CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №12_
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТИПА РИККАТИ
Курган-Тюбинский госуниверситет им. Н.Хусрава
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 18.10.2013 г.)
В работе предположен метод нахождения решения эллиптической системы первого порядка типа Риккати в классе двоякопериодических функций с помощью эллиптических функций Вейершт-расса.
Ключевые слова: двоякопериодическая функция - эллиптическая система - решение.
На комплексной плоскости С рассмотрим эллиптическую систему, записанную в комплексной форме [1]
где z = х + iy, w = u + iv, 2w- = wx + iw , 2wz = wx — iw , q, a, b, f — заданные двоякопериодические
Условие (2) означает, что система уравнений (1) равномерно эллиптическая [1].
Уравнение вида (1) в общем виде с линейной правой частью над полем вещественных чисел исследовано в[1].
Системе (1) с общими нелинейными правыми частями посвящены отдельные работы В.С.Виноградова, В.Н.Монахова, С.И. Саркисяна, В.Тучне, Х.Меден, А.И.Гусейнова и М.А.Абдурахимова, Д.С.Сафарова, С.Байзоева и др. [см.2 и представленную там литературу]. В этих работах установлен ряд свойств обобщенных аналитических функций. Изучены граничные задачи существования ограниченных и периодических решений.
Как в [3], обозначим через £"р,Ж^, С[ — классы двоякопериодических функций с основными периодами к,к2, ^ (к2 / к) ^ 0, принадлежащие соответственно классам Ьр (О), ^П (О), р > 2, п > 1, С1 (О)п> 1)(о) , 1 > 1, где О — один из параллелограммов периодов решётки Г = +ш2И2, т, ш2 — целые числа}. Через С1+а = С1'а обозначим класс функций из С, для
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: Safarov-5252@mail.ru
(1)
функции с основными периодами h, h2, Jm (h / h ) ^ 0, причём
(2)
которых все частные производные порядка I непрерывны по Гёльдеру с показателем а, 0 < а < 1 в
П.
Будем предполагать, что а, Ь, / е Ь р > 2, q (г)е С°'а, и в качестве П, не ограничивая общности, берём основной параллелограмм решётки Г с вершинами 0, ^, Ь + , ^ . Это означает,
что Jm (к2 / \ ) > 0 . Решение уравнения (1), при условии его интегрируемости, будем искать в классе
* 1
Жр, р > 2 . Как в [1], под регулярным решением уравнения (1) понимаем решение из класса
*
К р > 2 .
*
Здесь, в случае интегрируемости уравнения (1), мы найдем решение (1) из класса Ж , р > 2 , а также находим обобщённое решение, то есть допускающее полюсы в параллелограмме П и принадлежащее в (П0), П0 — любое замкнутое множество из П, не содержащее полюсов решения.
Построение таких решений для уравнения (1) в случае, когда а (г) = 0, дано в работе [2]. Из этих
* 1
результатов для решения (1) из класса Ж , р > 2 получим
*
Теорема 1. Пусть щ (2), щ (2) е Ж^1, р > 2 решения уравнения (1) и щ (г0) = щ (г0 ), г0 —
фиксированная точка из П. Тогда щ (г) = щ (г) всюду в области П.
*
Теорема 2. Если щ (г) е Ж^, р > 2 решение уравнения (1) при / (г) = 0 и щ (г0) = 0, г0 — точка из П, то щ (г) = 0 всюду в П.
Доказательство этих теорем следует из того, что любое решение (1) из класса й*^, р > 2, при / (г) = 0 представимо в виде
щ
( г ) =
сеу(г), если у е Ж^ , 0, если у е Ж^,p > 2.
При решении уравнения (1) и уравнения с более общими правыми частями надо построить некоторый гомеоморфизм о (г) уравнения Бельтрами
о
V — q (г )о = 0, (3)
отображающий область П ^ С2 на область о (П) ^ Ст взаимно, однозначно и непрерывно (то есть топологически).
В связи с этим уравнение (3) изучалось в работах И.Н.Векуа, Л. Берса, Б.В.Боярского, Л.Альфорса, Н.Блиева, В.Н.Монахова и др. В случае двоякопериодических решений вся плоскость С покрывается сетями параллелограммов От п, поэтому надо построить квазипериодический гомеоморфизм для одного параллелограмма О .
В работе [4] показано, что уравнение (3) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
<э(0) = 0, (о{г + к^ = (о{г) + кр 7 = 1,2,
где к,к2 — некоторые постоянные, Зт{Ъ.210 и осуществляющее гомеоморфное отображение параллелограмма О на четырёхсторонник о (О) . При этом параллелограммы От п отображаются на четырёхсторонники С1ш п = О) (Г2/н п ). которые покрывают всю плоскость (Сю один раз. Такой гомеоморфизм называется основным квазипериодическим гомеоморфизмом для уравнения Бельтрами. При
* * р_2
д(г)еЯ*рп , о(г)е И*;+1, р > 2, а при д(г)е СП'а, о(г)е СП+1а, а = Р-2,р > 2. Если
д (2)о2 (2) йО = 0, то при отображении о (г) решетка Г переходит опять в Г, то есть
О
о(г + к) = о(г) + к, о(г + к) = о(г) + к,
когда д (г) = 0, о( г) = г.
