CC BY
13
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Лукомский С. Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к /.„ // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 6. С. 882 - 889.
2. Голубое Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша, Теория и приложения. М: Наука, 1987. 344 с.
УДК 517.51.518
И. Д. Молоденкова
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ОСРЕДНЯЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ, СОХРАНЯЮЩИХ СПЛАЙНЫ
Пусть Ан - интегральные осредняющие операторы
ь
AH{f-,x) = ¡KH(x,t)f(t)dt,
а
зависящие от шага разбиения отрезка Н =——— {п - натуральное число)
п
как от параметра, сохраняющие пространство S(Д) кубических сплайнов 5(х) дефекта 1 по разбиению Д, с ядрами
s
/=1
где S принимает соответствующие значения в зависимости or того, куда попадает х \ ф,(г) - линейно независимые функции, получаемые сдвигом функции
/А J—. 0<t<H,
ф(0 = \н
[О, t <0, t> Н;
аДх) находятся из соответствующих систем линейных алгебраических уравнений [1].
Рассмотрим величину, характеризующую скорость аппроксимации функции f(x) операторами АИ на классе Lipk Р, 0<(3<1,[2]:
Al(AH,Lip^) = sup{\\AHf-f\\c:feLip^}. Имеют место теоремы.
ТЕОРЕМА 1. При Н —> 0 справедливы оценки: 1. Д|(Лн,1грАР)</!7/р;
2. А/Я4 < Ь.\лн,Ырк— J< КнУ™,
где К = — для р = 1, К = »'¡-к для (3 = — . 5 V 5 т
,, (т- l)(2m -1)(3т -1) .
М = --;-V-—-£ ГП1П
4т-1
4п-1
■w4-404-24
í=i
(2г -1); - (2 - ¡)/3 + - - р4
5 = 4, /? = 1,4, x„=x¡+ — + ph, I = 0,и-1; 5 = 5, р = 1,5,
• + / = !,« — !; от>2.
Для доказательства отметим свойства оператора .
Ац - положительные операторы, т.е. для каждой положительной функции из C[a,b] AH(f;x)> 0.
Это следует из того, что Ан в каждой точке даёт осреднённое значение среди положительных значений функции в соседних точках.
Интегральные осредняющие операторы Ан линейны, и для них справедливы равенства
Ан( 1;х) = 1, Ан(4;х) = х, Аи{^2\х) = х2, Ан(Е,3;х) = х3.
Оценка сверху следует из свойств операторов Ан и теоремы Дзяды-ка [3, гл. VIII, § 4, теорема 1].
ТЕОРЕМА (Дзядыка). Если линейный положительный оператор AH(f(отображает пространство непрерывных функций /(£) на сегменте [a, Ь] в самое себя таким образом, что
А„( 1;х) = 1, Ан\%-
а + Ь
\х \ = х -
а + Ь
+ сх„(х),
F _
а + Ь
а + Ь
+ Р„<Х>,
где а„(х) и Р„(х) равномерно стремятся к нулю при п—>оо, то тогда он любую непрерывную на [а,Ь] функцию /(*) будет приближать с точностью, не превышающей
I /(*) ~ (/; х) |< ~ со (/; 8 ), 4
где через са(/обозначен модуль непрерывности функции /(х) и
#
8fl=2V(6-a)|a„(x)| + |p„(x)|. Оценка снизу получена для
J;/m;x - х
, х т е Lipk
(ГУ ^ у
н ¿н — X
sM\\AHf - f\\c-f eLiPк
ТЕОРЕМА 2. Для любой непрерывно дифференцируемой функции до г-то порядка (г >5) при Н —> О справедлива оценка
МН <|| AHf-f\\c<KH,
где
К =
9 к
М = min
1=1
(2/-1)1-(2-«У +--рА
40 • 24
§1
5 = 4, р = 1,4, х =х, + — + ph, / = 0,и - 1;
5 = 5, р = 1,5, хр = x¡---- + ph, l -\,п - 1.
Доказательство оценки сверху аналогично получению оценки сверху в теореме 1.
Для получения оценки снизу использовалось разложение в ряд Тейлора первообразной интеграла от функции f{x) на отрезках разбиения А.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г. й., Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2001. Ч. 1. 30 с.
2. Хромова Г. В., Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. 2. 33 с.
3. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 508 с.
УДК 519.4
В. А. Молчанов
О ЕСТЕСТВЕННОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ НА ЯЗЫКИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЛОВ*
В работе [1] на основе методов нестандартного анализа [2] положено начало унифицированному подходу к теории языков, распознаваемых конечными автоматами. В настоящей статье эти идеи развиваются с целью изучения языков произвольных слов, распознаваемых конечными полугруппами.
В работе [3] приводится убедительная мотивировка для обобщения теории языков конечных слов над конечными автоматами и полугруппами
* Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (грант № 99-1224).
90
