CC BY
13
УДК 519.853
О ВНУТРЕННЕЙ ОЦЕНКЕ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА ЛЕБЕГОВЫМ МНОЖЕСТВОМ ВЫПУКЛОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
£ И. Дудов1, В. В. Абрамова2
1 Дудов Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математической экономики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83, [email protected] 2Абрамова Вероника Валерьевна, аспирант кафедры математической экономики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]
Рассматривается конечномерная задача о вложении наибольшего по включению нижнего Лебегова множества выпуклой функции / (х) в заданное выпуклое тело Б с Мр. Эта задача является обобщением задачи о вписанном шаре (случай, когда функция является некоторой нормой, а ее лебеговы множества — шары). Функция /(х) должна быть дифференцируемой всюду на Мр, за исключением, возможно, точки 0Р, и иметь ее в качестве единственной точки минимума. Математическая формализация этой задачи предложена в форме отыскания максимина от функции разности аргументов. Доказано, что целевая функция данной максиминной задачи является липшицевой на Мр и квазивогнутой на множестве Б. Кроме того, установлено, что целевая функция супердиф-ференцируема (в смысле определения Демьянова-Рубинова) на внутренности тела Б и получена соответствующая формула супердифференциала. На основе этой формулы супердифференциала получены необходимое и достаточное условие решения задачи и условие единственности решения.
Ключевые слова: выпуклое тело, внутренняя оценка, минимакс, супердифференциал, квазивогнутая функция.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2017-17-3-267-275
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим конечномерную максиминную задачу с распадающимися переменными следующего вида:
^(ж) = min f (у — ж) —> max, (1)
yeQ xGD
где D с — заданное выпуклое тело, U = \ D, а f (x) — выпуклая конечная на функция, имеющая единственную точку минимума ж* = 0p. Кроме того, далее считаем, что функция f(ж) дифференцируема всюду на за исключением, быть может, точки ж*.
Если обозначим через
Gf (а) = {у е : f (у) < а},
то нетрудно видеть, что для фиксированной точки ж е D величина а = ^(ж) является максимальной, при которой выполняется включение
Gf (а) + ж = {у е : f (y — ж) < а} с D.
Таким образом, с геометрической точки зрения задача (1) требует вложить в тело D наибольшее (по включению) нижнее лебегово множество функции f (•) (т. е. с наибольшим значением а) через выбор точки x е D. Эту задачу мы будем называть задачей о внутренней оценке выпуклого тела D лебеговым множеством функции f (•). Нетрудно видеть, что задача (1) является обобщением задачи о вписанном шаре (случай, когда функция f(•) удовлетворяет аксиомам нормы, см. например, [1]).
Цель статьи — исследовать свойства функции ^(x) и получить необходимые и достаточные условия решения задачи (1). Понятно, что здесь могут найти применение общие методы теории минимаксных задач (например, [2-5]). Кроме того, отметим, что задача вида (1) рассматривалась в работе [6] на предмет получения необходимых и достаточных условий решения в случае, когда множества D и ü задавались в виде лебеговых множеств функций, дифференцируемых по всем направлениям. Однако наши исходные предположения не позволят напрямую воспользоваться результатами работы [6].
Далее используются следующие обозначения: int A, co A, cl A — внутренность, выпуклая оболочка, замыкание множества А; (x,y) — скалярное произведение элементов x и у.
2. СВОЙСТВА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Установим некоторые свойства целевой функции в экстремальной задаче (1).
Теорема 1. Функция ^(x) является
1) липшицевой на Rp;
2) квазивогнутой на D, т. е.
^(axi + (1 — a)x2 ^ min{^(xi), ^(x2)}, V xi, x2 е D, а е [0,1], причем если ^(xi) < ^(x2), то ^(axi + (1 — a)x2) > ^(xi) для всех а е (0,1).
Доказательство. 1. Очевидно, что
^(x) = min f (у — x) = min f (у — x), V x е D, (2)
yeo yeOQ
где dü — граница множества ü и одновременно выпуклого тела D. Множества dü и D являются ограниченными и замкнутыми. Следовательно, их разность dü — D = {zi — z2 : zi е дü, z2 е D} также является ограниченным и замкнутым множеством. Как известно [7, гл. 1, § 5], выпуклая и конечная на функция является липшицевой на любом ограниченном множестве. Поэтому существует L > 0 такое, что
|f(у — xi) — f(у — x2)| < L||xi — x2||, V у е dü, xi,x2 е D. (3)
Теперь, используя (2), (3), получаем
|^(xi) — ^(x2)| = 1 mm f (у — xi) — mm f (у — x2) <
yeöQ yeöQ
< max |f (у — xi) — f (у — x2)| < L||xi — x2||, V xbx2 е D. (4)
Ввиду того что ^(x) = f (0p) для любой точки x е ü, случай xi е D и x2 / D легко сводится к уже рассмотренному. При этом константа Липшица та же самая, что и в (4). Случай xi / D,x2 / D является тривиальным.
