CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.2
Д.С.Сафаров, Р.С.Саидназаров ОБОБЩЁННЫЕ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 19.08.2013 г.)
В работе приведён метод нахождения двоякопериодических решений для одного класса эллиптических систем второго порядка с заданными полюсами и нулями.
Ключевые слова: двоякопериодическое решение - эллиптическая система - уравнения.
На плоскости С рассмотрим эллиптическую систему, записанную в комплексной форме [1]
м-- + ам- + Ъм = / (z), (1)
где - = х + гу, м = и + ю, 2м = м + гм , 4м— = ^ - м, + ,, а, Ъ — постоянные, /(-) - за-
V у у — х у у —— хх уу ху у у у \ У
данная функция.
Все регулярные двоякопериодические решения (1) с основными периодами h, , ^(Н2 / Ь) > 0 и обобщённые решения однородного уравнения найдены в [2,3].
Здесь для постоянных а, Ъ будем находить двоякопериодические решения (1) с основными периодами h, , Jm(h2 / Ь) > 0 , допускающие особые точки типа полюсов внутри основного параллелограмма О решётки Г = {т^ + т2И2, Щ, Щ — целые} и принадлежащие классу Жр(О0), О0 — подмножество О, не содержащее полюсов решения.
Если Ъ, Ъ2,•••, Ъ — полюсы решения с учётом их кратности, то класс таких решений (1) из
Жр (О0) обозначим через й¥рг , р > 2 . При г = 0 по теореме вложения Соболева [4], й¥;г е С1+а Р — 2 1+а
а = —-—, С»+а - класс двоякопериодических функций с периодами h, ^, все их производные порядка I непрерывны по Гёльдеру с показателем а , 0 <а< 1.
Предположим, что / е , Ср— класс (= пространство) двоякопериодических функций с периодами h, ^ и принадлежащий в Ь (О) , р > 2 .
В случае постоянных а, Ъ и /(—) = 0 всякое обобщённое в смысле Соболева решение (1), то есть из класса Жр , р > 2, является регулярным решением из класса С2. Многообразие решения уравнения (1) зависит от корней характеристического уравнения
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: Safarov-5252@mail.ru.
к2 + ак + Ь = 0. (2)
* 2
Если к ^ к — корни уравнения (2), то всякое решение (1) из класса Ж , р > 2 можно представить в виде [3]
w(г) = %(£)вкг + Ф2(£)вк*, (3)
где %(г), Ф2(г) — эллиптические функции второго рода, имеющие полюсы в точках Ьх,Ь2Ьг и удовлетворяющие условиям
Ф1 + к) = е^ %1), % (г + к]) = %2(г), j = 1,2 (4)
Из теоремы теории эллиптических функций [5] получим
Теорема 1. Пусть полюсы решения (1) Ьх,Ь2,...,Ь соответствуют корню кх, а остальные
полюсы Ь/+1,Ь/+2,...,Ь — корню к2. Тогда для существования решения (1) при /(г) = 0 необходимо и достаточно, чтобы
С г
к=1 г =Ь" к=1+1 2=Ь»
Теперь будем искать решение неоднородного уравнения (1) в виде (3)
w(г) = ((г)ек* + щ(£)ек*, (5)
где функции ((г) , г) удовлетворяют условиям (4) и пока не известные. Поставляя (5) в (1), для определения ((г) , \у(г) получим
( / (, (6) к1 к2
¥Т / (^, (7)
к2 к1
Таким образом, задача нахождения решений уравнения (1) свелась к разрешимости неоднородных уравнений Коши-Римана в классе двоякопериодических функций второго рода. Такие задачи изучены в монографии [6].
Пусть Г - решётка вида Гх=-^ Г = -^{ щк + тк}, Щ, Щ. — целые. = mesQ. = \к|21т(к2 /к). Разберём случаи: а) кх,к2 еГ, Ь) кх е Г,к2 еГ (или наоборот),
с) к,к2 ец.
