О внешней оценке компакта ориентированным эллипсоидом Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Молодеикова И. Д. Об осредняющих операторах, сохраняющих тригонометрические многочлены и тригонометрические сплайны // Математика, механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 81 - 84.

4. Молоденкова И. Д., Молоденков В. А. Обзор численных методов для решения задач приближения непрерывных функций с использованием сплайнов и осредняющих операторов. Саратов, 1998. 37 с. Деп. в ВИНИТИ. № 986-В98.

УДК 519.853.5

В. Б. Чеглов

О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ КОМПАКТА ОРИЕНТИРОВАННЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ

1. Математическая формализация задачи. Пусть множество D czRp - компакт, подлежащий оценке. Рассмотрим задачу о построении ориентированного эллипсоида наименьшего объема, содержащего в себе D. Для определенности будем считать, что эллипсоид ориентирован по осям координат.

Введем следующие обозначения: Г : ~2

, г(х,т) = тахп(х-у,т). (1)

ysD

Заметим, что при фиксированном векторе

х = т^ > 0, / = \,р функция п(х,т) удовлетворяет аксио-

мам нормы.

Множество, заданное соотношением

Е{х,г(х,х)т) - е < r2(x,t)J, (2)

является ориентированным эллипсоидом с центром в точке х, размеры полуосей которого заданы вектором г(х,-с)т, причем (это следует из (1) и (2)) хотя бы одна точка компакта D лежит на границе эллипсоида.

Известно, что объем эллипсоида пропорционален произведению длин его полуосей (см., например, [1]). Тогда- задачу о внешней оценке компакта D ориентированным эллипсоидом можно записать в виде

V{x,x)^rp{x,x)f[x(') min (3)

,=1 xeRp,T>0

2. Дифференциальные свойства целевой функции. Напомним основные понятия квазидифференциального исчисления (см. [2]).

Определение 1. Пусть в открытом множестве S с Rp задана конечная функция f(x). Будем считать, что /(х) - квазидифференцируемая

"0,0 = JZ

/=1

г (О

функция в точке х0 eS, если она дифференцируема в точке х0 по любому направлению g е Rp и существуют выпуклые компакты df(x0)c Rp и df(x0)a Rp такие, что производная функции f(x) в точке х0 по направлению g имеет вид

f'{x0,g)=\\ma~l\f{x0 + otg)-/(x0)]= max<vg> + min <w.g> .

Множества cf{x) и df{x) называются соответственно суб- и супердифференциалами функции f(x) в точке х0, а df{x) = \tyXx\df{x$[ - квазидифференциалом.

Определение 2. Если среди квазидифференциалов функции f(x) в точке х0 есть элемент вида df (х0) = \df{x0 ), {0р}], то /(х) - субдифферен-цируема.

Теперь докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Функция V(z) субдифференцируема в любой точке z = (x, t) для х,х е Rp>0,i = \,p, причем

5V(z)= co{prp~\z)f(z)n'{x - у,х)/у е Qr(z)} + rp(z)f(z), (4)

где Qr{z)={y^Dlr{z)=n{x-y,x)},f{z)=\\x^, а f'(z) - градиент функ-

¿=1

ции f(z) в точке z, соА - выпуклая оболочка множества А

Доказательство. Поскольку и(х,т) - гладкая по совокупности переменных (х,т), то г(х, т) - дифференцируема по любому направлению (см. [2]), причем в любой точке z = (x,x) для направления g е R2p имеет место формула

r'(z,g)= тах<п'(х-y,x),g> , (5)

где Qr (z)={y е D/r(z) = n{x - у, т)}. Теперь из (5) получаем r'(z,g)= max<v,g> = max<v,g> . (6)

ve.{n'[x-y,x)/yeQr (2)} veco{n'{x-y,x)/ysQr (z)} Тогда и функция rp(z) дифференцируема по направлениям, причем

(r"(-jj(z,g) = prp-l(zy(z,g). (7)

Подставляя (6) в (7), получаем

(rp{^(z,g) = prp-\zy(z,g) = prp-\z)- max < v,g >

veco{n'{x-y,x)/ yeQr (г)}

|

= птк<ргр 1(z)v,g> = rnax<v,g> (8)

veco[n'(x-y,x)/ ye.Qr (z)} veco{prP~l (z)n'{x-y,x)l yeQr (z)}

Обозначим /(z)=n^(,)- Эта функция дифференцируема no z, причем

.....ф) W

Теперь, используя (3), (8) и (9), имеем

= rp(z)/'(z,g)+/(z) max < v,g >

veco^"1 (rKic-^x)/j»e6r (z)} = rp(z)/'(z>g) + max < v,g >

veco{prP-1 (z)f(z)n'(x-y,x)/yeQr (z)} = max<v,g> ygeRp.

veco{prP'\z)f(z)n'{x-y,x)/yeQr(z)}+rP(z)/'(z) Что, в соответствии с определением 2, и требовалось доказать.

Теперь, используя известный факт из негладкого анализа [2], получаем

Следствие. Для того чтобы точка z0 = (х0,т0) была решением задачи (3) необходимо, чтобы 02pedV(z0), где множество dV(z) определено формулой (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1998.

1. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,

1981.

УДК 631.86

В. Т. Челышев ЖЕСТКОСТЬ ГЕКСАПОДА

Для одной шарнирно-стержневой конструкции найдено инвариантно-геометрическое условие приобретения степени свободы в исключительном случае.

The invariant-geometric condition of a freedom degree acquisition in an exclusive case is found for one joint-rod construction