Линейная модельная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с одной левой граничной сингулярной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9566

Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов, О.И.Меликов

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬНАЯ СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ ЛЕВОЙ ГРАНИЧНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

Таджикский национальный университет

В работе исследована линейная система модельных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с левой сингулярной точкой. Когда правые части этой системы разлагаются в виде обобщённых степенных рядов, решение данной системы найдено в виде обобщённых степенных рядов.

Ключевые слова: линейные системы - сингулярная точка - радиус сходимости - сингулярная система.

Пусть Г = |х : а < х < - множество точек на вещественной оси. На г рассмотрим линейную модельную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида

y1 (*) + АиУг (*) + А2У2 (*) + 4зУз (*) + • • • + АпУп _ fi (*)

* - a * - a

у2 (*)+ А1У1 (*)+А2У2 (*) + АзУз (*)+• •+АпУп _f, ( *)

* - a * - a

yl (*)+ Ay (*)+A 2У2 (*) + АзУз (*) + • •• + АпУп _fn ( * )

* - a * - a

(1)

где Лу (1 —j — п) - заданные постоянные, ^ (х), (1 — j — п) - заданные функции, ^ (х)(1 — j — п) - искомые функции.

Проблеме исследования обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами или вырождающимися линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями посвящён ряд работ [1-4]. Система (1) при п = 3 была изучена в [4].

Целью настоящей работы является получение многообразия решений системы (1) в виде обобщённых степенных рядов в случае, когда правые части разлагаются в обобщённые степенные ряды.

<

Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат, Меликов Орифджон Исокович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: nusrat38@mail.ru; orif-melikov@mail. ru

Допустим, что в системе (1) функции f. (л), (1 < j < n) разлагаются в обобщённые равномерно сходящиеся степенные ряды следующих видов:

ад

J (^) = £ fj (л - а ТГ (1 < j < n), (2)

k=0

где f (l < j < n) - известные постоянные, у = const > 0.

Например, пусть, согласно признаку Даламбера, существуют следующие пределы:

\Jk+1,l\ т ,• /k+1,2 т \Jk+1,n т ,„ч

lim^—р = L, lim^—р = L, -^lim^—р = Ln (3)

k^-ад J k^-ад J k^-ад J

|Jkl| \Jk2\ \Jkn\

и выполнены следующие условия

L(b-a)< 1, L(b-a)< 1,•••, L(b-a)< 1. (4)

Решение системы (1) будем искать в виде следующих рядов

ад

У М = Еу# (л-а)к+у (1 < j <n), (5)

k=0

где y^ (1 < j < n) - неизвестные постоянные.

Подставляя значения J. (л) и y. (л) (1 < j < n) в систему (1), затем сокращая обе стороны полученного равенства на (л — а) у , получим:

к+у){ х — а)к у-+х - а)к [ АиУк1 + А гУи 2+А зл з+•••+А-Уы ]=

к=0 к=0

» • (6)

= Е fkj (X - а )к; (1 < ] < п)

к=0

/ \к

Приравнивая коэффициенты при (X — а) в обеих частях равенства (6), при к = 0,1,2,..., по-

лучим:

(A„ + (k + у) )уи + 42yk 2+••• + АпУы = J

4^1 + (^22 +(k + у) )yk 2 +••• + АпУы = Л

к! (7)

Ап1Ук1 + Ап 2ук 2 +••• + ( Апп + (к + У) )Укп = /кп

Таким образом, при каждом фиксированном к для определения у^ (1 < - < п) мы получили линейную алгебраическую систему п уравнений с п неизвестными.

Находим решение системы (7) по методу Крамера. Вычислим А0 .

А0 =

Л11 + к + 7 Л12 * ••• Л1п Л21 Л22 + к + 7** -Л2п

Лп1 Лп2 * * * Лпп + к + 7

ф 0.

(8)

Далее вычислим Аj (1 — j — п)

Ак =

/к 1 Л12 * * * * Л1п

/к1 Л22 + к + 7" * * Л2п

/кп Лп 2** *Лпп + к + 7

кп п 2

V 1 + 1

= /к1 Л

к1 11 к2 21 к3 31

Лз1 +***+ /кпЛп1 =

= /к! (-1)1 1 + /к2 ("Г' ^21 + * * * + /кп ("1)п+1 ^„1 = 2("1)^ /М,

j=1

А2 =

Л11 + к + 7 /к

Л21

* * Л

к 1 Л1п

/к 2 Л2п

п1

/кп * * * Лкп

V 2+2

/к1 Л12 + А 2 Л22 + + /кпЛп 2

= /к1 ("1)1+2 М„ + /2 ("1)2+2 М21 + * * * + /кп ("1)п+2 Ып2 = 2(-1)7 +2 2,

2=1

ап =

Л11 + к + 7 Л12 * ***./

к1

21 Л22 +к +7 /к2

Лп 2 * * * /кп

ч2+п

/к1 Л1п + ./к 2 Л2п + + /кпЛпп

= /к1 (-1)1+пМ1п + /к 2 ("1)2+пМ2 п + * * * + /кп ("1)п+п Мпп = 2(-1) 2+п /М]п,

2=1

где 4 =(-1) + Мг

М2 =

Л11 + к + 7 Л12.....Л1,г-1 Л1,г+1.....Л1,г-1 Л1,г+1

Лп

Л21

Л22 + к + 7.....Л2,г-1 Л2,г+1.....Л2,2-1Л2,2+1.....Л2

Л-1,1 Д-1,2 ' Л +1,1 Л+1,2 '

