CC BY
43
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________________2009, том 52, №7______________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.554
Х.С.Хидиров
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г. Михайловым 24.12.2008 г.)
В работе [ 1] был указан способ исследования систем линейных уравнений
п
ху[ = +/*(*)>(£ = 1,2,...,И,0 < х < 1), (1)
]=1
где в отличие от аналитической теории (теории Фукса [2] ) коэффициенты только лишь непрерывны, а свободные члены либо также непрерывны (класс С), либо даже просто ограничены в сингулярной точке х = 0 (класс М). В [1] предполагалось, что корни характеристического уравнения различны. Здесь мы рассмотрим тот случай, когда имеются кратные корни. Мы рассмотрим сначала модельную систему
п
Ы = Е аъ (%у + Л ОХ (к = 1,2,..., п). (2)
У=1
Для однородной системы
п
ху[ = Еак] (°) • У], (к = 1 А--.и), (20)
у=1
решение будем искать в виде
1Щ — (£)
I к1хЯ*>Гк2х**>->Гкпх** =У(х),(к = 1,2,...,п). (3)
Подставляя (3) в (20), получим характеристическое уравнение
Л(А) = с1еф4(0)-Л/|| = 0, (4)
где А(0) = Ца^.(0)||,(к,у = 1,2,...,и), и I - единичная матрица.
I. Будем рассматривать случай, когда имеются кратные корни, то есть
/I] = Я2 =■■■ = Лт = Л (корень кратности ш), где 1 <т <п и ещё (п-ш) различных корней
Лт+1,Лт+2,...,Лп причем все Ф 0,(у - 1,2,...,и). Из этого необходимо последует, что
Д° = с1е1|Д0)|| Ф 0. Если ^1к,/2к,...,/пк~^к = \,2,...,п), являются линейно независимыми решениями систем [с определителями, равными нулю].
1и(°) - К Й* + al2(0)yJk +-" + aln (0 )упк = 0 *21 (0)Уік + І22(°) -\І2к+-" + а2 п (0)Упк = 0
(,к = 1,2
ат (°)Уік + ап2 (°)У2к + • • • + 1„„(°) - К 1* = 0
III ^ 1 1 У?.
ук] =Г Ф 0 и f-1/tx к ,у2кх к >■■■■> У пкх к J= Yo(x),{к, j = 1,2,...,п) образуют п линейно независимых решений системы С0 ~2. Записывая общее решение системы С0 _ в виде
или
m (i) ^ (i)
Y(-) = Xc.Y(x)^+ ZCiY(x)
где сг - произвольные постоянные, для нахождение частного решения неоднородной системы ^(х) = ^,$2,...,$, „ методом вариации постоянных будем иметь
т гИс
У= 1
x
+
б/х I' " б/х X
откуда получаем
Иг т 1
—- — х 1 ' У" -О ос,
dx £ - J
fj +Х~ ri YuaJ]Xj =1Д-;П),
(5)
где аи=— и Гг -алгебраическое дополнение элемента к. в матрице ^ JL (/,7 = 1,2,...,«).
г3
Интегрируя (5) в пределах \,с1 _ при Р1е Л/ >0, в пределах [0,х] при Р1е Л/ <0,0 = 1,2,...,п) и вводя операторы
drlixлЛ
drl(x^J
&JУ = ~€i х^ J-f — y(t)dt- J-f — y(t)dt, Re Aj > 0, (7 = 1,2,..., w),
(6)
X 1 / \ ^ X 1 / \Aj
в:у = {і хУ J- у y(t)dt + J- у y(t)dt, Re A, < 0,(7 = 1,2,...,n)
Л t V t J r, t \ t J
R -
0
сможем записать
x Cj =9J
V i= 1 J 1=1
так что
m
n
i=1
i= 1
n
£Дх) = Y,9pjfj > (р = 1л-,п)
у=1
п
вр]=11вркаъ9% 0' = 1Д-,и)
к= 1
f = т F Т =11(9 II
г А(Г ? А0 ||17д/1|
Таким образом, общее решение (2) дается формулами
т п п
УР(Х) = Т,СгГргхЛ ^ХУ +Т, СгГргХ^ + Е О =
i= 1
i=m+1
j=i
либо
m (i) « (i)
Y(x) = Xc-Y(x)<h(x) + ToF.
(7)
(8)
II. Рассмотрим случай, когда корни (4) все кратные Л1 = Л2 = ■■■ = Лп = Л, причем Яе/1 Ф 0 ; тогда записываем общее решение системы С0 ^
У А*) = Иск YjkxX Ьх'У1, (j = 1,2,..., п)
Ы1
либо
п (к)
Y(х) = £с* Y(x)<b
■>-1
к=1
где - произвольные постоянные, для нахождение частного решения неоднородной систе-
мы Y(X) = ^ , J€,. ., Уй _ методом вариации постоянных будем иметь
I
0‘ = 1д...,и).