Тем самым липшицевость функции ^(x) на доказана.
2. Теперь докажем квазивогнутость ^(ж) на D. Очевидно, нетривиальным является только случай ж1}ж2 £ intD. Как следует из определения функции ^(ж), для любой точки ж £ int D выполняется
{y £ : f (y - ж) < <^(ж)} П П = 0. (5)
Учитывая выпуклость функцииf(•) и неравенство ^(ж) > f(0p) для ж £ int D, нетрудно показать, что
cl {y £ : f (y - ж) < р(ж)} = {y £ : f (y - ж) < ^(ж)} = Gf (р(ж)) + ж. (6)
Поэтому из (5), (6) для ж1}ж2 £ int D вытекает
Gf(р(жО) + ж1 С D, (7)
Gf(^(ж2))+ ж2 С D. (8)
Пусть ^(ж1) < ^(ж2). Тогда из (7), (8) в силу включения Gf (^(ж1)) С Gf (^(ж2)) и выпуклости D получаем
Gf (^(ж1)) + аж1 + (1 - а)ж2 = {y £ Rp : f (y - аж1 - (1 - а)ж2) < ^(ж1)} С D. (9)
Поскольку П = cl(Rp\D), то ввиду непрерывности функции f (•) из (9) следует
^(аж1 + (1 - а)ж2) = minf (y - аж1 - (1 - а)ж2) ^ ^(ж1) = min^^), ^(ж2)}.
yen
Пусть теперь ^(ж1) < ^(ж2). Тогда ввиду непрерывности функции f (•) выполняется Gf(^(ж1)) С intGf(^(ж2)). Поэтому из (8) получаем
Gf (^(ж1)) + ж2 С int D. (10)
Из выпуклости тела D, (7) и (10) вытекает
Gf (^(ж1)) + аж1 + (1 - а)ж2 £ int D, V а £ (0,1). (11)
Поскольку
Gf (^(ж1)) + аж1 + (1 - а)ж2 = {y £ : f (y - аж1 - (1 - а)ж2) < ^(ж1)}, то, учитывая (11), получаем
^(аж1 + (1 - а)ж2) = minf (y - аж1 - (1 - а)ж2) > ^(ж1), V а £ (0,1).
yen □
Теперь рассмотрим дифференциальные свойства функции ^(ж).
Теорема 2. Функция ^(ж) является супердифференцируемой в любой точке ж £ int D, а формулу ее супердифференциала в точке x можно представить в виде
др(ж) = co {-f(z - ж) : z £ ^(ж)}, V ж £ int D, (12)
где ^(ж) = {z £ П : ^(ж) = f (z - ж)}.
Доказательство. Напомним, что функция ^(ж), определенная в окрестности точки ж, называется в ней супердифференцируемой в смысле определения В. Ф. Демьянова-А. М. Рубинова [8, гл. 3, § 2], если она в этой точке дифференцируема по любому направлению g е Rp, и существует такой выпуклый компакт д^(ж), что для ее производной по направлениям справедлива формула
) = lim а-1 [^(ж + ag) — ^(ж)] = min (v,g}, V g е Rp. (13)
Очевидно, нашу целевую функцию ^(ж) можно представить в виде
^(ж) = — maxF(ж, у), F(ж,y) = — f(у — ж).
