Построение операторов, восстанавливающих операторы Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Simonowits A. Buffer stocks and naive expectation in non-Walrasian dynamic mac-romodel: stabilyty, cyciicyty and chaos // Scandinavion Journal of Economics. 1982. Vol. 84. P. 571-81.

2. Hommes С. H., Nusse H. E. Does unstable equilibrium imply chaos? // Scandinavion Journal of Economics. 1989. Vol. 92. P. 365 - 71.

3. Pierre N. V. Tu Dynamical Syastems. An Introduction with Application in Economics and Biology. London: Springer-Verlag, 1994.

УДК 517.51,518

И. Д. Молоденкова

ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ, ВОССТАНАВЛИВАЮЩИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Данная статья является обобщением метода построения осредняю-щих операторов, сохраняющих заданные классы функций, изложенного в [1, 2], а именно, описан метод решения задачи построения операторов, удовлетворяющих соотношениям

ь _

\k(x,t)tmiez,>'dt = (xmiez'!X)<-r), q = \,n, r>О, (1)

а

где mq - целые неотрицательные, zq - комплексные числа, и на основании этого построено семейство операторов Ан, зависящих от параметра, удовлетворяющих соотношению

Аяа(х) = а'(х), (2)

где ст(.г) - тригонометрический сплайн, введенный П.-Ж. Лораном [3].

1. Сначала решается задача построения операторов, удовлетворяющих соотношениям

со

\k{t-x)tm*ezi>'dt = (xmi,ez''x)(-r\ q = \,n, r> 0, (3)

-оо

что позволяет перейти потом к задаче (1).

Используя идеи [1, 2], доказана лемма, следствие из неё и теорема, осуществляющая переход к задаче (1) (аналог теоремы 3.4 из [2]). ЛЕММА. Для того чтобы выполнялось соотношение

ей

fk(t-x)tsez'dt = (;ciezt)(r), г > 0, где k{t) - финитная на вещественной

оси R функция, k(t)&L2{R), необходимо и достаточно, чтобы преобразование Фурье k{Q функции kit) удовлетворяло условиям

¿C)(-/z) = —/ = k«\-iz) = 0, / = 7Tu Г<5. (4)

(г - /)!

Следствие. Для того чтобы выполнялись соотношения (3), необходимо и достаточно, чтобы функция к (О - (¿С,)г в точках - ¡г1у...,Чгп комплексной плоскости имела корни кратности т1 +1 ,т2 + 1,—,тп +1.

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы соотношения (3) имели место на множестве X <= Я для финитных по г ядер к(хЛ), зависящих от х как от параметра, и таких, что к(х^ + х) = кх((), кх{() е Ь2(Я), необходимо и достаточно, чтобы функция кх(^) - (/£,)' (кх(Л) - преобразование Фурье функции кх(0) имела в точках комплексной плоскости корни кратности т5 +1 ,...,тп +1.

Если в качестве X брать отрезок [а,Ь] е К, для которого определено множество М функций к(х,{) таких, что к(х,() = 0, то соотно-

шение (3) переходит в (1). В этом случае к(х,{) представляется в виде р

к(*>0 = Ха;Сх)Ф1 (*>')> гДе Ф/ОМ) _ финитные по I функции, зависящие 1=1

от д- как от параметра, и такие, что <р1 (х,1 + х) = (р^(I), ср¿Д/) е ¿2(Л).

^ , ч х \Уи, 0<г<я

Функции ср, (х, г) определяются сдвигом функции ф,- (?) = <; / Н

[ 0, /«[0,Я]

следующим образом: фДх,<) = ф(/ - (г - 1)Я - у(х)), где у(х) - некоторая вещественная функция е X [2], а,(л) находятся из системы (4) (с учётом следствия и выбора к{х/)). Система (4) имеет единственное решение, если (преобразования Фурье фи(г)) образуют систему Чебышева на множестве О комплексной плоскости, содержащем [2, теоре-

ма 3.2].

2. Пользуясь изложенным методом, построен оператор с непрерывным по х и кусочно-постоянным по Г ядром удовлетворяющий соотношению (2).

Пусть задано равномерное разбиение отрезка [-л, л]:

--2 л

- л = х0 < хх <... < хп+х = л, х, = х0 + Ш, г = \,п +1, Н =-.

