Формула представления решений одного уравнения в частных производных с двумя сингулярными плоскостями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №10_______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.954

А.Мухсинов, Н.Охунов

ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ

Худжандский государственный университет им. академика Б.Гафурова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 29.06.2011 г.)

В работе получена формула представления решений одного уравнения в частных производных с двумя сингулярными плоскостями в виде рядов Фурье - Бесселя.

Ключевые слова: оператор Лапласа - сингулярная плоскость - интегральные уравнения - ряды Фурье-Бесселя.

Рассмотрим уравнение

- AW +

W = 0, (1)

Г')'2 г)2 г)2 г)2 г)2 9 9 9 9 9 9 9

где А = —-ч------------------ч--------ч--------ч-------- - оператор Лапласа, р = x + y + z , а = t чт

5 л2 5 у2 5 z2 dt дт

р и д - постоянные числа.

Такое уравнение назовем уравнением с двумя сингулярными плоскостями.

Этой проблеме была посвящена работа [1]. В ней рассматривались уравнения с сингулярностью на основании и оси цилиндра на пространстве Я3, и поэтому предлагаемую работу можно рассматривать как продолжение той работы на пространстве Я5

Решение будем строить методом разделения переменных

Ж(х, у, г, = и(х, у, ¿)У(¿,т). (2)

Подставляя (2) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим:

-Ази + ^и -Ду г р2 V

Р Г-----------ТГ2-----= 0,

U V

д2 д2 д2 д2 д2

где Д = —- Г--------- Г--- , Д9 = —7 Г-------7 - операторы Лапласа.

3 д л2 д у2 д г2 2 дл2 дт2

Каждая из написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимые переменные х, у, г входят только в первую из этих дробей, а t, т - только во вторую.

Адрес для корреспонденции: Мухсинов Абдулкосим. 735700, Республика Таджикистан, г. Худжанд, проезд Мавлянбекова 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]

Приравнивая вторую из дробей постоянной /и = к2, получим следующие два уравнения

A 2V (t, т) +

A3U (х, y, z) -

í p 2^ k’ -p-

V о J

V (t,T) = 0,

U (x, y, z) = 0.

(3)

(4)

В уравнении (3), переходя от декартовых координат t,т к полярным координатам t = о cos р, т = о sin р, ищем его решение в виде

V = Б(о)Ф(р)

В полярных координатах уравнение (3) перепишется так:

д 2V 1 dV 1 д 2V f ~2Л

(5)

- +-------------------------------+ -

+

д2о о до о2 др2 Подставляя (5) в (6) и разделяя переменные, получим

Пъ ло / . _ .ч d2Ф

V = 0.

(6)

■2_2 _2

_2 dB,^dB,( т2_2 „2

о --^ + о^—+ \К о - p

do2 do v F

B

)B

Каждая из написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимая переменная о входит только в первую из этих дробей, а р - только во вторую.

Приравнивая вторую из дробей постоянной (—п2), получим следующие два уравнения

Ф"(р) + п2Ф(р) = 0,

d2 B , 1 dB , (k 2_ P2 + п2^

■ +

do2 о do

+

о

B = 0.

(7)

(8)

Общее решение первого уравнения есть Ф(р) = Q cos np + C2 sin np .

Второе уравнение дает B(o) = Zv (ко), где Zv (х) есть любое решение уравнения Бесселя

(см. [2])

х

2 2 Л

К (х) +1 К. (х) + 1 - P + п

х

Z (х) = 0, v2n = p2 + п

с параметром п, выбор которого определяется классом решения уравнения (1). Если хотим иметь решение однозначное, то постоянную п в уравнении (7) мы должны считать целым числом. В этом

случае, если Уп = ^п2 + р2 - не целое, то в качестве решения уравнения (6) берём ^ (х) = ^ (х)

2

или ZF (x) = J_v (x), где J±v (x) - функции Бесселя первого и второго рода. Если vn n2 + p2 -

целое, то в качестве второго решения берём функцию Вебера второго рода Yv (x) [2].

Итак, согласно [3], общий интеграл уравнения (8) будет

B(a) = Bn (a) = AJvn (ka) + A2 J—vn (ka) , vl = П2 + p2 .

Таким путём мы получим бесчисленное множество решений уравнения (3) вида J±Vn (ka)(C1n cos np+C2n sin np), v2n = n2 + p2 ,

где n=0, 1, 2,..., постоянная k может иметь любое значение.

Если вместо постоянной и = к2 ввести постоянную Ц = —к2, то получим решение вида:

l±v„ (ka)(C1n COS nV + C2n sin np) >

где vn = ^n2 + p2 , I±v (ka) — функции Бесселя первого рода и второго рода от мнимого аргумента

(функции Инфельда) (см. [3]). Если vn =Jn2 + p2 - целое, то в качестве второго решения I F (ka) берём функцию Макдональда второго рода K (ka) [3].

vn

Замечание 1. При k = 0 уравнение (8) примет вид

-> 2 2 d 2B | 1 dB p + n B = Q

da2 a da a2 ’

решениями которого будут B (p) = o

= rr±^’

n + p

Таким образом, для уравнения (3) построены шесть серий частных решений:

icos np, icos np, ,

J (° . J_ (ko)i . при H= k ,

n [sin np, n [sin np,

icos np icos np 2

Iv (ko)■] , I_v (ko)■] , при /л = _к ,

n [ sin np n [ sin np

^7 icosnp, _^ icosnp,

os \ o ^ \ при k = 0.

