О двух задачах по оценке выпуклого компакта шаром Текст научной статьи по специальности «Математика»

некоррелированности ошибок наблюдения во времени и пространстве. Возможно, такое предположение не вполне реалистично хотя бы во второй своей части - в едином государстве нет экономически и политически изолированных субъектов, процессы в соседних регионах взаимосвязаны, хотя связь определяется не только расстоянием. Для учета данного фактора в рамках расширенной модели со случайным эффектом [3] требуется оценка некоторой весовой диагональной матрицы, определяющей близость между объектами. Соответственно итоговая модель зависит от принципов, по которым строится матрица. Оценив матрицу, можно проверить гипотезы о пространственной и временной автокорреляции для случайного эффекта.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Касьян Г. А. Скачок смертности в России: результаты анализа международных панельных данных // Препринт ф BSP/02/055 R. M.: Российская экономическая школа, 2002. 64 с.

2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий A.A. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. 6-е изд., перераб. и доп. М,: Дело, 2004. 576 с.

3. Baltagi В.H., Song S.H., Jung B.C., Koh W. Testing for serial correlation, spatial autocorrelation and random effects using panel data //J. of Econometrics. 2007. Y. 1 10. №1. P. 5-51

УДК 519.853.3

E.A. Мещерякова

О ДВУХ ЗАДАЧАХ ПО ОЦЕНКЕ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ

Пусть D — выпуклый компакт из intD = 0 n(x) — некоторая норма на Rp. Функции

R(x) = max n(x — y), pD(x) = min n(x — y)

yeD yeD

x

мой близкой точки множества D. Известно, что функция R(x) выпукла на а рп(х), где Q = Rp\D, является вогнутой функцией на D. Задачей

D

<£i(x) = —► min. (1)

pü(x) xeD

Задача о постороении шарового слоя наименьшего объема, содержащего гра-

D

^2(x) = Rp(x) — Р^(x) —► mm. (2)

x&D

Оптимальные значения целевых функций задач (1) и (2) по разному отражают величину отличия выпуклого компакта D от шара нормы n(x). В этом смысле данные задачи сравнимы с задачей построения шарового слоя

D

Хаусдорфова приближения компакта D шаром нормы n(x) [2]. Примеры показывают, что решения всех перечисленных задач могут быть разными. Цель статьи — получить необходимые условия решения задач (1) и (2).

Теорема 1. Функции <p\(x) и <p2(x) являются субдифференцируемыми

D

дифференциалы, можно выразить следующими формулами:

i(x) = р- (x) (pa(x)dR(x) - R(x)dpn(x)) ,

. (3)

дМх) = р(Яр~1 (х)дЯ(х) - Рэп-1(х)р^(х)). (4)

где дЯ(х) -субдифференциал выпуклой функции Я(х), ~рп(х) - супердифференциал вогнутой на В функции рп(х).

Доказательство. Функция Я(х) - выпуклая на рп(х) - вогнутая функция на В, поэтому их квазидифференциалы (в определении [3, с. 128 можно записать в виде

VЯ(x) = [дЯ(х), {0р}] , VpQ(x) = [{0р} ,р^(х)].

Используя правила квазидифференциального исчисления (см. [1]), имеем

V

" 1 ■

_pn(x)_

дрп(х) pl(x)

, {0p}

и тогда

V

'R(x)'

_pn(x)_

R(x)

дрп(х)

+ ЭД, {op}

р1(х) ) 1 рп(х)

Таким образом, субдифференциал функции 3^\(х) принимает вид (3). По индукции, используя формулу квазидифференциала произведения квази-дифференцируемых функций, получаем

D[Rp(x)] = [pRp-1 (x)dR(x), {0p}],

D[Pn(x)} = [{0p} iPPn 1 (x)dPn(x)}. Отсюда вытекает

D [Rp(x) - pP(x)] = [p (Rp-1(x)dR(x) - pP-1 (x)dp(x)) , {0p}

а значит, и формула (4).

Теорема 2. Если x* £ intD - решение задачи (1), то

Рп(х*)дЯ(х*) П Я(х*)дрп(х*) = 0. (5)

Доказательство. В соответствии с условием минимума субднфферен-цируемой функции для х* £ тШ ([3, с. 239]) должно выполняться 0р £ д^(х*), что в соответствии с формулой (3) эквивалентно

0р £ (рп(х*)Ж(х*) - Я(х*)дрЦ(х*))

или соотношению (5).

Теорема 3. Если точка х* £ Б является решением задачи (2), то

Rp (x*)dR(x*) - ppQ-1(x*)dpn(x*) П K +(x*, D) = 0, (6)

где K +(x*, D) - сопряженный конус к конусу возможных направлений мно-Dx

Доказательство. В соответствии с условием минимума субднфференцн-руемой функции на заданном выпуклом множестве [3, с. 239] должно выполняться соотношение d^2(x*) П K+(x*,D) = 0, которое, учитывая формулу (4), эквивалентно (6).

R(x)

ренциала функции pp(x), в которых отражается зависимость от нормы и множества D имеются в [2]. Это придает соотношениям (5) и (6) конструктивный вид и позволяет решать конкретные задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боннезен Т. Фенхель В. Теория выпуклых тел. М,: ФАЗИС, 2002.

2. Дудов С. И. Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы //Мат.еб. 2000, Т. 191, №10. С. 13-38.

3. Демьянов В. Ф. Рубинов A.M. Основы выпуклого анализа и квазидифференциального исчисления. М,: Наука, 1990.

УДК 519.4

В.А. Молчанов

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛОГИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЯЗЫКОВ

В настоящей статье продолжается исследование языков произвольных слов, начало которому было положено в [1]. Рассматривается конечный алфавит А и следующие множества слов: Wfin(A) - множество всех конечных слов, W^(А) - множество всех бесконечных вправо слов, W^(А) - множество всех бесконечных влево слов, W^(А) - множество всех бесконечных в