CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2009, том 52, №4________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.952
А.Мухсинов
ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
С СИНГУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 10.02.2009 г.)
I. Рассмотрим уравнение
—z2Au + q2u = 0, (1)
л & д2 д2 и 2
где Д = —- н---- н---- оператор Лапласа, q - постоянное число.
дх ду dz
Такие уравнения называются уравнениями особыми многообразиями [1] .
В цилиндрической области D- 0 < z < /, х2 + у2 <R2 , это уравнение называется
уравнением с сингулярной плоскостью.
Оператор Лапласа от трёх переменных в цилиндрических координатах х = pcoscp, у — рsirup, z-z выражается в виде [2].
. д2и 1 ди 1 д2и д2и Аи =---- +------+ — г + г-
др рдр р дер dz
В этих координатах уравнение (1) перепишется в виде
-Z2
д и І ди Іди д и
■ +-+ —г т + -
+ а2и = 0 •
др рдр р дер Зг Ищем его частные решения в виде произведения трех функций: одной - только от р , второй - от (р и третьей - от г ;
и(р,<р, г) = 1{{р)Ф{(рЩг)
Подставляя это выражение в уравнение (2), получим:
1 <Ш й2Ф с12Ъ а2 ^
_____|______ ___________________±_
йр2 рс1р 1 ёср2 ^ёг2 г2
Я р2 Ф Ъ~
Каждая из двух последних написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимая переменная ср входит только в первую из этих дробей, а г - только во вторую.
Приравнивая вторую из дробей постоянной (—р2) и третью - постоянной А;2, получим следующие три уравнения
Общим решением уравнения (2) является ф(<р) = С cos p<p+D sin pip (С, D - произвольные постоянные)
Ограниченное на плоскости z = О решение уравнения (3) имеет вид
где у2 =q2 , Iv{kz) — функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента (функция Мак-
дональда) (см. [3]).
Если хотим иметь однозначное решение, то постоянную p в уравнении (2) мы должны считать целым числом n.
Функция R(p) = Rn(р) удовлетворяет уравнению (4), если там заменить р на п;
Поскольку Кп(х) обращается в бесконечность при х = 0, а мы хотим иметь ограниченное в начале координат (р = 0 ) решение, то в формуле для Rn{p) берем С2 = 0. Не ограничивая общности, мы можем считать Сх= 1, то есть положить
где п — 0,1, 2,...,-целое, постоянная к может иметь любое значение.
Если вместо постоянной (+к2) ввести постоянную (-А:2), то получим решение вида:
Ф"(<р) + р2Ф(ср) = 0,
(2)
Z"(z)~ k2+^j Z(z) = 0,
I г
f
(3)
1 I 2
R'Xp) + -RXp)+ k2-Pj R{p) = о. p \ p)
(4)
Z(z) = Vz/„(Az),
Как известно (см. [3]), общий интеграл этого уравнения будет
Rn(p) = cijn(kp) + c2 кп(кр).
s[z Jv(kz)ln(kp) Сп cos пер + Dn sin nep . (6)
Так как, согласно теории функций Бесселя (см. [3]), функция J (x) имеет бесчисленное множество положительных корней, а I (х) не имеет вещественных корней, то это различие в представлении решений можно использовать в различных целях.
Например, пусть область D, в которой ищется решение уравнения (1), есть цилиндр D= х2 + у2 < R2, 0 < Z < / , тогда: если мы ищем решения, обращающиеся в нуль на боко-
вой поверхности цилиндра ( p-R), то такая задача имеет бесчисленное множество решений вида (5)
^k№'z)J.№'p) с. cosnep + Dn sinnep ,
п = 0,1,2,... т = 1,2,..., где через к[п),к2П\...,к^,..., обозначены положительные корни функции Jn(kR), расположенные в порядке их возрастания; если же ищем решения, обращающиеся в нуль на верхнем основании цилиндра (z = /) , то имеем решения вида (6)
Jzjv( kVZ)\ik(mP) Сп cos п<р + Dn sin пер , где к{'п] корни функции Jv(kl) то есть Jv(k^]l) = 0.
Теорема 1. Всякое решение уравнения (1) из класса С^(D), обращающееся в нуль на боковой поверхности цилиндра (p-R), представимо формулой
и{р, ер, z) = 4~z £ I„ (k(mn)z) Jn (k(mn)p) Cnm cos nep + Dnm sin nep , (7)
«=0 m=1
а обращающееся в нуль в верхнем основании цилиндра (z-l), представимо формулой
СО СО
и( р, ep,z)=^Y,H Jv (km>z) ln ftmP) Cnm cos nep + Dnm sin nep . (8)
«=0 m=1
Обратно, каковы бы ни были постоянные Cnm, Dnm , каждый член рядов (7) и (8), а
при обеспечении сходимости соответствующих рядов, и их суммы являются решениями уравнения (1) с предельными значениями, равными нулю на боковой поверхности цилиндра и на верхнем основании цилиндра D, соответственно.
(Символом С2 обозначен класс функций дважды непрерывно дифференцируемых вне плоскости z — 0 и непрерывных всюду, включая плоскость z - 0).
