Двоякопериодические решения одного класса эллиптических систем высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №5_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.947.42

Д.С.Сафаров, Р.С.Саидназаров

ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 12.03.2014 г.)

В работе показаны методы нахождения двоякопериодических решений одного класса эллиптических систем высокого порядка с помощью эллиптических функций.

Ключевые слова: двоякопериодическая функция - решение - эллиптическая система.

На комплексной плоскости с рассмотрим эллиптическую систему, записанную в комплексной форме [1,2]

Цм>) = д> + аД^ +.... + а^ = f(z), (1)

где 7 = х + ¡у, = и + ¡3, 2= = ^ + ™у, д^ = = —

дw . дк-м д

— = ^ + , д^ =-= —

дг х у' 7 дГ дг

( д с Л

1дг V у дг 1 )

к = 1,2,..., и

а, а, . ., а — постоянные комплексные числа, а правая часть есть заданная функция на плоскости

с .

Системы вида (1) изучены в работах [3,4], выписаны общие преставления решений в случае постоянных коэффициентов, а также с переменными коэффициентами при некоторых определённых ограничениях на них. Исследованы определенные задачи типа Шварца, Римана-Гильберта и линейного сопряжения [4].

В данной работе исследуется задача существования и нахождения двоякопериодических решений с основными периодами [5] ^, , Jm(h2 / ^) ^ 0. Поставленная задача для уравнения обобщённых аналитических функций изучена в работах В.И.Показеева, Д.С.Сафарова, С.Байзаева и др. (см. [6]).

Построение теории двоякопериодических обобщённых аналитических функций с помощью аппарата теории эллиптических функций Вейерштрасса исследовано в [6].

Точки Г = {ш \ + ш2^,т,ш2 — целые} при Jm(h2 /^) ^ 0 образуют на плоскости с решётку периодов, разбивающую всю плоскость на параллелограммы периодов. Двоякопериодические функции в любом параллелограмме периодов принимают одинаковые значения, поэтому достаточно провести исследование двоякопериодических решений уравнения (1) хотя бы в одном из параллело-

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. Е-таИ:8а/агоу-5252@таИ.ги

граммов периодов О. Без ограничения общности в качестве О можно взять основной параллелограмм решётки Г с вершинами 0,\,\ + И2,. Это означает, что Jm(h2 /\) > 0 [5].

Как в [6], обозначим через С — класс (= пространство) двоякопериодических функций с основными периодами h, , Jm(h2 / Ь) * 0, принадлежащих классу Ст (О), граница области О состоит из точек множества [0, h )^[0, ^ ).

Аналогично через Н" обозначим класс двоякопериодических функций с периодами h, ^, непрерывных в О по Гёльдеру, с показателям а, 0 <а< 1. Также обозначим

С(п,а) /^п+а /^п „ тта ^г /1\

* = С = C ^Н . Так как интегрирование неоднородного уравнения (1) сводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то будем изучать сначала однородное уравнение

1(Щ) = Щ + аЖ1 + а2Щ2 +.... + а Щ + апЩ = 0.

V / 2 1 2 2 2 П—1 2 п

п—2

Будем искать решение уравнения (2) в виде

Щ(2) = е*2 .

Тогда для нахождения параметра Л получим так называемое характеристическое уравнение

£(Л) = Л" + с^Л"'1 + а2Л"-1 +„„ +ап_гЛ + ап= 0.

п—1

(2)

(3)

(4)

Значит число Л должно удовлетворять характеристическому уравнению (4)

Определение. Система п решений уравнения (2) Щ(2),Щ(2),....,Щ(2) называется фундаментальной, если определитель Вронского

Ж (2) = Ж ЩЩ2,..,Щ ] =

ЩЩ2,.

Щ1 -,Щ22 ,.....

3п—' 3п—' Щ Щ2 Щ2 2 ,...,Щ

п—1

* 0

всюду в рассматриваемой области.

Структура фундаментальной системы решений уравнения (2) зависит от вида корней характеристического уравнения (5) и позволяет описать многообразие его решений.

1. Пусть все корни характеристического уравнения различны: Л, Л ,■■■■, Л ■ Подставляя эти значение Л в формулу (3), получим п решений

- Л2

Щ = еЛ 2 ,Щ = г ,....,Щ = е

Покажем, что эти решения образуют фундаментальную систему решений. В самом деле, вронскиан этих решений равен

Ж(7) = е"^ П (Л —Л;-)

1< 1<г<п

и так как \+ Л +.... + Лп = —а, Л — Л Ф 0 при г Ф 1, то Ж(г) Ф 0 всюду в С . Заметим, что эти функции являются линейно независимыми и над полем комплексных чисел.

