CC BY
65
(ГУ ^ у
н ¿н — X
sM\\AHf ~ f\\c-f eLiPк
ТЕОРЕМА 2. Для любой непрерывно дифференцируемой функции до г-то порядка (г >5) при Н —> О справедлива оценка
МН <|| AHf-f\\c<KH,
где
К =
9 к
М = min
1=1
(2/ -1)/ - (2 - í)r + ~~р
40 • 24
Si
5 = 4, р = ),4, х =х, + — + ph, / = 0,w - 1;
5 = 5, р = 1,5, хр = x¡---- + ph, l -\,п - 1.
Доказательство оценки сверху аналогично получению оценки сверху в теореме 1.
Для получения оценки снизу использовалось разложение в ряд Тейлора первообразной интеграла от функции f{x) на отрезках разбиения А.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г. й., Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2001. Ч. 1. 30 с.
2. Хромова Г. В., Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. 2. 33 с.
3. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 508 с.
УДК 519.4
В. А. Молчанов
О ЕСТЕСТВЕННОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ НА ЯЗЫКИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЛОВ*
В работе [1] на основе методов нестандартного анализа [2] положено начало унифицированному подходу к теории языков, распознаваемых конечными автоматами. В настоящей статье эти идеи развиваются с целью изучения языков произвольных слов, распознаваемых конечными полугруппами.
В работе [3] приводится убедительная мотивировка для обобщения теории языков конечных слов над конечными автоматами и полугруппами
* Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (гранг № 99-1224).
90
[4] на бесконечные слова. С другой стороны, результаты работы [1] показывают, что с математической точки зрения при изучении распознаваемых конечными автоматами языков естественно возникает задача исследования языков произвольных слов, содержащих как конечные, так и бесконечные в любую сторону слова. Главный результат работы [1] показывает, что в этом случае класс распознаваемых автоматами языков совпадает с классом так называемых обобщённо-рациональных языков, которые определяются рациональными выражениями с помощью четырёх специальных операций (конечное объединение, конечное произведение, тернарное произведение и степень).
В этой статье с помощью методов нестандартного анализа [2] и результатов нестандартной топологии из [5] разрабатывается естественный подход к обобщению теории распознаваемых конечными полугруппами языков конечных слов на языки произвольных слов.
Напомним [2], что главная идея нестандартного анализа заключается в построении теоретико-модельными методами отображения * стандартного теоретико-множественного универсума II = У(Б) над множеством атомов Л' в собственную подструктуру * II нового теоретико-множественного универсума У(*Ъ) над расширенным множеством атомов , так что выполняется следующий принцип переноса: для любых Ае II любое утверждение ф = ф(Х|,-- х„) логики первого порядка с ограниченными кванторами истинно в II тогда и только тогда, когда это утверждение ф истинно в *и для »-образов *А,,...,*А„ Множество А е У(*Б) называется внутренним, если А е *С1.
Пусть А - конечное множество, (А) - полугруппа слов над алфавитом А. Тогда по принципу переноса множество
*И^„(А)= {/: (3 т,п е *г) п<т л / е *Щп,т]Я) }
с операцией конкатенации образует полугруппу нестандартных слов на А.
Пусть IV" (.4) (Ж' (А)) - множество бесконечных вправо (влево) слов над алфавитом А, IV" (А) - множество бесконечных в обе стороны слов и IV (А)= IVц„ (А) и IV " (А) и IV" (А) и IV" (А) - множество всех слов А. Подмножество ЩА) называется языком над алфавитом А.
Ясно, что ЩА) можно рассматривать как 4-сортную алгебру
ЩА) = (Щ7„(А), IV"(А), IV "(А), IV "(А))
с шестью операциями: умножение в полугруппе Щп (А), смешанные произведения
IV" (А) х (А) -> IV (А), !У/т (А) х IV ' (А) -> IV" (А), IV" (А) х Ж" (А) -> IV" (А)
и две унарные операции
\¥Гт (А)-> IV" (А), (А) IV" (А),
которые для слова ие Wßn (А) определяются по формулам
+0» -Q)
и = ии..., U = ...Uli.
При этом для.любыхе WiM{Ä), и eW (А), v е IV ""(А) и п е 7Vвыполняются свойства:
(xy)z= x(yz), и(ху) = (их)у, {xy)v = x{yv\ (ux)v=u(xv), х(ух)+а = (xy)+ia,
( Я\+(й _ +0) / \ -0J _ / \ -СО / П\-03 -Ш
(х ) х , (ух)у =(ху) , (х ) = х .
Удовлетворяющие таким свойствам 4-сортньте алгебры называются алгебрами Уилки.
