CC BY
28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983.
2. Василенко В. А., Зюзин М. В., Ковалков А. В. Сплайн-функции и цифровые фильтры. Новосибирск: Наука, 1984.
3.ЛоранП.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.
УДК 519.4
В. А. Молчанов
О МАТРИЧНЫХ ПОЛУГРУППАХ НАД ПОЛУКОЛЬЦАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ К ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ*
Пусть А - конечное множество, Щ„(А) - полугруппа слов над алфавитом А, А" - множество всех бесконечных вправо слов, А~ы - множество всех бесконечных влево слов, А2, - множество всех бесконечных в обе стороны слов и ЩА) = Я/1„(А) и А" и А'" и А2 - множество всех слов над алфавитом А. Подмножества ЩА) называются языками (произвольных слов) над алфавитом А,
Пусть А = (£?, А, V, I, Р) - конечный (недетерминированный) автомат, где 2 - конечное множество состояний автомата, А - конечный алфавит, V: а | у(а) (а е А) - отображение А в полугруппу В(0 бинарных отношений на множестве I и^- соответственно множества начальных и финальных состояний автомата. Отображение V: А —> В(0 канонически расширяется до гомоморфизма V: А) —> В((2) полугруппы слов Я/¡„(А) на полугруппу переходов 5(А) = у( Щ„(А)) автомата А.
Как показано в работе [1], такой гомоморфизм V канонически расширяется до отображения V: ЩА) —> В(0, что позволяет определить распознаваемый автоматом А язык Ь(А) по следующей формуле: Ь{А) = {х е ЩА): у(х)(/х Г) # 0}.
Главный результат работы [1] показывает, что класс распознаваемых автоматами языков совпадает с классом так называемых обобщенно рациональных языков, которые определяются рациональными выражениями с помощью четырех специальных операций (конечное объединение, конечное произведение, тернарное произведение и степень).
С другой стороны, в работе [2] введено понятие языка произвольных слов Ь с ЩА), распознаваемого конечной полугруппой. Как известно из теории формальных языков конечных слов (см., например, [3]), распознаваемость языка Ь с Щ}„(А) конечным автоматом равносильна распознаваемости Ь полугруппой переходов этого автомата. Однако простые
* Работа выполнена при поддержке ПЧТАЭ, грант № 99-1224.
98
примеры показывают, что этот результат не переносится на языки произвольных слов с помощью аппарата полугрупп бинарных отношений.
С целью доказательства распознаваемости конечными полугруппами обобщенно рациональных языков в настоящей работе продолжается разработка специальной техники теории матричных полугрупп над конечными полукольцами, начатая в [4].
Пусть Q - конечное множество и К - конечное полукольцо с нулем О и единицей 1. Отображения вида /и : Q х Q —> К можно рассматривать как квадратные матрицы размерности \Q\ с элементами = q) из полукольца К (здесь р, q е Q). Множество всех таких матриц с операцией умножения образует полугруппу, которая обозначается символом Mq (К). Подполугруппы полугруппы Mq (К) называются матричными полугруппами над полукольцом К. В частности, если К - булево кольцо В = {0,1}, то отображения вида j_i: Q*Q —> К можно рассматривать, с одной стороны, как квадратные матрицы размерности \Q\ с элементами I= ц(р, q) (р, q е 0 из кольца В, а с другой стороны, как характеристические функции бинарных отношений на множестве Q. Поэтому полугруппу матриц Mq (В) можно отождествить с полугруппой В(<2) бинарных отношений на множестве Q.
Каждое отображение ср множества Q в К \ {0} канонически определяет гомоморфизм ф : Mq (В) —> Mq (К) по формуле:
Ш = Ф(Р) Им Ф(?) (гДе [ieMQ (В) и p,q е Q).
Пусть А = (Q, A, v, I, F) - конечный автомат и ср - отображение множества Q в К \ {0}, которое будем называть раскраской (точнее К-раскраской) этого автомата Тогда композиция уф = eg о v отображает множество А в полугруппу Mq (К) по формуле: уф(а) = eg (v(aj) (где а е А). Алгебраическую систему Д,, = (Q, A, уф/, F) назовем раскрашенным автоматом. Ясно, что в этом случае отображение уф: А -> Mq (К) также канонически расширяется до гомоморфизма уф : W/in(A) —> Mq (К) и отображения уф : fV(A) —» Mq (К), что позволяет определить распознаваемый автоматом Др язык L(A9) по следующей формуле:
Ц\) = {хе ЩА): vv(x)(/xF) * {0} }.
В работе [4] рассмотрен важный для нашей теории пример полуколец - полукольцо F(L) над полурешеткой L. Для доказательства основного результата настоящей статьи приведем несколько интересных свойств таких полуколец над полурешетками. По построению полукольцо состоит из всех полуидеалов упорядоченного множества L и упорядочено отношением теоретико-множественного включения. Элемент х упорядоченного кольца F(L) назовем i г/га-неразложимым (соответственно рго-неразложимым), если для любых у, z е F(L) выполняется условие x<y + z => х<у v x<z (соответственно x<yxz => х<у v x<z).
