К вопросу об одновременной триангуляции матричных представлений элементов фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу в задаче поиска корней идеала Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Базисы Рисса из собственных и присоединенных функций. Нам

понадобятся следующие факты.

ЛЕММА 3. Все достаточно большие по модулю собственные значения оператора I однократны. Положим

¿'О-*,)—---: К^. (11)

27и г

1 т

ЛЕММА 4. Если Дх) е 122[0±] и Е(Ю/= ^ = 1,2,...,то /(х) = 0 почти всюду.

Основным результатом работы является следующая теорема. ТЕОРЕМА 3. Система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса

а пространстве /^[ОД].

Доказательство. Пусть система {X*}" записана в каком-нибудь наперед заданном порядке. Представим частные суммы ряда Фурье по системе с.п.ф. оператора £ в виде сумм операторов (11). По лемме 2 такие суммы равномерно ограничены. По лемме 4 система с.п.ф. оператора Ь полна в 122[0,\]. Отсюда по теореме Банаха - Штейнгауза и по лемме 3

следует, что система с.п.ф. оператора Ь образует в пространстве ¿^[О,^]

базис безусловной сходимости, а следовательно, система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса в пространстве ¿^[0,1]. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 6. С. 932 - 942.

2. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 75, вып. 1. С. 97-110.

УДК 512+519.7

А. В. Месянжин

К ВОПРОСУ ОБ ОДНОВРЕМЕННОЙ ТРИАНГУЛЯЦИИ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ФАКТОРА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО КОЛЬЦА ПО НУЛЬМЕРНОМУ ИДЕАЛУ В ЗАДАЧЕ ПОИСКА КОРНЕЙ ИДЕАЛА

Пусть / - нульмерный идеал полиномиального кольца Я = А."х„] над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики. Коммутативное фактор-кольцо Л// изоморфно кольцу линейных

операторов ' \ И е Я/1], осуществляющих умножение на факторизован-

ные (редуцированные) полиномы И е /?// (элементы-классы фактор-кольца будем отождествлять с их представителями - редуцированными по 1 полиномами):

Если в факторе Я/1 как в линейном пространстве выбрать некоторый базис линейного пространства, то матрицы Ьи операторов 1як' относительно выбранного базиса (образующие кольцо, изоморфное Я/1) будем называть матричным представлением редуцированных полиномов И. Эффективное построение матричных представлений было рассмотрено в работе [1].

Следует отметить конструктивно неиспользовавшееся ранее свойство коммутативности кольца матричных представлений. В работах [2, 3] было проведено исследование вытекающих из указанного свойства положений. Рассмотрим, что нам дает коммутативность семейства матриц.

Используя факт наличия хотя бы одного общего собственного вектора у семейства коммутирующих матриц, а также свойство сохранения перестановочности (коммутируемости) матриц при действии на них преобразования подобия, и повторив построения в доказательстве теоремы Шура об унитарной триангуляции матрицы, получаем следующее утверждение:

Для любого коммутативного семейства матриц существует унитарное преобразование подобия, одновременно приводящее все матрицы семейства к верхнетреугольному (нижнетреугольному) виду.

Это положение, рассмотренное совместно с теоремой Маккоя об одновременной триангуляции матриц, приводит нас к доказательству следующего результата.

ТЕОРЕМА 1. Если АА, - коммутативное семейство матриц порядка т с собственными значениями а(А,) = {а^,., 1=1,...,/, а^ е К, с учетом кратности, то существуют Г -1 перестановки с,5 (.г = 2,...,/) индексов 1 ,...,т таких, что для любого полинома ■■■■,}>,) выполняется

и эти перестановки соответствуют положениям собственных значений на главных диагоналях матриц при одновременной их триангуляции некоторой унитарной матрицей преобразования II:

(V / е Я/1) (/) = /•//.

о(/(Л„..„Л,))={/( =

\

*

\

и~1А,и =

и'1 А / и =

V

О

ч

О

(Яа(1) а(2) а(,) ) *

' ^ 2 СО'"" *' ь г О)

О Яа(1) а(2) а(0 )

Вернемся теперь к матричным представлениям редуцированных полиномов. Известно, что размерность фактора Я/1 как линейного пространства равна числу корней идеала I с учетом кратностей. Пусть идеал имеет т корней. По теореме Стикельбергера,

(V И е Я/1) ст(£л) = {к(а) \ а е гоо1$(7)}.

Таким образом, если рассмотреть матрицы Ьх (/ = 1,...,«), где х,- -

все независимые переменные кольца Я, и ст(£ ) = {}, е К , то существуют такие п- 1 перестановки (я = 2,...,и) индексов 1 что

гоо15(/) = {(а^.а^.-.о^)!./ = } (1)

с учетом кратности. Теорема 1, теорема Стикельбергера и изоморфность колец Я/1 = { Ьк\ И е Я/1} достаточно тривиальным образом приводят к следующему результату.

ТЕОРЕМА 2. Одновременная триангуляция матриц (г = 1,...,п) с

помощью одного и того же преобразования подобия, о котором говорилось в теореме 1, дает необходимые для (1) перестановки собственных значений.

Таким образом, задачу поиска корней нульмерного идеала можно свести к задаче поиска преобразования подобия, осуществляющего одновременную триангуляцию матричных представлений независимых переменных полиномиального кольца. В работах [2, 3] был построен алгоритм одновременной триангуляции коммутативного семейства матриц.

Рассмотрим случай, когда I - радикальный нульмерный идеал. Так как корней - конечное число и все корни различны, можем их рассматривать как конечное множество точек пространства К". В общем случае выполняется следующее:

(УК с К", #У <ос)(В/г еЯ)^а,,а2 еУ,а1 ^ а2)(/г(а,) * /¡(сх2)), а в частности для построения удовлетворяющего указанным свойствам полинома И можно использовать следующую лемму.

ЛЕММА.

(уУ с. К",#У = с1 < оо^ЗЙ € |£/"Ч. | у = 0,.. „^ (Уа,,а2 еУ, а, ^ а2)(к(а1) ^ Ь(а2)).

При построении h знание элементов а; е V = roots(I) не требуется, так как для выполнения условия /г(а,)* h(a2) (при ot] *а2) по теореме Стикельбергера необходимо и достаточно, чтобы были различны все собственные значения матрицы Lh. Тогда Lh диагонализируема, следовательно, теми же преобразованиями подобия диагонализируемы все матрицы коммутативного кольца {Lj-\ f <=R/I}. В этом случае вместо поиска преобразования подобия для семейства матриц (как в [2, 3]) строится преобразование подобия для одной матрицы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Месянжин А. В. Матричное представление элементов фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 19-27.

2. Месянжин А. В., Блинков Ю.А. Об одном алгоритме решения системы полиномиальных уравнений // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Саратов, 13-17 сент. 2004 г. Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. V, вып. 4. С. 90 - 97.

3. Mesyanzhin А. V. On a Method for Finding the Roots of an Ideal // Programming and Computing Software. N. Y.: Plenum Press, 2005. Vol. 31, № 2. P. 97 - 102.

УДК 517.51.518

И. Д. Молоденкова

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ОПЕРАТОРАМИ, ПЕРЕВОДЯЩИМИ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ В ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Пусть АИ - интегральные операторы

ь

H(x,t)<$(t)dt,

а

зависящие от шага разбиения отрезка Н = ——— (п - натуральное число)

п

как от параметра, переводящие кубические сплайны 5(х) дефекта 1 по разбиению Д в их производные, с ядрами

s

i=i

где S принимает соответствующие значения в зависимости от того, куда попадает х, ср,(i) — линейно независимые функции, получаемые сдвигом функции