О некоторых системах в полных дифференциалах с сингулярными точками в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №10__________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

Б.Шарипов

О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 20.08.2010 г.)

Институт предпринимательства и сервиса Министерства энергетики и промышленности Республики Таджикистан

В статье рассматривается один класс системы уравнений в полных дифференциалах, для которых условия совместности выполняются тождественно и многообразия их решений находятся определёнными формулами.

Ключевые слова: пространства - полный дифференциал - сингулярная точка.

В работах Л.Г.Михайлова и его учеников ( см. [1]-[7]) были рассмотрены некоторые классы систем в полных дифференциалах( п.д.) с сингулярной точкой г=0, ( г 2 = x2 + у 2) на плоскости и р = 0, (р2 = х2 + у2 + г2) в пространстве, причём для случая на плоскости решения, вообще говоря, многозначные.

В настоящей работе нами будет рассмотрен некоторый класс системы квазилинейных дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, для которых условия совместности выполняются тождественно. Изучаются также некоторые свойства многообразия решений систем в сингулярной точке области D = у, z)/0 < р = x2 + у2 + z2 < 1], Do - шар радиуса р без точки р = 0 .

1. Рассмотрим п.д. вида:

рпёи = а(р, р, в)И(р, в, и)йр + рЬ(р, р, в, и)с1р + рс(р, р, в, и)ёв ,

где а, т, Ь, с е С1 (П), и е С2 (П), равносильное в п.д.-системе:

д^ = 0(р1р,в1ь ^ ди и) ди _ с(р, р,в,и)

др рп , др рш-1 , дв рп-1 , ( )

для которых условия совместности имеют вид :

Адрес для корреспонденции: Шарипов Бобоали. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса. E-mаil: sharipov [email protected]

а , де де 1

—к— + — = — рп ди др рп

а , дЬ дЬ 1

—к— + — = — рп ди др рп

а

р

п-1

- п +1

а

-п+1

рп

к да а дк

• е +--------------1------------,

р дв р дв

к да а дк

• Ь +--------------+------------,

р др р др

(N1)

п-1 дЬ дЬ _ п-1 де де

р-----------+ е— = р---------------+ Ь —.

дв ди др др

Первые два равенства условий (N0 выполняются тождественно, если функции Ь и с взаимосвязаны с функциями а(р,р,в), к(р,р,в) формулами (см.[6]):

Ь(р,ф,в,и) = р"-' ||А-дН+f [ф,в,М(ф,в,и)- А(р,ф,вШ(ф,в,и) с(р,ф,в,и) = р"-' ||А-дН+£фф,в;М(ф,в,и)- А(р,ф,в)],Ь(ф,в,и).

(2)

В формулах (2) функции/ g выражаются через а, к, е, Ь следующим образом:

/ [р; в;М (р, в, и) - А(р, р, в)] = g [р; в;М (р, в, и) - А(р, р, в)] =

Ь(р,р,в, и) дА дН

---------|_ .

рп т(р,в,и) др др

е(р,р,в, и) дА дН

--------|_ .

рп т(р,в,и) дв дв

(3)

и

Н (р,в, и) = |

к(р,в, и)

1

А(р,р,в) = |

а(і, р, в)

йі.

Г

Вводя замену М(р,в,и) - А(р,р,в) = V(р,в), преобразуем систему уравнений (1) в нелинейную п.д.- систему с регулярными правыми частями:

дУ дУ

д- = / (р,в,У), — = g (р, в, У). др дв

Тогда третье равенство условия (N0 для п.д.- системы (4) примет вид:

^ + gК. ,3? = 0

дв дУ др дУ '

(4)

(N2)

Если условие совместности (N2) выполняется, но нетождественно, тогда, аналогично [8], можем найти функцию У = У (р,в), являющуюся решением функционального уравнения ^2). Если

же эта функция удовлетворяет п.д.- систему (4), тогда она будет единственным ее решением. В противном случае системы уравнений (4) и (1) считаются несовместными.

