CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2009, том 52, №2______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.954
А.Мухсинов
ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 08.01.2008 г.) Рассмотрим уравнение
Я2
Аи и = / (х, у, г), (1)
Р
а2а2а2
-7 Н-7 Н-,
а х а y а z
где A = оператор Лапласа, p2 = х2 + у2, q2 - постоянное число.
Ранее это уравнение рассматривалось в совместной работе автора с Л.Г.Михайловым [1] при p2 = х2 + у2 + z2, то есть когда уравнение (1) было с сингулярной точкой.
В цилиндрической области D = { 0 < z < l, x2 + y2 < R2}, это уравнение называется
уравнением с сингулярной линией.
Вводя цилиндрические координаты x = pcosp, y = psinp, z = z, 0<ф<2я, получим: (см. [2])
d2u 1 d u 1 d2u d2u q2
+ л 1 u = f(p, q>, z), (2)
dp pdp p dp dz p
где u(x, y, z) = u(p cos p, p sin p>, z) = u(p, p>, z).
Разлагая функцию f (p, p, z) как периодическую по p в обыкновенный ряд Фурье
1 да
f (p p, z) = - f0(1) (p, z) + 2 (f„(1) (p, z) cos np + f() (p, z) sin np) , (3)
2 n=1
^ 2n л 2n
n = - jf (p, p, z) cos —p, f„^) = - ff (p, pz) sin —p, (4)
ж 0
n = 0, 1, 2,... , ищем решение u(p, p, z) в виде ряда Фурье:
^ да
u(p, p, z) = - u01) (p, z) + 2 (u(1) (p, z) cos np + u(2) (p, z) sin np). (5)
Подставляя (5) и (3) в уравнение (2) и приравнивая коэффициенты при cos np, sin np в левой и правой частях, получим для определения неизвестных коэффициентов u(1)(p, z), u(2)(p, z) уравнения вида:
а2и(1-2> і аu(1>2) n2 + q2 а2U(1’2)
+-%----------------------n-+^ u»2) +^2rL^ = f'U’(p, z) . (6)
а p2 p а p p2 а z 2
Разлагая правую часть уравнения (6) в ряд Фурье - Бесселя (см.[3])
да
л''-'(р,г)=]гл^ч*)/,(к':'Р) , г2=и1+чг, (7)
R
где ^ (z) = 02 т2 (U{v)m j а (а z) JV (k(n)a)da , (В)
R Jv+\(km R) О
а через к(,), к, к^,..., обозначены положительные корни функции /, (кЯ), расположенные в порядке их возрастания, будем искать его решение в виде
да
«Пи)(А 2)=£ ^’(г/ (СР). (9)
т=1
Подставляя (9) и (7) в уравнение (6) и учитывая единственность разложения рядов Фурье - Бесселя и то, что функции Бесселя / (к{,)р) удовлетворяют уравнениям
і2 т пА. і ит nr(v) „л (
d1 Jv(kV)p)+\dJv(kVp) |
kV2 -
n + q p
JV (Cp) = О,
d p2 p d p
для определения неизвестных коэффициентов В12)( z) получим:
dB=22<£> - С2 B1;!>( z) = Afc z). (10)
Однородное уравнение (10) имеет два линейно независимых решения:
£(U)(z) = ^z .
mn V /
На этой основе выводится общее решение однородного уравнения (10)
Теорема 1. Всякое решение однородного уравнения (10) из класса С2(D) представимо формулой
да да
u (pp z) = 22 Jv (k(:)p) (Cnm cos =p + Dnm sin =p) e± km 2 . (11)
n= 0 m=1
Обратно, каковы бы ни были постоянные Cnm, Dnm , каждый член ряда (11), а при
обеспечении сходимости соответствующих рядов и его сумма, являются решениями одно-
родного уравнения (1).
( =\
l02
Замечание 1. В силу того, что числа k\{vn ) являются корнями уравнения
J, (С R) = О, то все решения вида (11) однородного уравнения (1) обращаются в нуль при p = R (то есть на боковой поверхности цилиндра).
Пусть к[v),k(v),...,k(v ),..., обозначают положительные корни функции J'v(kR); тогда будем иметь точно такие же разложения (7), только с другими коэффициентами (см. [4]) и тогда справедлива:
Теорема 2. Пусть k[v), k{y),..., kv),..., положительные корни функции J'v (kR), расположенные в порядке их возрастания, тогда всякое решение однородного уравнения (1) из класса С2(D) представимо формулой (11).
Замечание 2. В силу того, что функции Jn (а) и J'n (а) не имеют общих корней, теперь эти решения не обращаются в нуль при p = R.