yen
В силу исходных условий на функцию f (•) функция F(ж, у) при любых y е Q является дифференцируемой по ж в любой точке ж е int D. Кроме того, как было отмечено (см. (2))
^(ж) = — maxF(ж,у), V ж е int D,
; yedn v
и dQ является компактом. Поэтому в соответствии с известным фактом из теории минимаксных задач (см. [2, гл. 6, § 1]) функция ^(ж) является дифференцируемой в точках ж е int D по любому направлению g е Rp, причем
<p'(x,g) = — max (FX(x,z),g), (14)
zeQ(x)
где FX(x,z) — градиент функции F(x,z) по x, а
Q(x) = {z е дÜ : p(x) = —F(x, z)} = {z е ü : p(x) = f (z — x)}. Поскольку F'x(x,z) = f (z — x), то из (14) в итоге получаем
Ч>'(x,g)=min (—f (z — x),g) = min (v,g) =
zeQ(x) ve{-f'(z-x):zeQ(x)}
= min (v,g), V g е
vGco {—f'(z—x):zGQ(x)}
Последнее и означает, что в соответствии с (13) функция ^(ж) супердифференциру-ема и ее супердифференциал в точке ж может быть представлен в виде (12). □
Замечание 1. Простые примеры (/(ж) = (ж, ж), Б — многогранник) показывают, что функция ^(ж), являясь в соответствии с теоремой 1 квазивогнутой на Б, может не быть при этом вогнутой на Б.
Замечание 2. Если функция f (ж) удовлетворяет аксиомам нормы, то ^(ж) является функцией расстояния от точки ж до множества В этом случае формула ее супердифференциала, даже в случае, когда f (•) не обязательно дифференцируема в точках ж = 0Р, получена в [9].
3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РЕШЕНИЯ
В этом параграфе получим критерий решения задачи, а также достаточное условие единственности и строгого решения.
Из условий на функцию f (ж) и определения функции 0(ж) в (1) вытекает, что 0(ж) = 0 при всех ж е U и 0(ж) > 0 для точек ж е int D. Поэтому если ж0 е D является точкой максимума функции 0(ж) на D, то ж0 е int D.
Теорема 3. Для того чтобы точка ж0 е int D была решением задачи (1), т.е. 0(жо) = max 0(ж), необходимо и достаточно, чтобы
xeD
0p е co {f'(z — жо) : z е д(жо)}. (15)
Доказательство. Достаточность. Пусть для точки ж0 е int D выполняется соотношение (15).
Напомним, что конусом Булигана (контингентным конусом) множества А в точке ж е A называется (см. [10,11])
Г(А, ж) = {g е Rp : 3 {а^} | 0, {gk} ^ g, k ^ те, ж + а^gk е A}.
1. Сначала докажем, что
Г^(^(жо)),жо ) = Rp, (16)
где G^(р(жо)) = {ж е Rp : р(ж) < р(жо)}.
С этой целью предварительно покажем, что
cl 7^(жо )= 71,^ (жо), (17)
где 7^(жо) = {g е Rp : 0(xо,g) < 0}, (жо) = {g е Rp : 0(жо,g) < 0}.
Очевидно, для этого достаточно доказать, что любой вектор g0 е Rp такой, что 0(жо,g0) = 0, является предельным для некоторой последовательности
{gk}k=i^ с 7^(жо).
Итак, пусть 0(жо,g0) = 0. Нетрудно видеть, что множество ф(жо) = дUП{у е Rp : f (у — жо) < 0(жо)} является компактным.
Поэтому из теоремы 2 вытекает существование точки z0 е ^(жо) такой, что
0(жо^о)= min (v^) = min (—f'(z — жо)^о) = — (f'^о — жо)^о) = 0. (18)
Возьмем произвольную последовательность {ek} j 0, k ^ те ив качестве gk = g0 + f (z0 — жо). Отметим, что z0 = жо, а тогда из выпуклости функции f (•), обладающей единственной точкой минимума ж* = 0p, следует f (z0 — жо) = 0p. Теперь, используя (18), получаем
0(жо, gk) = min (—f'(z — жо), gk) < (—f'(zо — жо), gо + £kf'(zо — жо)) =
zeQ(xo)
= —£k||f'(zо — жо)||2 < 0. Таким образом, {gk}k=r^ с 7^(жо) и gk ^ g0,k ^ те. Тем самым (17) доказано.
Для доказательства (16) остается заметить следующее. Во-первых, очевидно, что
7^(жс) С r(G(ф(жо)),жо). (19)
Далее, конус Булигана, как это следует из его определения, является замкнутым множеством. Поэтому из (17) и (19) имеем
(жо) С r(G(ф(жо)),жо). (20)
Наконец, используя теорему 2 и (15), получаем 0p е дф(жо) и тогда
ф'(жо, g) = min <v,g>< 0, V g е Rp,
т.е. 71)^(жо) = Rp. Отсюда и из (20) получаем (16).
2. Теперь, используя (16), покажем, что ф(жо) = maxф(ж). Предположим против-
zeD
ное, т.е. существует точка уо е D, в которой ф(уо) > ф(жо).