Пусть условие (^) относительно (р,в,У) выполняется тождественно. Тогда процесс интегрирования системы (4) приводит к интегрированию обыкновенное дифференциальное уравнение (о.д.у.) вида

<

и

р

dV = f (G,V)dO . (5)

Если о.д.у. (5) имеет решение, например, вида / = /(С;в) (см.[8]), тогда многообразия всех решений п.д.- системы (1) выражаются следующей формулой:

и(р, ср, в) = H{р; в; А(р, ср, в) + F (р, в) + /(С, в)} (6)

Очевидно, что в формуле (6) функция Л(р, ср, в) при n < 1 является непрерывной, а при n = 1 и n > 2 соответственно имеет логарифмическую особенность и особенность не более чем (п-1)-го порядка. Поэтому, в зависимости от типа (класса) функции H(•) и H 1 (■), порядок особенности решения системы в точке р = 0 либо может ухудшаться, либо, наоборот, улучшаться.

Замечание 1. Для того чтобы получить непрерывное решение п.д.- системы (1) во всей области D необходимо, чтобы функция а(р,р,в) удовлетворяла условию :

lim а(р, р,в) = 0, или а(р, ср, в) = у(р, 0)o(pn~s ),(0 <s < 1) (М)

р——о

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Пусть в п.д.- системе (1) a,b,c,hgCx(D), u gC2(D0). Если условия (N1) всюду

в области D (кроме точки р = 0) выполняются, но нетождественно, тогда данная система может иметь некоторые частные решения, либо она несовместна. Для того чтобы первые два равенства условия (N1) выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы функции bQ и

<■) имели вид (2). Если о.д.у. (5) и п.д.- система (4) имеют решение (частное либо общее), тогда исходная система (1) также разрешима и многообразие ее решений выражается формулой (6). Если а(р,р,в) удовлетворяет условию (М), тогда решение п.д.- системы (1) во всей области D будет непрерывным.

Замечание 2. Если а(р,р,в) функция удовлетворяет условию Липшица, то есть:

\а(р, ср, в) - а(0, ср, в) < К|р, |а(i) (р, ср,в) - а(г) (0, ср, в) < К|р|у (i = 1,2,...,п), К,К = const, 0 < у,у < 1,

тогда можно записать

\

1

рп 1 )

А(ррв) = f а(‘,р,в)dt = f а(,,р,в) -а(0,рв)dt- а(0р,в) (-L--1

f tn f tn n -1 { рп-1

n-

р - V/’

t i=0 n — i — 1

dt+2-----------р--------n--1 - а(п)(0,р,д)]п р+ЧрХ

р )

где R( р) = 0{р\у)(0 <у< 1) .

2. Рассмотрим уравнение

р

рпёи = а(р, р, в')к(в, и)ёи + р.Ь(р, р, в')к(в, и)ёр + рп .с(р, (р, в, и)йв,

равносильное следующей п.д.- системе

ди = а(р,у,в) Эи = Ь(р,р,в) ди = с(р^л и

др рп др рп 1 дв

Если а, Ь, с, к е С(Р), и е С2(Р0) , то необходимо и достаточно выполнение условий:

др

_д_

др

( А Л

р

де ак де ас дк 1 Л да

др рп ди рп ди р у дв др

дк

\

к---ъ а—

= 0,

де Ьк де

—+тпт—

др рп ди рп ди р

Ье дк 1 ( дЬ дк

к— + Ь —

дв др

= 0.

(7)

(N3)

Чтобы обеспечить непрерывность решений в области О о -решений п.д.- системы (7), будем рассматривать следующие подслучаи :

а) Пусть в первом равенстве (N3) будет:

_д_

др

= 0 либо

д_

др

п-\

ур

= 0,

то есть а(...) = рпа(р,в),Ь(...) = рп 1 /3(р,в) .

Тогда решение первой пары уравнений системы (7) должно иметь вид:

йд

Н (в, и) = | а(і, в')& + І /3(т, 0)с1т + V (в), Н {в, и) = |

Кв,д)

(8)

Дифференцируя (8) по переменной в и подставляя в третье уравнение п.д.- системы (7), получим о.д.у. вида (5).

Интегрируя о.д.у. (5) по переменной в и подставляя в (7), получим непрерывное решение п.д.- системы (7) (см. [1],[7]).

б)Пусть первое равенство из (^) выполняется в точках всюду в О , кроме точки р = 0 .Тогда интегрируя первую пару уравнений систему (7), имеем:

Н(в, и) = <у0 (р, в) + V(в) .

где

да0 а(р,р,в) да0 Ь(р,р,в)

„.п-1

др рп др рп

При этом последние два равенства из (^) выполняются тождественно, если взаимосвязь между функциями с(р,р,в,и),Н(в,и) определяется формулой

с(р,р,в, и) = |-дН + /[|9;Н(в, и)- О0 (р., р., ^ії9, и).