• Л Л

Л-1,2-1Л-1,2+1

■ 4-1,-1 + к + 7 Л-и+1

■ Лг+1,г-1 Лг+1,г+1 + к + 7.....4+1, мД

2-1 г+1,/+1

Лп1.....Лп 2 + к + 7.....Лп,г-1 Лп,г+1.....Лn,/-1Лn,/ +1.....Лпп + к + 7

Тогда неизвестные функции находятся из следующих равенств:

п

п

п

п

-1, п

+1,п

Ук1 АО

А1_ £ (-1)7 М^к1 £ (—1)11 Ыпи

А

О к

1+2

1=1

АО

Ук 2 Л О

А2 1) 1 М12/к2 п (—1)-+2 М /

А* = -1_= У( 1) М12^ к

АО АО £ АО

(9)

1) '+"М/ (—1)1+пМ]п/кп АО АО £ АО

п

_ А к _ 1=1

Укп А О

где к = 1,2,......

Подставляя найденные значении у^ при 1 = 1,2,...,п, в (5), находим решение системы (1),

представимое в виде обобщённых степенных рядов (5), и они находятся из равенства (9).

Теперь докажем, что если ряды вида (2) сходятся абсолютно равномерно и соответствующие коэффициенты удовлетворяют условиям (3), тогда коэффициенты рядов (5) также удовлетворяют этим же условиям, то есть радиусы сходимости рядов (5) совпадают с радиусом сходимости рядов (2).

Действительно, в (5) вместо Ущ, подставляя их значения из равенств (9), имеем:

ш у1 (х ) = £(х—а )к 7 к=О ш у 2 (х ) = £(х—а )к 7 к=О (—1)1+1 М/ ) м АО = А к ) (—1)1+2 М}/2 ^ м АО 11=1 Ак ^ (—1)11М11 ^ г ( к = £ ЛО 1 £/»1 1Х а) 1=1 Ак к=О " (—1) 1 М12 ® к+7 = £ дО 1 £/к2 2х а) ) 1=1 Ак к=0

ш Уп (х ) = £(х—а )к 7 к=О (—1) 1+пМ/" м АО V11 к У = £(—1уд»м'" !/к.(х — аГ 1=1 Ак к=0

(10)

Это утверждение проверим для у1 (х) :

Ух (х )=£ Ук1 (х—а Т7,

к=О

Ак

где У" =1°

п

п

п

Ук =

А22 + к + У Аз-А А12 А13 • •Ащ А2 + к + у Аз •• • А1,п-Г ••4п

(-1)2 /к1 А32 Азз + к + у •АЪп + (-1)3 /к2 А32 А33 • А3 п + (-1)п/п А2 + к + у Аз • • А2,п-1 •••Апп

А 2 Ап3 • • 'Ап + к + У Ап 2 апз • ••а пп А А А Ап-1,2 Ап-13 Ап -1,п-1 + к •+у • Ап-1,п

Л0

\к+У

( \к •( х - а)

Теперь вычислим следующий предел:

Нш

к -^ад

Ук+1

Ук

= Нш •

к -^ад

А22 + к +У А23 • • • А2п А12 А13 • • • А1п

(-1)2 /к+1,1 А32 А33 + к + У + ^ • А3п + (-1)3 /к+1,2 А32 А33 + к + У + 1 • • • А3п + ••• +

Ап 2 Ап3 • • 'Ап + к + У + 1 Ап2 Ап3 • • 'Ап + к + У+ 1

к+1

+ (-1)п /к+1,п А22 + к + У + 1 4^3 • • Лп-1 А32 А33 + к + У + 1" •А3,п-1 Ап-1,2 Ап-1,3 • • • Ап-1,п-1 + к + У + 1 • • • Ап-1,п ЛО

А22 + к + У А23 • • Чп А12 А13 • • • А1п

(-1)2 /к1 А32 А33 + к + У + Ь-• А3п + (-1)3 /к2 А32 А33 + к + У" •Ап +

Ап2 Ап3 ••• Апп + к + У Ап2 Ап3 • • • Апп + к + у

/ чк+У ( х - а)

