Решётка псевдомногообразий конечных алгебраических автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

пх < х" = х, то а е х и х = аА . Обратно, для любого а е L и х = аА выполняется равенство х2 = х.

Если х^у являются ненулевыми ¿мот-неразложимыми элементами полукольца F(L), то х = а4, = ¿>Л для некоторых элементов a,b е Z,. Легко видеть, что ху-аАЬ& = (а v Ь)А. Следовательно, произведение является ¿мот-неразложимым элементом полукольца F(L).

С помощью полученных лемм доказывается следующий основной результат статьи.

ТЕОРЕМА 1. Пусть А = (Q, A, v, I, F) - конечный автомат, F(L) -полукольцо над конечной верхней полурешеткой L и ф - некоторая F(I)-pacKpacKa автомата А. Тогда выполняется равенство L(A) = L(A^).

Приведенные в статье результаты позволяют доказать распознаваемость обобщенно рациональных языков конечными полугруппами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРАМ

1. Molchanov V. А. Nonstandard approach to general rational languages // Contributions to General Algebra 13, Proceedings of the Dresden Conference 2000 (AAA60) and the Summer School 1999, Verlag Johannes Heyn, Klagenfurt, 2001. P. 233 - 244.

2. Molchanov V.A. Nonstandard approach to algebraic theory of words on finite automata and semigroups // Summaries of talks, International Conference on geometric and combinatorial methods in groups and semigroups "ICGS2000", Lincoln, Nebraska, USA, 2000. P. 32.

3. Perrin D., Pin J.E. Semigroups and automata on infinite words, In book: Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences, 466 (1993). P. 1 -32.

4. Молчанов В. А. О полукольцах над полурешетками и их приложениях к теории формальных языков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000 С. 84 - 86.

УДК 517.11

Т. М. Отрыванкина

РЕШЁТКА ПСЕВДОМНОГООБРАЗИЙ КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ*

Мы исследуем решётку всех псевдомногообразий конечных (полугрупповых) алгебраических автоматов Е с помощью методов нестандартного анализа, разработанных в [1,2].

Пусть О - алгебраический тип, состоящий из символов алгебраических операций конечной арности. Под конечным алгебраическим автоматом (сокращенно КАА) мы понимаем конечный полугрупповой алгебраический автомат без выходов, т.е. двухосновную систему Л=(Г,8,о), где Г -

* Работа выполнена при поддержке INTAS, грант № 99-1224.

101

конечная полугруппа входных сигналов, Б - конечная П-алгебра состояний автомата и бинарная операция о: Б х Г —> Б для любого «-местного функционального символа/е<Г2 и любых я, ..., .?ле5, у, у\, у2еГ удовлетворяет следующим условиям:

---У^оу =/5(з,0у, ...,я„оу), 2) яо(уф) =(хоу1)оу2. Для описания классов КАА вводится нестандартный язык УИП Ь над алфавитом, состоящим из счетных множеств X, 2. Элементы расширений *Х, *2 называются нестандартными переменными языка Ь. Нестандартными термами языка Ь являются элементы нестандартных расширений * и * Ж2, где = Ж(Х) - полугруппа слов над 1и Ж2=1¥а> (2) - П'-алгебра О'-слов над алфавитом X для сигнатуры ¡Г2'=П'и \\\ Формулы языка Ь определяются по индукции обычным путем. Интерпретация Ь в КАА А=(Г, Б,о) определяется с помощью отображений 0]: Х-> Г и 02 : 2->Б, которые канонически расширяются до гомоморфизмов *9) *02

Класс конечных алгебраических автоматов А называется нестандартным многообразием, если он аксиоматизируется классом нестандартных тождеств. Можно показать, что структурная характеристика нестандартных многообразий конечных алгебраических автоматов описывается следующей модификацией известной теоремы Биркгофа.

ТЕОРЕМА 1. Класс конечных алгебраических автоматов А является нестандартным многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно формирования подсистем, конечных прямых произведений и гомоморфных образов, т.е. А является псевдомногообразием.

Переходя к описанию решётки всех псевдомногообразий конечных (полугрупповых) алгебраических автоматов, напомним, что согласно [2] бинарное отношение е на *А называется инвариантной нестандартной конгруэнцией, если (г) для любых х^е *А условие х=у (г) влечет существование ЬаА, такого, что 8 (*1) с*£ и хе*Ь, у £*Ь, (И) оно устойчиво относительно всех внутренних трансляций и стандартных эндоморфизмов *А, (ш) эквивалентность е имеет гиперконечный индекс.

Введем обозначение ШСоп* Ж для множества пар всех инвариантных нестандартных конгруэнций е=(8Ь е2), где е, с *\¥< х*Ж, (/=1, 2) и И-у. Это множество, упорядоченное по включению компонент упорядоченных пар, является полной решёткой.

Установим соответствие между псевдомногообразиями КАА и парами инвариантных нестандартных конгруэнций на * Ж.

ТЕОРЕМА 2. Упорядоченные множества Ь и ШСоп* Ж являются дуально изоморфными полными решётками.