(9)

<

0

0

и

0

Результат интегрирования системы (7) с учетом значений функции с(р,р,в, и) из (9) сводится к интегрированию о.д.у. вида (5). Здесь функция / (вV) определяется из формулы (9) и выражается через функции а, Ь, с, h. Если о.д.у. (5) разрешимо в какой-либо форме (явно, в квадратурах, либо неявно), то его решение представимо в виде V = V (С, в), и тогда многообразие решений исходной системы в случае обратимости функции Н(в, и) по переменной и принимает вид:

и(р, р,в) = Н 1 ] в; V (в, С) + а(р,в) +1

1 а(п)(і,р,в) - а(п)(0,р,в)

+

1=0

п - і -1

( „к-1

-1

рп

- а(п) (0, р,в)1п р\.

ак1(і,р,в)-ак 1(0,р,в) = ак^ ^ Л

(10)

і

Если в постановке задачи считать а(р,ф,д) е Сп+1(Р), тогда, аналогично предыдущему, многообразие решений системы (7) представимо в виде:

п-2

1р,р,в) = Н - \в-у (в, С) + со(р, в) + £

аі (р,в)

(

і=0

п - і -1

1

Л

-1

_п-і-\

ур J

(11)

- ап-1р 9)]п р- Ап Рр9 + А(1 р.9)}

Теорема 2. Пусть в системе (7) а,Ь, с, к еС1(О), и еС 2(О0). Для того чтобы условия (Ы3) выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы функция с (р,р,в,и) имела вид (9). Если о.д.у. (5) имеет решение, тогда исходная п.д.- система также разрешима; а именно, в случае а)

имеет в О непрерывное решение, и в случае б) многообразие ее решений выражается формулами вида (10 )либо (11). Причём найденные решения при п<1 во всей области будут непрерывными, а при п > 1 соответственно имеют особенности степенного и логарифмического порядка (в зависимости функции Н1).

3. Рассмотрим уравнение в п.д. вида

рпёи = \а(р,р,в)и + / (р,р,в)ит }р + рЬ(р, р, в)и + g (р, р, в)ит ~\^р + р\р(р, р, в)и + к(р, р, к)ит ~\^в,

где а,Ь,с,/,g,к е С 1(Р), и е С2(Р), п > 0, т - рациональное число. Данное уравнение равносильно следующей системе уравнений:

ди _а(р,р,в)л ' /(р,р,в)лт ди _Ь(р,р,в)л ' g(р,р,в)л „

и + и , — , и + , и ,

др рп рп ’ др

ди _ С(Р,Р,9)Л. , КРР9'), .т — ..и + ..и ,

^/1 ~п-\ _п-1 7

дв р р

р

р

для которой условием совместности будет:

і

р

1

др

~ п

\Р )

_д_( Ь ^ др

_п-1

vР

двV д

дв

р)

Ь

др

^п-1 \р )

и +

и +

д (1_' Рп)

др

д

дв

\

_п-1 \р )

д ( с

др

^п-1 \р )

и+

V/

( ^ 1 урп )

д ( 8

др

п-1

vP )

+(т -1) Ы^ж

р2п-1

т г\

и = 0,

д_г

др

И 1 cf - аИ

И + (т -1) С аН

^п-1 Vр )

р

2 п-1

ит = 0,

(N4)

дв

Л

^п-1 Vр )

др

^п-1 Vр )

+ (т -1)

С£ - ЬИ

р

2п-1

ит = 0.

Условие совместности (N4) можно рассматривать в следующих случаях:

а) Пусть условия (N4) выполняются, но нетождественно. Тогда, решая их как три алгебраические уравнения, получим и = 0 и и = Н. (р,р,в) (j = 1,2,...) . Причем и = (р,р,в) во всей Б

являются регулярными функциями. Легко заметить, что и = 0 для системы (12) является тривиальным решением. Если хотя бы одна из и = Н ■ (р,р,в) удовлетворяет систему (12), тогда она будет

некоторым её частным решением .

