CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.954
Н.К.Охунов
ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ ЛИНИЯМИ
Худжандский государственный университет им. академика Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 14.02.2014 г.)
Получена формула представления решений для одного уравнения в частных производных с двумя сингулярными граничными линиями в виде рядов Фурье-Бесселя и исследована разрешимость краевых задач.
Ключевые слова: оператор Лапласа - сингулярная граничная линия - функции Бесселя - краевая задача.
В прямоугольнике 0 < х < а, 0 < у < Ь рассмотрим уравнение
-Au +
v p^
2 + , .2
V
x
u = 0, (1)
У J
А а2 а2
где Д =-- Н--- - оператор Лапласа, р и д - постоянные числа.
а х а у
Такое уравнение назовём уравнением с двумя граничными сингулярными линиями. Ищем его частные решения в виде произведения двух функций:
и(х, у) = X(х) • У(у) . (2)
Подставляя (2) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим
4 X -Y"+ Р2
_У_
,2
- X"+ кX -Y
■ +-*-= 0.
X У
Так как независимая переменная х входит только в первую из этих дробей, а у - только во вторую, то, приравнивая вторую из дробей к постоянной к2, получим следующие два уравнения
X "-
С с2^
k2 + Х2
V x
X = 0, (3)
Адрес для корреспонденции: Охунов Нозим. 735700, Республика Таджикистан, г. Худжанд, пр. Мавлянбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
У"+
Г
к2" Р
V У у
У = 0. (4)
Общее решение первого уравнения есть
X (х) = 4Х (С \(кх) + С2 К,(кх}),
второго
У(У) = 4У (С^м(ку) + С23_^(ку}) ,
где V2 = д2 +1/4, ц2 = р2 +1/4, \ (кг), Ку (кг) - модифицированные функции Бесселя (функции Макдональда), 3 ± (х) - функции Бесселя первого и второго рода. Если ц2 = р2 +1/4 - целое, то в качестве второго решения берём функцию Вебера второго рода У (х) (см. [1,2]).
Следовательно, построены следующие две серии частных решений уравнения (1), соответственно ограниченные и не ограниченные на сингулярных линиях х = 0 и у = 0 :
\(кх)3ц(кУ) , 4ху К(кх)3—ц(кУ),
где постоянная к > 0 может иметь любое значение.
Если вместо постоянной (+к2) введём постоянную (—к2), то получим следующие две серии частных решений уравнения (1), соответственно ограниченных и неограниченных на сингулярных линиях х = 0 и у = 0 :
4ху Л(кх) 1ц(кУ), 4ху З^^^^.
Замечание. При к = 0 уравнения (3) и (4) принимают вид
д2
X"— ^х = 0
х
У"— Р- У = 0, У
решениями которых соответственно будут
Х(х) = 4х ■ хV У (У) = 4У ■ У±ц, V2 = д2 +1/4, ц2 = р2 +1/4. Таким образом, для уравнения
—Аы +
V р^
2 + , .2
V
х
ы = 0
У у
построены шесть серий частных решений:
4хУ Iv(kx), 4хУ К(кхУ_м(ку),
4ху Jлkx)), 4ху •/-г(кх)Км(ку),
л/ху ■ XV, ■ х">
(5)
Причём первые решения каждой серии ограничены на сингулярных линиях х = 0 и у = 0, а вторые не ограничены, точнее ограниченные решения при х = 0 имеют нуль порядка V +1, либо при у = 0 нуль порядка / +1, а неограниченные имеют полюс порядка V — 1 и / — -1 соответственно.
Так как, согласно теории функций Бесселя (см. [1]), функция J^ (х) имеет счётное множество положительных корней, а 1Л (х) не имеет вещественных корней, то это различие в представлении решений может быть использовано при решении краевых задач.
Общую краевую задачу для уравнения (1)
нужно разбить на две стандартные задачи. Стандартной в данном случае называется задача, в которой неоднородные граничные условия заданы на линии х = а, а на линии у = Ь граничные условия нулевые или наоборот. Мы предельное значение и не задаём на сингулярных линиях х = 0 и у = 0, потому что на этих линиях и , и'х и и'у равны нулю (см. также [3]).
Полную задачу (6) - (7) разобьем на две стандартные:
(6)
Ци] = а--+ /и
дп
/, а> 0, /> 0, а + /> 0
(7)
ц р
Ди + ^т + ^т и = 0, 0 < х < а, 0 < у < Ь
Iх у )
(8)
(9)
у = Ь
0 ,
(10)
где (у)е С и удовлетворяет условию согласованности
¿(0) = 0, а/;+//,
у = Ь
0
(у.с)
—Аы +
2 + 2 Vх У у
ы = 0, 0 < х < а, 0 < У < Ь
(11)
ды
а--V ры
дх
л ды
= 0, а--V ры
х = 0 дх
= 0
х = а
(12)
ды п а--V ры
дУ
ды г,
= 0, а--V ры
У = 0 дУ
У = Ь
= /2( х) ,
(13)
где / (х) е С и удовлетворяет условию согласованности
/2(0) = 0, а& + Р/2
= 0.
х = а
(у.с)
Рассмотрим каждую из этих задач. Начнём с задачи (8) - (10).