В работе [5] на плоскости Сю строятся эллиптические функции Вейерштрасса $ = = <Т(а>(г))> Р(2) = ■ Эти функции как обобщённые решения урав-
нения Бельтрами названы обобщёнными эллиптическими функциями Вейерштрасса и являются функциями общего вида. Функция р(г) — двоякопериодическая, а ¿Г(г), удовлетворяют усло-
виям
д{г + И) = д{г) + г], к=т1к+т2к, V = г)] = 2д{к]/2),7 = 1,2.
^=2д(к/2), 7 =1,2,
С ¿Л
2У
И ~ , /г
<т(г + /г) = £<т(г) + — , = 1, при — е Г, £ = —1 если — е Г.
Величины кАЛЛ связаны соотношением Лежандра [3]
/7, - г]2Ил = 2я7 . (4)
В случае q (г) = 0 мы получим обычное соотношение Лежандра [5].
В [6] были введены интегральные операторы Т р,Т ар, соответственно с ядрами $(о( г)), а(о( г)), которые при ре Ьр (П), р > 2 являются вполне непрерывными операторами,
_ _ р — 2
отображающими Ь^ (п) в С°'а (П),а =-,р > 2.
Функции gl (г) = А (г) = ТетР допускают обобщённые производные
^ (*))_ = р (г) + Щ (г) 8]р, ^ = сог (г)
: £Р -> £р,Р > 1, Кр = Т,А $2р = Тар
и обладают свойствами:
ж о
V - СМ'кН') - ФМ*. Ъ> - -Щ», («МО
В случае q (г) = 0 получим обычные интегральные операторы, изученные в [7], с ядрами д( г) и ст( г). С помощью этих интегральных операторов получены все решения уравнения (1), при а (г) = 0 в [6].
Теперь, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений [7], укажем условия, при выполнении которых уравнение (1) приводится к линейному уравнению.
Пусть существуют такие комплексные числа а, |, причём |а| +|| > 0, что
а2а (г) +а|Ь (г) + |2/ (г) = 0 . (5)
Более общий случай: существуют эллиптические функции ( (г) , (2 (г) с основными периодами Ь, , Jm (к2 / \ ) > 0 такие, что
(2а (г) + ( (г) (р2 ( г) Ь ( г) + (222 (г) = 0. (6)
В случае (5), интегрируя левую часть по параллелограмму П, при |а0| + |Ь0| +1\ Ф 0 получим равенства
а2 а0 + а3Ь0 + 01 /0 = 0
ао =
Ц а (г) ёО, Ьо = Ц Ь (г) ёО, /0 = Ц / (г) ёО,
что всегда можно найти а,/ и чтобы выполнялось тождество (5).
Если в (5) /3 = 0, то есть а (г) = 0 , то уравнение (1) сводится к линейному. Если /3 Ф 0 и * (г) — решение (1), то подстановкой
* (2)=а+~т\ (7)
/ (( г )
для
искомой функции р(г) получим линейное уравнение вида
(р- _д(г)рг =_
( а ^ 2—а + Ь
у
/
р + а. (8)
И, обратно, если р (г) — решение (8), то легко видеть, что * (г) определяемая в (7), является
решением уравнения (1), если выполняется условие (5).
Могут представится два случая: (
1 ее \ (1 I
1) ог0=—ЦоД*) 2—а(У) + 6(У) 1бЮеГ;
V
2) а0 ёГ, Г-решетка вида Г = {т1к1+т2к2,т1,т2 — целые}, Г = ю(Г), о(г)-основ-ной квазипериодический гомеоморфизм (о.к.г.) уравнения Бельтрами.
Теорема 3. Пусть выполнено условие (5) и а0еГ. Тогда для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы существовала обобщенная квазипериодическая функция = ф(а) (г)), удовлетворяющая условиям
Ф(г + }\) = Ф(г)+ Ф(г + /г2) = Ф(г) + ??2Л0, здесь Д, В(г) = 2—а(г) + Ъ(г).
п О 3
При этом решения (1) представимы в виде (7), в котором функция р(г) определяется формулой
ф) = е-М2)-^в [ф(г) + (а/^)],
где постоянное ё удовлетворяет уравнению
ехр (ё}\ + ) = ехр (ёк2 + а(/]2) = 1 •
О
О
О
Действительно, если щ (г) решение (1), то функция ((г) в формуле (7) является решением уравнения (8). Будем искать решение уравнения (8) в виде
((г) = в'0№гУ(г) , (9)
где постоянная d и функция у(г) — пока неизвестные, о(г) — о.к.г. уравнения Бельтрами, В (г) = 2—а (г) + ¿(г). Пусть а0 = —]"]"[ 2—а (7) + ¿(7) |<У2 (г)^П£ Г. Это означает, что сущест-
Р 71 о V Р )
вуют целые числа т, п — такие, что
а0 = тИл + пк2, Уда {¡г2
и числа /г\,к2, /у, = 2д (Ил / 2). г}2 = 2д(й2 / удовлетворяют соотношению Лежандра (4). В силу свойств функций со (г) и ^(г) = (г)) имеем
<р (г + к,) = е'+^М^у,^ + к,) = + //;),
Используя соотношении Лежандра, постоянное d можно определить как решением уравне-
ния
= = |. так как ао е г.
