Об оценке модулей непрерывности неограниченных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Asi- Ф^ф„)}:=4.

где постоянные А, В > 0 не зависят от g.

Можно' показать, что фреймы Хана — Ларсона - это в точности фреймы в банаховом пространстве F относительно пространств последовательностей X с безусловным базисом из канонических ортов, пространства коэффициентов нуль-рядов которых дополняемы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1940. Т. 4, № 3. С. 277-318.

2. Duffin R., Schaeffer A. A class of nonharmonic Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72, № 2. P. 341 - 366.

3. Кашин Б. С., Куликова Т. Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Мат. заметки. 2002. Т. 72, № 6. С. 941 - 945.

4. Han D., Larson D. Frames, bases and group representation // Memoirs AMS. Providence, Rhode Island, 2000. № 697.

5. Пич А. Операторные идеалы. M.: Мир, 1982.

6. Терехин П. А. Системы представления и проекции базисов // Мат. заметки. 2004 (принято к печати).

УДК 517.51

Г. В. Хромова

ОБ ОЦЕНКЕ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Задача вычисления модулей непрерывности - одна из известных задач теории приближения функций. Она тесно связана с определением точных констант в неравенствах типа Колмогорова, где в качестве неограниченных операторов фигурируют операторы дифференцирования различных порядков, рассматриваемые на оси или полуоси [1]. С другой стороны, в теории уравнений первого рода исследование вопроса об оценке погрешности приближённого решения очень часто сводится к получению оценок для величины, характеризующей погрешность на некотором классе решений, через модуль непрерывности обратного неограниченного оператора [2], и тогда актуальной становится задача о величине порядка этого модуля непрерывности.

В данной статье предлагается метод получения двусторонних, точных по порядку оценок модуля непрерывности неограниченного оператора

'Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

140

и приводятся конкретные оценки для оператора дифференцирования к-го порядка (на некотором компактном классе), заданного на отрезке. Рассмотрим уравнение

Аи = /, (1)

где Ае(Х^ —>• Х2); А[ существует, но неограничен; элемент / задан его 5-приближением /5 в метрике Х2, и существует какой-либо метод регуляризации [2] с регуляризирующим семейством операторов Ка .

Пусть ие М = {и = Ву, М| < 1}, где В е (Х3 —> Х]) - вполне непрерывный оператор.

Рассмотрим величины

ю(8,1) = 8ир{||к|| :иеМ,||Ли|| <5}

- модуль непрерывности оператора А~' в нуле, Д, , М) = эир {||Ла Лм - м||АГ1 :иеМ},

Д(5,Ла,Л/) = 5ир{||Да/6-М||л.1 -.ивМ,\\Г&-Аи\\Х1 < 8}.

Пусть известны асимптотические по а при а —> О представления

Д,(Ла,М) = (р|(а)+ч/,(а), ЖЦ^х, = ф2(а) + ЧМа)>

где \|/,(а) = о(ф1(а)), у2 (а) = о(<р2 (<*))■

Выберем согласование а = а(8) из условия

Ф, (а) + 8ф2 (а) —> ¡пГ.

а

Отметим, что Димеет такой же порядок по 5, что и М Д(5,Ла,М).

а

Далее, для ряда методов регуляризации, в том числе метода А.Н. Тихонова [3], известны оценки вида

Д(8, Ла(8), М) < Лхо(8,1), (2)

где К - некоторая константа.

Пусть - один из таких методов, Ф(8,а) = ф](а) + 5ф2(а)

ТЕОРЕМА 1. Справедлива двусторонняя оценка, асимптотическая по 5 при § —> 0:

^<ш(8,1)<Ф(8), (3)

2.К.

где К - константа из оценки (2), Ф(8) = Ф(8,а(5)).

Пусть теперь А в уравнении (1) есть оператор вложения из С'[0,1] в 12[0,1], В - оператор вложения из Ж2+'[0,1] в С'[0,1], где - од-

и

(/+1)11 2

I ¿24 Ra

номерное пространство Соболева с нормой [I и | ~ || и || ¿2 +1

- семейство регуляризирующих операторов А.Н. Тихонова [3]. Конкретизируем оценку (3).

Наряду с Ка рассмотрим операторы Яар, соответствующие приближению р-н производной от решения, и величины

а\р\&,1) = sup{lj uwI c:и e M, | Au ||£ < 5},

,(p)

Aip(Ra,M) = sup{|| RapAu - || c : и e M),

Ap(5,Ra,M) = sup{| Rapfb - uip) I : и e M, ||/5 - Au|| <5},p = 0,...,/.

Для них будут справедливы предыдущие рассуждения, только теперь функции ср,(а), ¡(а), г =1,2, а(5) и константа К будут зависеть от р.

ТЕОРЕМА 2. Имеют место асимптотические по а при а—>0 представления:

2</-р)+1

Alp(Ra,M)=Cipa 4(/+|) +0

а

I-P+1 >

/+Г

¿2 -*С

= С2р а

2(/-р)+1 4(/+1)

+ 0

f 2(/-р)+1 2(7 + 1)

и формулы:

где

а(6)=Ср52,

К = К = шах

Vе, )

1/2

с1н-1)^ + 1ГЫр+Т. с2 =V2(/+i)-' I -i

со,- со

С2р(.2р + 1) С1р(2(/-р) + 1)

со, - корни степени 2(1 + 1) из -1 при / - нечётном и из 1 при I - чётном; I - система индексов, для которых Reco,- > 0.

Данная теорема представляет собой обобщение результата из [4], полученного для периодических решений, на случай произвольной функции

из w{+\0,1].

ТЕОРЕМА 3. Справедливы двусторонние оценки, асимптотические по 5 при 5 —> 0:

2(/-р)+1

2</+,) + ^/^(б)<со|р'(5,1)<С1(/р)5 2(/+,) +Ч1\?\5) (я = 0,1,...,/),(4)

где

2/7 + 1

(р) _ 2(/ + 1)^,2(< + 1)

г1-?' -

Ч/ _

2р +1

2(/-р) + 1

2(1-р) > 1 2(/+1)

/-(р) _ _1

Ч/ 2А"„'

V /"(5), (5) суть о

( 2(/-р) + 1 5 2(/+1)

11риведём несколько частных случаев оценок (4):

1 I ^

2"252 +0(8)< (5,1) <22 82 +о(8);

5 _3 3 I 3

2 43 884 +О(8)<{о[0)(8,1)<243 «84 +<9(8); 1 1 ( 1Л

С^84 +0(8)<со51)(8,1)<С1(!)84 +0

б

V >

17 3 3

9 3 1

С^ = 2*3 458, = 2 83 45

1 +

I >

(9.2)2 + 5

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора//Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231 -243.

2. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М: Наука, 1978. 206 с.

3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49 - 52.

4. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближенных решений уравнений первого рода // ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 - 609.