Решение задачи (8) - (10) будем строить в виде ряда по ограниченным на сингулярных линиях х = 0 и У = 0 частными решениями вида (5):
Ь
гх,л х) у) ,
кГ х)
х = а
где через
обозначены
положительные корни уравнения
а
акЗ; (кЬ) +1 — + Р 13^ (кЬ) = 0, расположенные в порядке их возрастания, то есть в виде ряда
ы( х у) = Е С
кЦ х)
т=1
Ь
ктц) х)'
-4У Зц(к'тц)У),
(14)
х = а
коэффициенты которого определяем из граничного условия а--V Ры
дх
х = а
= / (У) по формулам
С =■
1 ь
—р \^/1(*)^3ц(ктт
II3 ц( ктц)°, ь
2 Ь2
;2 С
где |3ц(ктц)^)||2 = у [з; (кт)Ь)] + -
м
2
V1 — 'к{: )2Ь2 у
3 Ж )Ь) (см. [1]).
Так как система функций
и
образует полную ортогональную систему в Ь2 [(0, Ь); у] и а/х'+З/г
у = Ь
= 0 в силу условия согла-
сованности, то функция (у) разлагается в регулярно сходящийся ряд по системе функций
4У3№(тУ) т = \,2,..., (см. теорему § 23.7 [2]).
у)=Е л/^л( ^ у),
т=1
1 Ь
где А/ = --—-2 \ иау^/*)^* , то есть Л/ = Си .
им
Теперь если заменим бесселевы функции (к^л)х) главными членами соответствующих асимптотических разложений, справедливых при больших к^л)х (так как см. [1] к(л)Ь = 7(л) = (т + -1 / — -1)ж + неограниченно возрастает при неограниченном возрастании т )
1Лк(тМп) х) =
ж
V
ч 2кт°)х)
то получим
^ (к(тЛ)х)
ктл/х)'
-= е
-т( а—х )
Следовательно, ряд (14) при х < а сходится экспоненциально, и его сумма и(х, у) очевидно удовлетворяет соотношению
ди
а--+ /и
дх
х = а
= /(у) .
Так как члены ряда (14) функции
Ь
удовлетворяют уравнению (1), поэтому Дм =
ит (х, у)=—^(^х)— 4У Jл(ki:)y) 4х/У (т х)
х = а
V р2 ^
2 + 2 чх у )
и„
т = 1,2,.... Отсюда видно, что вто-
рые производные выражаются через и и поэтому ряд из вторых производных также сходится абсолютно и равномерно, как только ^\ит | <ю.
т=0
Таким образом, ряд (14) даёт классическое решение задачи (8) - (10).
Аналогично классическое решение задачи (11) - (13) задаётся рядом
ы( х У) = 2
-(СУ) Гх 3Ж)х),
Ь
'4у!ц (к(:' У )'
У = Ь
где к\г\к2\..Аг'',..- положительные корни уравнения ак1[(ка) + [ + /? \.1 ^{ка) = 0 и
12а ^
А =■
1 0
Р:(кО)п 0
Таким образом, доказана Теорема. Дусгаь
положительные корни уравнения
+ + Д^•/Д&б) = 0, а к^ - положительные корни уравнения
а
а2к3; (ка) +1 — + Д 3 (ка) = 0. Тогда задача V 2а у
—Аы +
, Р ^ 2 + 2 Vх У у
ы = 0, 0 < х < а, 0 < у < Ь,
ды
а1~ + Ды дх
ды
а2^Г +Д2ы
ду
ды п = 0, а —V Ды
х = 0 дх
х = а
= /( У),
^ ды = 0 , а2 — +Д2ы
у = 0 ду
У = Ь
= /2( х),
имеет единственное классическое решение в виде
ы( x, у) = 2
С ^^ 4~У (кГУ) + о^^ЖУ^Гх з:х)
Ь
х = а
'^¡хкЦ х)_
где коэффициенты определяются по формулам :
Ь
4у1ц (к: У )
У = Ь
С =■
рц (
1 Ь 1 а
—21/(*)3М(к(ц, = --—Г|/*^(к»**.
з V (к:*
Поступила 14.10.2014 г.
т=1
Ь
а
ЛИТЕРАТУРА
1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. 1- 4. - Л.: ИЛ, 1949, 798 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976, 528 с.
3. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2002, т. 384, №6, с. 731-734.
Н.К.Охунов
ФОРМУЛАИ ТАСВИРИ ^АЛ^ОИ ЯК МУОДИЛАИ ^ОСИЛА^ОИ ХУСУСЙ ДОШТА БО ДУ ХАТИ СИНГУЛЯРИИ САР^АДЙ
Донишгохи давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Рафуров
Дар макола тасвири хдлх,ои як муодилаи дифференсиалии х,осилах,ои хусусй дошта бо ду хати сингулярии сархдди дар намуди каторх,ои Фурйе - Бессел оварда шуда, х,алшавандагии масъалаи канорй тадкик карда шудааст.
Калима^ои калиди: оператори Лаплас - хати сингулярии саруадй - функсияуои Бессел - масъалаи канорй.
N.KOkhunov
THE REPRESENTATION FORMULA OF SOLUTIONS OF A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH TWO SINGULAR RULER
B.Gafurov KhujandState University The representation formula for solutions of one partial differential equation with two singular ruler in the form of Fourier - Bessel series is received in the paper.
Key words: Laplace operator - singular ruler - the Besselis functions - marginal problem.