ЛЕММА 1. Пусть L ={L, v, 0L) - верхняя полурешетка с нейтральным элементом 0L и F(L) - полукольцо над L. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) полукольцо F(L) не имеет делителей нуля, т.е. для любых ху е F(L) условие ху = 0 влечет, что либо х = 0, либо у = 0;
2) 1 < х для любого ненулевого элемента х е F(L);
3) х + у < ху для любых ненулевых элементов ху е F(L);
4) любой рго-неразложимый элемент полукольца F(L) является sum-неразложимым;
5) отображение т : F(L) —> В, определяемое по формуле: т(0) = 0 и т(х) = 1 для ненулевых х е F(L), является ретрактом полукольца F(L) на кольцо В.
Доказательство. Для любых ху е F{L) в силу [4, теорема 1] условия ху = 0, х * 0 влекут у=ху+у=ху= 0. Если элемент х е F(L) удовлетворяет х * 0, то в силу [4, теорема 1] \+х 1 =х 1=х и 1 < х. Если элементы ху е F(L) удовлетворяют ху * 0, то в силу [4, теорема 1] (х+у)+ху=х+(у+ху)=х+ху=ху и х+у < ху. Пусть х Ф 0 является рго-неразложимым элементом полукольца F(L) и х < у + z для некоторых ненулевых элементов у? е F(L). Тогда в силу [4, теорема 1J
x+yz<(y + z)+yz=y + (z + yz) = y+yz =yz, т.е. x < у z .
Тогда либо x < у , либо х < z , т.е. х является ¿ит-неразложимым элементом полукольца F(L). Из 1) следует, что определённое в 5) отображение т : F(L) —» В является ретрактом полукольца F{L) на булево кольцо В.
ЛЕММА 2. Пусть L - конечная верхняя полурешетка с нейтральным элементом и F{L) - полукольцо над L. Тогда для любого ненулевого элемента х е F(L) эквивалентны следующие утверждения:
1)х является «¿т-неразложимым;
2) х удовлетворяет равенству х2 = х;
3) х = о4 для некоторого элемента а е L (где аА= {I е L : I < а}).
Отсюда следует также, что произведение sum-неразложимых элементов полукольца F(L) будет .sum-неразложимым.
Доказательство. Если х является ненулевым sum-неразложимым элементом полукольца F(L), то равенство х = Г{ал: а е х} влечет х < ай для некоторого элемента а е х. Отсюда следует, что х = а&. С другой стороны, если х = ад для некоторого элемента а е L и элементы ху е F(L) удовлетворяют х <у + z, то а е у и z. Следовательно, либо а е у и х czy, либо а е z и х с z.
Пусть теперь ненулевой элемент х е F(L) удовлетворяет равенству х2 = х. Отсюда следует, что х" = х для п = \L\. Легко видеть, что существует такой элемент а = sup х, что а е пх. Так как в силу леммы 1
пх < х" = х, то а е х и х = аА . Обратно, для любого а е L и х = аА выполняется равенство х2 = х.
Если ху являются ненулевыми ¿мот-неразложимыми элементами полукольца F(L), то х = а4, = ¿>Л для некоторых элементов a,b е Z,. Легко видеть, что ху-аАЬ& = (а v Ь)А. Следовательно, произведение является ¿мот-неразложимым элементом полукольца F(L).
С помощью полученных лемм доказывается следующий основной результат статьи.
ТЕОРЕМА 1. Пусть А = (Q, A, v, I, F) - конечный автомат, F(L) -полукольцо над конечной верхней полурешеткой L и ф - некоторая F(I)-pacKpacKa автомата А. Тогда выполняется равенство L(A) = L(A^).
Приведенные в статье результаты позволяют доказать распознаваемость обобщенно рациональных языков конечными полугруппами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРАМ
1. Molchanov V. А. Nonstandard approach to general rational languages // Contributions to General Algebra 13, Proceedings of the Dresden Conference 2000 (AAA60) and the Summer School 1999, Verlag Johannes Heyn, Klagenfurt, 2001. P. 233 - 244.
2. Molchanov V.A. Nonstandard approach to algebraic theory of words on finite automata and semigroups // Summaries of talks, International Conference on geometric and combinatorial methods in groups and semigroups "ICGS2000", Lincoln, Nebraska, USA, 2000. P. 32.
3. Perrin D., Pin J.E. Semigroups and automata on infinite words, In book: Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences, 466 (1993). P. 1 -32.
4. Молчанов В. А. О полукольцах над полурешетками и их приложениях к теории формальных языков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000 С. 84 - 86.
УДК 517.11
Т. М. Отрыванкина
РЕШЁТКА ПСЕВДОМНОГООБРАЗИЙ КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ*
Мы исследуем решётку всех псевдомногообразий конечных (полугрупповых) алгебраических автоматов Е с помощью методов нестандартного анализа, разработанных в [1,2].
Пусть О - алгебраический тип, состоящий из символов алгебраических операций конечной арности. Под конечным алгебраическим автоматом (сокращенно КАА) мы понимаем конечный полугрупповой алгебраический автомат без выходов, т.е. двухосновную систему Л=(Г,8,о), где Г -
* Работа выполнена при поддержке INTAS, грант № 99-1224.
101