а) Если к, к еГ, то из (6), (7), согласно результатам работы [6], получим
ф) = в"*ф(2) +-ТА/в^ ), (9)
£
у(2) = в^У) + --Тд(/в-к^2 ), (10)
«2 «1
где ф (2), у (2) — квазиэллиптические функции, удовлетворяющие условиям:
ф(2 + — = ф(2) + 11] 1 У!0 , — = 1, 2 , «1 «2
у( 2+—=у( 2)+—— /20, j=1,2,
«2 «1
"ПцЩ — циклические постоянные [5], Т р — интегральный оператор с ядром £(2)— функция Вейер-штрасса [6]
Тр = —1 .
Л'
Постоянные , ^ удовлетворяют уравнениям
ехр(«^. + dlhj) = ехр(«2й ■ + d2hj) = 1, — = 1,2
= -Ц/exp(—«lZ — dlz)dn, I = 1,2 .
Теорема 2. Пусть кх Ф к2 — корни характеристического уравнения (2) и к, к2 еЦ и корню к соответствуют полюсы решения (1) Ъх, Ъ2,..., Ъ а «орню к2 —полюсы Ъ/+1, Ъ/+2,..., Ъг. Тогда для существования решений (1) с полюсами Ъ,Ъ,-.,Ъ необходимо и достаточно, чтобы существовали «вазиэллиптичес«ие фун«ции ф(2) с полюсами Ъх,Ъ2,...,Ъ, У (2) с полюсами Ъ/+1,Ъ/+2,...,Ъг, та«ие, что
I 1 г 1
^ Ие ф (2) = — -— /0, ^ Ие .у, (2) = — -— /20. (11)
к=1 2=Ък к2 —к к=+1 2 К —к2
При этом все решения (1) представимы в виде (5), в «отором ф(2), у(2) имеют соответственно вид (9), (10), где
I А
ф(2) = ^ + £ Е АтС-^^ — Ъ), (13)
"(т—
Чт
1=1 т=1
г
А
У(2) = + Е Е АтС^^ — Ъ,), (14)
I=1+1 т=1
С, С, Am - постоянные, причём:
I 1 г 1
24i = -7 Г-^ ' 2 4m = -7 ~f2
i=1
Д - кратность полюса b.
k2 k1 i=l+1 k1 k2
0 2 '
_ _ k Q _
b) Пусть теперь k ёЦ k2 еГ2. Условие k е означает, что ——0 ёГ и, благодаря соот-
ж
ношению Лежандра [4], Tlh — T]2h = 2ж, мы можем решить систему
Aj^ + afa = —kh
+ aA = —kih2,
k Q k — —
и получим a =—1—~ a =—~ (hh — hh )•
ж 2ж,
Тогда решение уравнения (6) представляется в виде [б]
z) = ea>1 (z) — -^Ta(fe-^—az), (15)
k1 k2
здесь T-P — интегральный оператор с ядром ст( z) функция Вейерштрасса
T р = —1 ffp(t) a(t — Z — A) ^Q, ж-У V(—A)a(t — z) t
где a = a (mod Г), A = A (mod Г) .
k Qi . ,
Берём точки z0, z такими, что z — z0 =--и функцию Ъ (z) представим в виде
ж
Ъ (z) = g<z —z°) Ж z). (16)
a( z — zi)
Если полюсы b,b,...,b соответствуют корню k , то z) — эллиптическая функция с одним нулём в точке z, полюсом первого порядка в точке z0, и полюсами b,Ь>•••>Ь . Такую функцию можно представить в виде [б]
i Д
n(z) = С + d£( z —z0) +22^(z — e ), (16-)
i=1 m=1
где постоянные С, d, Дт подчинены условиями
i i Д
d+2ai=о, c+daz—zo)+2 2,Атс(m—4(zi —e,)=0 .
i=1 i=1 m=1
Следовательно, ( (г) имеет вид (16), в котором ¡¡(г) представляется в виде (16'). Относительно корня к2 е Ц справедлива теорема 2.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1, причём к ёЦ и к2 еГ2 • Тогда для разре-
* 2
шимости уравнения (1) в классе Жрг необходимо и достаточно, чтобы существовала эллиптическая функция ( (г) второго рода, удовлетворяющая первому условию (4), имеющая полюсы Ь,Ъ2Ъ и квазиэллиптическая функция (г) с полюсами Ъ/+1,Ъ/+2Ъг, удовлетворяющая условию (11) теоремы 2.
