О теоремах типа Абеля для двоякопериодических решений одного класса эллиптических систем второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.2

Д.С.Сафаров

О ТЕОРЕМАХ ТИПА АБЕЛЯ ДЛЯ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО РОДА

Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 18.05.2013 г.)

В работе даётся распространение теоремы типа Абеля для двоякопериодических решений одного класса эллиптических систем второго порядка.

Ключевые слова: эллиптическая системы - двоякопериодические решения - уравнения - функция -задача.

Рассмотрим эллиптическую систему, записанную в комплексной форме, [1]:

+ ам- + Ъм = 0, (1)

22 2 ' ^ '

где 2 = х + ¡у, м = и + ¡V, 2д- = дх + 1ду, 4 д— = дхх—дуу + 2/Э - дифференциальный оператор Би-цадзе [2], а, Ъ — постоянные.

Будем искать двоякопериодические решения (1) с основными периодами ^, ,

1т(Н2 /Ь) ^ 0, с заданными нулями и полюсами в любом параллелограмме периодов решётки

г = | +т^г, тт2

Обозначим через С2 — класс регулярных двоякопериодических решений уравнения (1) с основными периодами ^, ^ ,1т (^ / Ь ) ^ 0, то есть двоякопериодические функции из класса С2 (О) С1 (о), где О — основной параллелограмм решетки Г, и удовлетворяющие (1) всюду в О.

Под обобщённым двоякопериодическим решением уравнения (1) будем понимать двоякопе-риодические решения, допускающие конечное число полюсов в основном параллелограмме периодов

О и принадлежащие С2 (О \ О0 ), где О0 — множество полюсов решения в О . Класс таких решений обозначим через С2 в случае, когда Г20 = 0, С2 = С2.

Лемма 1. Пусть кх, к2 — различные корни уравнения

к2 + ак + Ъ = 0. (2)

Тогда существуют две эллиптические функции второго рода ((2) и у/(2) такие, что функции

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: Safarov-5252@mail.ru

w = y(z)ehi, w2 = ¥(z)ekl (3)

являются решениями уравнения (1), а общее решение уравнения имеет вид

w ( z ) = р( z ) ekl z + z ) ek{z, (4)

функции ф(z), y/( z)— удовлетворяют условиям

(p(z + hjj = e—j<p(z), ys(z + hjj = e—¥(z), j = 1,2 . (5)

Из формулы (3) следует, что нули и полюсы решения уравнения (1) совпадают с нулями и полюсами некоторой эллиптической функции второго рода, удовлетворяющей условию (5). Нули и полюсы решения w (z) являются также нулями и полюсами функции w~ (z) .

Определение. Если точка b — полюс порядка m решения уравнения (1) и частное решение щ =ф(z)expk^z имеет в точке b полюс порядка m (меньше m), а решение w2 = щ(z)expk^z имеет порядок меньше m (равное m), то будем говорить, что полюс b соответствует корню kx (корню k2).

Если точка a — нуль порядка n решения уравнения (1) и частное решение w1 =ф(z) expk^z имеет в точке а нуль порядка n (больше n), а решение w2 = щ(z)expk2z имеет нуль порядка больше n (меньше n), то будем говорить, что точка a соответствует корню kx (корню k2).

Известно, что необходимым условием существования эллиптических функций [2] является равенство суммарных порядков их нулей и полюсов, а для поверхностей рода g > 1 это условие не является достаточным. Необходимое и достаточное условие существования таких функций дает теорема Абеля [3]. Из этих теорем в силу формулы (4) и при kx Ф k2 получим:

Теорема 1. Число нулей и полюсов решения уравнения (1), соответствующих корням kx и k2, равно между собой.

Теорема 2. (аналог теоремы Абеля). Пусть a,a2,...,аи — нули и bx,b2,...,br — полюсы решения уравнения (1), лежащие внутри основного параллелограмма О, с учётом их кратностей. Тогда для существования таких решений необходимо и достаточно выполнения одного из условий

^ k О

£( bk — ak )s— ( mod Г) (6)

k=1 Л

или

^ k О

E b — ak )-— ^ ( mod Г),

k=i Л

2 к О к О

О0 = = \к\ 1т (Н / Н ), причём при —1—0 е Г и ——- еГ, г > 2, а при

ж ж

— ^ е{или к2°0 ег\ Г > 1. ж V ж )

Утверждение теоремы 1 следует из принципа аргумента, применённого к эллиптическим функциям ( (2) / ((2) и у/' (2) / щ(2) . Вторая часть утверждения теоремы 1 следует из хода доказательства теоремы 2.

Необходимость условия теоремы 2 вытекает из теоремы теории вычетов, применённой к квазипериодическим функциям 2('(2) / ( (2) , 2у'(2) / Щ (2) .

Докажем достаточность. Пусть выполнено условие (6). В силу равенства к2 = к + >/Л, где А = а2 — 4Ъ, общее решение (1) с учётом условия (3) можно представить в виде

М (2) = / (2) в* [(1 (2) + у (2) в^ ] , (7)

где / (2) — эллиптическая функция второго рода, удовлетворяющая условию (5) и имеющая нули и полюсы решения (1). Функция ( (2)— эллиптическая функция (первого рода) порядка г = 0, у (2) — эллиптическая функция второго рода без полюсов и удовлетворяющая условию

у(2 + Н)= в^Щ (2), J = 1,2 .

