Об оценке границы выпуклого компакта шаровым слоем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛЕММА 3. Предположим, что f(x) е Ст1[0,1] и удовлетворяет (1). Тогда ~ \g{-k,r)DkxRÍfdk = 0<lf\) при со, где ||/|| - норма /(*) в 2Ш |Х|=г

С1 [0,1]; к = 0,1.

Обозначим через Q¡ множество функций из С1 [0,1], удовлетворяющих (1), а через ß2 = Qx П С2 [0,1].

ЛЕММА 4. Замыкание Q2 в норме С1 [0,1] совпадает с Ql. Отметим, что замыкание в С[0,1] области определения дифференциального оператора впервые найдено в [5]. С помощью лемм 2-4 показывается, что правая часть (2) равномерно стремится к нулю при г —» °о.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд. M.: Наука,

1969. 526 с.

2. Stone M. H. A comparison of the serios of Fouries and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Sos. 1926. Vol. 28. P. 695 - 761.

3. Kaufmann F. J. Derived Birkhoff-series associated with N(y) = XP(y) II Results in mathematics. 1989. Vol. 15. P. 256 - 289.

4. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы.Воронеж, 1999. С. 75.

5. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений 1-го рода с ядром Грина//Изв. вузов. Математика. 1972. Т. 8(123). С. 94 - 104.

УДК 519.853.3

С. И. Дудов, И. В. Златорунская

ОБ ОЦЕНКЕ ГРАНИЦЫ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОВЫМ СЛОЕМ*

1. Пусть D - заданный выпуклый компакт из конечномерного пространства Rp, С - его граница, а функция п(х) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы. Обозначим через

R(x) = max п(х - у), r(x) = min п(х - у).

уеС уеС

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00048.

Тогда задачу о построении шарового, в смысле нормы «(•), слоя наименьшей толщины, с центром из компакта D и содержащего его границу, можно записать в виде

Ф(.х)-Л(*)-К*)-*тш. (1)

xeD

Для случая евклидовой нормы эта задача рассматривалась рядом авторов [1 - 9]. Видимо первыми, кто рассматривал близкую задачу, но на плоскости, то есть при р=2, были М. Окань [1] и А. Лебег [2]. В [1] предложен способ построения кругового кольца наименьшей ширины, содержащего заданное конечное семейство точек. В [2] выяснено, что решение рассматриваемой там задачи наилучшего приближения тесно связано с нахождением кругового кольца наименьшей ширины, содержащего границу двумерного выпуклого компакта. Свойства этого кольца, а затем и шарового слоя наименьшей толщины, содержащего границу выпуклого компакта в Rp, изучались в [3 - 9].

В данной заметке анонсируются результаты исследования задачи (1) для произвольной используемой нормы.

2. Будем использовать следующие обозначения:

Qr(х)={уеС/п(х-у) = R{x)\ Qr(х)={уеС/п(х-у) = г(*)}; К(х,А) - конус возможных направлений множества А в точке х; (х,у) - скалярное произведение элементов х и у; К+ ={w е Rp /(v,w) > 0,Vv е К\ -конус, сопряженный к конусу К; соА, intA - соответственно выпуклая оболочка и внутренность множества А; n*(w) = шах (v,w);

n(v)£l '

А- В = {а - b / а е А, b е В) - разность множеств А и В\ Kv(Rp) - простран-

п RP

ство непустых выпуклых компактов из Л" ; 2 - множество всех подмножеств из пространства Rp.

Известно, что функция R(x) является выпуклой на Я'', а ее субдифференциал можно выразить формулой [10]:

dR(x) = со{дп(х-y)/yeQR(x)}. (2)

Функция г(х) является вогнутой на множестве D, причем её условный супердифференциал выражает формула [11]

fr(x) = co{weK+(z,D)/ n\w) = l,zeQr(x)}, xeD. (3)

Таким образом, целевая функция Ф(х) в задаче (1) является выпуклой на D и, следовательно, задача (1) является задачей выпуклого программирования.

3. Приведём некоторые результаты исследования задачи (1). Отметим сразу, что существование решения задачи (1) следует из непрерывно-

сти функции Ф(л;) и компактности множества D. Необходимое и достаточное условие её решения отражает

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы точка x0eD была решением задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла соотношению

{dR(x0)-dr(x0)) П К\хо, D) * 0, где dR(x) и дг(х) определяются формулами (2) и (3) соответственно.

