Оценки точности приближения производной операторами, переводящими кубические сплайны в их производные Текст научной статьи по специальности «Математика»

При построении h знание элементов а; е V = roots(I) не требуется, так как для выполнения условия /г(а,)* h(a2) (при ot] по теореме Стикельбергера необходимо и достаточно, чтобы были различны все собственные значения матрицы Lh. Тогда Lh диагонализируема, следовательно, теми же преобразованиями подобия диагонализируемы все матрицы коммутативного кольца {Lj-\ f <=R/I}. В этом случае вместо поиска преобразования подобия для семейства матриц (как в [2, 3]) строится преобразование подобия для одной матрицы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Месянжин А. В. Матричное представление элементов фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 19-27.

2. Месянжин А. В., Блинков Ю.А. Об одном алгоритме решения системы полиномиальных уравнений // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Саратов, 13-17 сент. 2004 г. Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. V, вып. 4. С. 90 - 97.

3. Mesyanzhin А. V. On a Method for Finding the Roots of an Ideal // Programming and Computing Software. N. Y.: Plenum Press, 2005. Vol. 31, № 2. P. 97 - 102.

УДК 517.51.518

И. Д. Молоденкова

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ОПЕРАТОРАМИ, ПЕРЕВОДЯЩИМИ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ В ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Пусть АИ - интегральные операторы

ь

H(x,t)<$(t)dt,

а

зависящие от шага разбиения отрезка Н = ——— (п - натуральное число)

п

как от параметра, переводящие кубические сплайны 5(х) дефекта 1 по разбиению Д в их производные, с ядрами

s

i=i

где S принимает соответствующие значения в зависимости от того, куда попадает х, ср,(i) — линейно независимые функции, получаемые сдвигом функции

ФОН я' 0-----•

[о, t <0,t> Н\

а, (х) находятся из соответствующих систем линейных алгебраических уравнений [1,2].

Пусть /(х) - дифференцируемая функция и f(x)eLipk Р, 0<Р<1. Рассмотрим величину, характеризующую скорость приближения производной операторами Ан:

А, (Ан ,Lipkfi) = sup {¡|AHf - f\\c : fe LiPk\3} [3]. Имеют место теоремы.

ТЕОРЕМА 1. При Н —>0 справедливы оценки: 1. A^Afj ,Lipkfi) < КН^;

1

9 к

2. МН3 < A, AH,Lipk — < КН/т, т.

где К = — для Р = 1, К = kт— для Р = —,

40

М -

(т- 1)

7т-\

2-5°

min

f. 1 2т -1

ЕМ*»)

1=1

где хр = х1 + ¿1 + рИ, р = 1,4, 5 = 4, с1 = -у, если / = 1, и — 1, ^ = 0, если

^ __9// 5

/ = 0; /г = — для / = 1, п - 2, И =- для / = 0 и / = и - 1; х = х,--+ р/г

Я 40 р 1 2

__^ ^у

для 5 = 5, /? = 1,5, ^ = > = " • ^-2•

Для доказательства отметим свойства оператора .

Так как [2] Л„(1;х) = 0, Ля(^;х) = 1, Л„(£2;х) = 2х, Ан (Е,3;х) = Зх2,

л ь

AH(g4;x) = 4х3, a = то Jlcft;x

Vo

= 1,

Jxcic;;

= х,

(* 1 (s \

¿н Jх2 dx\x - х2, Ан |х3£&;х

v0 V.0 У

Оператор Ан | обозначим Ан , откуда имеем

о

Л„(1;х) = 1, Лн(4;х) = х, Ан(^-,х) = х\ Ан{^-х) = х\ Кроме того, для любой непрерывно дифференцируемой функции

Ан{№-х) = Ан

\f{x)dx + m-x

Но

Следовательно,

AH{m-x)=mAH{\-x)=Q.

AH{f&,x)=AH{f\Q-x).

Таким образом, оператор Ан обладает свойствами оператора А,,, описанного в работе [4].

Оценка сверху следует из свойств оператора Ан и теоремы Дзядыка (см. [5], гл. VIII, § 4, теорема 1), примененной к Ан и f'(x) g Lipk р.

Оценка снизу получена для

т +1

т ;jc \-х

ir- 1 , х"' е Lipk —, а

1С

, [ т _ '"* 1 1 1

Лн\—Лт

\т + 1 )

sup || Аи/-Г\\с:,ГеЫрк~\\>

т

ТЕОРЕМА 2. Для любой непрерывно дифференцируемой функции до г-го порядка (г > 4) при Н —> О справедлива оценка:

МЯ3 <\\Ан/-Г\\с<КН\

9к I 9 1

где /С = — при В = 1, К = к™— для В = —, 40 V40 /и

М = min

S,x„,x,

fUV\x,)x о ¿а,.(хр) + " i)

¿=i

56 ■ 6

где хр = х1 + с! + рИ, р = 1,4, 5 = 4, с/ = ~, если / = 0, и -1, с/ = 0, если 1-0;

И = — для / = 0, и - 2, Л =---для / = 0 и / = и -1; хп = х, - -1 + рИ для

5 40 р I 2 I

5 = 5, п = 1,5, к = — , 5. = —. ' 25 1 5

Доказательство оценки сверху аналогично получению оценки сверху

в теореме 1.

Для получения оценки снизу использовалось разложение в ряд Тейлора первообразной интеграла от функций /(х) и /'(х) по степеням И на отрезках разбиения Д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В., Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Ч. 1.

2. Молоденкова И. Д. Построение операторов, восстанавливающих производные // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 95-98.

3. Хромова Г.В., Молоденкова ИД. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. 2.

4. Молоденкова И. Д. Некоторые оценки точности приближений функций с помощью осредняющих операторов, сохраняющих сплайны // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 88 - 90.

5. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

О РАСПОЗНАВАНИИ ЯЗЫКОВ ПОЛУГРУППАМИ И АВТОМАТАМИ

В связи с широким применением в компьютерных науках языков, содержащих как конечные, так и бесконечные в любую сторону слова, естественно возникает задача обобщения на такие языки классической теории формальных языков [1]. Полученные в этом направлении результаты (см., например, [2]) показывают, что при переносе основных понятий теории языков конечных слов на бесконечные слова возникают такие понятия, которые весьма неоднозначно интерпретируются и, как правило, приводят к разнообразным теоретическим проблемам. С другой стороны, в работе [3] предложен унифицированный подход к теории языков конечных автоматов на основе методов нестандартного анализа [4]: здесь естественно введено понятие распознаваемого автоматом Буши языка произвольных слов и описан класс таких языков. В последующей статье [5] с помощью методов нестандартного анализа естественно введено понятие языка произвольных слов, распознаваемого конечной полугруппой. В настоящей статье исследуется взаимосвязь между понятиями распознаваемых автоматами и полугруппами языков произвольных слов.

Рассмотрим конечный алфавит А. Пусть (А) - множество всех конечных слов, (А) - множество всех бесконечных вправо слов, УУ*~(А) — множество всех бесконечных влево слов, ПГ'(А) - множество всех бесконечных в обе стороны слов и IV (А) = (А)и (А)^>1¥*~(А) -множество всех слов над алфавитом А. Подмножества IV (А) называются языками над алфавитом А.

Ясно, что № (А) можно рассматривать как четырехсортную алгебру \¥ (А)= (А), \¥^(А), Ц^'(А)) с канонически определенными в