[sin np, [sin np.

Причём первые решения каждой серии ограниченны при o = 0 , а вторые неограничены.

В сферических координатах (p,6, /) уравнение (4) имеет вид [5].

jpl/ftó*" - о- »’

где U = U(p, s), s = ( sin 0 cos /, sin 0 sin /, cos 0) _ точка единичной сферы Si.

Построим методом разделения переменных частные решения уравнения (9) в сферической системе координат, представимые в виде

и (х, у, г) = и (р, ^) = К(р)¥^).

Подставляя искомый вид решения в уравнение (9) и разделяя переменные, получим

(р2К)'—(к2Р2 +Ч2)К _ Двц^' _ д

R Т

где А0/=sin 0%)+1^-0 /

- сферический оператор Лапласа. Отсюда получаем уравнение для R(p):

(p2 R ') ' _(k 2p2 + q2 + A)R = 0 (10)

и уравнение для функции T(s) = Т(0, /) :

Ав/¥+Л¥ = 0. (11)

Решение уравнения (11) должно быть периодичным по / с периодом 2ж и ограниченным при 0 = 0 и 0 = ж . Это дает задачу Штурма - Лиувилля

Ав1/Гх¥+Лх¥ = 0 0<0<ж, 0</<2ж,

¥(0, / + 2ж) = Т(0, /) при всех 0 и /,

|Т(0, /)| <®, |Т(ж,/)| <да, Т(0, ¥) * 0.

Собственными значениями этой задачи являются A = Am = m(m +1), m = 0,1,..., а собственными функциями - сферические функции

Ym )(s)=rm: W)=р; ,

[sin J /

где P( - присоединённые функции Лежандра, J = 0,1,...,т , причём rangAm = 2т +1. Сфериче-

ская гармоника Ym (0, /) = Ym (s) есть линейная комбинация собственных функций этой задачи, соответствующих одному собственному значению Am :

m

Ym (0, /) = Am0Pm (cos 0) + £ ^ (cos 0){Aj m °°s J / + Bjm sin J.

j=1

Рассмотрим уравнение (10) при A = m(m +1) :

(p2 R')'_[k 2p2 + q2 + m(m + 1)Jr = 0, (12)

общим решением которого есть

R(p) = <C,I«. (kp) + C-K„, (kp))p 2,

2 Г (2т Г1) т / / \ т^ //\ 1 1 тч /-1

где цт =-^^ (кр), К^ (кр) - модифицированные функции Бесселя (функции Мак-

дональда) (см. [3], [4]), С1, С2 — произвольные постоянные.

Таким путём мы получим бесчисленное множество решений уравнения (4) вида

^ (кр)Ут (*) Кит (кр)Гт (*)

^ ^

где т=0, 1, 2,..., постоянная к может иметь любое значение.

Если вместо постоянной (+к2) ввести постоянную (—к2) , то получим решения вида:

1т (кр)¥т (^ 1—т (кр)Ут ^

^ ^

Замечание 2. При к = 0 уравнение (12) примет вид

р2 Я"(р) + 2рК(р) — (д2 + т(т + 1))к(р) = 0,

решениями которого будут К (р) = р 2 .

Таким образом, для уравнения

-AW +

VP2 °2 J

W = 0

построены шесть серий частных решений:

1цт (kp )Ym(s) w/ 4 )cos ^ K^m (kp )Ym(s) . 4 fcos ^ ,2

—=-Jv (ko)•] . »m ------------j_v (ko) J при ц = k, (13)

Vp n [sin np, Jp n [sin np,

JMm (kp)Ym(s) T П ^ icos nP, J_Mm (kp)Ym(s) T П ^ icos ^ 12

m I----------Iv (ko) •] . ----n—r----------I_v (ko) •] . при H = _k , (14)

yjp " [sin np, " [sin np,

^m_1 icos np, _мт_1 icos np,

p1" 2Ym(s)on +q •] . P, pMm 2Ym(s)o“Vn +q •i . P, при k = 0. (15)

[sin np, [sin np.

Причём первые решения каждой серии ограниченны при p = o = 0, а вторые неограничены.

Так как, согласно теории функций Бесселя (см. [2]), функция J (x) имеет счётное множество положительных корней, а I (x) не имеет вещественных корней, то это различие в представлении

решений используется в различных целях.

Например, пусть область D, в которой ищется решение уравнения (1), есть прямое произведе-

x + y + z < R j и круга радиуса r ; Br = 11 + т < r j, то есть

D = Шк х Br. Обозначим через Г2 и Г3 границы круга Br и шара Шк соответственно. Тогда

(Цх Шк) ^ (Г х Br) есть граница области D = Шк х Br.

