CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2009, том 52, №3________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.954
А.Мухсинов
ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С СИНГУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 09.02.2009 г.)
В цилиндрической области D= 0 < z </, х2 + у2 <R2 рассмотрим уравнение
-z2Au + q2u = f(x, у, z), (1)
л Ql д2 д2 ^ 2
где А = —- н---- н-- оператор Лапласа, q - постоянное число.
дх ду dz
Для многомерных сингулярных уравнений второго порядка с одной, двумя и более особыми точками, а также с особыми многообразиями в монографии [1] разработан метод интегральных уравнений по области. Введя сингулярные классы ср,мр и т.д. при тех или
иных условиях малости на числители сингулярных коэффициентов, получены основные утверждения, аналогичные известным в регулярной теории. Актуальной остается задача изучения уравнений без условия малости и в обычных классах. Этой проблеме была посвящена работа [2] и совместная работа автора с Л.Г.Михайловым [3]. В них рассматривались уравнения вида (1) с сингулярной точкой.
Вводя цилиндрические координаты х = pcos<p, у - psincp, z — z, 0<(р<2л, получим:
-Z2
d¿u 1 ди 1 д2и д2и
■ +-------------------------------+
+ q2u = f(p,<p,z), (2)
др р др р дер dz где и(х, у, z) = и(р cos (,о, р sin с,о, z) = и(р, ср, z).
Разлагая функцию f {р, (р, z) как периодическую по (р в обыкновенный ряд Фурье
/(A^2) = V0(1)(p,z) + ¿ /п(1)( Az)cosпср + /п(2)(р,z)sinП(р , (3)
^ п=1
л Itc л 27Г
/„(1) = - Í /(А <Р, z) cos mpdq>, f(2) = - f f(p, <p, z) sin rupdq> , (4)
ТГ J 7T J
JL 0 Jl 0
n - 0, 1, 2,..., ищем решение u(p, (p, z) в виде ряда Фурье:
u{p,(p,z) = ];u^\p,z) + Yj u^\p,z)cosn(p + u{2\p,z)únn(p (5)
Подставляя (5) и (3) в уравнение (2) и приравнивая коэффициенты при соъп<р, ътпср в левой и правой частях, получим для определения неизвестных коэффициентов г^п (А г), и^(р,г) уравнения
-г
2,Д2)
д и
1 ди
(!.2)
„ ЇҐ п 24 д и
. _| И и 42 - Я_~ ~2_п ъ 2
2,ДЬ2) п
+ ^Чи)=/іи)(АЮ.
(6)
б/? р др р дг
Учитывая свойство обобщенной ортогональности функций Бесселя первого рода
</» И]
і\
^<yJv (к[у)(т) Jv (к(2У)<т)сі(т - 0,
(7)
где к = ^ и к — к{у) два различных положительных корня уравнения ./, (кК) = 0 , сможем разложить данную функцию от р,г в ряд Фурье-Бесселя по функциям ,1у(к<у) р), да = 1,2,... при фиксированном у + 2 >°;
/(Аг) = ХАМЛ(Є,А>
171=1
где коэффициенты Ат (z) определяются по формуле
2 "
А,м = -
Л’ЯЖ’ЮІ
Разлагая правую часть уравнения (6) в ряд
т=1
где
^2)(Ю = -
2
\<Г /п’2) 2Уп (4й)сг¥сг
(8)
(9)
^2Л2+1(^)о
а через к((П\к(п),...,к%\..., обозначены положительные корни функции Зп(кК), расположенные в порядке их возрастания, будем искать его решение в виде
и
(1,2)
(10)
Подставляя (10) и (8) в уравнение (6) и учитывая единственность разложения рядов Фурье - Бесселя и то, что функции Бесселя Jn(km'>p) удовлетворяют уравнениям
ёр
р ёр
,2 Л
п
1(П)1
т 2
Р
Л(*Гр)=о,
0
К
т=1
для определения неизвестных коэффициентов В^2)( 2) получим:
или
(11)
Уравнения (11) в силу их однотипности можем записать в виде
г2 ^ ^2^ ~ (к2г2 + д2 )В(г) = —А(£).
