Об осредняющих операторах, сохраняющих тригонометрические многочлены и тригонометрические сплайны Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука, 1969.

3. Михайлов В. Н., Харламов А. В. Оценка коэффициентов линейной регрессии с дополнительными ограничениями//Заводская лаборатория. 2000. № 11. С. 57.

УДК 517.51:518

И. Д. Молоденкова

ОБ ОСРЕДНЯЮЩИХ ОПЕРАТОРАХ, СОХРАНЯЮЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ*

Данная статья обобщает результаты [1 - 3] на случай функций из пространства Соболева [-те, я] с нормой

I

11/11 ^г = (/[/2(*) + (/{,)(*))2]Л)2. -л

Пусть /(я) е [-яг, л\: /(-яг) = /(я-) задана своим 5 -приближением в пространстве Ьг[-п,п\: || /8 - / ||£г < 5.

Рассмотрим класс функций

Мг2 = {/(л) е : /(к\-п) = /<«(я),

А = 0,г-1,||г 2:1,целое},

и интегральные операторы Ан(х,/), сохраняющие тригонометрические многочлены [1] и тригонометрические сплайны [3]. Определим величину

А = Д (Ь,АН ,Мг) = зир{|| Ани - / ||с: / 6 Мг2,\\ /а ~ / М 8}.

Получим для А двусторонние оценки, пользуясь методом, разработанным Г. В. Хромовой [4], для ранее определенных операторов

Ан(х,Л.

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00237.

ТЕОРЕМА 1. Пусть {AH(x,f)},H = — ,п = 2т + \,т = 1,2,..., -по-

п

п

следовательность операторов с ядрами (-М) = X (Xj (x)<pj (?), сохра-

/=1

няющими тригонометрические многочлены.

При достаточно малых 8 справедлива двусторонняя оценка

-1- 2- РЬ- ~ 2 Р8 ~

г г

1 1 2 1

2г L п - рх -

где B = (\ZC,X,\y,P= max (2*2>,(*))2)2 ,H(S) = (-—)3 (2r)3 (x)

ищутся из систем линейных алгебраических уравнений (см. [2]), cp,-(f) -линейно-независимые функции, получаемые сдвигом (см. [2]), Q,Xt выписаны ниже.

Доказательство следует из двусторонней оценки для А (см. [4]), из оценки

МяИл^с^ (см. [2]) и из асимптотического равенства

1 1 -А ,(ЛЯ,М2') = (—)25Я2+0(Я). 2 г

Последнее получается из представления [4]

I

А№нМг)= sup (\Кн(хЛМх,ЪНЖ-8(х,х,Н))2,

-n<.xin _п

где

g(x, ЪН)=]кн(х, ц)с!ц - G{1, х).

G{'t,x) приведено Г. В. X ромовой [4] к виду G(£,x) =

1 ХС,еХ1(х-'\ t<x,

- —Z С,ех^'-Х)\ t >х, 2 г /=1

Q = (1 - е2пХ') 1 , Xt - корни степени 2г из 1, если г -нечетное, из (-1), если Г -четное.

ТЕОРЕМА 2. Пусть {Ля (*,/}, Н = п = 1,2,... последова-

тельность операторов с ядрами -^я 0 = X а/ ООф/ (0 > сохраняющих

/=1

тригонометрические сплайны.

При достаточно малых 8 справедлива двусторонняя оценка:

-I , 1 I _ - 1 - 1

г г

2г А 5 , I р I

где 5 = (31 2С/А,/|)2, Р = 5 тах(£ (а,- (*))2)2, Я(5) = -(2г)2 5; 5 = 3,5,7

/=1 * 1=1 о

в зависимости от того, куда попадает х (см. [3]), а, (д:) ищутся из систем линейных алгебраических уравнений (см. [2]), Ф,(0 линейно-независимые функции, получаемые сдвигом (см.. [3]), С1,1.1 выписаны выше.

Доказательство следует из той же двусторонней оценки для А (см. [4]), из асимптотического равенства

1 1 1 ^(Ан,Мг) = (~)2ВН*+0{Н) 2 г

и из оценки

р

Асимптотическое равенство получается из того же представления \(АН,М[) с учетом того, что оператор Ан теперь сохраняет тригонометрические сплайны. Последняя оценка получается из представления

I

Мя||^с=тах(/|*я(х,012<Й)2

х

—и

и из вида Кн (х, /).

Следует отметить, что полученная двусторонняя оценка для операторов, сохраняющих тригонометрические сплайны, с точностью до константы совпадает по порядку 5 с неулучшаемой оценкой метода регуляризации А. Н. Тихонова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Молоденкоеа И. Д. Одно из приложений оператора осреднения. Саратов, 1996. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 25.04.96. № 1357-В96.

2. Молоденкова И. Д., Молоденков В. А. Обзор численных методов для решения задач приближения непрерывных функций с использованием сплайнов и осредняющих операторов. Саратов, 1998. 37 с. Деп. в ВИНИТИ № 986-В98.

3. Молоденкова И. Д. Приложение операторов осреднения к задаче восстановления функций // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 57 - 59.

4. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1993. № 1. С. 13 - 18.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

О ПОЛУКОЛЬЦАХ НАД ПОЛУРЕШЕТКАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ К ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ

Как известно из теории формальных языков конечных слов (см., например [1]), распознаваемость языка Ь конечным автоматом равносильна распознаваемости Ь синтаксической полугруппой этого автомата, которая является полугруппой бинарных отношений на множестве состояний такого автомата. Этот принципиально важный факт лежит в основе разработанного М. П. Шютценберже алгебраического подхода к теории распознаваемых языков. Однако простые примеры показывают (см., например [2]), что при развитии такого подхода к формальным языкам бесконечных слов аппарат полугрупп бинарных отношений оказывается уже недостаточным и необходимо применять матричные полугруппы над конечными полукольцами. Примеры таких полуколец дает рассматриваемый в настоящей статье функтор категории верхних полурешеток с нейтральными элементами в категорию полуколец.

При изложении материала используются основные понятия и обозначения теории решеток из работы [3] и теории категорий из работы [4].

Пусть Ь = (Ь,<) - упорядоченное множество. Подмножество А с Ь называется полуидеалом Ь, если оно минорантно насыщенно относительно порядка <, т. е. для любого х е Ь условия х < а, а е А влекут х е А. Так, элементы а е Ь определяют полуидеалы сР-{хеЬ: х<а}, которые называются также главными идеалами Ь. Множество всех полуидеалов упорядоченного множества Ь обозначим символом

ТЕОРЕМА 1. Для любой верхней полурешетки с нейтральным элементом Ь =(Ьу,0С) справедливы следующие утверждения:

1) множество с бинарной операцией А + В = А и В (здесь

А,Ве Д/,)) является коммутативным моноидом с нейтральным элементом 0 = 0;