Лемма 1. Пусть ,...., Лп—различные корни характеристического уравнения (4) и

3(г) е Сп (О) - решение уравнения (2). Тогда существуют аналитические функции Ф(г),Ф2(2),....,Ф(г) такие, что справедлива формула

3( г) = ф (г)еЛ + Ф2 (г)еЛ +.... + Фп (г)еЛ (5)

и это представление единственно.

В самом деле, если Ф (г), Ф2 (г),...., Фп (г) — аналитические функции, то функции

И =Ф1(2)еЛ, н-2 = Ф2(г)еЛ,...., и =Фп(г)е^

являются решениями уравнения (2), а в силу линейности оператора Ь их сумма также является решением уравнения (2). Легко показать, что представление вида (5) единственно и решению 3(2) = 0

соответствуют аналитические функции Ф (г) = 0, Ф (г) = 0,...., Ф (г) = 0.

Для доказательства существования таких функций, как в [4], операторное уравнение (2) можно факторизовать в виде

Ь(3) = д — Л)д — Л2)....(дт — Лп )3 = 0.

Интегрируя это уравнение последовательно, получим формулу (5).

2. Случай кратных корней. Пусть Л — корень кратности т уравнения (4). Тогда легко видеть, что функции

еЛ, , 12еЛ,...., 1к—1 еЛг

являются решениями уравнения (2). Эти функции являются линейно независимыми над полем комплексных чисел.

Таким образом, если характеристическое уравнение (4) имеет корни Л,Л,■■■■,Лт , соответственно с кратностями кх, к2,...., кт, кх + к2 +.... + кт = п, то уравнение (2) имеет п решений вида

Л.^ — Л.^ —к.—1 Л.г . 1 - ,

е ,ге] ,....,г 1 е] , ] = 1,2,...кт.

Аналогично лемме 1 доказывается

Лемма 2. Пусть характеристическое уравнение (5) имеет корни Л,Л,....,Лт, соответственно, с кратностями кх,к2,....,кт, к + к2 +.... + кт = п, и 3(г) е Сп(О). Тогда существуют п

аналитические функции: Ф^2),2),....,Ф1 (2), Фх2(2),Ф2(2),....,Ф^ (2),....,Фхт(2),

Фт(2),...,Фт (2) такие, что имеет место представление

т _

Теперь находим решение уравнения (2) из класса С п.

Теорема 1. Пусть выполнено условие леммы 1. Тогда существуют п эллиптические функции второго рода Ф ( 2), Ф2 ( 2),....ФИ ( 2), удовлетворяющие условиям

ФД2 + = е^ФЛ ФД2 + h2) = Ф,(2), (6)

и такие, что любое решение уравнения (2) из класса С п представляется в виде

Щ( 2) = Ф (2 )еЛ 7 + Ф (£)е^ +.... + Ф (г)е^. (7)

Напомним, что эллиптическая функция это мероморфная двоякопериодическая функция, а эллиптическая функция второго рода - мероморфная функция, удовлетворяющая условиям вида (6) [3]. Если Ф (2) удовлетворяют условиям (6), то легко видеть, что 3(2) определённая формулой (7), является

двоякопериодическим решением уравнения (2) с периодами hí, ^ ■

Решение уравнения (2) из класса Сп называется регулярным решением. Для регулярных решений уравнения (2) множество полюсов эллиптических функций Ф(2),Ф2(2),....,Ф(2) — пустое множество.

Как показано в [6], любая эллиптическая функция второго рода (без полюсов) (( 2), удовлетворяющая условиям

((2 + = елЛч(( 2), ((2 + Нг) = е%( 2),

представляется в виде

[е ехр(Ь2 + Л2 ), если Л _ Г, ((2) = \ Р( ), _ (8)

0, если Л _ Г,,

где с — произвольная постоянная, е * 0, Г — решётка вида

Г = + т2И2; т, т — целые},

О0

О = те^О = Ь |2 Jm(h2 / h ), постоянная Ь удовлетворяет уравнениям

ехр(Ь^ + Л\) = 1, ехр(Ь^ + ) = 1.

Из теоремы 1 и формулы (8) получим

Теорема 2. Пусть Л,Л,....,Ап—различные корни характеристического уравнения (4) и

Л,Л,....,Л е Г, Л+1 ,Л+2,...., Л е Г. Тогда уравнение (2) в классе С" имеет к линейно независимых решений над полем комплексных чисел, и оно представимо в виде

3( г) = с еь"+Л + С2еь^ +.... + скеЪк2+Лк*,

где с,С,....,С — произвольные комплексные числа и постоянные Ъ,Ъ,--,Ъ — удовлетворяют условиям:

ехр(ЪД + ) = 1, ехр(ЪД + ) = 1, г = 1,2,...., к.

Следствие 1. Для того чтобы уравнение (2) имело ненулевое решение в классе С", необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один корень Л^ - характеристического уравнения (4) Л е Г.