б) В этом случае в (N4) приравняем к нулю каждое слагаемое. Тогда получим, что в системе уравнений (12) особенность по переменной р устраняется и получим регулярное решение системы в виде:

1

1-т

(13)

и(р, р, в) = ехрЩ (р, р, в)\С + (1 - ш)П0 (р, р, в)]

в) Допустим, что условия (N3) выполняются тождественно , то есть р (р, р, в) = 0, а (р, р,в) = 0 (I = 1,2,3),

при этом р (р, р, в), Ц (р, р, в), (1 = 1,2,3) выражаются через функции а, Ь, с и их частные производные. Производя замену и1 т = V и учитывая

дщ _ а(р,р,в) дщ _ Ь(р,р,в) дщ _ с(р,р,в)

др рп ’ др рп

преобразуем п.д.- систему (12) в классическом виде

дв

Р

(14)

д_

др

д_

др

(ехр{(т - Г)®1} V) = (1 - т) •f (уР,рв ехр{(т - Г)®1р р, в)\

р

(ехр{(т - Г)®1}V) = (1 - т) 88(Р,<р-ві ехР{(т - О®1р P, в)}

р

(15)

(ехр{(т -1)®1 У) = (1 - т) И(рр--в ехр{(т -1)®1 (р’ р’0)}.

дв

р

Для системы уравнений (15) условие (N0 выполняется, поэтому в результате ее интегрирования и переходя к исходной переменной и = и(р, р, в), имеем:

1

•<

и(р,р,в) = ехр{(ш-1Щ1(р,р,в)} [с + (1 -ш)0.1(р,р,в)]-п. (16)

При этом полученное решение системы (12) при п < 1 во всей области Б является непрерывным. Если в этой формуле п > 1, то решение системы в точке р = 0 имеет сильную особенность (п-1)-го порядка, а при п = 1 оно имеет логарифмическую особенность. Итак, справедлива

Теорема 3. Пусть в п.д.- системе (12) а,Ь,с,/,g,кеС1(П), и еС2(Б)> ш - произвольное число. Если условия (Ы4) выполняются, но нетождественно, тогда п.д.- система (12), кроме тривиального решения и= 0, может иметь некоторое решение. Если условия совместности (Ы4) тождественно выполняются , тогда исходная п.д.-система разрешима и многообразие ее решений выражается соответствующими формулами вида (13), либо (16). Причем это решение из формулы (13) при п < \, а0 < 0 во всей области Б является непрерывным, а при других значениях п ,и а0 = а(0,р,в) в точке р = 0 решение системы (15) является неограниченным ,либо соответственно имеет особенность степенного или же логарифмического порядка. Если а, Ь, с удовлетворяют условию (М), тогда решение п.д.-системы (12) во всей области О будет непрерывно.

Поступило 20.08.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш, 1986, 116 с.

2. Михайлов. Л.Г. - ДАН РТ, 1992, т. 322, № 4, с. 646-650.

3. Михайлов Л.Г. - ДАН РТ, 1997, т. 354, № 1,с. 21-24.

4. Михайлов Л.Г. - ДАН РТ, 2002, т. 384, № 6, с. 731-734.

5. Михайлов Л.Г. - ДАН РТ, 2004, т. 398 , № 2, с. 1-4.

6. Шарипов Б. - ДАН ТаджССР, 1980, т. 23, № 3, с. 125-130.

7. Шарипов Б., Раджабов Б.Х. - Паём (Вестник) ИПС, 2005, с. 78-82.

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1958, 468 с.

Б.Шарипов

ДАР БОРАИ БАЪЗЕ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^О ДАР ДИФФЕРЕНСИАЛИ ПУРРА БО КОЭФФИСИЕНТ^ОИ СИНГУЛЯРЙ ДАР ФАЗО

Институти со^ибкорй ва хизмат Вазорати энергетика ва саноати Цум^урии Тоцикистон

Дар маколаи мазкур як синфи системаи муодилахо дар дифференсиали пуррае дида ба-ромада мешавад, ки барои онх,о айниятан ичро шудани шарти хдмчоягй таъмин карда шуда, мачмуи х,алх,ояш дар намуди ошкор ёфта мешаванд.

Калима^ои калиди: системаи муодилахо дар дифференсиали пурра - шарти ^амцоягй - нуцтаи сингулярй - фазо.

B.Sharipov

ON THE TOTAL DIFFERENTIAL SYSTEM WITH SINGULAR IN CASE

Institute of Entrepreneurship and Servise, Ministery of Energy and Industry of the Republic of Tajikistan

The representation formulas for solutions of total differential system are received in the paper. Particular point often called singular point.

Key words: system eqvations in total differential - ordinary differential eqvations - compatibility conditions - case.