(12)
Однородное уравнение (12) имеет два линейно независимых решения:
К {г) = 4г1у (кг), В у {г) = у[г 1_у {кг),
где V1 =Ц1 +\-, 1+у (°) - функции Бесселя первого и второго рода от мнимого аргумента
(функции Макдональда) см. [5]. В точке г - 0 первое из этих решений имеет нуль порядка 1
V + —, а второе неограниченно.
Пусть через Сц(D) обозначается класс функций дважды непрерывно дифференцируемых вне точки г = 0 и непрерывных всюду, включая точку г = 0.
Теорема 1. Всякое решение однородного уравнения (10) из класса С^(0) представимо формулой
Обратно, каковы бы ни были постоянные Спт, , каждый член ряда (13), а при
обеспечении сходимости соответствующих рядов, и его сумма являются решениями однородного уравнения (1 о).
Замечание 1. В силу того, что числа к^ являются корнями уравнения Jn(k^)R) = 0, то все решения вида (13) однородного уравнения (1о) обращаются в нуль при р = Я (то есть на боковой поверхности цилиндра).
Пусть ^(и),^и),...,Л^и),..., обозначают положительные корни функции J'n(kR); тогда будем иметь точно такие же условия ортогональности (7) и впоследствии точно такие же разложения (8) и (10).
СО СО
и( р, (р,г)=у[^^^ 1У (к("}г) Jn (к™ р) Спп с об п<р + Бпт зіп пер
(13)
Теорема 2. Пусть ,к(п),к^, положительные корни функции J'n(kR), расположенные в порядке их возрастания, тогда всякое решение однородного уравнения (10) из класса С^(D) представимо в виде
и(р, <p,z)= 4~Z jr jr lv (k(mn)z) Jn (k(mn)p) Cnm cos n<p + Dnm sin ntp . (14)
«=0 m=1
Замечание 2. В силу того, что функции Jn (<т) и (<т) не имеют общих корней, тогда решения вида (13) в отличие от (14) не обращаются в нуль при р = R.
Для решения неоднородного уравнения (12) применим метод вариации постоянных, то есть будем искать решение неоднородного уравнения в виде
B(z) = Cj (z)Bv (z) + C2 (z)B_v (z) . (15)
Согласно этому методу, для нахождения неизвестных функций С (z), C (z) получим систему
q(z)Bv(z) + C2(z)B_v(z) = 0
c;(z)b;xz)+C(z)B[Jz)=-^t- (16>
Z
Определителем этой системы будет A = Bv(z)B'_v(z)-B'v(z)B_v(z).
Подставляя сюда Bv (z) = yfz Iv (kz), B_v{z) = 4zl_ v(kz) и учитывая то, что для функций Бесселя I±V{(J), имеет место соотношение [4]
l„(kz)l\(kz)-K(kz)l_,(kz)=-,
л kz
. 2 sin vn n
получим Д =----------фО - поскольку v не является целым числом. Решая систему (16) и
п
подставляя в (15), получим, что частное решение неоднородного уравнения (12) имеет вид:
В(г) =----—— [о.у(кг,Ы) ¿Й,
2ътуя • I
о п \'^1Лкг)1-Лк*Х *>г
где Пу( кг,Ы) = \
[ЫгИу(Ш)1_у(кг\
Вернувшись к неоднородному уравнению (12), получим ее частное решение в виде
В(^\г) = —-— |Ъ к(тп)г,к(тп)1 сИ .
тп V/-.. I V т ? т . 2
2зтул I ^
Если в этих формулах выразить функции А^2) (?) через /п(1,2) (сг, I) по формуле (9), затем /ла2)(сг,/), через /(сг, а,1) по формуле (4), то в результате получим:
1 2/Т і? / г/ \
в^2)= „2Т2 П(п)п, ■-\\\Пу(кп)2Лш*Уп(кш)(Т)со&ш-^—аёаёаА,
ООО 1
1 2% К I г/
&)= „2.2 П(п)„л ■----а'“' ойайой.