При этом все решения (1) с заданными полюсами Ъх, Ъ2,..., Ъг представимы в виде (3), в котором ((г) имеет вид (15), а щ(г) как в теореме 2.
с) Если к , к2 еЦ то повторяя аналогичные выше приведённые рассуждения для случая к2 е Ц (как в случая к е Ц), получим.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1 и к еЦ, к2 еЦ • Тогда уравнение (1) в
классе Ц*рг при любой правой части / е , р> 2 имеет решение с заданными полюсами Ъ, Ъ2,..., Ъ • При этом решение уравнения (1) представляется в виде (3), в котором
((2) = ((7) + Т/1 »)], Щг) = еР'[щ(7) + ТЦ/е^»)],
где ( (г), щ (г) — соответственно имеют вид (16)
((*) = ^^¡(*), щ(г) = ¡(г),
к1^о 1 1 _ к2^о
П П
Функции z), ¡л2(z) — соответственно с полюсами Ъх,Ъ2,•••,Ъ zo и Ъ+1,Ъ/+2br, z\, а , Tp, Tp — интегральные операторы с ядром а(z), которые имеют вид
1 ff a(t — z — А.) k Q„
TjP = — -JJР(z) /A , dtQ , А7 = k-0, j = 1,2.
жа а\ А] )&(t — z) j n
Теперь строим решения (1) с заданными нулями а,а2,•••,а и полюсами Ъх,Ъ2,...,Ъп лежащими внутри параллелограмма в, в2,..., в„,.
В работе [3] доказано: 1) число нулей и полюсов решения однородного уравнения (1), соответствующих корням k и k, равно между собой;
2) если а,а,...,а —нули, Ь,Ь,...,Ь —полюсы решения однородного уравнения (1), то для существования таких решений необходимо и достаточно выполнения одного из условий
^ к О
Е(Ьк— ак) ^^Г), (17)
к=1 Я
или
г к О
Е(Ьк— ак) ^^Г), (18)
к=1 Я
причём при к, к2 еГ > г ^ 2;
3) в общем случае т < п.
При выполнении условия (17) решение однородного уравнения (1) представимо в виде
г' 2
где ((г) , Е с1к = — ]*/ Р (г)/(О - эллиптические функции второго рода, удовлетворяющие
к=г+1 Я о
условиям
((г + ] = е_](г + к] = ^] = 1 2 ,
((г) — эллиптическая функция, А — одна из ветвей корня л/4 а2 — Ь. Из этого представления следует, что вообще т < п . Для получения решения уравнения (1) на правой части /(г) будем налагать условие квазисуммируемости (по терминологии И.Н.Векуа) [3] .
Определение. Будем говорить, что двоякопериодическая функция /(г) с периодами к, к,^т(к / к ) > 0 квазисуммируема с степенью р, если существует эллиптическая функция второго рода %(г) с заданными нулями и полюсами, удовлетворяющая условиям
Х( г + к ) = е~к]х( г), ] = 1,2
и
Х(г)е/г) е Ср, р > 2 .
Функцию х(г) будем называть эллиптическим суммируемым множителем функции /(г) .
Пусть теперь решение (1) допускает нули а,а2,.-,аг и полюсы Ьх,Ь2,...,Ьг, г < п, с учётом их кратности. Если нули а,а2,...,а и полюсы Ь,Ь,...,Ь , удовлетворяют равенство (17) (или (18)), то решение уравнения (1) будем искать в виде
м>(г) = х(г)ек>2 [ф) + , (19)
где х(г) выражается формулой [5]
*( г) = 11 ^'¿Г • (20)
]=1 г — в] ) а Ш [кЪ — ^ ] (т0ё Г),
((г), щ( г) — пока неизвестные функции, а у/( г) — двоякопериодическая функция второго рода
у/(г + к]) = е~АкУ(г), ] = 1,2. (21)
Поставляя (19) в (1), для нахождения ((г) и \у(г) получим уравнение
( = /(г) = ¿(г), Хг(г) = Х(г^, (22)
г)
= еА/(г) = /(г)е"А . (23)
Х1( г)
Следовательно, в этом случае задача также сводится к нахождению решений уравнений (22) и (23). Когда / (г) е Ср и / (г)е~А е Ь (О), р > 2, то мы можем применить теоремы 2 и 3.
