Об одной краевой задаче математической физике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь>]. Обозначим через Н(V), Яч(,)00 множества решений дифференциальных включений (1) и (2), соответственно, принадлежащих множеству V. Будем говорить, что дифференциальное включение (1) устойчиво на ограниченном замкнутом множестве V С Сп[а, Ь\ относительно внешних возмущений из класса К {{а, Ь] х [0, оо)), если для любой функции £ К([а,Ь] х [0, оо)) выполняется равенство

н<у)=

¿>0

где Н(у), Яг)(й)(V) - замыкания в пространстве Сп[а,Ь] множеств Н(У), Н^б)(V), соответственно.

Теорема. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь], отображение Р : [а, Ь] х И" —> сотр[Нп] удовлетворяет условиям Каратеодори, и пусть

дифференциальное включение (1) устойчиво на множестве V относительно внешних возмущений из класса К([а, Ь] х [0, оо)). Тогда для любой функции £ К([а,Ь] х [0,оо)) выполняется равенство

п н^т=п н„(в)(у*).

<5>0 ¿>0

Из теоремы следует, что устойчивость дифференциальных включений на ограниченном замкнутом множестве V С Сп[а,Ь] относительно внешних возмущений из класса К([а,Ь] х [0,оо)) не зависит от “малых” изменений самого множества V.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вестник Тамбовского ун-та, 1999, том 4, вып. 4, 461-470.

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

© А.Ю. Сазонов

В статьях [1], [3], [4] предложены математические модели фильтрации газа в стационарном и псевдоожиженном слоях в аппаратах колосникового типа. При этом в первом приближении газовый факел моделируется единичным разрезом в комплексной плоскости. В данной работе, являющейся продолжением работ [3] и [4], поверхность газового факела моделируется произвольной эллиптической формой.

Пусть х = (х, у), у > 0 полуплоскость R+, Г+ - граница газового факела, Г° - остальная часть границы Д^.\Г+. Математическая модель газораспределения в зернистом слое описывается краевой задачей для уравнения Лапласа:

Aip = 0, х £ Д^_\Г+, V</? -> 0, \х\ —>■ оо,

</?|г+ = —aUoy, ~ду\Г° ~

где <р(х,у) - потенциал скорости фильтрации, а - коэффициент гидравлического сопротивления дисперсной фазы, Uo - скорость псевдоожижения.

В силу симметрии данная модель сводится к краевой задаче во всем пространстве R2, к которой применим классический метод Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буевич Ю.А., Колесникова H.A., Минаев Г.А. Плоские задачи газораспределения в зернистых слоях. М., 1979 (Препринт ИПМ АН СССР: № 129).

2. Мархевка В.И., Басов В.А., Мелик-Ахназаров Г.Х., Оречко Д.И. Исследование истечения газовых струй в псевдоожиженный слой // Теоретические основы химической технологии, 1971, том 5, № 1.

3. Сазонов А.Ю. Об одной плоской задаче фильтрации газа // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 165-166.

4. Сазонов А.Ю. Некоторые задачи газораспределения в зернистом слое в аппаратах колосникового типа // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 3, 448, 449.

О ПРИМЕНЕНИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОПЕРАТОРА НЕМЫЦКОГО ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© Л.И. Ткач

Пусть У - банахово пространство, обозначим П(У) - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств пространства У. Пусть А С У, обозначим ||А||у = вир ||о||у.

аеА

Пусть #1, Ф2 С У. Тогда /1+у[Фъ Ф2] = 8ир{ру[?/, Ф2] : у € Ф1}, где ру[-, •] - расстояние между точкой и множеством, /гу [Ф1, Ф2] = тах{/),+ у [Ф1, Ф 2 ], Л+ у [ Ф 2; Ф1 ]} - хаусдорфово расстояние между множествами Фх и Ф2.

Пусть Д" - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[Д"] - множество всех непустых компактов пространства Дга. Пусть Ы С [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество, (ц(Ы) > 0, ц - мера Лебега). Обозначим Ьп{1А) пространство функций х : Ы -* Дп с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой ||а;||^(М) = /|ж(в)|йз; Сп(Бп) - пространство непрерывных (абсолютно непрерывных) функций х : [а,Ь\ ->й"с нормой ||ж||с„ = тах{|ж(*)| : Ь 6 [а, Ь]} (ЦхЦв-. = |ж(а)| + [а,ь])- ' К0НУС

неотрицательных функций пространства С1.

Будем говорить, что для непрерывного оператора Л : С\ —> С\ сходятся последовательные приближения, если для любой функции у о 6 С\, удовлетворяющей неравенству у0 < Луо, последовательность функций 2/г, * = 0,1,2,..., {yi+\ = Лу1, г = 0,1,2,...) сходится в пространстве С1 при г -»• оо к функции у, независящей от функции у о.

Будем говорить, что множество Ф С Ьп[а,Ь\ выпукло по переключению, если для любых измеримых по Лебегу множеств К 1,1/2 С [а, Ь], таких что Ы\ П ¿/2 = 0, 1Л\ и = [а, 6] и любых х,у 6 Ф справедливо включение х(Ц^)х + хШ'2)у € Ф, где х(') - характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через П[Ьп[а, Ь}} (П(П[Ь”[а, 6]])) множество всех непустых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению (всех непустых, выпуклых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению) подмножеств из Ьп[а,Ь].

Измеримость множеств везде понимается по Лебегу, измеримость многозначных отображений будем понимать в смысле [1].

Рассмотрим краевую задачу

(£ж)(£) € ^(¿,ж(£)), te[a,b]■, 1х е <р(х), (1)

где С : О" —> Ьп[а,Ь], I : П" —> Д” - линейные непрерывные опреаторы и (р : С" —» Г2(Д") - многозначное

4

отображение. Пусть оператор А : Ьп[а,Ь] —» Оп определен равенством (Аг)(Ь) = / г(.ч)(1ч. Запишем

а

отображение С в виде Сх = (¡)± + А(-)х(а), где оператор <3 : Ьп[а,Ь\ Ьп[а,Ь\ (главная часть оператора С в этом представлении), <2 = £А, каждый столбец п х п - матрицы А{Ь) представляет собой результат применения оператора С к соответствующему столбцу единичной матрицы: А(1) = (СЕ)(1). Будем предполагать, что оператор <3 имеет обратный и обратный оператор : Ьп[а,Ь\ —> Ьп[а, Ь] непрерывен.

Под решением задачи (1) будем понимать такую функцию х 6 £>", которая удовлетворяет и первому, и второму включениям в (1).