Так что искомая функция у(г) должна являться двоякопериодической с периодами ^, ^ . Подставляя (9) в (8), с учётом того, что о( г) — решение уравнения Бельтрами, получим для у (г) неоднородное уравнение вида
у/- ~д(г)у/2 =аехр(-<&9-Т!Гв). (10)
Отсюда, как в [3], находим
¥{г) = ф(со{г)) + Тд[ае^в), (11)
где Ф (г) = (г)) — некоторая обобщенная квазиэллиптическая функция, удовлетворяющая усло-
виям
Ф(7 + ^) = Ф(7) + 77Д, 7 = 1,2, (12)
где А0= — \\а2{г)а({)е~а'0~^еВ с!П .
77"
П
ОС ~
Причём, если в точке г0, И' = —, то Ф (г) должна допускать в точке г0 полюс. Легко
построить решение уравнения (10) с одним простым полюсом в точке г = г0 , если
Ке5Ф(г)= Лея ф(а}(г)) =-А0, А0 Ф 0,
•7—Т. Г,4 т\—п4 Т.\ * '
¥ (X) = С - А^д (а> (г) - со (г0)) + (ае^ТдВ ),
где с — произвольная постоянная.
При А = 0, порядок г — обобщённой квазиэллиптической функции ф(о(г)) должен быть
а
г > 2. В этом случае функция * (г) принимает значение — не менее двух раза.
Обратно, если Ф (г) — квазиэллиптическая функция, удовлетворяющая условию (12) и если р(г) — определено формулой (9), а щ(г) формулой (11), то по формуле (7) мы получим решение уравнения (1) при выполнении условия (5).
Теорема 4. Пусть выполнено условие теоремы 3 и а{] ~ Г. Тогда существует обобщённая эллиптическая функция второго рода = /' (¿У (г)). удовлетворяющая условию
+ = 7 = 1,2, (13)
и такая, что решение (1) представимо в виде формулы (7), в которой
ф (г) = (г) + е~Т*вТа (ае~ТдВ |,
Тар — интегральный оператор с ядром <7 (со (г)) — функция Вейерштрасса
ТаР =--IК у)Р\Ч 7-ч / /А-ГТТ
о-{-а0)а(со^)-со(г))
В монографии [2] даны построения обобщенных квазиэллиптических функций, а также обобщенных эллиптических функций второго рода.
Под А — точки решения уравнения (1), как в [5], будем понимать множество точек г, для которых решение * (г) принимает значение А , то есть * (г) = А . Из теорем 3,4 как следствие получим
Теорема 5. Пусть выполнено условие (5), тогда множество А — точек решения (1), при
. а А = — конечно:
//
1) при а{] се Г совпадает с множеством полюсов некоторой квазиэллиптической функции, удовлетворяющей условию (12);
2) при й0еГ с множеством полюсов обобщённой эллиптической функции, удовлетворяющей условием (13).
Аналогичным образом интегрирование уравнения (1) при выполнении условия (6) приводится к линейному уравнению вида (8). В этом случае приходится налагать на коэффициенты уравнения (1) условие квазисуммируемости над полем эллиптических функций. Можно найти и другие условия интегрируемости уравнения над полем обобщённых эллиптических функций.
Поступило 18.10.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. - М., 1959, 629 с.
2. Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщённые аналитические функции и их приложения. -Душанбе: Дониш, 2012, 190 с.
3. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения уравнения Бельтрами. - ДАН РТ, 2007, т. 50, № 4, с. 301-307.
4. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения равномерно эллиптической системы первого порядка. - ДАН РТ, 2009, т. 52, № 6, с. 425-431.
5. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функции. - М.:Наука, 1970, 304 с.
6. Сафаров Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях. - ДАН РТ, 2008, т. 51, № 6, с. 331-339.
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976, 571 с.
Ч,.С.Сафаров, А.Т.Гаюров ХДЛХОИ ДУДАВРДОШТАИ ЯК СИСТЕМАИ НАВЪИ ЭЛЛИПТИКИИ ТАРТИБИ ЯКУМИ ТИПИ РИККАТИ
Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Носири Хусрав
Дар макола методи ёфтани хдли як системаи эллиптикии типи Риккати дар синфи функсияхои дудаврдошта бо ёрии функсияхои эллиптикии Вейерштрасс пешниход карда шуда-аст.
Калима^ои калиди: функсияи дудаврадошта - системаи эллиптикй - х,ал.
D.S.Safarov, A.T.Gaurov DOUBLE PERIODICAL SOLUTIONS OF ONE ELLIPTIC SYSTEMS OF FIRST
ORDER TIPE RICCATI
N.Khusrav Qurgantyube State University In the paper given of method find periodical solutions for one of elliptic systems of first order tipe Riccati with the help of elliptic functions of Weierstrass. Key words: doubleperiodic functions - elliptic system - solutions.