п +1

Согласно определению элемента а(х)(см. [3]), к{х,/) будем искать в виде

5 5

¿оО.О, * € [-Л, Х1 - ИЛИ [>„ + , л]

к(х, 0 =

£ ^ _ ^

^е^+^.хи-^], / = 1,л-1, 6, = —- (5)

2 2 7

2 4 2

ка(х,0, хеП(х11): хц-~<х<хч ц = \,п,

где £0(х,?) = Ха,(А)ф,ОМ)> функции ф,(х,г) определяются следующим

/=1

образом: ф,(х,?) =

ф(? - а - 1)й + тс), X е [-71, хх - -1]

8 5

ф(? - (г - 1)А -х„- хе[хя+^,л]

/г = —Я; 42

*/0>0 = 5>,-0)Ф;(*>0, ф,(х,0 = ф(г-(г'-1)А-х/ / = 1,и-1, ¿ =

1=1 2 35

7 д __^

= = 9 = 1,И, А=—;

/=1 2 49

а, (х) определяется из систем

Аа(х) - /Г(х), (6)

где а(х) = (а1(х),...,а1(х))г, ^(х) = (^(х),.,.,^(х))г,

1 — Л - матрица с элементами = - = 1,5, aj = d + у/г,

5 = з, а =

г °Н

-71, Х€[-71,Х1-~]

5> 2'

§1 г т

/г = "4Г"' = Равны:

1, бшх, соэх, у = 1,3 соответственно: О, соэх, -зтх;

§1

6Н

8,

5 = 5, й? = Х/ + к = -^у-, если хе[х; / = 1,«-1, /г(х),

£=1,5 принимают значения: 1, зтх, собх, хэтх, хсоэх, F/(x), 7 = 1,5 соответственно равны: 0, соэх, -зтх, втх + хсоэх, соэх-хвтх;

д ^ ___

5 = 7, с1 = Хд ~, А = , если хе^(х?), <? = 1,л, /?(х),£ = 1,7 равны:

1, зтх, совх, хэтх, хсовх, х+зтх, х+ соэ х, ^Дх), 7 = 1,7 соответственно равны: 0, соэх, -зтх, втх+хсоэх, соэх-хвтх,

©](х)зтх + х+ собх,

©](х)созх - х+ бшх ,

1, х>х?; О, х<х?;

х+ =х©](х). Системы (6) однозначно разрешимы, так как для каждого из рассматриваемых в (5) отрезков преобразования Фурье функций ф,(х,?) образуют системы Чебышева. Имеет место

п

ТЕОРЕМА 2. Оператор Ано= \к{х,с ядром (5) удовлетво-

-К

ряет соотношению (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983.

2. Василенко В. А., Зюзин М. В., Ковалков А. В. Сплайн-функции и цифровые фильтры. Новосибирск: Наука, 1984.

3.ЛоранП.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

О МАТРИЧНЫХ ПОЛУГРУППАХ НАД ПОЛУКОЛЬЦАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ К ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ*

Пусть А - конечное множество, Щ„(А) - полугруппа слов над алфавитом А, А" - множество всех бесконечных вправо слов, А~ы - множество всех бесконечных влево слов, А2, - множество всех бесконечных в обе стороны слов и ЩА) = Я/1„(А) и А" и А'" и А2 - множество всех слов над алфавитом А. Подмножества ЩА) называются языками (произвольных слов) над алфавитом А,

Пусть А = (£?, А, V, I, Р) - конечный (недетерминированный) автомат, где 2 - конечное множество состояний автомата, А - конечный алфавит, V: а | у(а) (а е А) - отображение А в полугруппу В(0 бинарных отношений на множестве I и^- соответственно множества начальных и финальных состояний автомата. Отображение V: А —> В(0 канонически расширяется до гомоморфизма V: А) —> В((2) полугруппы слов Я/¡„(А) на полугруппу переходов 5(А) = у( Щ„(А)) автомата А.

Как показано в работе [1], такой гомоморфизм V канонически расширяется до отображения V: ЩА) —> В(0, что позволяет определить распознаваемый автоматом А язык Ь(А) по следующей формуле: Ь{А) = {х е ЩА): у(х)(/х Г) # 0}.

Главный результат работы [1] показывает, что класс распознаваемых автоматами языков совпадает с классом так называемых обобщенно рациональных языков, которые определяются рациональными выражениями с помощью четырех специальных операций (конечное объединение, конечное произведение, тернарное произведение и степень).

С другой стороны, в работе [2] введено понятие языка произвольных слов Ь с ЩА), распознаваемого конечной полугруппой. Как известно из теории формальных языков конечных слов (см., например, [3]), распознаваемость языка Ь с Щ}„(А) конечным автоматом равносильна распознаваемости Ь полугруппой переходов этого автомата. Однако простые

* Работа выполнена при поддержке ПЧТАЭ, грант № 99-1224.

98