Доказательство. Рассмотрим взаимно обратные отображения Е и К, которые определим следующим образом:

Е{М) = гл {е (А, 8): А еМл 0=(0Ь 02), где 0,: Х-> Г, 02: 2^}, К(е) = {А: А =1¥/о для некоторой а е Сои И7 такой, что е с*сг} (здесь Ме £ и 8 еШСоп*Ж).

Сначала убедимся в корректном определении Е. Пусть Ме Ь , т.е. М - некоторое псевдомногообразие конечных автоматов. Так как основные множества автомата А еМ конечны, то отношение Е(М) является нестандартной конгруэнцией на *Ж. Более того, если ф=(фь ф2)еЕпс!^, автомат АеМ и 9]: X —> Г, 92: Z —> Б, то канонические гомоморфизмы 91:^->Г, 92: Ж2—>5 и композиции ¿"¡=61 офь £2=92оф2 удовлетворяют равенствам

-1 -1 кег& = ф,2 (кег9|), кег^ = Ф22 (кег92).

Тогда по принципу переноса

-1 -1 е(А,£) = *(кег0 - *(ф2 (кегв)) = * ф2 (в (А, 9)),

где (Гь &), ф = (фь Фг), 9=(9Ь 92).

Отсюда

Е(М)=п{е (А, 9): А еМ л 9,: Х-+ Г, 92:1-* 5}с с п{е (А, $:А еЛ/л9, :Х->Г, 92: л = 9оф}= -1

=п{* ф2 (е (А, 9)): А еМ л 9,: Х-* Г, 92: =

-1

=*ф2 (п{е (А, в): АеМ л 0, :ЛГ-> Г, 92: г->Я})=*ф2 {Е{М)). -1

Ясно, что *ф2 (Е(М))аЕ(М). Следовательно, Е(М) - инвариантная нестандартная конгруэнция на нестандартном расширении * IV. Таким образом, Е(М)еШСоп* IV.

Теперь мы убедимся в корректности определения К. Пусть ъеШ-Соп*РГ. Если стеСопIV и е с*а, то *а является конгруэнцией гиперконечного индекса на * }¥ и, по принципу переноса, о 6 Соп)1п РГ. Таким образом, множество Р = {а е Соп № : е с*а} представляет собой направленное семейство конгруэнций конечного индекса на IV. Можно проверить, что К(е) является псевдомногообразием конечных автоматов. Таким образом, К(е)е£ .

Наконец убедимся, что Ей К - взаимно обратные отображения. Любое псевдомногообразие М е Ь удовлетворяет М=К(Е(М)). Пусть теперь геШСоп* IV. По определению Е и К

Е(К(е)) = п{е (А, 9): А еК(е) л 9, : Х-> Г, 92: г->Я}.

Если АеЩе), то, по определению К(г), найдется сте Соп Этакая, что е с* ст и А = Пусть л2) : Ж-+А - канонический гомоморфизм.

Рассмотрим отображения 9(: ЛГ-» Г, 92 : определяющие интерпретацию языка I в А, и расширения 9| : -> Г, 92 : Тогда существует

эндоморфизм ф=(фь Ф2), такой, что 9] =А.1Оф], 92 =Х2оф2. Отсюда

-1 -1 кег9 = ф2 (кегА.) =ф2 (о) и, по определению е (А, 9),

s (А, в) = *(ker9) =*ф2 (*ст).

Так как е - инвариантная конгруэнция, мы заключаем, что -1 -1 ес*ф2 (е)с*ф2 (*<?) = б (А, 0). Следовательно, е <zE(K{е)).

С другой стороны, пусть tu t2e*W таковы, что t\ =t2 (г). Тогда для нормальной конгруэнции б существует 1еГЕ такое, что t\e*L и t2i*L. Отсюда, t\ =t2 (*Ol) для синтаксической конгруэнции aL [2] и автомат А = W/aL принадлежит К(е), так как по [2], е с *aL. Таким образом, (fb t2) £ Е(К(е)). Мы заключаем, что s = Е(К(г)). Ясно, что Е и К являются функциями, удовлетворяющими условиям:

Мх с М2 => Е(М,) о Е(М2), Е, С Е2 => К{Ei) =) К{е2).

На основании этого утверждаем, что L и INCon* W являются дуально изоморфными полными решётками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33. P. 533 - 547.

2. Molchanov V.A. Nonstandard congruences and lattices of pseudovarieties // Semigroups, automata and languages. (J.Almeida, Ed.) World Scientific, Singapore-New Jersey-London, 1996. P. 183 - 193.

3. Otryvankina Т. M. Lattice of pseudovarieties of finite algebraic automata // Summaries of talks, International Conference "Colloquium on semigroups". Szeged, 2000. P. 20-21.

УДК 519.8

М. В. Пасечник

УСЛОВИЯ НЕПУСТОТЫ Са -ЯДРА В АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

Как известно [1], в игре л-лиц её Са-ядро определяется как множество исходов игры, допустимых для всех коалиций. Цель данной статьи -нахождение условий непустоты Са -ядра в антагонистических играх с упорядоченными исходами. Антагонистическая игра с упорядоченными исходами задаётся в виде

0 = (Х,У,А, (1)

где X — множество стратегий игрока 1, У — множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, Е:ХхУ-> А - функция реализации, со - отношение порядка, характеризующее предпочтения игрока 1, предпоч-