ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ $2\pi$ - ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРАМИ СОХРАНЯЮЩИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Потенциал q(x) и коэффициент h, полученные на выходе, являются приближением искомых q(x) и h.

Приведённый метод имеет небольшое количество вычислений, так как на каждом шаге цикла решается одно единственное уравнение вместо системы с п неизвестными, а это уже объём вычислений порядка п для каждого х. Таким образом, данный метод является более эффективным, по сравнению с методами, основанными на применении оператора преобразования [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов, 2001.

499 с.

2. Rundell W., Sacks Р.Е. Reconstruction techniques for classical inverse St-L problems // Math. Сотр. 1992. Vol. 58, № 197. P. 3 - 70.

УДК 517.51.518

И, Д. Молоденкова

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ 2ж-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРАМИ, СОХРАНЯЮЩИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ

Данная статья является продолжением статьи, опубликованной в предыдущем номере сборника, в которой были получены оценки приближения непрерывных функций операторами, сохраняющими кубические сплайны. Здесь получены оценки приближения непрерывных 2л-периодических функций операторами, сохраняющими тригонометрические сплайны по П.-Ж. Лорану.

Пусть А - интегральные осредняющие операторы

71

Ан (/;*)= \K„(x,t)dt,

-71

зависящие от шага разбиения Н = ^% (п - натуральное число) как от nail +1

раметра, сохраняющие тригонометрические сплайны, введенные

S

П.-Ж. Лораном [1] с ядрами вида KH(x,t) = а¡(х)(¡>,(t\ где S принимает

соответствующие значения в зависимости от того, куда попадает х , фД?) -линейно независимые функции, получаемые сдвигом функции сp(f), где ф(0 = 77> если /е[0,/7] и 0 в остальных случаях, а;(х) находятся из соответствующих систем линейных алгебраических уравнений [2, 3].

Пусть f(x) е С[-я,я]. Будем считать, что /(х) может быть продолжена непрерывно периодически на всю вещественную ось. Рассмотрим величину, характеризующую скорость аппроксимации функции /(х) на классе LipK$, 0 < Р < 1 [4]:

&x{AH,LipK$ = sup{ ¡1 AHf- :/(-я) = /(я),/ e LipKp).

Имеют место теоремы.

ТЕОРЕМА 1. При Н —» 0 справедливы оценки:

Al(AH,LipK^)< МНг < \-j^AH,LipK — j < КХН Ч

где Кх = К для Р = 1, Я, = 2для р = -, 42 V 42 т

.. (т-1)(2т-1)

М - —,-Í—гг;-;---г mm

иг»-п/»жз.б.49з j, ^

¿a;(x„)| i2fí 1 +' —1>3

í=l L V

2 У 4

5=3, р = 1,3, хр =-п + р/с, если х е [- я,

8I Si ,

х, - у], или хр = х„ +y + Р", ес-

ли х е Ьс„ +у,я| ;

5 = 5, р = 1,5, хр = х, +у + если лек/ + у,х/+1 -у| , / = 1,я -1;

5 = 7, р = 1,7, хр = x¡ + ph, если ж 6 [а-/ - у ,x¡ + у| , / = \,п, т > 2.

Оценки сверху следуют из теоремы Дзядыка [5, гл. VIII, § 6, теорема Г], леммы [4, гл. 2, § 2.1, лемма 2.1] и свойств оператора Аи, которые приводятся ниже.

ТЕОРЕМА. Если линейный положительный оператор Ап(/(с.);х) отображает пространство 2л-периодических функций /~(х) в самое себя таким образом, что

Ап(\;х) = 1, /í„(cos4;x) = cosx + a„(x), /4„(smE,,x) = sinx + p„(x), где ап(х) и Р„(х) равномерно стремятся к нулю при я —> оо, то тогда он любую непрерывную 2я-периодическую функцию /(х) будет приближать с точностью

|/(х) - Л„(/;х)| < (1 + 7t2)cú(6„), где через U)(f;t) обозначен модуль непрерывности функции /(х) и

df Illa 5« = \;

„Г+ИМ2

2

ЛЕММА. Пусть /, (х) - функция, полученная периодическим продолжением на всю вещественную ось функции /(х) е С [-я, я]. Тогда, если /(х) б Ыркр, то /,(х) е Ыр2КР при Р < 1 и /,(х) е ПркР при р = ).