Если мы ищем ограниченные решения, обращающиеся в нуль на границе (Ц х B ), то есть на

поверхности шара (p = R), то такая задача имеет счётное множество частных решений вида

jц (k(Um >p)Ym (s) icos np

Um } 1. m Iv (kи)a)• i , m,n = 0,1,.., j = 1,2,.. ,

Jp n [sin np

где через k[Um),ku\...,k<']Um),... обозначены положительные корни функции J (kR), расположенные в порядке их возрастания.

Если же ищем ограниченные решения, обращающиеся в нуль на (Г2 х Шя ), то есть на границе круга Br =| t2 + т2 < r2 j, (a = r), то имеем решения в виде (13)

Iu (k(v" )p)Ym (s) (v icos np,

u„,\ j m j (kv)a) ^ ^ v', m,n = 0,1,2,... j = 1,2,...,

VP Vn 1 [sin np,

где через kv), k^"),...,k(Vn),... обозначены положительные корни функции J (kr), расположенные

в порядке их возрастания.

Отметим, что эти решения обращаются в нуль и на границах {р = 0}х Br, и ШЕ х {о = 0}

области D соответственно.

Очевидно, что общее решение уравнения (1) с различными свойствами записывается в виде разложения по частным решениям вида (13) и (14) в силу полноты системы функций

[ ,„ , [cosnp | , [cosnp, |

<J„ (k fm p)Ym (s) ••{ , [ и системы функций \ Jv (k Jn )о)7(я (s)••! \ (см. [4] лемма §1.9).

[ J [sinnp J [ n J [sin np, J

Теорема 1. Пусть область D, в которой ищется решение уравнения (1), есть прямое произ-

х + y + z < R } и круга радиуса r ; Br = {t +т < r }, то есть D = Шк х Br. Тогда всякое решение уравнения (1) из класса С2(D) , обращающееся в нуль на поверхности шара (р = R), представимо формулой

ад ад ад J (k^m) p)Y (s) / \

W (р, s^,p) = ZZZ ^ 1 Г- m------V (kTm )оACjnm COs np + D Jnm sin np) , (16)

J=1 n=0 m=0 -у р

а обращающееся в нуль на границе круга Вг = { ^2 + т2 < г21, то есть на окружности (о = г), представимо формулой

œ œ œ I (к(vп ) p)Y (s) í \

W (p, s,CT,p) = ¿¿¿ .. 1 ¡~ m--------JVn (kV '^Jnm cos np + DJnm sin np) , (17)

,s,a,p) = ¿¿¿ . 1 r m JVn(J)'

J =1 n=0 п=0 у Р

где через k\.’"),k.),...,к.),..., обозначены положительные корни функции J(kR), а через

k\’n),к2-n),---,к—),..., обозначены положительные корни функции Jv (kr), расположенные в порядке их возрастания.

Обратно, каковы бы не были постоянные Cjnm, D -nm , каждый член рядов (16) и (17), а при обеспечении сходимости соответствующих рядов, и их суммы являются решениями уравнения (1) с предельными значениями, равными нулю на поверхности шара ( p = R ) и на границе круга ( ст = r ), соответственно.

Ряды (16) и (17) называются рядами Фурье - Бесселя.

Замечание 3. К ограниченным решениям, обращающимся в нуль на границах {p = Ojx Br и Шк x {ст = Oj, нужно добавить ещё решения разложенного по частным решениям вида (15)

œ œ 1 і----

W (Р s,CT,p) =¿¿pm 2 Ym (s)CT 2 + 9 2 (Cmn cos »p + Dmn sin np)

п=0 n=0

Поступило 30.06.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мухсинов А. - Учёные записки ХГУ. Естественные науки, 2011, №2, с. 151-159.

2. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. 1- 4. - Л.:ИЛ, 1949, 798 с.

3. Macdonald - Proc. London Math. Soc., 1S99, v. XXX.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.:Наука, 1976, 52S с.

Â.Myx,CHHOB, Н.Охунов

ФОРМУЛAИ ТAСВИРИ ЗДЛ^ОИ ЯК МУОДИЛAИ ^OCHÏÏÂ^OH ХУСУСЙ ДОШТA БО ДУ ^МВОРИИ СИНГУЛЯРЙ

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Fафуров

Дар макола тасвири хдлх,ои як мyодилаи дифференсиалии х,осилах,ои хусусй дошта бо ду хдмвории сингулярй дар намуди каторх,ои Фурйе - Бессел оварда шудааст.

Калима^ои калидй: оператори Лаплас - уамвории сингулярй - муодилауои интегралй - цаторуои Фурйе-Бессел

A.Mukhsinov, N.Okhunov

THE REPRESENTATION FORMULA OF SOLUTIONS OF A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH TWO SINGULAR PLANE

B.Gafurov Khujand State University The representation formula for solutions of one partial differential equation with two singular plane in the form of Fourier - Bessel series is received in the paper.

Key words: Laplace operator - singular plane - integral equations - Fourier-Bessel series.