Множество W (А) является подмножеством множества F = F(Zy4) всех частичных отображений Z в А. Если множества Z и А рассматривать как равномерные пространства с дискретными равномерностями *1г и 1Л соответственно, то в силу результатов [5] на множестве F нестандартно определяется равномерно непрерывная сходимость частичных отображений у по формуле
(f,h) е?0 (*/х h){ *lz ) с 1А а ( dorn */) Г\ Z = ( dorn h ) n Z,
где / e F,h e *F.
ЛЕММА 1. Для пространства сходимости F = (F,y) справедливы утверждения:
1) для любого h е *Wfm(A) условие (J\h) е у равносильно тому, что fе W(A) и h - *j\\n,m] для некоторых т,п е *Z, п<т\
2) замыкание множества Wß„ (А) в пространстве сходимости F равно множеству всех слов W(A) над алфавитом А.
Как известно [4], любое отображение <р множества А в конечную полугруппу 5 канонически расширяется до гомоморфизма ср: Иут(А) —* А, который по принципу переноса расширяется до гомоморфизма *ф полугруппы * Wj-m (А) в S. Полученные в лемме 1 результаты позволяют канонически продолжить гомоморфизм ф на множество всех слов ЩА) до отображения ф. Для этого необходимо отождествить в полугруппе 5 *ф-образы всех бесконечно близких слов из нестандартного расширения * Wfm (А). Реализация этой идеи приводит к каноническому расширению исходной полугруппы S до 4-сортной алгебры S так, что любое слово w из W(А) интерпретируется элементом ф(w) алгебры S.
Для конечной полугруппы S обозначим: S1 = 51 и {1} - моноид с внешне присоединённой единицей 1 и Es - множество идемпотентов моноида S'. Рассмотрим 4-сортную алгебру Gs = (G\,Gi,Gi,G\) с базисными множествами
G^ = { (\,s,l) | i е 5}, G2 = {(e,s,l) е G| е е Es ле* 1 л es = s },
G3 = { (UJ) e G | /е Es л/* 1 л sf= s }, G* = { (e,sj) g Gj e/e Es л esf= s }.
Для элементов алгебры Gs вида (e,s,l),(l,s'/) по формуле (е,5,1)(1,5 ',/) = (e,ss',/) определены ассоциативное умножение на множестве Gi и смешанные произведения G2 х G\ —> G2, G\ х G3 —> G3, Gi x G3 —> G4. Кроме того, для элементов алгебры Gs с помощью бесконечного числа п е *ЛГ можно определить еще две унарные операции G\ —> G¡, G| —> G¡ по формулам: (1 ,í, 1 )+ш = (1 ,s"\ s"'), (1,5,1 )"ш = (s"\ s"', 1) .
J1EMMA 2. Для любой конечной полугруппы S алгебра Gs является алгеброй Уилки.
ЛЕММА 3. Для любого отображения ф алфавита А в конечную полугруппу 5 канонически определяется такое продолжение ф : * WJ]n (А) —> Gs, что для бесконечно близких элементов w,w' е. * Wj¡„ (А) образы ф (и>) = =(e,sf), ф (\v ') = (e\s' f) удовлетворяют условию:
( 3 M,v,x,y б S' ) ( е = uv а е' = vu л /= ху л f = ух л s' = vsx ). (1)
Это свойство определяет на базисных множествах 4-сортной алгебры Gs четыре отношения эквивалентности =,■ (1< i< 4), причём s, - тождественное отношение на множестве G|. Обозначим фактор-множества
S* = G-J^i, ~ G)/=i, Sf* = G4/=4 ,
В результате получаем фактор-алгебру S = (S, S^, S**) алгебры Уилки Gs по 4-сортной конфуэнции (=,))< .
ТЕОРЕМА 1. Для любой конечной полугруппы S справедливы утверждения:
1) S = (S, ST~, S~*, S**) является алгеброй Уилки, удовлетворяющей
гг(1)р _ ("•* f". rv* (j) _ С * {-< * (--< >
условиям: 6 ¿= л , = i , о Л = о ;
2) для любого отображения ф алфавита А в полугруппу 5 существует такой однозначно определенный гомоморфизм <р алгебры ЩА) в 5, что <р\А = ф.
Этот результат позволяет естественно ввести и исследовать понятие языка произвольных слов, распознаваемого конечными полугруппами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Molchanov V.A. Nonstandard approach to general rational languages // Contributions to General Algebra 13, Proceedings of the Dresden Conference 2000 (AAA60) and the Summer School 1999, Verlag Johannes Heyn. Klagenfurt, 2001. P. 233 - 244.
2. Альбеверио С., Фенстад И., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М: Мир, 1990. 616 с.
3. Perrin D., Pin .I.E. Semigroups and automata on infinite words // Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. Vol. 466. P. 49-72.
4. Pin J. E. Finite semigroups and recognizable languages: an introduction // Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. Vol. 466. P. 1 - 32.
5. Молчанов В. А. Нестандартные сходимости в пространствах отображений // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 6. С. 141- 153.
