О внешней и внутренней оценке компакта лебеговым множеством калибровочной функции, порожденной звездным компактом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.853

Н. В. Рыхлов

О ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ ОЦЕНКЕ КОМПАКТА ЛЕБЕГОВЫМ МНОЖЕСТВОМ КАЛИБРОВОЧНОЙ ФУНКЦИИ, ПОРОЖДЕННОЙ ЗВЕЗДНЫМ КОМПАКТОМ*

1. Пусть D - подлежащий оценке компакт из конечномерного действительного пространстваRp, а

км (jc) = inf ja: а > 0,— е М j

- калибровочная функция, порождаемая заданным компактом MczRp, intМ*0, OeintM.

Если обозначим через

R(x) = maxkM(x- у), рп(х)= min км(х-у),

yeRp\D

то имеют место следующие включения:

Dcz{yeRp:kM(x-y)<R(x)}, \/xeRp, {yeRp:kM(x-y)<Pn(x)}czD, VxeD. Тогда задачу о внешней оценке, то есть задачу о построении лебегова множества функции км (.) наименьшего объема, содержащего компакт D, можно записать в виде

R(x)^> min . (1)

xeRp

А задачу о внутренней оценке, то есть задачу о построении лебегова множества функции км(.) наибольшего объема, содержащегося в телесном компакте D, можно записать в виде

Рп(х) —> шах. (2)

xeD

Исследования задач (1), (2) проводились в предположении, что компакт М является звездным относительно нулевого элемента и представляет собой объединение конечного числа выпуклых телесных компактов, содержащих внутри себя нулевой элемент.

Будем использовать следующие обозначения: clA, int А, соА, А , К (А) - соответственно замыкание, внутренность, выпуклая оболочка поляра, коническая оболочка множества А; К(х,А), Г(х,А) - соответственно конус касательных направлений, конус Булигана множества А в точке х\ Q = cl(Rp \D); К+ - сопряжение конуса К;

" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00048.

рА(х) = minкм(х-у), Q (x,D) = {yeD:kM(x-z) = R(x)},

уеЛ

Qp (x,A) = {z s A : kM(x - z) = pA (x)}, (x,.y) - скалярное произведение элементов x и у.

2. Приведем некоторые результаты исследования задачи (1). Считаем далее, включая п.З, что М - звездный относительно нулевого элемента компакт, причем М = (JМ,-, где М, - выпуклые телесные компакты и

i-l, т

0р eintMh i = l,m.

ТЕОРЕМА 1. Функция км(х) дифференцируема по направлениям в любой точке xeRp и формула ее производной по направлениям имеет вид к'м(х,ё) = max (v,g) + mm (w,g), \/g&Rp, (3)

vedkM(Xy wedkM (i)

дкК(х)= S dkMi (x), 8км(х) = —coj I , (4) --lieeW.O/--J

А/*, если x = 0 dkM (x) = (5) -|{ve Rp :ки» (у) = l,(v,x) = kMj (x)}, если x*0p,

где Q(x) = {ie[l:m]:kM(x) = kM, (x)},

Замечание 1. Наличие дифференцируемое™ по направлениям и справедливость формулы (3) означает квазидифференцируемость км (х) в точке х в определении В. Ф. Демьянова - А. М. Рубинова [1]. Пара выпуклых компактов дкм (х) и дкм (х), называемых субдифференциалом и супердифференциалом функции км (.) в точке х, образуют ее квазидифференциал в точке х.

ТЕОРЕМА 2. Если D является выпуклым компактом, то функция R(x) является всюду дифференцируемой по направлениям, причем справедлива следующая формула для ее производной по направлениям:

R(x,y)= sup sup | max (v,g-g) + jrnn (w,g-f)L (6)

где дкм и дкм определяются формулами (4), (5). Если компакт D не обязательно является выпуклым, то имеет место ТЕОРЕМА 3. Если точка xeRp такова, что

r(z,D)№eRp:kM(x-z,£>)>0} = {0p}, VzeQR(x,D), (7) то функция R(x) дифференцируема в точке х по любому направлению и справедлива формула (6).

