CC BY
22
Zj(X) = J(1 -t^^v^^í/tj в точке jc = 0 и из ее равномерной непре-
о
рывности на любом внутреннем отрезке [б,1 - s], поскольку в этом случае для любых х1,х2, таких, что | xl - х2 |á 8t, выполняется оценка:
I - ^х2У\2<(\ - 2а)-1 z'WLi (v.Sj), где (0¿2(v,8j) - модуль непрерывности функции v(x) в пространстве
¿2 [ОД].
Ограниченность оператора Rh следует из неравенства Буняков-
ского.
g
ТЕОРЕМА 2. Если h = h(b), так что-->0 при 5->0, то
А(8)
1|ЯА(5)/5-и||С(01]-»0 при 5 0.
Доказательство вытекает из оценки
\\Rkh -«Ис[0.1]*||Л* ||¿2_>c 8+11^/-и|1с[0,1] и оценок ||Rh ||¿ Kh~l, где К не зависит от И, \\ Rhf -и||с[о,11-> гДе ca(h) - модуль непрерывности функции и(х) в пространстве С[0,1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью //Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 1977. Т. 17. № 5. С. 1161 - 1171.
2. Самко С Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. С. 38.
УДК 517.51:518
Г. В. Хромова, И. Д. Молоденкова
ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОСРЕДНЯЮЩИМИ ОПЕРАТОРАМИ*
Данная статья представляет собой обобщение результатов, полученных в [1, 2, 3], на случай одномерных пространств Соболева с весами.
1. Рассмотрим функцию и(х)е1У£[-п,п], и^к\-п) = и(-к\п), к = 0,г-1,
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 00-01-00237, 00-15-96123.
ufwr= j[qu2(t) + k^r\t))2]dt,
"iv2
-n
где q,k - положительные постоянные, и семейство интегральных операторов Ан ядрами KH(x,t) таких, что \\ Ани~и\\с[-п,п\~*® ПРИ Я -> 0 равномерно по и на классе
Щ[-п,п] = {«6^К4 uw(-n) = uw(n), к = 0,г-1, ||«|Ь<1,
2
г > 1, целое }.
Рассмотрим также величину
ДJ (Ан Мг ) = sup {\\Ани - и || С(_л>71]: и е Мг2}.
ТЕОРЕМА 1. Справедливо представление
I
Дх(.АН,Щ)= sup Цкн(хЛМхХ,НШ~g(x,x,H))2, где g(x,^H)= ]кн{х,ч)С)Ыйц-0{^х),
—71
/=1 /=1
С/ = ¿/_(2,,"1)(1 -е2тЛ'^ = ф2г.
Доказательство получается по аналогии с [1]. После следующего преобразования:
^ = НУ^/ДО, - - МГ1 (см-
*<1
Ы1
1 1
- = (-1Г1(2/Т1,
(2r + + (~l)r (2r + l)(-l)r+1 + (-1)г
учитывая, что (— l)r (— l)r+1 (2г)-1 = -(2г)-1, придем к утверждению теоремы.
2. Пусть функция и(х) задана ее 8- приближением в пространстве Ь2[-п,п\\
II и6-"М8-
Рассмотрим величину
Д(8,Ля,М£) = 8иР{11 Аниь-и\\с:иеМгг,\\ иъ -м||^<8}.
Получим для нее двустороннюю оценку в случае, когда Ан- интегральные операторы, сохраняющие тригонометрические сплайны [2].
2к
ТЕОРЕМА 2. Пусть {Ан(х,/)},Н = -——, п= 1,2,... - последовали- 1
тельность операторов с ядрами Кн (х,() = ]Га((*)ф;(/), сохраняющими
тригонометрические сплайны.
При достаточно малых 8 справедлива двусторонняя оценка
_1 I I 3 1 2
2~*(рл(ВРЬУ < Д(8,ЛЯ(5),М2г) < 2*ф*(ВР8У,
Р *>кг - 2г — 5 I
где = Я = (3|£СЛ1)2> р = 5тах(Х(сх,0с))2)2 ,
в а /=1 * !=1
5 = 3, 5 или 7 в зависимости от того, куда попадает х (см. [2]), а.](х) ищутся из систем линейных алгебраических уравнений (см. [4]), 9/(0 -линейно независимые функции, получаемые сдвигом (см. [2]).
Доказательство следует из известной двусторонней оценки (см. [1]), из оценки
\\А„ \\ (см. [3])
и из асимптотического равенства
, I I Д 1(АнМг2) = (~;)2ВН1+0(Н).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вести. МГУ. Сер. 15. 1993. № 1. С. 13 - 18.
2. Молоденкова И. Д. Приложение оператора осреднения к задаче восстановления функций // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 57 - 59.
3. Молодеикова И. Д. Об осредняющих операторах, сохраняющих тригонометрические многочлены и тригонометрические сплайны // Математика, механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 81 - 84.
4. Молоденкова И. Д., Молоденков В. А. Обзор численных методов для решения задач приближения непрерывных функций с использованием сплайнов и осредняющих операторов. Саратов, 1998. 37 с. Деп. в ВИНИТИ. № 986-В98.
УДК 519.853.5
В. Б. Чеглов
О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ КОМПАКТА ОРИЕНТИРОВАННЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ
1. Математическая формализация задачи. Пусть множество D czRp - компакт, подлежащий оценке. Рассмотрим задачу о построении ориентированного эллипсоида наименьшего объема, содержащего в себе D. Для определенности будем считать, что эллипсоид ориентирован по осям координат.
Введем следующие обозначения: Г : ~2
, r(x,x) = maxn(x-y,x). (1)
ysD
Заметим, что при фиксированном векторе
х = т^ > 0, / = \,р функция п(х,т) удовлетворяет аксио-
мам нормы.
Множество, заданное соотношением
Е{х,г(х,х)х)ш jj, е RP< г*(*,т)|, (2)
является ориентированным эллипсоидом с центром в точке х, размеры полуосей которого заданы вектором г(х,-с)т, причем (это следует из (1) и (2)) хотя бы одна точка компакта D лежит на границе эллипсоида.
Известно, что объем эллипсоида пропорционален произведению длин его полуосей (см., например, [1]). Тогда- задачу о внешней оценке компакта D ориентированным эллипсоидом можно записать в виде
V{x,x)^rp{x,x)f[x(') min (3)
,=1 xeRp,T>0
2. Дифференциальные свойства целевой функции. Напомним основные понятия квазидифференциального исчисления (см. [2]).
Определение 1. Пусть в открытом множестве S с Rp задана конечная функция /(х). Будем считать, что /(х) - квазидифференцируемая
"0,0 = JZ
/=1
г (О
