Об оценке характеристических показателей и устойчивости одного класса систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Раупов И.Ш.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________2009, том 52, №10_______________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

И.Ш.Раупов ОБ ОЦЕНКЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабовым 06.05.2009 г.) Рассмотрим линейную дифференциальную систему

— = A(t)x, dt

где xei?”, непрерывная матрица ^4 (i) удовлетворяет условиям

A(t + со) = A(t)(co > 0),A(t) = АТ (t),A(-t) = A(t). Для удобства записи будем предполагать, что A (t ) имеет вид

(1)

(2)

A (t ) =

au(t) al2(t) al3(t)...аы(t)

ai2(t) a22(t) a23(t)--a2n(t) ai3(t) a23(t) a33(t)-a3n (t)

ain (t ) a2n (t ) a3n (t )--ann (t )

В данной работе исследуется вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1). Исследование ведётся методом оценки характеристических показателей (см. напр. [1]).

Пусть Х^) (Х(0)-Е) - матрицант системы (1). В [2] было доказано, что при выполнении условия (2) матрица монодромии системы (1) X (со) положительно определённая. Это позволяет предполагать, что справедливо представление

Х^) = ф (/) ехр (А/),

где А = diag(Л-í,Л2,...,Лn) (Л1,Л2,...,Лп -вещественные), ф($ + £У) = ф($).

Как известно, Л1,Л2,...,Лп - называются характеристическими показателями системы (1) и совпадают с показателями Ляпунова. Для удобства записи обозначим:

Ф(0 =

<Ри(0 <Рп(*)-<Рі„(0

0>2і(О <р22 (О- -4>2п (О

_<Рпі(0 (Рп2^)-(Рпп(О

Непосредственно можно показать, что - периодическая матрица ^(^удовлетворяет следующему матричному уравнению

(іф(і)

йх

■ = Л(0Ф(0~Ф(0Д-

(3)

Записав (3) в развернутом виде, увидим, что ¿у-периодические функции ^■/(0 = 1,/7) являются решениями следующих систем уравнений

Л(р

1 к

= («11 - Л ) ^ + «12(0 <Р2к + «1з(0 ^ + • • • + «1„ (0 <Рп^

сіі

- «2і(0 ^ + («22 - 4 ) ^2І + «2з(0 0>3* + • • • + а2п <Рпк>

Л

скр

Зк

= «З і(0 ^ + «32 (0 ^ + («33 -\)<Рзк+- + аЗп <Рпк,

^ТГ = апХ (0 ^ + «„2 (О 2к + «„3 (ОРз* + • • • + («„„ - Л ) <Рпк-т

(* = 1,2,3,...,и), аі}.(і) = а}1 (ґ) (/,] = 1,и).

Отсюда с учетом &>-периодичности функции (/,7 = 1,и) получим:

11к - Л Мі + аі2(Ґ) М>1* + аі3(Ґ) М>1* + ..^ а1п (ґ)(Рпк<Рік ^ = 0,

0

I МЛ + (а22 Л )<Рік + а23(ґ) М>2* + - + а2п (ґ) М>2* ^ = 0,

0

{ а31(ґ + а32(ґ Ж* ^3* + (а3^ Л М* + ..^ а3и (ґ ) «3* ^ = 0,

1(ґМЛ + а„2 (ґ)<Ргк(Рпк + ап3(ґ+ ... + (а„« - Л)<РпкйІ = 0

(4)

Или

0

п

0

11^1* + а1&2к<Р1к+а13<Р3к<1\к+... + “шФпМк йґ = К {Я'А

0 0 со со

| Ь^к^к + а2#2к + а2#3^2^ ..^ а2пРпк?2к & = К\

0 0

со __ со

| і^к^к + а32^2к%к + а3#32к + ..^ 03п<Рпк<Р3к йґ = К {

(5)

| Іп^п#1^ ап2<Р2к<Рпк+ ап3(р3к<Рпк+ ..^ ап^п2к ^ = К ^ік3 .

Теперь, преобразуя (4) и (5) с учетом равенства аг>-(0 - , для характеристических

показателей Аг (/ = 1,2,... ,п) получим:

ш п (и п

](X аи (0 Фл (0 Ф* 0 А = 4 ](Е Л (0 А

0 0 '=1

Для наглядности сначала преобразуем левую часть (6) для к=1. Обозначим:

П

(Р\^)='^_>ац^)(Ри(Р ¡\- В развёрнутом виде <рх(Х) имеет вид:

и=1

Рі(0 = «п^п + «12^21^11 + а1ъФъ1<Рп + аи<Р41<Рп + ... + «іЛі^П +

2

+ а2Хф2Хф22 + а22ф21 + а23фъхф2х + а24ф4Хф2Х +... + ®2п(Рп\(Р2\ ~*~

+ азхфзхфхх + а32фзхф2х + а33фъх + а34ф4хфзх +... + ^„Ф^Ф-ц +

2

+ а41^41^п + @42^41^21 «43^41^31 «44^*41 + ••• + а АпФ пхФ А\

(6)

+ «„1^1^11 + ап2(Рт(Р21 + <*„3<рп1д>31 + сгп4фп1фп1 +... + фппфп1.

