CC BY
29
= птк<ргр 1(z)v,g> = rnax<v,g> (8)
veco[n'(x-y,x)/ ye.Qr (z)} veco{prP~l (z)i'(x-y,x)/ yeQr (z)}
Обозначим /(z)=n^(,)- Эта функция дифференцируема no z, причем
.....ф) W
Теперь, используя (3), (8) и (9), имеем
= rp(z)/'(z,g)+/(z) max < v,g >
veco^"1 (rKic-^x)/j»e6r (z)} = rp(z)/'(z>g) + max < v,g >
veco{prP-1 (z)f(z)n'(x-y,x)/yeQr (z)} = max<v,g> ygeRp.
veco{prP'\z)f(z)n'{x-y,x)/yeQr(z)}+rP(z)/'(z) Что, в соответствии с определением 2, и требовалось доказать.
Теперь, используя известный факт из негладкого анализа [2], получаем
Следствие. Для того чтобы точка z0 = (х0,т0) была решением задачи (3) необходимо, чтобы 02pedV(z0), где множество dV(z) определено формулой (4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1998.
1. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,
1981.
УДК 631.86
В. Т. Челышев ЖЕСТКОСТЬ ГЕКСАПОДА
Для одной шарнирно-стержневой конструкции найдено инвариантно-геометрическое условие приобретения степени свободы в исключительном случае.
The invariant-geometric condition of a freedom degree acquisition in an exclusive case is found for one joint-rod construction
Гексаподом или платформой Стюарта [1] называется механическое устройство,популярное в робототехнике. Его различные технические реализации имеют следующую общую математическую модель. В две платформы, говоря языком механики, «вморожены» системы декартовых координат: «неподвижная» Oxyz и подвижная Oxyz, изменяющая своё положение относительно Oxyz вслед за подвижной платформой. Заданы 6 точек (М, );б=1 с неизменными координатами относительно
Oxyz и 6 точек (m¡ J'=l с неизменными координатами относительно Oxyz (это центры шарнирных соединений платформ со стержнями, см. рисунок). Для краткости буквы M¡,M¡... будут означать одновременно и радиусы-векторы OM¡,OM¡ и столбцы их координат относительно соответствующих осей.
Пусть M¡- это та же точка М,, но её координаты вычислены относительно Oxyz по формуле М = АМ + О, где А е tS'0(3,R) - матрица, столбцы которой есть направляющие косинусы осей Oxyz относительно Oxyz. Векторы г, = М¡M¡ имеют длины
Г;=Д/(аМ,. (1)
- это длины стержней, соединяющих подвижную платформу с неподвижной. Специальное механическое устройство позволяет придавать этим стержням желаемые фиксированные длины.
Пусть желательно привести подвижную платформу в то или иное положение, т. е., с точки зрения геометра, привести оси Oxyz в нужное
положение, задаваемое при помощи А и О. Формулы (1) указывают, какие длины стержней дня этого необходимо установить. Часто важно наоборот «решить задачу позиционирования», т.е. по длинам {r¡) восстановить А и
О.
Как известо, группа 50(3,R) трёхмерна и частично параметризуется углами типа Эйлера, отличающимися от обычных тем, что вращения производятся последовательно на углы:
Ф - вокруг оси Ох;
6- вокруг оси, в которую перешла ось Оу после первого поворота; вокруг оси, в которую перешла ось Oz после второго поворота, 'cosí)/ -siny О Y eos 9 0 -sinGYl О О Итак, А= sinvj/ eos\¡i 0 0 1 0 0 costp -sincp 0 0 1 Ji sin 0 0 cosG JlO sin<p coscp
Таким образом, шесть уравнений (1) при заданных (/}) можно попытаться разрешить относительно шести же неизвестных (0х,0у,02,(р,д,\\1) Удобнее заменить (1) на
2 ~ 2
О')
По теореме об обратном отображении решение локально единственно тогда и только тогда, когда якобиан ■
(2)
С точки зрения механики, это означает жёсткость, отсутствие степеней свободы у данной конструкции. Цель этой статьи - выяснить, когда жёсткость теряется.
Для геометра безразлично, как именно были «вморожены» оси Охуг и для любого текущего положения удобно считать оси «перевмороженными» так, чтобы ф = 0 = \\1 = 0. Тривиальные вычисления показывают, что якобиева матрица в (2) состоит из строк ¡вида
о о о >
г. г г. г. г. г
ЧХ> 1у> г2> IX 12
( м
Г-гА
V У
(3)
где г, - момент вектора г1 относительно точки О, а [••] - вектор-
ное произведение.
Пара векторов
( <Л ПА
есть так называемый мотор (см. [2]) или ди-
намо (см. [3]) скользящего вектора гг> приведённого к точке О. В случае, когда якобиан обращается в 0 (и значит, гексапод приобретает нежелательную степень свободы), столбцы якобиана линейно зависимы, т.е. найдутся такие что
.У^Л + РуПу + + Р°хгЬ + + цЭД = 0
(4)
о о
или рт1 + ЦП =0.
Чтобы вскрыть геометрический смысл условия (4), переобозначим = X, А? = ц, тогда
гЛ+г,;1 = 0 (4')
Из теории винтов (см., например, [2]) известно, что пару векторов
Л,л ) можно рассматривать как мотор некоторого винта с параметром
о
Л Л
/> = -—, а условие (4) - есть условие того, что все скользящие векторы Л
г ,г j определяют прямые (по которым они скользят), попадающие в
один и тот же комплекс, определяемый данным винтом.
Последнее означает, что ось винта и прямая скрещиваются под углом а и имеют общий перпендикуляр такой длины h, что
71
h ■ tg а = р (Особый случай: Я = 0=>р = оо=>а = —, вместо оси комплекса
о
имеется только направление вектора Л, которому перпендикулярны прямые комплекса).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Stewart, D. A Platform with Six Degree of Freedom // Proc. ImechE (London). 1965-1966. Vol. 180, № 15. P. 1.
2. Диментберг Ф. M. Теория винтов и её приложения. М.: Наука, 1978.
3. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. М.: Наука,
1987.
УДК 513.88
Д. Г. Шалтыко
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*
Рассмотрим интегральный оператор А вида
т 1
А/{х) =М/(х) + х е [0,1], (1)
к=I о
где М - вольтерров оператор, действующий в пространстве £[0,1], а 1.....т' Ьк(х)\ =1.....т ' некоторые системы функций этого пространства. Спектральному анализу таких операторов посвящен целый ряд работ.
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.
