CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2009, том 52, №5_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.952
А.Мухсинов
О НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛАХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 04.03.2009 г.)
Пусть Б - произвольная ограниченная область в пространстве Кт с кусочно-гладкой границей Г, причем Б содержит точку нуль строго внутри себя. Символами С\(П) и С^(П)
будем обозначать классы функций (один раз или дважды непрерывно дифференцируемых вне нуля и непрерывных всюду, включая точку нуль).
В области Б рассматривается уравнение вида
-г2Д£/(х) + д2£/(х) = /(х) , х = (х„х2,...,хт)еКт, (1)
т
где г2 = ^х1 и А-оператор Лапласа. Соответствующее уравнению (1) однородное уравне-
к=1
ние обозначим через (1о).
Для многомерных сингулярных уравнений второго порядка с лапласианом в главной части в монографии [1] был разработан метод интегральных уравнений по области. Введя сингулярные классы Ср, Мр и т.д, при тех или иных условиях малости на числители сингулярных коэффициентов, были получены основные утверждения о многообразии решений и разрешимости краевых задач, аналогичные известным в регулярной теории. Актуальной оставалась задача изучения уравнений без условий малости и в обычных классах. Этой проблеме были посвящены работы [2] и [3]. Предлагаемую работу можно считать продолжением [3] на случай да-мерного пространства
I. Пусть сначала областью Б является Ш] = {|х|<1}-единичный шар с границей Л', .
В сферических координатах уравнение (1) имеет вид [4]
+ <?2С/ = /(х), (2)
где введено обозначение:
д2и / П 5С/ А ТТ
— + (т-\)г — + Д//
о г дг
г
д^=Х-
1
я яп"^1 01 дв1
ЗУ
~дв.
3 J
- /«-мерный сферический оператор Лапласа,
д1=15д = 8т^18тб,...8т0_1 , л - точка единичной сферы с угловыми координатами
в1,в2,...,вт_ і.
В соответствии с общей схемой метода Фурье ищем решение и (г, s) уравнения (2) в
виде
Щг,*) = ^ик(г)Гк'
(3)
где 11к (г) - искомые коэффициенты, Ук т (5') — да-мерные сферические функции порядка к [4].
В дальнейшем размерность да пространства будет оставаться фиксированной, и мы будем опускать слово «да-мерная» в названии сферической функции.
Разлагая функцию /{х) = /(г, 5) в ряд Фурье по сферическим функциям
/(г, (4)
к=О
и, подставляя (4) и (3) в уравнение (2) для определения функций и к (г), получим уравнения -г2и”-(т-\уигк +[д2 + к к + т-2 ]•£/* =Л> к-0,1,2,... (5)
Однородное уравнение (5) есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка, типа Эйлера. Его линейно независимые интегралы суть
+ „ак~\(т~2) ТТ- ак~\(т~2)
и;=г
*и-=г
(6)
2а і
■I
2.2
где = у 2к + т-2 +4<7 .
Интегрируя неоднородные уравнения (5) методом вариации произвольных постоянных, получим
1 VI (р
2ак >р\г
т-2
\~^г~ Г
Р
т-2
1 \і(рХ^ґ~Лі
I-
г
\РУ
1к(рУр + 1к(р¥р+Аг
(7)
2а*
В этих формулах ^ и Вк - произвольные постоянные.
т-2 т-2
---- -а*-----
2 +В,г 2 .
£
т
к=О
После постановки (7) в (3) слагаемые, содержащие эти постоянные, будут решениями однородного уравнения (1), а сумма слагаемых, содержащих интегралы, - частным решением неоднородного уравнения. Причем слагаемые, содержащие А, будут ограниченными в нуле решениями, то есть имеет место:
Теорема 1. Всякое решение однородного уравнения (1) из класса С0 , представимо формулой
Е™ т-1
4П.„ * г ' т (8)
k=0
Обратно, каковы бы ни были постоянные A, каждый член ряда (6), а при обеспечении сходимости соответствующих рядов и их сумма являются решениями однородного уравнения (10) .
Чтобы записать частное решение неоднородного уравнения, воспользуемся формулой для сферических функций [4]
2к + т - 2 г , , ,
к,т ^ , o\lol \ к,т Л 1к,т ’ V '
{т-2)Щ(
где Ikm((s,s'))- сферическая гармоника порядка к, s,s,eS1 - очки единичной сферы Si,
(5,5')- скалярное произведение единичных векторов os и os',
ds' - sin" 2 в[ sin" 3 6»' • • • sin 6'mAde\d6[ ■ ■ -dffmA .