Для случая евклидовой нормы решение задачи (1), как доказано в [7], является единственным и, как следует из работы [9], соответствующий центр шарового слоя принадлежит внутренности компакта Д если она не пуста. В общем же случае имеет место

ТЕОРЕМА 2. Если норма «(-) является строго квазивыпуклой функцией, то задача (1) имеет единственное решение.

Простые примеры показывают, что для случая нормы, не являющейся строго квазивыпуклой функцией, решение задачи может быть неединственным, и соответствующий центр шарового слоя может находиться на границе Д даже если int D * 0.

4. Обозначим через Х(Д) множество всех центров шаровых слоев наименьшей толщины, содержащих границу D. Х(Д) можно рассматривать

г, р

как многозначное отображение Х(-) : Kv(Rp) 2 . Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 3. Многозначное отображение Х(-) является полунепрерывным сверху на Kv(Rp).

Следствие. Если «(•) - строго квазивыпуклая норма, то отображение Х(-): Kv(Rр) --> 2rP является однозначным и непрерывным на Kv(Rp).

Рассмотрим функцию h0(D), сопоставляющую выпуклому компакту DeKv(Rp) наименьшую толщину шарового слоя, содержащего границу D. Для нее справедлива

ТЕОРЕМА 4. Функция h0{-) является липшицевой с константой, равной единице на пространстве Kv(Rp) с метрикой

h(A,B) - max] sup inf n(x-y), sup inf n(x - y) >,

[xeA УеВ yeB xeA J

то есть

^(ДЬЙоСДЭИСД, D2), V DbD2eKv(Rp).

В заключение отметим, что в случае евклидовой нормы задача (1) эквивалентна задаче о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром Вп(х,г) = {у е Rp /п(х - у) < г), а именно задаче

h(D,B„(x,r))-> min .

xeRp,r<О

Этот факт доказан в работе [9]. Авторам известны и другие случаи, когда такая эквивалентность имеет место.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. DOcagneM. Sur certain figures minimales // Bull. Soc. Math. France. 1884. Vol. 12. P. 168 - 177.

2. Lebesque H. Sur quelques questions de minimum, relatives and courbes orbiformes, et sur leurs rapportes avec le calcul des variations // J. Math . Pures. Appl. 1921. Vol. 4. P. 67 - 96.

3. Bormesen T., Fenchel W. Theory der konvexen Korper. Berlin: Springer - Verl.,

1934.

4. Vincze St. Über den Minimalkreisring einer Eiline // Acta. Sei. Math. Acta. Univ. Szeget. 1947. Bd. 11, № 3. S. 133 - 138.

5. Vincze I. Über Kreisringe, die eine Eiline einschlissen // Studia Sei. Math. Hungrica. 1974. Bd. 9, №1/2. S. 155 - 159.

6. KritikosN. Über konvexe Flachen und einschiiessende Kugeln // Math. Ann. 1927. Bd. 96. S. 583 - 586.

7. Baranyl. On the minimal ring Containing the boundary of convex body // Acta. Sei. Math. Acta. Univ.Szeged. 1988. Vol. 52, № 1/2. P. 93 - 100.

8. ZuccoA. Minimal shell of a typical convex body // Proc. Amer. Math. Soc. 1990 Vol. 109, № 3. P. 797-802.

9. Никольский M. С., Силин Д. Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами адциала//Тр. МИ РАН. 1995. Т. 211. С. 338 - 354.

10. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

11. Дудов С. И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 530 - 542.

УДК 514.76

Ю. И. Ермаков

УСЛОВИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОСЛОЙНЫХ ОБЪЕКТОВ ТВИСТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ

1. Воздействие сил эволюционного развития неотвратимо ведёт к формированию целостного взгляда на окружающий мир, что в научном познании стало осознаваться как необходимость перехода к новой системе взглядов, к новой парадигме, способной объединить разные виды знания о действительности. Так, наблюдавшееся долгие годы разобщение между теоретической физикой и геометрией в настоящее время начинает исчезать. Современное понятие калибровочного поля, возникшее в физике, имеет глубокие корни в физических явлениях. Поэтому физики с большим