Ш ' ах х
Откуда получаем
//ft ft
—L = х-^ J ^ ху а1}. fk7 (J = 1д..,п),
(9)
к=1
где akj - -р- и Ykj — алгебраическое дополнение элемента ykj - в матрице
,{к,у = 1,2,...,п)\ интегрируя (9) в пределах [х,с1] при Яе1>0 и в пределах [0,х] при Ые Л < 0 и вводя операторы
i=1
n
x
drlfx^À
9+ку = х~^к — y(t)dt, (Re/l > 0,к - 1,2,...,и)
.. t у t у
вку = <¡1 х~^к [-(— y{t)dt, (ReA < 0,к = 1,2,...,и)
(10)
сможем записать
х Ск=вк
к kj к г* к .
\j=і ) j=і
так что
$Р W = Ё в Pif и (Р = п)
1=і
(11)
f = TF T = II# I
r 10i 3 -*-0 \\ pj\
Таким образом, общее решение (2) дается формулами
п п
Ур(х) = Т,скУркхЛЬхУ +Ÿi0pJfj,(j> = 1,2,-,и) (12)
і
і=і
» (і)
¥(*) = £>, Y««-C'+Vv
k=1
Правые части (6) и (10) относятся к классу операторов с ядрами, однородными степени (-1), которые достаточно подробно изучались в монографии [3], на которую постоянно будем опираться: но в отличие от [3], где операторы изучались в сингулярных классах функции, здесь мы будем их рассматривать в С и М; требуемые при этом условия суммируемости ядер сводятся с очевидной интегрируемости функции х^1 на отрезке [¿/,0о] при Re/l > 0 и на отрезке [0,d] при Re/l < 0, чем и было вызвано введение операторов со значками (+) или (-). Из другого представление операторов
d d
X X
у — -4&х~^к ^u~x~ly{ux)du + y(ux)du, (к = 1,2,...,и),
і і віу = х^к І^~Л1 y(ux)du + y(ux)du, (к -1,2
і
0
0
непосредственно вытекает не только их действие и ограниченность в С и М
\û+jy\<——-\\y\
Re/L
свойство вырождения в точке x=0, но и еще одно дополнительное свойство, которое нам понадобится ниже: если в уравнении
у(х) = 0] 1(0X0Ï /О), «(0 е с \>d_,
где /(х)-х^/0(х) И 0 <[) <ЯеАк,то необходимо будет также у{х) = хру0{х), где у0(х) е С[0,й?]. Указанное свойство справедливо также для систем рассматриваемого типа. Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»
Л (*) = X аа (ХУ + fi (*)’ аі* (*) = ai* W “ аі* (°)-
І=і
Вставляя их в формулы обращения (8) и (12), придем к системе интегральных уравне-
нии
гп п п
Уі(Х) = \іУі + Т12У2 +--- + \пУп+Т;С]Уі]ХХ^ХУ + X С;ГихЛі +X^(0
1=і
1=т+1
1= і
(13)
т п п
Уп (Х) = ТпіУі + ТпіУі + • • • + ТппУп + ХСЛ'хЛ + X С]Уп]Х^ + X
1=і
1=т+1
т (І) « (І)
y = ty + £c,. y o(x)<h x^і + Х^ о(
І= і
І=т+1
где
VY = Î>»^>C
(14)
Как показывают формулы (14), (7), (11), все Ткр выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами
Чг(0^чЯ
x
\.t J
+ (•, j
d-àu(ty-'x-
x
\t J
y(t)dt, (i = 1,2,...,ri),
в~,кгУ = в] їкг (0X03= ХУ 7^ 7 y(t)dt + y y(t)dt, (і = 1,2,...,ri)
rs І Y І J r, І Y І J
ak,(t )
f \x ' X ' ■
n
i= і
i= і
t
t
x
x
x
Таким образом, нами доказана
Теорема. Пусть в системе (1) коэффициенты a kj{x)—заданные непрерывные функции (без ограничения общности можем считать их вещественными) и пусть определяемое значениями а^(0) -характеристического уравнения (4) имеет кратные и различные корни,
то есть Л^ = Л2 = ■ ■ ■ = Лт = Л и Лт+1,Лт+2,...,Лп (вещественные или комплексные), причем Re/t; Ф 0,(/ = 1,2,..., л). Тогда:
1) каков бы ни был отрезок [0, d] и свободные члены из С или М, всегда существует частное решение неоднородной системы (1) из того же класса;
(к)
2) однородная система (20) имеет у линейно независимых решений Y(х) одних и
тех же в С илиМ, где у есть число корней Лк,для которых RеЛк > 0.
(к)
Каждое из этих решении Y(х) отлично от нуля всюду на отрезке [0,б/] за исключением точки х = 0.
Кулябский государственный университет Поступило 24.12.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1994, т.336, № 1, с.21-24.
2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.
3. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени (-1). - Душанбе: Дониш, 1966, 47 с.
Х.Хидиров СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДЙ БО НУЦТАИ СИНГУЛЯРЙ
Дар кори пешниходшуда холати решахои муодилаи характеристикаи каратй ва гуногун дошта, дида баромада шудааст.
Kh.Khidirov A LINEAR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION WITH SINGULAR COEFFICIENTS
In the proposed paper is considerate a case when roots of characteristic equation are multiple.