Замечание 3. Если в формуле (11) все числа k[v),k(v),...,k^,..., заменим на произвольное число k , то полученное таким образом выражение
да
uk (p, р, z) = е1 kz 2 Jv (kp) (Cn cos np + Dn sin np)
п=О
будет также решением однородного уравнения (1).
Что касается частного решения неоднородного уравнения (10), то для него методом вариации постоянных получим
і і
B1n2’(z) =^йіA“>(t)е-*->-*dt.
Если в этих формулах выразить функции 4(1;2)(t) через /^’2)(а, t) по формуле (8), а затем /^’2)(а, t) заменить через f (а,а, t) по формуле (4), то в результате получим:
i 2n R l
B(1)(z) = ————--------— і і і e—m ) ^zJ (kv V)cos na f (а,a, t)аdаdаdt,
mn ' nR J2n+l(kv)R)k(v) J Л m ’ ’
n+1 V m ' m ООО
' ’(v).
2п R l
В^Л= —т-,—л-гг С С С е~^ ) ^яп na f (а,а, t)adadadt.
Ий() ^-гжад){{{ п(и ) У(, ,)
Если полученные выражения В(^)( 2) подставить в ряд (9), затем в ряд (5) и изменить порядки интегрирования и суммирования, то получим частное решение неоднородного уравнения (1)в виде
л 2П R l
u(M) = u(p,p, z) = —2 JJJn(M, P)f (P)dP, (12)
nR ООО
где М = (р,ф, 2), Р = (а,а, ^), ёР = ёаёаЛ,
П(М,Р) =а]Г]Г е-к-)"-■> со*п{р-а).
п = 0 т=1 Л+1(кт К)кт
Займемся обоснованием формулы (12).
Поскольку к(у)К = /у) корень уравнения ^(/*)) = 0, г2 = п2 + д2, то в интеграле
Кт,(а,а,,)аёа,
К -окг'К)кг' 7 (
сделав замену переменных Е = х а = у и применяя оценку Шеппарда [4]
к ’к
ГК\ 1 { 1 Л
г V*/ т
2J2v (J v і JA^m=О 1
Jv+1(Jm ) О
j v) x
V Jm X у
легко получим
Jfp) J.(№ I / (а,а, t)| ada =
і j,!,i(k:>R)k:) |f' ^1
/'(JvS) R 1 y|/(Ry,»,t>1J J'у» £
Jv+1(J: )km О j: km
где f (aQ,a,t) = max |f (ct,a,t)|. Следовательно, ряд
V RJv^y'p) Jvikya) е-kv г z a
t2 (t-(v)p\ г» a
:=1 О Jv+1 (k: R) k:
мажорируется сходящимся рядом 2 —,(v)2 , ибо = J(v) = (m+\v--1) + O(i) [3].
m=1 Jm
Далее, поскольку
N , . sinl N (p-a)cos N+i(p-a)
2 cos n(p-a) =----2-------——--2--------,
n=i sini(p-a)
то таким образом получим, что функция Q(M, P) - ядро интегрального представления (12)
играет в теории разложений Фурье - Бесселя столь же фундаментальную роль, как функция
sin ^ N + i j (p-a) sini(p-a)
- в теории рядов Фурье.
Принимая во внимание это свойство функции Q(M, P), теорему о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра [5], заключим, что формула (12) дает частное решение неоднородного уравнения (1) из класса С^(D) , что является ее обоснованием.
Выражаю признательность академику Л.Г.Михайлову за систематическое руководство
Худжандский государственный Поступило08.01.2009 г.
университет им. акад. Б.Гафурова
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г., Мухсинов А. - ДАН, 2005, т.402, № 5, с 596-600.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978, 512 с.
3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. ч. 1- 4, изд. ИЛ, 1949, 798 с.
4. Sheppard. Quarterly Journal, XXIII (1899).
5. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М: Наука, 1966, 652 с.
А.Мухсинов
ФОРМУЛАИ ТАСВИРИ ^АЛ^ОИ ЯК МУОДИЛА БО ^ОСИЛА^ОИ ХУСУСЙ, КИ ДОРОИ ХАТИ СИНГУЛЯРЙ МЕБОШАД
Дар мак;ола тасвири х,алх,ои як муодилаи дифференсиалии х,осилах,ои хусусй дош-та бо хати сингулярй дар намуди к;аторх,ои Фурйе-Бессел оварда шудааст.
A.Mukhsinov
THE REPRESENTATION FORMULA OF SOLUTIONS OF A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH SINGULAR LINE
The representation formula for solutions of one partial differential equation with singular line in the form of Fourier-Bessel series is received in the paper.