Заменим в равенстве (4) г на р и 5 на s'. Умножая полученное равенство на 1кт s,s' , интегрируя его почленно по s' ¡e Sx и воспользовавшись формулой (9) , получим
fk Р Yk,m S' ^ ,2Á +!'k4 \f P’S' S’S' dS' ■ (10)
Подставляя (7) и затем (10) в (3) и меняя порядок интегрирования и суммирования, получим частное решение неоднородного уравнения (1) в виде
и (11)
где обозначено
0(х,у) =
I
2к + т-2
ґ
2а,
Р
!к,т
т-2
р>г
р <г
к=о ^к V ' У
Г = |х|, /? = |>’|, Х = Г-5, у-р-^ , йу = рт 1йрй8]. Для обоснования формулы (11) воспользуемся тождеством [4]
1
1
X
-и
\т-2
ф*2-2гр- л, л +р
т-2 2
I
я'
к=О Р
і
к=О
Т и' /
іАг,т
т-2
Г-1
1/ъ
р
к
р>г
; /?<г
после чего можем записать
(12)
где Ц,(*>з0 =
I
¿=0
СС
I
2к + т-2
2а,г
г
\Ру
, ч /V —Ж-4
2к + т-2( рл 1 2
2«,
У/?У
г
4»
р>г
р <г.
Обозначая г = — в верхней и г = — в нижней строке, из оценок р г
тах
0<г<1
2к + ЇУІ — 2 а _т^2 ,
т 1 2 -г
2«,,
4«?2
тах
0<г<1
__ т-2
2
2.1с + ш — 2 _ш^2 ^
----------------г 2 -кт
2а,,
4д2
а также (см [4])
шах
(13)
заключаем, что функция О0 х, у и ее частные производные первого порядка непрерывные всюду за исключением точки х = у, в окрестности которой х, у имеет порядок
□о Х,у =0(\х-у\ 347
т-2
к 2
т-2
г
к=0
2
К
к
а частные производные первого порядка функции О0 х, у имеют порядок
Q0 х,у = <Э(\х-у\ + т),д> 0.
(15)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что Q х, у по каждой из точек удовлетворяет однородному уравнению (1о), в силу чего функцию Q х,у можно назвать сингулярным решением однородного уравнения (1о).
Теорема 2. Если fix) е С1 Шх , то частное решение неоднородного уравнения (1) из
класса С Шх дается интегральным оператором (11), ядро которого однородно порядка -т, удовлетворяет условию суммируемости
\\y\2p{I,y)\dy<K
Rm
и обладает свойством вырождения:
U 0 =
J|>f2Q х,у / у dy
УХ=о
(т~Щ\ы<г
что для (1q) равносильно соотношению r2AU - 0. (см. также [5]).
Х=о
Доказательство. Первое утверждение теоремы 2 уже доказано; однородность ядра очевидна; проверим условия суммируемости и свойства вырождения.
Из представления (12) функции 0(х, у) имеем
jVr2|£x*
где
dy
,Ш-уГ\Г Л=Іі
М""г \уГ
dy
Ы’
т-2
со / Л \^0+1
2а,
|б/у'|[— dp, 2а0 =yjq2 +{т-2)2
0 5, 1 V Р .
СО
Л- J I
р —
2к + т-2
П-2 \
V
2а,
-Р
М2
dy-
R
т-2
Z
к=1
í-1
k+m-2
m-2
2k + m-2
2a,
(1 Yi+~2
Ограниченность первых трех интегралов очевидна.
Докажем ограниченность двух последних интегралов. Начнем с интеграла . Для этого оценим каждый член ряда
I
¿t=o
р
2к + т-2 2а,.
п-2 Л
-Р
|4т0^')|
Ы2
Прежде всего отметим, что
V
2а,
к
рк~1 =щ(р)рк~1^0, 0<р<\
J
ию*(0) = 0, а>к{ 1) =
^ 2к + т-2Л
V
2а,
к J
2 ак (2 ак +2к + т-2)
при к —> со . Следовательно, функция (р) достигает своего максимума во внутренней точ-
ке интервала 0;1 .
Для оценки максимального значения сок{р) вычислим производную:
?к + Ш - 2 2ак-(2к+т-2)
<{Р) = 1------------ 2а,-(2£ + ш-2) + 2 р 2 ,
приравнивая (/?) = 0 , находим
Ро =
4а,.
\
2
{2к + т- 2){2ак - (2к + т- 2) + 2)
2a¿-(2£+»í-2)
следовательно,
шахюДр) = юДр0)<
0<р<1
1—
2
V к
2ак -(2к + т-2) + 2
2ак ~{2к + т-2)
2ак -(2к + т-2) + 2
Так как
2ак -(2к + т-2) q2
2 ак — (2 к + тн — 2) + 2 q + 2 ак + (2^ + тн — 2) ^ + Ак
<-
Используя это и оценки (13), имеем
2
Р
2а,
■Р
Ы
'^т—4
к
.3 -Р ■
р
Следовательно,
I
к=0
ґ к 2к + т-2 а^Л\1Кт^^')\ Р------г----Р '-----------1
V
2а,
<
С
м2 (1 -РТЪРЪ
при 0 < р < 1.
