Об уравнении Абеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

А^ - алгебраические дополнения элементов определителя А, 8, у - символ Кронекера.

Доказательство. Пусть у - А/. Тогда

т .

ОпТу(х) = р/(х) + 2 (У, V, (.х), (5)

А.-=1

т

0'Ту( / = 0,...,я —1. (6)

А:=1

Найдем (/,Ук), к = \,...,т. Умножая (5) скалярно на V-, _/' = 1 ,...,т, получим

т

= 7=1,...,«. (7)

Возьмем ц = соотношения из (6) и добавим к ним

ц = 5 +1,..., т соотношения из (7). Определитель этой системы есть А Ф 0. Поэтому по формулам Крамера

Подставляя (8) в (5), придем к (3).

Подставляя (8) в оставшиеся д = 1,....,$ соотношения из (7) и ,

11 = я + \,...,т соотношения из (6) и интегрируя по частям, получим (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегродифференциальных и интегральных операторов//Матем. сборник. 1981.Т. 114(156), № 3. С. 378-405.

2. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 2000. № 2. С. 21 - 26.

УДК 518:517.948

Г. В. Хромова ОБ УРАВНЕНИИ АБЕЛЯ*

В данной статье на уравнении Абеля демонстрируется новый способ регуляризации уравнений первого рода, базирующийся на привлечении операторов из теории приближения функций.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 00-01-00237, 00-15-96123.

Пусть мы имеем уравнение Абеля

АиА{Хг л0''"(О = /(*), 0<а<1, (1)

о ГО-«)

правая часть которого задана 8-приближением /5 (х) в пространстве 12[0,1], а м(0еС[0,1].

Возьмем расширенный оператор Стеклова ¿?А, с помощью которого можно получить равномерное приближение к любой непрерывной функции на отрезке [0,1] [1]:

1 И-х 1 Л+х

1 I <р(0с/( + ~ ¡ср№,

5Аф =

1 х+И -

2И

х-И

*е[0,А], л е [АД-А], *е[1 —АД].

(2)

^ г-х-н | 1

— | + - /ф(0Л, 2И ¿_к А2_£_а

Рассмотрим оператор Яи =

ТЕОРЕМА 1 Оператор является линейным ограниченным,

действующим из ¿2[0,1] в С[0,1] интегральным оператором с ядром Кк(х,т), имеющим вид

(х + И- х)~а -(х-И- т)-а, 0<х<х-А,

Кь(х, х) = - (х + И-х)~а, х-И<л<х + И, (3)

0, х + И<1<\

при хе[АД-А]; при хе[0,И] Кь(х, х) имеет вид (3) с заменой х-И ни И-х\ при хе[1-А,1]

2(1 - т)_а - (х-И- т)-а — (2 - * - А — т)_а, 0<т<х- И, Кк(х, т) = - 2(1 - т)~а - (2- х-И- т)~а, х - И<1 <2- х- И,

2(1 - х)~а, 2-х-И<к\.

Доказательство. Известно [2], что в данном случае оператор

А 1 имеет вид

<Г(1-а)

Проведя соответствующие выкладки, получим вид функции Кь (х, х), приведенный в теореме. Далее, пусть у(х) е Ь2 [0,1]. Обозначим г(х) = ЯиУ. Непрерывность г(х) следует из непрерывности функции

Zj(X) = J(1 -t^^v^^í/tj в точке jc = 0 и из ее равномерной непре-

о

рывности на любом внутреннем отрезке [б,1 - s], поскольку в этом случае для любых х1,х2, таких, что | xl - х2 |á 8t, выполняется оценка: I - ^х2У\2<(\ - 2а)-1 z'WLi (v,6,),

где (0¿2(v,8j) - модуль непрерывности функции v(x) в пространстве ¿2[0,1].

Ограниченность оператора Rh следует из неравенства Буняков-

ского.

g

ТЕОРЕМА 2. Если h = h(b), так что-->0 при 8->0, то

А(8)

1|ЯА(5)/5-и||С(01]-»0 при 8 0.

Доказательство вытекает из оценки

\\Rkh -«Ис[0.1]*||Л* ||¿2_>c 8+11^/-и|1с[0,1] и оценок ||Rh ||¿ Kh~l, где К не зависит от И, \\ Rhf -и||с[о,11-> гДе ca(h) - модуль непрерывности функции и(х) в пространстве С[0,1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью //Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 1977. Т. 17. № 5. С. 1161 - 1171.

2. Самко С Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. С. 38.

УДК 517.51:518

Г. В. Хромова, И. Д. Молоденкова

ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОСРЕДНЯЮЩИМИ ОПЕРАТОРАМИ*

Данная статья представляет собой обобщение результатов, полученных в [1, 2, 3], на случай одномерных пространств Соболева с весами.

1. Рассмотрим функцию и(х)е1У£[-п,п], и^к\-п) = и(-к\п), к = 0,г-1,

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 00-01-00237, 00-15-96123.