Теперь в случае простых корней характеристического уравнения (2) и / е И" будем искать решение неоднородного уравнения (1) в виде

w( г) = Ф1 (г)еЛ + Ф2 (г)еЛ * +.... +Ф" (2)еЛ, (9)

где Ф' (г) — искомые двоякопериодические функции, удовлетворяющие условиям

Фг(г + ^) = еЛфг'(2), Фг(г + к2) = е^Ф'^), г = 1,2,...,п, Фг(г) е С*(П). Тогда для нахождения Фг (г) получим неоднородные уравнения Коши-Римана

Ф г (г) = е~Л f (2) А , / = 1,2,..., к, (10)

где А — постоянные, зависящие от Л, Л,■■■■,Л •

Все решения уравнения (10) в классе двоякопериодических функций второго рода найдены в [6] с помощью интегралов типа потенциала с ядрами эллиптических функций Вейерштрасса £(г) и

<т(г), построенных на периодах ^, .

1) если Л е Г, то для разрешимости уравнения (10) в классе С" — двоякопериодических регулярных (без полюсов) функций второго рода необходимо и достаточно, чтобы

Л / ( г )е ~Л*—ЪЧ □ = 0, г = 1,2,..., к

□

и все его решения представимы в виде

( А - ^

Фг(г) = с,. — А\\/(?УЛ*—ЪЪХ($ — z)díQ = о^ + А1еЪТс/,

ж □ у

где с. — произвольная постоянная; постоянная Ъ., как в теореме 2.

2) при А е Г уравнение (10) при любой /(г) имеет, притом одно единственное решение вида [6]

ФЧг) = е^Ац/(0е-^ -*,) б/р = ^дт;/, г, ёг,

где значения £{ и с1 находятся из системы уравнений

¿А + = "АА + | (12)

с!к2 += -Х1г2 + 2;пда,] '

п, да — некоторые целые числа, — циклические постоянные вместе с ^, удовлетворяют соот-

ношению Лежандра г)^г2 — Г]2ИЛ = 2;г/. В силу Л. е /',, £{ е /'. Таким образом, справедлива

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда однородное уравнение (2) имеет к линейно независимых решений и для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы

Л / (г)ехр(—— ЪггуО = 0, / = 1,2,...., к.

□

При этом все решения (1) в классе С" представимы в виде

г) = {е] + А/) + £ А/,

]=1 ]=к+1

где с1,с2,....,ск—произвольные постоянные, Ь. как е лемме 1, а числа г/, и находятся из системы уравнений (12).

Теорема 4. Пусть все А. е Г, / = 1,2,...,п . Тогда неоднородное уравнение (1) при любой правой части /(г) имеет, притом, одно единственное решение вида

п

м>( г ) = 2 А,Га f,

1=1

где постоянные йГ и находятся из системы уравнений (12).

Следствие 2. Для того чтобы оператор Ь : С" ^ С0а был обратим, необходимо и достаточно, чтобы характеристическое уравнение (8) не имело решения в решётке

Г + ш2Н2;т,т2 — целые} .

□о

Аналогичные теоремы можно доказать и в случае кратных корней уравнения (4). Также можно найти решение уравнения (1) с заданными полюсами, а также заданными нулями и полюсами.

Поступило 19.03.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. - М., 1959, 628 с.

2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1981, 448 с.

3. Балк М Б., Зуев М.Ф., - УМН, 1970, т. 25, вып. 5, с. 203-205.

4. Раджабов Н.Р., Расулов А.Б. - ДАН СССР, 1985, т. 252, №4, с. 795-799.

5. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. - М.: Наука, 1977, 304 с.

6. Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщённые аналитические функции, и их приложения. -Душанбе: Дониш, 2012, 190 с.

Д.С.Сафаров, Р.С.Саидназаров

ХДЛХОИ ДУДАВРДОШТАИ ЯК НАМУДИ СИСТЕМАИ ЭЛЛИПТИКИИ

ТАРТИБИ ОЛЙ

Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Н.Хусрав

Дар макола методи ёфтани хдлх,ои дудаврдоштаи як намуди системаи эллиптикии тар-тиби олй бо коэффитсиентх,ои доимй бо ёрии функсиях,ои эллиптикй нишон дода шудааст. Калима^ои калиди: функсия дудаврдошта - х,ал — элиптики - муодила.

D.S.Safarov, R.S.Saidnazarov DOUBLE PERIODIC SOLUTIONS OF ONE ELLIPTIC SYSTEMS

OF HIGHER ORDER

N.Khusrav Qurgantyube State University In the paper find of double periodic solutions of one elliptic systems of higher order with the constant coefficient with the help elliptic functions. Key words: doubleperiodic function - solution - elliptic - equations.