( 1) /к+1,п А22 + к + У А23 • • Лп-! А2п А32 А33 + к + У" •А3,п-1 А3п

Ап-1,2 Ап-1,3 • • • Ап-1,п-1 + к + У" • Ап-1,п

= Нш

к ^ад

Л1

к+1

Л0

(-1)2 /к

к+1,1

42 + к + У + 1 4з" Чп

А32 АЗЗ + к + У + 1 • • А

Ап2 Ап3 • • '4п + к +У + 1

+ (-1)3 /

к+1,2

А12 А13 • • • А1п

А32 А33 + к + У " • А3п Ап 2 Ап 3 • • ^пп + к + У + 1

+ ••• +

(-1)2 /к1

^22 + к + У Аз" Чз 4«

А32 А33 + к + У " • А3п

Ап2 Ап3 • • А + к + У

+ (-1)3 1к

к+1,2

А12 А13 • • • А1п

А32 А33 + к + У " • А3и

Ап2 Ап3 • • А + к + У

+ ••• +

О

О

A2 + k + r Аз ••• A,«-1 A »

+ (-!)" fk+i,n A32 A33 + k +Ï + 1 ••• A3,»-1 A3n

A-1,2 A»-1,3 ••• 4-1,»-1 + k + Ï + 1 ••• An- -1,n

A22 + k + Ï A23 ••• A2,»-1 A2n

+ (-1)" f" A32 A33 + k +Ï + 1 ••• A3,»-1 A3n

A»-1,2 A»-1,3 ••• A»-1,»-1 + k + /••• A-1,»

( х - a ).

Числитель и знаменатель соответствующих определителей делим на к и переходим к пределу при к ^ ш. Тогда в числителе определители при /+12, /+1 з,-.,/+1и при к ^ ш стремятся к

нулю. Точно таким же образом определители при константах /2, /3,...,/ы при к ^ ш также стремятся к нулю. Определитель при /+11 в числителе и определитель при /1 при к ^ ш стремятся к единице. Таким образом, имеем:

/к+1,1

lim

Л +1,]

Ук!

= lim

к ^ад

к+1

lim

k^-œ

fk

к1

( х - a ).

Следовательно, радиус сходимости разложения для неизвестной функции у1 (х) совпадает с радиусом сходимости известной функции / (х).

Аналогичным образом доказывается, что радиусы сходимости неизвестных функций у. (х) (1 = 2,3,..,п) совпадают с радиусами сходимости рядов (8). Тогда решения системы (1)

функций у. (х) (1 = 1,..,п), которые даются при помощи формулы (8), также сходятся абсолютно

равномерно.

Таким образом, доказана:

Теорема. Пусть в системе (1) правые части функций / (х) (1 < 1 < п) разлагаются в равномерно сходящиеся обобщённые степенные ряды (2) с радиусами сходимости Я. = — (1 < ] < п).

Пусть А0 ^ 0 для всех к = 0,1,2,..,п. Тогда частные решения неоднородной системы (1) в классе функций у. (х), представимых в виде (5), существуют и даются при помощи формулы (10).

Поступило 11.02.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equation with super-singular coefficients. - Dushanbe, 1998,100 p.

2. Раджабов Н. Обобщенные задачи типа линейного сопряжения для общей линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной и сверх- сингулярной точкой. - Труды 9-го Международного симпозиума МД0ЗФ-2000. - Орёл, 2000, 29 мая, 2- июня, с.367-369.

3. Раджабов Н. Задачи типа линейного сопряжения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с одной сингулярной и сверх- сингулярной точкой. - ДАН РТ, 1999, т.М, №4, с.31-34.

4. Раджабов Н., Меликов О. Система трёх модельных дифференциальных уравнений первого порядка с одной левой сингулярной точкой. - Мат-лы межд. научной конф., посв. 20-летию Конституции РТ и 60-летию ученых математиков А.Мухсинова, А.Б.Назимова, С.Байзаева, Д.Осимовой, К.Тухлиева, №2 (29), ч.1. - Худжанд, 2014.

Н.Рачабов, О.И.Меликов

СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДИИ ХАТТИИ МОДЕЛИИ ТАРТИБИ ЯКУМ БО НУЦТАИ ЧАПИ МАХСУС

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола системаи n муодилаи дифференсиалии хаттии оддии тартиби як бо коэффисиентх,ои махсуси сархддии чап омухта шудааст.

Калима^ои калиди: системаи муодилауои хатти - нуцтаи сингуляри - х,ал ба намуди цатор - на-здикшаванда.

N.Rajabov, O.I.Melikov FIRST ORDER LINEAR MODEL ORDINARY SYSTEM DIFFERENTIAL EQUATION WITH ONE LEFT BOUNDARY SINGULAR POINT

Tajik National University In this work fist order linear system ordinary differential equation with left singular point is investigated. In this case, when right parts system represented in generalized power series, solution system found in generalized power series.

Key word: first order system - singular coefficients - solution in the series form - convergent.