С учетом симметричности коэффициентов, без особой сложности можно проверить, что <рх (7) можно записать в форме:

%. (0 = (2>ьМ2і(0 + (Иа2,УРІ + - + (2Х>»і -

і=1 7=1 ;=1

и и и

IX (^11 ~%і)2 +Еа2к(^21 -%і)2 +Еа3к(%1 -%і)2 +•••

. к=2

к=3

к=4

(7)

Теперь в (7), заменяя на {(Р\к->(Р2к->'"->(Рпк) > Ддя любого к подынтегральную

функцию в левой части (6) можно записать в виде

0

п

(Рк (0 = (Ё аіг ) (Рік + (Ё а2г М2* + • • • + (£ апг ) ^пк ~

Ё аи ((Рік ~ <Рп У + Ё «2,- (Рік ~ <Рп У + Ё «3,- (%* - )2 + • • •

2=2 2=3 2=4 .

(Л = 1,2 ,...,и)

Итак, равенство (6) примет вид

^ п п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Н (Е ^^+(Е а2,- +• • •+(Е^

О I *'=1

7=1

IX (И* “ ^і)2 + IX - %)2 +

7=2

7=3

п

X аъі (*Рък ~ Фїі ) “*“•••

|сЁ^(0)л.

(8)

о

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Пусть непрерывные со- периодические чётные коэффициенты удовле-

___ п ___

творяютусловиям аи{^)< 0, (7) > 0 (і Ф _/) (/, / = 1,а?). Пусть ^¿/;/ (/) < 0 (к = !,/?).

7=1

Тогда <0 (/ = 1,2,...,л), дао есдаь нулевое решение (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

П ___

Действительно, так как 2>£(0>о (^ = 1,«) и левые части (8) отрицательные, то

і=1

4 <0 (¿ = 1,2,...,/?).

Отметим, что в случае, когда ¿^(0 (/ 7 /; /, / = 1,2,...,и) неположительные тождественно не равные нулю функции, также можно привести теорему об устойчивости системы (1). Для полноты рассуждений приведем схему доказательства этой теоремы.

Теорема 2. Пусть ап (Г) <0 (/ = 1,/з). Пусть ¿/ Д/) (/ ^ у) неположительные, тож-

п

дественно не равные нулю функции и 2аи(?) < (£ = 1,2,...,/?). Тогда

7-1

Л, < 0 (А: = 1,и), дао есть нулевое решение (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Действительно, преобразуя подынтегральную функцию, в (8) получим:

2=1

г=1

2

=4

го

1

2ап(0-ЇХ-(0

г'=1 .

п

2апп(*)-Т.апг(*)

Ф\к (0 +

(Pnk(t) +

2 «22(0-ЇХ о)

2=1

<P2k(t)+--- +

о !=1

Отсюда в силу условия теоремы имеем, что \ <0 (к = 1 п). Теорема доказана. Отметим, что аналогичные результаты в случае, когда п=3, приведены в [3].

Таджикский национальный университет

Поступило 06.05.2009 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972, 718 с.

2. Раупов И.Ш. - Материалы юбилейной научно-теоретической конференции, посвященной 50-летию ТГНУ. - Душанбе, 1998, с. 23-24.

3. Раупов И.Ш. - Вестник Таджикского государственного национального университета, 2008, №1(42), с. 15-19.

о

2=1

2 = 2

1=3

И.Ш.Раупов

ОИДИ БА^ОДИ^ИИ НИШОНДИХ,АНДАХ,ОИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВА УСТУВОРИИ ЯК СИНФИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТИ БО КОЭФФИТСИЕНТ^ОИ ДАВРИ

Дар макола масъалаи бах,одих,ии нишондих,андах,ои характеристики ва татбики он оиди масъалаи устувории як синфи муайяни системаи муодилах,ои дифференсиалии хаттй омухта шуда, аломатх,ои коэффитсиентй нишон дода шудааст.

I.Sh.Raupov

ABOUT CHARACTERISTIC ESTIMATE OF EXPONENTS AND STABILITY OF ONE CLASS SYSTEM OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PERIODICAL COEFFICIENTS

The article is deuotet to estimate and stability guestion of characteristic exponents for one class of linear system of differential equations with periodical coefficients.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Раупов И. Ш.