Научная статья на тему 'Жесткость гексапода'

Жесткость гексапода Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
98
28
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Жесткость гексапода»

= птк<ргр 1(z)v,g> = rnax<v,g> (8)

veco[n'(x-y,x)/ ye.Qr (z)} veco{prP~l (z)i'(x-y,x)/ yeQr (z)}

Обозначим /(z)=n^(,)- Эта функция дифференцируема no z, причем

.....ф) W

Теперь, используя (3), (8) и (9), имеем

= rp(z)/'(z,g)+/(z) max < v,g >

veco^"1 (rKic-^x)/j»e6r (z)} = rp(z)/'(z>g) + max < v,g >

veco{prP-1 (z)f(z)n'(x-y,x)/yeQr (z)} = max<v,g> ygeRp.

veco{prP'\z)f(z)n'{x-y,x)/yeQr(z)}+rP(z)/'(z) Что, в соответствии с определением 2, и требовалось доказать.

Теперь, используя известный факт из негладкого анализа [2], получаем

Следствие. Для того чтобы точка z0 = (х0,т0) была решением задачи (3) необходимо, чтобы 02pedV(z0), где множество dV(z) определено формулой (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1998.

1. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,

1981.

УДК 631.86

В. Т. Челышев ЖЕСТКОСТЬ ГЕКСАПОДА

Для одной шарнирно-стержневой конструкции найдено инвариантно-геометрическое условие приобретения степени свободы в исключительном случае.

The invariant-geometric condition of a freedom degree acquisition in an exclusive case is found for one joint-rod construction

Гексаподом или платформой Стюарта [1] называется механическое устройство,популярное в робототехнике. Его различные технические реализации имеют следующую общую математическую модель. В две платформы, говоря языком механики, «вморожены» системы декартовых координат: «неподвижная» Oxyz и подвижная Oxyz, изменяющая своё положение относительно Oxyz вслед за подвижной платформой. Заданы 6 точек (М, );б=1 с неизменными координатами относительно

Oxyz и 6 точек (m¡ J'=l с неизменными координатами относительно Oxyz (это центры шарнирных соединений платформ со стержнями, см. рисунок). Для краткости буквы M¡,M¡... будут означать одновременно и радиусы-векторы OM¡,OM¡ и столбцы их координат относительно соответствующих осей.

Пусть M¡- это та же точка М,, но её координаты вычислены относительно Oxyz по формуле М = АМ + О, где А е tS'0(3,R) - матрица, столбцы которой есть направляющие косинусы осей Oxyz относительно Oxyz. Векторы г, = М¡M¡ имеют длины

Г;=Д/(аМ,. (1)

- это длины стержней, соединяющих подвижную платформу с неподвижной. Специальное механическое устройство позволяет придавать этим стержням желаемые фиксированные длины.

Пусть желательно привести подвижную платформу в то или иное положение, т. е., с точки зрения геометра, привести оси Oxyz в нужное

положение, задаваемое при помощи А и О. Формулы (1) указывают, какие длины стержней дня этого необходимо установить. Часто важно наоборот «решить задачу позиционирования», т.е. по длинам {r¡) восстановить А и

О.

Как известо, группа 50(3,R) трёхмерна и частично параметризуется углами типа Эйлера, отличающимися от обычных тем, что вращения производятся последовательно на углы:

Ф - вокруг оси Ох;

6- вокруг оси, в которую перешла ось Оу после первого поворота; вокруг оси, в которую перешла ось Oz после второго поворота, 'cosí)/ -siny О Y eos 9 0 -sinGYl О О Итак, А= sinvj/ eos\¡i 0 0 1 0 0 costp -sincp 0 0 1 Ji sin 0 0 cosG JlO sin<p coscp

Таким образом, шесть уравнений (1) при заданных (/}) можно попытаться разрешить относительно шести же неизвестных (0х,0у,02,(р,д,\\1) Удобнее заменить (1) на

2 ~ 2

О')

По теореме об обратном отображении решение локально единственно тогда и только тогда, когда якобиан ■

(2)

С точки зрения механики, это означает жёсткость, отсутствие степеней свободы у данной конструкции. Цель этой статьи - выяснить, когда жёсткость теряется.

Для геометра безразлично, как именно были «вморожены» оси Охуг и для любого текущего положения удобно считать оси «перевмороженными» так, чтобы ф = 0 = \\1 = 0. Тривиальные вычисления показывают, что якобиева матрица в (2) состоит из строк ¡вида

о о о >

г. г г. г. г. г

ЧХ> 1у> г2> IX 12

( м

Г-гА

V У

(3)

где г, - момент вектора г1 относительно точки О, а [••] - вектор-

ное произведение.

Пара векторов

( <Л ПА

есть так называемый мотор (см. [2]) или ди-

намо (см. [3]) скользящего вектора гг> приведённого к точке О. В случае, когда якобиан обращается в 0 (и значит, гексапод приобретает нежелательную степень свободы), столбцы якобиана линейно зависимы, т.е. найдутся такие что

.У^Л + РуПу + + Р°хгЬ + + цЭД = 0

(4)

о о

или рт1 + ЦП =0.

Чтобы вскрыть геометрический смысл условия (4), переобозначим = X, А? = ц, тогда

гЛ+г,;1 = 0 (4')

Из теории винтов (см., например, [2]) известно, что пару векторов

Л,л ) можно рассматривать как мотор некоторого винта с параметром

о

Л Л

/> = -—, а условие (4) - есть условие того, что все скользящие векторы Л

г ,г j определяют прямые (по которым они скользят), попадающие в

один и тот же комплекс, определяемый данным винтом.

Последнее означает, что ось винта и прямая скрещиваются под углом а и имеют общий перпендикуляр такой длины h, что

71

h ■ tg а = р (Особый случай: Я = 0=>р = оо=>а = —, вместо оси комплекса

о

имеется только направление вектора Л, которому перпендикулярны прямые комплекса).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Stewart, D. A Platform with Six Degree of Freedom // Proc. ImechE (London). 1965-1966. Vol. 180, № 15. P. 1.

2. Диментберг Ф. M. Теория винтов и её приложения. М.: Наука, 1978.

3. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. М.: Наука,

1987.

УДК 513.88

Д. Г. Шалтыко

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Рассмотрим интегральный оператор А вида

т 1

А/{х) =М/(х) + х е [0,1], (1)

к=I о

где М - вольтерров оператор, действующий в пространстве £[0,1], а 1.....т' Ьк(х)\ =1.....т ' некоторые системы функций этого пространства. Спектральному анализу таких операторов посвящен целый ряд работ.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.