у | 1
Поскольку функция Оу(кг,к!) имеет точную асимптотику О, (кг,к!) = 0(1 2) при I —» 0 и ^ = л]ч2 + 4" > 2 ’ т0 все ТРИ последних интеграла существуют в обычном смысле.
Подставляя полученные выражения В(12)( 2) в ряд (10), затем в ряд (5) и меняя порядки интегрирования и суммирования, получим частное решение неоднородного уравнения (1) в виде
и(М) = и(р, <р,2) = — } |£КМ'Р) КРУІР,
5|П17Г ;,, '
где М = (р, <£>, г), Р = (сг,а,і), ёР = ёаёа&,
СКМ, Р) = X а со$п((р-а).
п=0 т=1 ^ п+А^т -'V
Займемся обоснованием формулы (19).
Поскольку А^й)7? = корень уравнения Jn(j<£)) = 0, то в интеграле
сделав замену переменных Е = х — = у, легко получим результат Шеппарда [5]
я ’ к
(17)
)у\т,а,іри^у)4у <
т (,<п>\ І-' і-' 4 ' ’ ’ "і ч
я+1 ' 0 ^ пг
где /(сг0,а,1)~ шах |/(сг, а, 0| •
Теперь, если заменим бесселевы функции 1у(х), 1_у(х) главными членами им соответствующих асимптотических разложений, справедливых при большом х
то получим
4,оо=ітЧ ^ І-гіх)=\^-\ е
2х) \2х,
О *(я)г,*(я)ґ
V т ’ т
2 к
(и)
т
Следовательно, ряд
^ЖШМ^Іа аАт
.і і ^Ж’Ю
оо -¿1"’к-г|
мажорируется сходящимся рядом ^— , ибо кІ^)ІІ = ]{”] = (т+^п-^) + 0(-^) [4].
т=1 7т
Далее
^со$п(ср-а) -
1
1
—^28Іп^((£>-а)со8и($>-а) = 2зіпі(^-«)^
N
зіп(и + ^-)(<^ - а) - зіп(и - \){ср - а) =
2эт\{(р-а)^ зіп(іУ + \){(р-а)-?,т\{(р-а) эт \ N\<р - а) соэ^у1 (<р-а)
2эт\(<р-а)
эт \{ср-а)
Таким образом, получим, что функция Сі(М,Р) - ядро интегрального представления (17) играет здесь такую же роль, как функция
БІЙ
ґ 1Л # + -
V 2У
(<р-а)
Бт^((р-а)
- в теории рядов Фурье.
Принимая во внимание это свойство функции Г1(М,Р) теорему о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра [6], заключим, что формула (17) дает частное реше-
ние неоднородного уравнения (1) из класса С%(П) , что является ее обоснованием.
Выражаю признательность академику Л.Г.Михайлову за систематическое руководство моей работой.
Худжандский государственный университет Поступило 09.02.2009 г.
им. академика Б.Гафурова
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. Изд-во АН ТаджССР, 1963, 182 с.
2. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1991, т. 319, № 1.
3. Михайлов Л.Г., Мухсинов А. - ДАН России, 2005, т.402, № 5, с 596-600.
4. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. 1-4. - М.: ИЛ, 1949, 798 с.
5. Sheppard - Quarterly Journal, XXIII, ( 1899).
6. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966, 652 с.
А.Мухсинов
ФОРМУЛАИ ТАСВИРИ ^АЛ^ОИ ЯК МУОДИЛАИ СЕЧЕНАКА БО Х,ОСИЛАХ,ОИ ХУСУСЙ, КИ ДОРОИ ХАТИ СИНГУЛЯРЙ МЕБОШАД
Дар мак;ола тасвири х,алх,ои як муодилаи сеченакаи дифференсиалии х,осилах,ои хусусй дошта бо хдмвории сингулярй дар намуди к;аторх,ои Фурйе - Бессел оварда шу-дааст.
A.Mukhsinov
THE REPRESENTATION FORMULA OF SOLUTIONS OF ONE A THREE-DIMENSIONAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH SINGULAR PLANE
The representation formula for solutions of one a three-dimensional partial differential equation with singular plane in the form of Fourier - Bessel series is received in the paper.
