Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________2009, том 52, №3________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517-554

Академик АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлов, Х.Хидиров ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ

В работе первого из авторов [ 1] ранее была изучена система с одной сингулярной точкой (х=о)

=1Х(х)>у+/Дх) к=1,2,...,п (0< х < 1),

у=1

(1)

где а^(х) заданные непрерывные функции (в отличие от теории Фукса [2] ), что касается свободных членов и решений, то они могут быть неперерывными (класс С) либо просто ограниченными (класс М). В предлагаемой работе тот же метод будет распространён на систему с двумя сингулярными точками

Ф~Ш =Ё ак](х)'У] + /*(*) к=1,2,...,п(0<х<1).

(2)

І=1

или в векторной форме х-(х-1)-У' = Дх)-У + /7(х), где 7(x)=(ftf2 У’й),

Ґ . \д

1--

V Х У

будет у' ■■

У(х) = (у1,у2,...,уп). Заметив, что для функции у= рим сначала модельную систему дифференциальных уравнений

п

*0-1)/к=Х ак](°)-У]+/Iх) к=1,2,...,п (0< х < 1).

У=1

Для однородной системы

-1)

, мы расмот-

(3)

*0-1)/к=Ё ак](о)-у] к=1,2,...,п,

У=1

(3о)

решения будем искать в виде

Ґ 1 л

Гк1

1--

V Ху

,Гк2

1--

V Ху

'і-і'

V Ху

(к)

= У(х).

(4)

Подставляя (4) в ( 30 ), получим характеристическое уравнение

А (Я) - сЫ: |До) - А/|- о, где А(х) = а, II , к=1,2,..,,п и I - единичная матрица.

1

Будем рассматривать случай, когда корни (5) (вещественные или коплекс-ные ) все различный, обозначаются Л1,Л2,...,Лп и КеЛкФ о,к = \,2,...,п (из этого необходимо следует, что

Д° =с1е1;у4(0)^0. Испп(у1к,у2к,...,упк) к= 1,2,..,,п являются линейно-независимыми решениями систем [с определителями, равными нулю, по ранга (п-1)].

Кі(°) - К ] • Уїк + «і2(°) ■Ггк+- + агп (°) ' Упк = 0

а2і(°)-Гік +\а22І°)-Лк\-Г2к +--- + а2п(°)'Гпк =°

(50

а«1 (°) • Уїк + ап2 (°)-Ї2к+-- + \-апп (°) - К ] • Упк =

Ґ 1

1 —

V Ху

то II Гк, 1И Г * 0, и у1к( 1 — ,

V

зуют п-линейно-независимых решений системы (3о). Записывая общее решение системы (30)

' і Л

1-------

К Ху у

(к)

= Уо(х), к=1,2,...,п, обра-

У](х) = ^ск/]к

к=1

V х)

7 = 1,2,..., п.

(6)

У(х) = ^скУ(х), (У1)

к=1

где Ск - произвольные постоянные, для нахождения частного решения неод-нородной системы У(х) = (у1,у2,---,у„) методом вариации постоянных будем имееть

1-

к=1 V Ху

IV’ </с, /,«

СІХ -1)

, 7 = 1,2

(7)

откуда получаем

/7^ г1*-1 и

*- і-2-.

\ Дь +1

(8)

Л 0-1) *=1

где а/.; = Г/.; / Г и - алгебраическое дополнение элемента у!;1 в матрице \\ук! ||, к, 7 = 1,2,..., и . Интегрируя (8) в пределах [0,х] при Яе/^ > 0 ив пределах [х, 1] при Яе/^ < 0 и вводя операторы

0 = -|-

і. „4-і

(/-1)

Л+І

у{$ук Яе л,л < о,

сможем записать

*

0

■ск=0+к

X =Ё^Д±(Л)

м

так что

УР(Х) = Ї1 вр]їп Р = 1,2,...,

у=і

п.

о„ = Ъ

' р] / > І ріс Аг/ к к=1

j = \,2,

(10)

У = Т0^. т0 -II 0Р] 11. (X)

Таким образом, общее решение (3) дается формулами

- х 3.

1

к=1

п

V х У ]= і

» (*)

¥(дг) = £с,¥,,(дг) + Т,/\

£=1

(11)

(Х1)

Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со "свободными членами"

__ п ___ ___

Л О) = X аи М-У*+ Л (х)’ (*) = (*) -а л (°) •

5=1

Вставляя их в формулы обращения (11), придём к системе интегральных уравнений

п

лоо=тіія+-"+Тіял+Ес*к*

к=1

1-----

V —

■1<и

уЛх) = т„,г, +• +т|Л +Хсл

'і-і'

к=1 V х 7

+ 2>,/г

у=1

и (І)

¥ = Т-¥ + 2>,¥0(х) + Т0,Р,

у=1

(12)

(Х11)

где

Т^=Х ^ («;,>’)•

У=1

(13)

Как показывают формулы (13) и (10), все выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами

0-шУ = вЛаш(Ші)\= { д* VI Х0<&-

Прежде всего, поскольку акл (/) непрерывный , то операторы 6^ действуют и ограничены в С

Нами доказана теорема:

Теорема 1. Пусть в системе (1) коэффициенты ак/х)-заданные непрерывные функции (без ограничения общности можем считать их вещественными) и пусть определяемое значениями а]д(0) - характеристическое уравнение (5) имеет п различных корней Л1,Л2,...,Лп( вещественных или комплексных), причем И.еЛ/ Ф 0 у = 1,2,...,и. Тогда:

1. Каков бы ни был отрезок [0;1] и свободные члены из С или М, всегда существует частное решение неоднородной системы (1) из того же класса.

2. Однородная система (Зо) имеет [І линейно независимых решений У(Л'), одних и тех же в С и М, где Р есть число корней Л], для которых И.е Л/ >0 на отрезке [0,х] и И.е Л/ <0 на отрезке [х,1] (0 < х < 1).

Барои системаи муодилахои дифференсиалии хаттй бо коэффисиентхои бефосила дар порчае [0,1], ки охирхои порча нук;таи сингулярй мебошанд, мавчудияти халли системаи муодилахои гайриякцинса дар синфхои С ва М исбот карда шуда, микдори халли онхо дар системаи муодилахои якчинса ёфта шудааст.

• И’ где -“и ай(0 •

(к)

Институт математики АН Республики Таджикистан,

Н«

Кулябский государственный университет

Поступило 24.12.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов Л.Г. ДАН России, 1994, том 336, №1.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

Л.Г.Михайлов, Х.Хидиров СИСТЕМАИ МУОДИЛАХОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДЙ БО ДУ НУЦТАИ СИНГУЛЯРЙ

L.G.Mikhailov, Kh.Khidirov LINEAR SYSTEMS OF THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO SINGULAR POINTS

For linear system of ordinary differential equations with two singular boundary points the existens of solutions is established and a quantity of solutions of homogeneous systems is finding.