Отметим свойства операторов Ан . Интегральные осредняющие операторы линейны и для них справедливы равенства [2, 3]

Аи( 1;х) = 1, Ан(siní;;x) = sinx, Ан(cosi;;x) = cosx. Так же как и операторы, сохраняющие кубические сплайны, операторы Ан положительны [6].

Оценка снизу получена для ¡|AHfx ~ л]» где

X

Х-'", 0<х<л,

i У

{(-х)/т, - л < X < О,

а 8ирЬя/-/;!сг_л11]:/(-я) = /(л), / е Ырк > -/,1^.,-

ТЕОРЕМА 2. Для любой 2л-периодической непрерывно дифференцируемой функции до г-го порядка включительно (г >4) при Н—> О справедлива оценка

МН3 <\\АН/-Д< К,Н*, где Кх = — К для р = 1, Кх = 2 для (3 = —,

42 V 42 т

з

min |/"4*/)¿a,(*,)

М =

Xp.S-tif ,'=i

V 2; 4

6 ■ 493

5 = 3 , '" = 1,3, хр=—и + ph, x¡ = -л, если хе [-7и,х,-yj

хр =xn+^- + ph, х,-х„+^-, если хе [х„; 5 = 5, р = 1,5, xp=Xi+Y + ph, если х е [х,-у] , / = 1, и — 1; 5 = 7, р=1,7,

х^, = х; - у + ph, если х е [х^ - у, х, + у ] , / = \,п, т>2.

Доказательство теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для операторов, сохраняющих кубические сплайны [6], с учетом ранее сформулированной леммы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. 496 с.

2. Мояодкнкова И. Д., Молоденков В. А. Обзор численных .методов для решения задач приближения непрерывных функций с использованием сплайнов и осредняющих операторов. Саратов, 1998. 37 с. Деп. в ВИНИТИ, № 986-В98.

3. Молоденкова И. Д. Применение операторов осреднения к задаче восстановления функций // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 57 - 59.

4. Хромова Г, В.. Молоденкова И. Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. 2. 33 с.

5. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. 1977. 508 с.

6. Молоденкова И. Д. Некоторые оценки точности приближений функций с помощью осредняюших операторов, сохраняющих сплайны // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 88 - 90.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

ВНУТРЕННИЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ ПОЛУГРУППЫ НЕСТАНДАРТНЫХ СЛОВ И НЕСТАНДАРТНЫЕ ДИНАМИКИ*

В статье [1] разработаны основы нестандартного подхода к теории конечных полугрупп, языков и автоматов. В настоящей статье изучается один из основных инструментов нестандартной теории псевдомногообразий - полугруппа нестандартных слов.

После открытия С. Эйленбергом [2] соответствия между потоками рациональных языков и псевдомногообразиями конечных полугрупп теория псевдомногообразий представляет собой одно из важнейших и интенсивно развивающихся направлений современной прикладной алгебры. Разнообразные подходы к теории псевдомногообразий разработаны С. Эйленбергом, МП. Шютценберже, Ж.-Э. Пэном, Дж. Алмейдой и многими другими (обзор [3]). Один из последних подходов к этой теории был разработан на основе методов нестандартного анализа [4]. Результаты работ [1, 5] позволяют характеризовать псевдомногообразия конечных полугрупп тождествами нестандартного языка узкого исчисления предикатов над конечным алфавитом А и исследовать такие псевдомногообразия и соответствующие им потоки рациональных языков с помощью нестандартного расширения *ЩА) полугруппы слов ЩА).

В этой статье исследуются эндоморфизмы полугруппы *ЩА) с целью разработки методов конструирования нестандартных слов, необходимых для изучения различных псевдомногообразий конечных полугрупп.

В статье используются основные понятия теории полугрупп [6] и нестандартного анализа [4]. Напомним, что главная идея нестандартного анализа заключается в использовании отображения * стандартного теоретико-множественного универсума U = V(S) над исходным множеством атомов 5 в собственную подструктуру *U нового теоретико-множествен-ного универсума У( *.У) над расширенным множеством атомов *S, так что выполняется следующий принцип переноса: для любых A¡, ..., Ап е U любое утверждение логики первого порядка с ограниченными кванторами

* Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (проект 99-1224).

79