Задача обращения одного класса интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Тимофеев В. Г. Пример построения функций с наперед заданными свойствами. Саратов, 1999. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99, № 1561-В99.

3. Тимофеев В. Г. О неподвижной точке одного специального отображения. Саратов, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99, № 1560-В99.

УДК 517.928

В. А. Халова

ЗАДАЧА ОБРАЩЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Задача точного обращения интегрального оператора вида

Af = \A(x,t)f(t)dt, jce[0,l] о

представляет значительный интерес, в частности, при изучении сходимости спектральных разложений (см., например, [1]).

В настоящей статье полностью решается эта задача для интегрального оператора

Af = а,Р f(t)dt + a2 j V n, /('>*+I>*(*)(/,vt),(l)

0 \п~Ч- 0 \п~Ч" к=1

х е [0,1],

1

где (/>*) = jf(t)vk(t)dt, gk(x) е С" [0,1], vk (х) е С" [0,1], последовательно-о

ста {g("](x)\"1, {vk(?)}" линейно независимы, P = otj -а.\ ф0.

Полученные результаты являются обобщением результатов А. П. Хромова [2], относящихся к оператору вида (1), когда п = 1 и a, = 1, а2 =0.

Обозначим Sf(x) = /(1 - х), Т = a, - a2S, D = —.

dx

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Оператор А существует тогда и только тогда, когда

rang T = m, (2)

где Г - матрица размера (п + m)xm с элементами

* Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123.

Ьк

) = \,...,п

, к = \,...,т,

[Р8* ,у-п + Ф"Тёк) = п +1,...,п + т

8, у - символ Кронекера.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 в [2]. Пусть выполняется (2). Для определенности, пусть отличен от нуля минор Д, состоящий из следующих строк матрицы Г:

Г>^(0), Ц = 1,...,5, к = \,...,т, 0<11<12<-<1,<п-\,

Р ц = « + 1,...,я|, 1 <js+l<js+2<■■■<im<m,

к = \,...,т, где 51 - фиксированное число 1 < 5 < т. Тогда справедлива

ТЕОРЕМА 2. Если А * 0, то справедлива формула

А+уЛ

Р

Г?Ту{х)-~УОпТи(х) д к=\

т

,Ц=1

причем у{х) удовлетворяет следующим краевым условиям:

"¿\а„очх о)+Ртр^т>(1)] = (у, Фр), Р=1,...,«,

(3)

(4)

т=0

где

«ту =

Ц=1

ц=1

А4=1

Р = з, ...,п,

(-1)"

„(«-1-х)

Ц=5+1

НГТ Е ^Г

, /7 = 1,...,5,

Л^ - алгебраические дополнения элементов определителя А, 8, у - символ Кронекера.

Доказательство. Пусть у - А/. Тогда

т .

ОпТу(х) = р/(х) + 2 (У, V, (.х), (5)

А.-=1

т

0'Ту( / = 0,...,и —1. (6)

А:=1

Найдем (/,Ук), к = \,...,т. Умножая (5) скалярно на V-, _/' = 1 ,...,т, получим

т

Возьмем р = соотношения из (6) и добавим к ним

ц = 5 +1,..., т соотношения из (7). Определитель этой системы есть А Ф 0. Поэтому по формулам Крамера

Подставляя (8) в (5), придем к (3).

Подставляя (8) в оставшиеся р = соотношения из (7) и ,

11 = я + \,...,т соотношения из (6) и интегрируя по частям, получим (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегродифференциальных и интегральных операторов//Матем. сборник. 1981.Т. 114(156), № 3. С. 378-405.

2. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 2000. № 2. С. 21 - 26.

УДК 518:517.948

Г. В. Хромова ОБ УРАВНЕНИИ АБЕЛЯ*

В данной статье на уравнении Абеля демонстрируется новый способ регуляризации уравнений первого рода, базирующийся на привлечении операторов из теории приближения функций.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 00-01-00237, 00-15-96123.