Замечание 2. Если компакт D задается липшицевой и квазидиффе-ренцируемой функцией: D = {yeRp : f(y) < 0}, то соотношение (7) реализуется включением

дкм (х - z) - d/(z) с int со{дкм(х - z) + §f-dkM (x-z)- df(z)},

гдeDf(z) = {df(z),df(z)} - квазидифференциал функции /(.) в точке 2.

Следствием теоремы 2 является

ТЕОРЕМА 4. Пусть D является выпуклым компактом. Для того чтобы точка х0 была решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы

R'(xo,g)7>0,\/geRp, где R (x0,g) задается формулой (6). Если оказалось, что

R\x0,g)>0,Vg*0p, то х0 - точка строгого локального решения задачи (1).

3. Приведем некоторые результаты исследования задачи (2). ТЕОРЕМА 5. Если D является выпуклым телесным компактом, то функция ра{х) является вогнутой на множестве D и ее условный супердифференциал выражается формулой

= со{8ксоМ(х- г)ПK\z,D): z е Qp(x,Cl)}, xeintD, (8)

где дксоМ(х) = {veRp: к(сШ). (v) = \,(v,x) = ксоМ (х)}, при х * 0р.

Кроме того, в граничных точках множества D функция рп(х) дифференцируема по направлениям, причем

Pn(.x:,g) = maxjo, (*>#)[•

[ wedpa(x) )

Если компакт D не обязательно является выпуклым, то справедлива ТЕОРЕМА 6. Если точка х е xn\D такова, что

:4(*-г,;)<0} = {(у, Vzeß'Cx.Q), (9) то функция р(Л(х) дифференцируема в точке х по любому направлению и справедлива формула

Pn(x>g) = »nf inf J max (v,g-g)+ jnin

zeQ"(х.П)^Г(г.П) [ vedku (x-z) wzdkM(x-zY J

где дкм{.) и дкм(.) задаются формулами (4)-(5).

Замечание 3. Если компакт D задается липшицевой квазидифферен-цируемой функцией:/? = {>■£/?р : f{y)<Q), то соотношение (9) реализуется включением:

<T(z) - дкм(х - г) с int со{8км(х - z) + Щг)-8к^(х - г) - dfiß)} ■ Следствием теоремы 5, в соответствии с известным фактом из выпуклого анализа, является

ТЕОРЕМА 7. Если D является выпуклым компактом, то для того чтобы точка х0 eintD была решением задачи (2), необходимо и достаточно, чтобы 0р е дрпОо), где дра(.) задается формулой (8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Демьянов В. Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

УДК 515.51

С. П. Сидоров

ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫМИ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМОСОХРАНЯЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ КОНЕЧНОГО РАНГА*

Задача формосохраняющего приближения состоит в аппроксимации функции с сохранением некоторых свойств формы приближаемой функции, таких, например, как монотонность, выпуклость и т. п., то есть связанных со знаком производной того или иного порядка. Аппаратом подобного приближения могут служить линейные формосохраняющие операторы, для которых в работах [1-3] получены обобщения классического результата Коровкина [4]. Цель настоящей статьи - получение аналогов результатов [5, 6] для формосохраняющих операторов.

Пусть X = [0,1] и Ск (X), к> 0, есть пространство действительнозначных и к -раз непрерывно дифференцируемых функций на X. Пусть D' означает оператор дифференцирования порядка i и ||-|| будет нормой в С(Х) = С°(Х). Далее, ПА будет подпространством С(Х), порожденным системой {е0,еь...,ек}, где е, = х' ,т. е. ПА = (е0,...,ек).

Пусть ст= {а, }(>0 - последовательность с ст, е {-1,0,1}, и пусть h,к -два целых числа, 0 <h<k и анак * 0. Обозначим

Ch,k (а) = {/ е С(Х) : а,/[*о,1*0, h<i<k), где f[x0,...,xj] есть разделенная разность порядка i функции f.

Напомним, что линейный оператор Ln, отображающий С(Х) в линейное пространство конечной размерности п +1, называется оператором конечного ранга п +1.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 99-01-01120, и программы "Ведущие научные школы", грант №00-15-96123.