Теорема 5. Пусть а,а,-.,аг — нули и Ьх,Ь2,...,Ь — полюсы решения (1), лежащие внутри О, с учётом их кратности и
/ е Ь;, /1(г)е"^ е Ьр (О), р > 2.
Пусть для нулей а,а2,...,а и полюсов \, Ь2,...,Ьг выполнены условия (17) или (18) теоремы (5). Если полюсы Ь , Ь ,... , Ь являются полюсами некоторой эллиптической функции, а остальные полюсы являются полюсами некоторой эллиптической функции второго рода (г), удовлетворяющей условию (21), то при Ае Г для существования решений (1) необходимо и достаточно, чтобы
Г 1
Е Яе (г) = - |Ыг)/(г^О, (24)
'=г +1 к Я О
п 1
Е Иег) = -г)/(г)Та—*с1П .
, ^^, г=Ьк Я
к= г+1 к Я
О
При этом все решения (1) представимы в виде (19), в котором
Лк
((г) = ((г) + Г^ (Х1(г)/(г)) = ^ + Е Е^г — Ьк) + Т ^^^), (25)
к=г+1 j=1
г
z) = eAz+dz z) + Т, (Xl(z)f(z)e-^-dz)] , щ(z) также имеет вид (25) только с полюсами b/+1?br,+2,...,br
r Хк
z) = c2 + 22 -1)( z-bn),,
к=г'+1 j=1
r 1 r 1
2CiK = - JJ*(z)f(z)dQ. 2 Ciк = -¡¡h(z)f (z)e-Az-dzdQ .
k=1 Л Q k= r'+1 Л q
постоянная d как в теореме 4, только вместо к2 надо взять А .
Теорема 6. Пусть выполнены все условия теоремы 5 и Аё^, тогда для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (24) теоремы 5. При этом все решения (1) представимы в виде (19), в котором (р(z), как в теореме 5, а у/(z) -как в теореме 3, в
котором вместо к2 надо взять А .
Поступило 19.08.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981, 448 с.
2. Сафаров Д.С., Саидназаров Р. - Мат-лы межд. науч.-прак. конф. "Европа-2012», Прага, с.17-21.
3. Сафаров Д.С. О теореме типа Абеля для двоякопериодических решений одного класса эллиптических систем второго рода. - ДАН РТ, 2013, т. 56, № 7, с. 525 - 531.
4. Векуа И. Н. Обобщённые аналитические функции. - М., 1959, 628 с.
5. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. - М., 1972, 304 с.
6. Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщённые аналитические функции и их приложения. -Душанбе, Дониш, 2012, 190 с.
Ч,.С.Сафаров, Р.С.Саидназаров
Х,АЛХ,ОИ ДУДАВРДОШТАИ УМУМИ БАРОИ ЯК СИНФИ СИСТЕМАМИ
ЭЛЛИПТИКИИ ТАРТИБИ ДУЮМ
Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Носири Хусрав
Дар макола методи ёфтани хдлх,ои дудавра дошта барои як синфи системами эллипти-кии тартиби дуюм нишон дода шудааст.
Калима^ои калиди: уалли ду даврадошта - системаи эллиптикй - муодила.
D.S.Safarov, R.S.Saidnazarov GENERALIZED DOUBLE PERIODICAL SOLUTIONS FOR ONE CLASS ELLIPTIC SYSTEMS OF SECOND ORDER
N.Khusrav Qurgantyube State University In the paper a method of finding the double periodical solutions for one class elliptic systems of second.
Key words: doubleperiodical solutions - elliptic systems - equation.