Таким образом, получим
( „ г
р
2к + т-2 ^~)\1к,т(^^)\
-Р
г 1
ёу<С --------йу.
іі(Ч>ГМ
Из ограниченности последнего интеграла, очевидно, следует ограниченность интеграла J4 .
Аналогично доказывается ограниченность интеграла .
Условия суммируемости доказаны.
Проверим свойство вырождения. Заменив в (11) у =\х \ а, обозначая ґ =| <т | и переходя к сферическим координатам, получим
II х =■
і I со
-Ц—г IX
-9Ї
11 о к=0 2оГ^
-г
+
(т-2Щ
1 }/^2к + т-2(\Хк~Ш^~1
(да-2) 1^1 /*=0 2 ак
&^1кт я,з' / \x\a- сія'+
Переходя к пределу при Ы —» 0 и учитывая, что
при к = 0 0 при к Ф 0
2«,
получим
о о
а+^2, /0 VI
2«0 ^ V ґ
. а.-»=2-1
/ о
1
Л =
/0 /о
т-2
ОС*
т-2 2 (т-2)'
I2 „2
ч
Теорема 2 полностью доказана.
II. Интегральное представление решений (1) в произвольной области.
Я
4
Пусть П- область, описанная в начале. Рассмотрим в ней функцию у— пере-
менная точка области. Предположим, что II И и удовлетворяет уравнению (1)
' Аи + Л2и = / у .
Зададим в области 1) произвольную точку хфО. Вырежем эту точку шаром Я/,. с центром в точке х и радиусом е\ поверхность шара Ше обозначим через ^ . Радиус е возьмем столь малым, чтобы шар ШЕ целиком находился внутри области 1).
В области Ие - И / Ше обе функции II у и сингулярное решение однородного уравнения (1 о) О. х, у принадлежат классу С£ Ое , и к этим функциям можно применить формулу Грина [4] .
| П х,у Ш у -и у АуП х,у с1у =
В,
'А"1’-’’ ди
+ | (й х,;, ди У
дії у сЮ х,у
и у
ду
-и у
ду
дО, х,у
Кг+
(16)
ду
ВД-
На сфере |л: — — ¿г,
и
ду\х-)\
т-2 сіє єт-2
ё 1 т-2
-—поэтому на бу-
1
дет: С2 х,у = ~_2 +0 е4 т -в силу (12) и оценки (14),
дО. т-2
7- +О є3 т в силу (12) и
е ду 8т
оценки (15).
Если введем обозначение у-х + ег и воспользуемся формулой с!8г =
<38є - єт сЕ1 и равенствами А П х,у =-^0 х,у , ли
можно преобразовать более к простому виду
2и у /у
У =4 Т-І2------------ПГ
м2 м2
то формулу (16)
Х’У г л И
у4у=\
О. \У
ди у д£2 х,у
-и у
ду
!
О є4
ду
дії х + єг ,
--------------єт~^ -
II х + єг єт~1<і8,.
ёуТ-
Переходя здесь к пределу є —» 0, получим
1
2
1
т-2
Б
*
U х -
(17)
Формула (17) называется интегральным представлением многообразия решений уравнения (1) из класса СI Б .
Выражаю признательность академику Л.Г.Михайлову за руководство моей работой.
1. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: Изд-во АН ТаджССР, 1963,
184 с.
2. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1991, т. 319, № 1, с 203-209.
3. Михайлов Л.Г., Мухсинов А. - ДАН России, 2005, т. 402, № 5, с 596-600.
4. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. - М.: Физматгиз, 1959, 512с.
5. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2002, т. 384, № 6, с. 731-734.
ФОРМУЛАИ ТАСВИРИ ^АЛ^ОИ МУОДИЛАИ БИСЁРЧЕНАКАИ НАВЪИ
Дар мак;ола тасвири интегралии х,алх,ои муодилаи бисёрченакаи навъи эллипси бо нук;таи сингулярИ оварда шудааст.
Integrated representation of decisions of one many-dimensional elliptic equation with singular a point is received in the paper.
Худжандский государственный университет им. акад. Б.Гафурова
Поступило 04.03.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
А.Мух,синов
ЭЛЛИПСИ БО НУЦТАИ СИНГУЛЯРИ
A.Mukhsinov
ON REPRESENTATION FORMULAS OF SOLUTIONS OF A MANY-DIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATIONS WITH SINGULAR A POINT