Учитывая свойство обобщенной ортогональности функций Jv(k^z) и Jn(.k<™P) - ПРИ фиксированном n [4], а именно;
I
= ° при 7*7 ,
о
к
№лк?)рУЛкУр)<1р = 0 при ,
о
может быть доказана:
Теорема 2. Пусть к{(1),к(2п),к^,..., положительные корни функции Jn (кЯ), расположенные в порядке их возрастания, и \{р,(р,1) - произвольная непрерывная функция, заданная на верхнем основании цилиндра Б и равная нулю на боковой поверхности цилиндра (/?! (II, (р, I) = 0 ), тогда всякое решение уравнения (1) из класса (О) с предельным значени-
ем щ(р,<р,г)
= \ (р, (р, /) представимо формулой
г-1
1(р,<р,г)=Л'Ё£ 1У (к^г) Jn (к™ р) Спт с об пф + Впп вт пф , (9)
п=0 т=1
где коэффициенты определяются формулами
2 7Г К
С()т = —р=-------------- I* Г/г, (р, ф, /)./ (к^р)рс1 рс1ф,
2 л = ^ /7р2т пАп)пТ2пМ)т I |^(А^/)Л(^й)Р)со8^^^,
а для сходимости ряда (9) достаточно абсолютной сходимости интеграла
л
^{р,ф,1)ёр.
Если теперь изменить смысл обозначения к(п) и считать, что символы к\' ],к^к{^]обозначают положительные корни функции Jv(Ы), то справедлива
Теорема 3. Пусть к[у),к^к{^положительные корни функции Jv{kl), расположенные в порядке их возрастания, и И2(И,ф,г) - произвольная непрерывная функция, заданная на боковой поверхности цилиндра и равная нулю на верхнем и нижнем основаниях ци-
0
линдра І) (І12 (Я, ф, І) = И-, (її, ф, 0) = 0) , тогда всякое решение уравнения (1) из класса Сд (П) с
предельным значением и2 (р, ф, г)
-И2(К,ф,г) представимо формулой
р = Я
и2 (р, ф,г)=4^^И'1У (кт>2) Ь (к'тР) Спш Пф + Впп п<р , (10)
п=0 т=1
где коэффициенты определяются формулами
2 л I
*1гик<;'яуЖ'г> „ „
гу 2 Л I
С„т=—;-------т\---;—г^— [ \h1(R,ф,z)J(k<^)z)cosnф\[zdzdф,
пт 7ГІ2! (1гМЦ\Т2(1гМТ\ J J ^ г ^ г Т’
п\ т у VV т /00
I)......= -
/2Т Т2 7^ і Г2
:л /
| jh2(R,ф,z)Jy(к^)z)sinn(p 4гс1гс1(р,
я1%№К»ЖТ) 0 0 а для сходимости ряда (10) достаточно абсолютной сходимости интеграла
№ ф,г)йг.
о
Ряды (9) и (10) называются рядами Фурье-Бесселя.
II. Задача Дирихле
Обозначим через Б - цилиндр Б= х2 + у2 < і?2, 0 < Z < I , а через £ - полную поверхность цилиндра без нижнего основания £ = х2 +у2 = R2,0 < г < I и х2 +у2 <1^,г = 1 и поставим следующую краевую задачу типа Дирихле
-г2Аи + ц2и = 0 (х,у,г) єИ
= \(р,<р,г) и
2 = 1
= \(Я,(р,2)
р = Я
Предельное значение и мы не задавали на нижнем основании цилиндра Б, потому что нижнее основание лежит на сингулярной плоскости г = 0 и, как доказана в [5], там и(р, ф, 0) = 0.
Как следствие из теорем 1 -3 следует;
Предложение 1. Пусть числа к[п\к(п\...,к^,..., положительные корни функции
положительные корни функции Jv{kl), тогда задача типа Ди-
и
рихле и
= /г, где h =
(Aj(p,<p,l), 0<p<R, z = l
eC(S), для уравнения (1) в C2(D) имеет
S | h2(R,<p,z), p = R,0<z<l
единственное решение и = щ+и2, где щ задается формулой (9), а и2 формулой (10).
Выражаю признательность академику АН РТ Л.Г.Михайлову за руководство моей работой.
Худжандский государственный университет Поступило 10.02.2009 г.
им. акад. Б.Гафурова
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: Изд-во АН ТаджССР, 1963, 182 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1978, 512 с.
3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. ч. 1-4. - М.: ИЛ, 1949, 798 с.
4. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т II-III. - М.:Физматгиз, 1969, 928 с.
5. Михайлов Л.Г. - Доклады РАН, 2002, т. 384, №6, c. 731-734.
А.Мух,синов
ФОРМУЛАИ ТАСВИРИ ^АЛ^ОИ МАСАЛАИ НАМУДИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ЯК МУОДИЛАИ СЕЧЕНАКАИ ХОСИЛАХОИ ХУСУСЙ ДОШТА БО
ХДМВОРИИ СИНГУЛЯРЙ
Дар мак;ола тасвири хдлх,ои масалаи намуди Дирихле барои як муодилаи сечена-каи х,осилах,ои хусусй дошта бо хдмвории сингулярй дар намуди к;аторх,ои Фуре-Бессел оварда шудааст.
A.Mukhsinov
THE REPRESENTATION FORMULA FOR SOLUTIONS OF DIRIHLET-TYPE PROBLEM OF ONE A THREE-DIMENSIONAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH SINGULAR PLANE
The article gives the formula of representation of one a three-dimensional partial differential equation with singular plane in the form of Fourier-Bessel series
