,т.
Обратно, пусть ук Е {Т, В(М)), к = 1,...,т. Тогда если (Ук) Вк Е В(М), то
у-1(В1 х ... х Вт) = ^\ у-1(Вк) ЕТ. Но т. к. система [В(М)]т порождает а -алгебру В(Мт), к
то у Е{Т, В(Мт)). □
3. Основные результаты
Рассмотрим сначала случай, когда т = 1.
Теорема 1. Если функция f : T х R a R удовлетворяет условиям (C\) и (C2) (при m = 1), то f E(TxB(R), B(R)).
Доказательство. Возьмем произвольное a E R и докажем, что
f-1([a, то)) = Ea := nU { : f (t, r) >a — n-1} x (r,r + n-1)] . (1)
n€Nr£Q
Действительно, пусть (t,x) E f-1 ([a, то)), т.е. f(t,x) > a. Тогда (Vn) E N f(t,x) >a — n-1, и, в силу (C2), существуют такие r E (x — n-1 ,x)P| Q, что f (t,r) >a — n-1. Так как x E (r,r + n-1), то (t,x) E Ea.
Обратно, если (t,x) E Ea, то Vn существует такое rn E Q, что f (t,rn) >a — n-1 и x E E (rn,rn + n-1), т.е. x — n-1 <rn <x. Отсюда и из (C2) следует, что f (t,x) > a.
Итак, равенство (1) доказано, а из него следует, что f-1([a, то)) eT х B(R). Но так как
система {[a, то): a E R} порождает а -алгебру B(R) [3, Prop. 1.1.3], то f E (T xB(R), B(R)). □
Из Теоремы 1 и Леммы 2 вытекает
Следствие 1.В условиях Теоремы 1 функция f суп-измерима.
Теорема 2. Если функция f : T х Rm a R удовлетворяет условиям (C-\) и (C2), то она суп-измерима.
Доказательство. Применим индукцию по т. При m = 1 теорема верна в силу Следствия 1. Предположив, что она верна при т = p — 1, докажем ее при т = p> 1.
Возьмем произвольную функцию у = (y1,...,yp) E (T, B(Rp)). Согласно Лемме 3 ук E (T, B(R)), к = 1,...,p. Рассмотрим функцию g : T х R a R, определенную равенством
g(t,x) = f (t,pi(t),..., pp-i(t), x). Эта функция удовлетворяет условиям (Ci) и (C2) при m = = 1 (в частности, (Ci) выполняется в силу нашего предположения). Тогда по Следствию 1 функция g суп-измерима, так что g о GVp g (T, B(R)). Но т. к.
(f о Gv)(t) = f (t, pi(t),..., <pp(t)) = g(t, <pp(t)) = (g о GVp)(t),
то f о GvG (T, B(R)), т. е. функция f : T x Rp ^ R суп-измерима. □
Нетрудно проверить, что Теорема 2 останется верной, если в условии (C2) заменить непрерывность слева непрерывностью справа.
ЛИТЕРАТУРА
1. CaratheodoryC. Vorlesungen über reelle Funktionen. N-Y.: Chelsea Publ. Comp., 1968. 718 s.
2. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 310 с.
3. Cohn D.L. Measure theory. Boston; Basel; Berlin: Birkhäüser, 1980. 373 p.
4. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость // Изв. высш. уч. завед. Математика. 1975. № 1. С. 82-92.
Поступила в редакцию 18 июля 2013 г.
Shragin I.V.
SUPERPOSITIONAL MEASURABILITY UNDER GENERALIZED CARATHEODORY CONDITIONS
We prove superpositional measurability of the function f : T x rm ^ r (a a -algebra is defined on T ) which is measurable on T and continuous from the left on every xk gR, k = 1,..., m.
Key words: a -algebra; Borel sets; superpositional measurability; Caratheodory conditions.
Шрагин Исаак Вениаминович, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected]
Shragin Isaak Veniaminovich, Perm State National Research University, Perm, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, e-mail: [email protected]