Функция ф(ж) является непрерывной и следовательно существует г > 0 такое,
что
ф(ж) > ф(жо), V ж е B(уо,г) = {ж : ||ж — уо|| < г}. Отсюда, используя п. 2) теоремы 1, получаем
ф(жо + а(ж — жо) = ф((1 — а)жо + аж) > ф(жо), V а е (0,1),ж е B(уо,г),
или
ф(жо + ag) > ф(жо), V а е (0,1),g е B(уо — жо,г). (21)
В то же время в силу (16) уо — жо е Г(^(ф(жо)), жо).
Поэтому существуют последовательности {ак} j 0, {gk} ^ уо — жо, k ^ такие,
что жо + акgk е G(ф(жо)), т. е.
ф(жо + акgk) < ф(жо). (22)
Поскольку gk е B(уо — жо, г) при достаточно больших значениях индекса k, то (22) будет противоречить (21). Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть жо — точка максимума функции ф(ж) на D, но 0p / co {f'(z — жо) : z е ^(жо)}. Тогда в силу теоремы 2 0p / дф(жо). Поскольку множество дф(жо) является выпуклым компактом, то по теореме отделимости [12, гл. 4] существует вектор g(] = 0p и a > 0 такие, что
(v,g^ ^ a > 0, V v е дф(жо).
Отсюда следует
ф'(жо^о)= min (v,gо} > a > 0.
xeö^(xo)
Поскольку ж0 int D, то последнее означает, что существует а0 > 0 такое, что
ф(жо + ag0) > ф(жо), жо + ag0 е D, а е (0, ао).
Таким образом, получили противоречие с исходным предположением. Теорема доказана. □
Теорема 4. Если для точки жо е int D выполняется соотношение
0p е intco{f'(z — жо): z е ^(жо)}, (23)
то жо является единственной точкой максимума функции 0(ж) на D, причем существуют е > 0, ö > 0 такие, что
0(ж) < 0(жо) — е||ж — жо||, V ж = жо,ж е B(жо,ö). (24)
Доказательство. Из (23) и теоремы 2 следует существование ео > 0 такого, что
B(0p, ео) с д0(жо). (25)
Поэтому из (25), очевидно, вытекает
0(жо, g) = min <v,g>< —ео, V g е Rp : ||g|| = 1. (26)
vGd^(xo)
Функция 0(ж) дифференцируема по любому направлению в точке жо и является липшицевой в ее окрестности в соответствии с теоремами 1, 2. Поэтому (см. [8, гл. 1, § 3, предложение 3.2, теорема 3]) в асимптотической формуле
0(жо + аg) = 0(жо) + а0 (жо, g) + о(а, g) (27)
величина ^ 0 равномерно по всем д е ||д|| = 1. Следовательно, существует 5 > 0 такое, что
, -а 1 2
| ^ | <£°, а е (0, ö). (28)
Тогда из (26)-(28) следует
£0
+ ад) < <р(жо) - а—, V а е (0,5), ||д|| = 1
или, что то же самое,
£0
^(ж) < ^(ж0) —— ||ж — ж01|, V х е В(ж0,5), х = ж0. (29)
Для завершения доказательства остается добавить следующее. Из квазивогнутости функции ^(ж) на Б следует (см. [7, гл. 1, § 1]) выпуклость множества {у е Б : ^(у) ^ ^(ж0)}. Поэтому допущение о наличии еще одной точки максимума у0 е Б ведет к тому, что ^(ж) = ^(ж0), ж е [ж0,у0]. Это, очевидно, противоречит (29).
Таким образом, ж0 — единственная точка максимума функции ^(ж) на Б. □
Библиографический список
1. Дудов С. И. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нормы // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, № 5. С. 153-159.
2. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М. : Наука, 1972. 368 с.
3. Демьянов В. Ф. Минимакс : дифференцируемость по направлениям. Л. : Изд-во ЛГУ, 1974. 112 с.
4. Федоров В. В. Численные методы максимина. М. : Наука, 1979. 280 с.
5. Сухарев А. Г., Федоров В. В. Минимаксные задачи и минимаксные аглгоритмы. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1979. 50 с.
6. Дудов С. И. Необходимые и достаточные условия максимина функции разности аргументов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 12. С. 1869-1884.
7. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М. : Наука, 1981. 384 с.
8. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М. : Наука, 1990. 432 с.
9. Дудов С. И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 530-542. 001: 10.4213/шгш1532.
10. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М. : Наука, 1988. 280 с.
11. Половинкин Е. С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. М. : Физма-лит, 2015. 524 с.
12. Васильев Ф. П. Методы оптимизации : в 2 кн. Кн. 2. М. : МЦНМО, 2011. 434 с.
Образец для цитирования:
Дудов С. И., Абрамова В. В. О внутренней оценке выпуклого тела лебеговым множеством выпуклой дифференцируемой функции // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 267-275. 001: 10.18500/1816-9791-2017-173-267-275.
On an Inner Estimate of a Convex Body by the Lebesgue Set of Convex
Differentiable Function
S. I. Dudov1, V. V. Abramova2
1 Sergey I. Dudov, ORCID: 0000-0003-0098-3652, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]
2Veronika V. Abramova, ORCID: 0000-0002-4336-191X, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]
A finite-dimentional problem of embedding the largest by the inclusion of lower Lebesgue set of given convex function f (x) in a given convex body D c Rp is considered. This problem is the generalization of the problem of inscribed ball (function f (x) is some norm, and the Lebesgue sets are the corresponding balls). The function f (x) must be differentiable on Rp possibly expending the point 0p and 0p is the uniqueness point of minimum. Mathematical formalization of this problem is proposed in the form of finding maximin of a function of the difference of arguments. It is proved that the objective function of this maximin problem is Lipschitzian on all space Rp and quasiconcave on the set D. Also, superdifferentiability (in the sense of V. F. Demyanov - A. M. Rubinov) of objective function on the interior of D is established and the corresponding formula of superdifferential is derived. The necessary and sufficient solution conditions and the condition for uniqueness of solution are obtained on the basis of this formula of superdifferential.
Key words: convex body, inner estimate, minimax, supperdifferential, quasiconcave function. References
1. Dudov S. I. Inner estimation of a convex set by a norm body. Comput. Math. Math. Phys., 1996, vol. 36, no. 5. pp. 683-688.
2. Dem'yanov V. F., Malozemov V. N. Introduction to minimax. New York, John Wiley & Sons, 1974. 307 p. (Russ. ed. : Moscow, Nauka, 1972. 368 p.)
3. Dem'yanov V. F. Minimaks : differentsiruemost' po napravleniiam [Minimax: directional differentiability]. Leningrad, Leningrad Univ. Press, 1974. 112 p. (in Russian).
4. Fedorov V. V. Chislennye metody maksimina [Computational Methods of Maksimin]. Moscow, Nauka, 1979. 280 p. (in Russian).
5. Suharev A. G., Fedorov V. V. Minimax Problems and Minimax algorithms. Moscow, Moscow Univ. Press, 1979. 50 p. (in Russian).
6. Dudov S. I. Necessary and Sufficient Conditions for the Maximin of a Function of the Difference of Arguments. Comput. Math. Math. Phys., 1992, vol. 32, no. 12, pp. 17011714.
7. Dem'yanov V. F., Vasil'ev L. V. Non-differentiable optimization. New York, SpringerVerlag, 1985. 452 p. (Russ. ed. : Moscow, Nauka, 1981. 384 p.)
8. Dem'yanov V. F., Rubinov A. M. Osnovy negladkogo analiza i kvazidifferentsial'noe ischislenie [Foundation of Non-smooth Analysis and Quasidifferential Calculus]. Moscow, Nauka, 1990. 432 p. (in Russian).
9. Dudov S. I. Subdifferentiability and Superdifferentiability of Distance Function. Math. Notes, 1997, vol. 61, no. 4, pp. 440-450. DOI: 10.1007/BF02354988.
10. Clarke F. Optimization and Nonsmooth Analysis. New York, Wiley Interscience, 1983. 308 p. (Russ. ed. : Moscow, Nauka, 1988. 280 p.)
11. Polovinkin E. S. Mnogoznachnyi analiz i differentsial'nye vkliucheniia [Set-value Analysis and Differential Inclusion]. Moscow, Fizmatlin, 2014. 524 p. (in Russian).
12. Vasil'ev F. P. Metody optimizatsii, v 2 kn. Kn. 2. [Optimization Methods. Book 2]. Moscow, MCNMO, 2011. 434 p. (in Russian).
Cite this article as:
Duduv S. I., Abramova V. V. On an Inner Estimate of a Convex Body by the Lebesgue Set of Convex Differentiable Function. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 3, pp. 267-275 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-3-267-275.
