Приложение операторов осреднения к задаче восстановления функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА 1. При любом фиксированном х> О, \у(х,р) является решением уравнения

ф(х,р) = ЛГ(х,р)ц/(х,р) + — [г (х,р,ц) Ч/(х,ц)ф р € у.

2т ^

Решая это уравнение и проводя дополнительные исследования, находим {г\к(х,р)}к=1Гп, гдег\к(х,р) = У'\х)Фк(х,р), к = 1,п.

Обозначим Д = ёе1(т1^)(х,р))А=у^ ;=7ТПг Введем определители Ду получающиеся из определителя А заменой7-го столбца (у = 1,и) на столбец

Ц = Ыкл\х,р)]к=т-п

Далее, последовательно находим

Рл(х.р) = ^-%тМС?Р1(х,р)-у^. к = п — 2,0. Что и решает задачу определения дифференциального уравнения.

УДК 519.6

И. Д. Молоденкова

ПРИЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ ОСРЕДНЕНИЯ К ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ

В работах [1, 2] осредняющие операторы типа свертки применяются для выделения информативной составляющей экспериментальной кривой и подавления функции помех.

Здесь операторы такого типа применяются для восстановления непрерывной 2и-периодической функции, заданной своим 5 - приближением в

Построена последовательность осредняющих операторов:

А(х, /5, Я) = )к(х, Г, Я)/8(*)*, (1)

-к

Н= 2л /(и + 1), и = 1, 2, ... , сохраняющих тригонометрические сплайны в смысле П.-Ж. Лорана [3]:

" А,-

ст(х) = ст(-л) соб(х-1-л) + о '(-71) 5ш(а+7г) + [эт(( х - X,-)+) - (х - х,)+ (2)

/=1 2

соэ(х - х,)], х( = х0 + /Я, г = 0,п +1, х0 = -ж, хп+1 = л.

Ядра операторов ищутся в виде

(х)фу(0, хе[-я,х,) или (x„,7i]

j=i 5

K(x,t,H) = {T.Vj(xWj(t), xe(x„xl+l), Ы\,п-\ j=i

Ху,(*)фу(0> xefi(x,), 7=i

Q(x/)uc; -5/2<x<x/ +5/2, / = 17«,

ay(x), p;(x),y7(x) - коэффициенты, подлежащие определению из систем, полученных из условия сохранения на [-71, х,), (х„,л] функций 1, sin х, cos х; на (х,,х,+1) - функций 1, sin х, cos х, х sin х, х cos х; на Q(x¿) -функций 1, sinх, cosх,х sinх, х cosx, x+ sinx,x+ cosx. ф^(0>Фу(0>Фу(0 " линейно-независимые функции, полученные сдвигом

\Mhfi<t<h [о, по - другому'

Гф(г - О' - \)h + 7t), х е [-7t,X|),

1ф(?-(у-1)/г-хл), xe(x„,7t], h = H!3, у=1Д

ф(0 =

Ф ;(') =

ф'.(г) = ф(г-0--1)А-х/), хе(х,,х/+1), h-H/5, / = 1,и-1, ф^(г) = ф(?-(J — 1)А-X/ + 5/2), xeQ(x,), А = 5/7, 5 = Я/10, За осреднение принимается A{x,fb,H). В случае численной реализации значения Л(х,/6,#) вычисляются с помощью квадратурных формул. Доказана

ТЕОРЕМА 1. Пусть 27Г-периодическая непрерывная функция задана своим 6-приближением в ¿2 :|/8-/¡^ <8. Пусть {A(x,f&,H)},

Н= 2п/(п+\), и = 1,2,... последовательность (1). Тогда {A(x,f&,H)} сходится кДх) при 5 —> О, Н -» 0 по норме пространства С.

На основе двусторонней оценки для интегральных операторов Г.В. Хромовой [4] для функций Дх) класса i±]2 = {/(х)е W\ [—71,7г]:||/||ж1 <1},

где Wj [-тс,7с] - пространство вещественных абсолютно-непрерывных функ-ций, f eL2,

wi

)(f2+(fiy

V-7I

доказана

ТЕОРЕМА 2. На классе функций (íj справедлива оценка 2-1/431/4*1/25"2<Д<23/431/4*1/25|/2,

где Д = Д(5,Я, 1) = зир{||4х,/5,Я)-/(д:|с:||/6-/| <5,/ец' },

ц? ={/(х)еЖ21[-я,71]:||/||и,1 <1}, * = тах

5^1 (ß,W)2

Отметим, что оценка приближения (3) с точностью до константы совпадает по порядку 8 с неулучшаемой оценкой метода регуляризации А.Н. Тихонова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983.

2. Василенко В.А., Зюзин М.В., Ковалков A.B. Сплайн-функции и цифровые фильтры. Новосибирск, 1984г.

3. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М., 1975.

4. Хромова Г.В. Об оценках погрешностей приближенных решений интегральных уравнений 1-го рода // Вестн. МГУ. Сер. 15. Выч. математика и кибернетика. 1990. № 2. С. 19.

УДК 517.6

М. Г. Плешаков

ОДИН КОНТРПРИМЕР ДЛЯ КОМОНОТОННОГО НЕРАВЕНСТВА ДЖЕКСОНА1

Получение оценки уклонения при равномерном приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами и тригонометрическими полиномами является важной задачей в теории приближения функций. Особый интерес представляет случай, когда приближение является формосохра-няющим (Shape-preserving Approximation) [1], т.е. когда аппарат приближения сохраняет некоторые свойства приближаемой функции (монотонность, выпуклость и т.д.). В 1979 году А.С. Шведов [2, 3] построил пример, показы-

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний, грант № 99-01-01120.