В силу известных теорем теории эллиптических функций [4] и результатов работы [5] находим ( (2) = с, с — постоянная;

. . \с7е~Ьг, если4АеГЛ, ж Щ (2) = \ ' *А 17 Г1 =— г; (8)

[ 0, если VА е Г. О0

с2 — произвольная постоянная, число Ъ удовлетворяет уравнению ехр(ЪН, + V АН,) = 1, / = 1

произвольная постоянная, число Ъ удовлетворяет уравнению ехр (ЪН^ + л/АН^ ) = 1, J = 1,2 . Функцию / (2) можно представить в виде (см.[5])

^П^ТТТеГ (9)

J=l <(2 — Ъ3)

где <(2)— сигма-функция Вейерштрасса, а нули а,а2,.-,а — полюсы Ъх,Ъ2,...,Ъ и постоянное d в силу условия (3) связаны условиями

1 Е (Ъ - а ) + dh = —кД + 2лш,

к=1 г

1 Е (Ъ— а)+А = —кА + 2 ЛП >

к=1

здесь п, ш — некоторые целые числа. Эта система благодаря соотношению Лежандра [4] имеет единственное решение относительно Ъ — ак ) и d . Причём при —1—0 е Г нужно считать, что г > 2

л

Следовательно, при выполнении условия (6) решение уравнения (1) с заданными нулями и полюсами имеет вид (7), в котором ^ (2) = с — постоянная, функции г) и / (г) даются, соответственно, формулами (8) и (9).

Теорема 3. Если N - суммарное число нулей и Р - суммарное число полюсов решения уравнения (1), то всегда N < Р.

В самом деле, пусть а, а ,•••, а — нули и Ъх, Ъ2Ъг — полюсы решения (1), как в теореме 2, и пусть решение уравнения (1) допускает ещё один нуль в точке г = 20 , 20 = — . Тогда из представлений (7), (8) получим

ТД(2—20;

w

(2)= / (2) е*

А(2—2о)

с — се

= / ( 2 )«

ек1(2—2о) — ек2 (2—2о)

А так как (20 ) = 0, то отсюда получим

0 = Wz ( 2о ) = / (2) с (к, — к2 ) = 0 .

Значит, с = 0, w (2) = 0 и случай N > Р невозможен. Таким образом, всегда N < Р . Например, функция

w

( 2 ) = / ( 2 ) ек12

С1 + С2 '

•(2 — 2о) ( ■( 2 — 21 ^

где / (2) имеет вид (9), 2 — 20 = —л/Д—0 е Г является решением уравнения (1) с нулями в точках

л

а,а, •• •,а и с полюсами в точках Ъ, Ъ, • ••, Ъ , 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение (2) имеет кратные корни, к = к2 . Лемма 2. Пусть кх = к2 = к — корень уравнения (2). Тогда существуют две эллиптические функции Ф, (г) и Ф2 (г), такие, что любое решение (1) из класса С1 представимо в виде

w ( 2 )=[ ( 2 )2 + Ф2 ( 2 )],

(10)

причём Фх (2) — эллиптическая функция второго рода, удовлетворяющая условию

01(2 + Н) = е ^Ф!), у = 1,2, (11)

а Ф2 (2) — квазиэллиптическая функция, удовлетворяющая условию

Ф2 (2 + ^ ) = е—Ф2 (2) — НО (2) е—, 7 = 1,2 . (12)

Используя свойства функции Ф1 (2) и условие (12), формуле (10) можно придать более удобный вид

м (2) = Ф (2) еш [с2 + ц (2)] = Ф (2) енР (2) ,

где Ф(2) — эллиптическая функция второго рода, удовлетворяющая условию (11). Функция

Р(2) = С2 2) , где С — постоянная, а /л(2) — квазиэллиптическая функция, удовлетворяющая условию

/л(2 + Н}} = р(2) — сНу, у = 1,2 , (13)

является решением неоднородной системы уравнений Коши - Римана

Р = с. (14)

Из (13), (14) легко находим, что если Р (2) е С»1, то с = 0, а /л( 2) — постоянная.

Отсюда, как выше, получим, что для суммарных чисел нулей N и полюсов Р всегда N < Р .

Теорема 4. Пусть N = Р, а,а2,.-,а — нули и \,Ъ2,...,Ъг — полюсы решения уравнения (1)

удовлетворяют условию теоремы 2 (к = к2 = к). Тогда любое решение (1) имеет вид

м ( 2 ) = с/ ( 2 ) екк,

где с — произвольная постоянная, / (2) имеет вид (9).

Теорема 5. Пусть N < Р, а,а2,.-,а — нули и \,Ъ2,...,Ъ — полюсы, г < р, удовлетворяют условию теоремы 2, для остальных полюсов Ъ ,Ъ ,...,Ъ существует квазиэллиптическая функция Р (2), удовлетворяющая условию (13) с вычетами

Яе эР (2 ) = с1к,

2=Ък

и постоянное А такое, что

p —

Z % =-c -0, — = mesQ, (15)

k=r+1 Я

A = ^2Vi (^ -^) .

Тогда решение (1) представимо в виде

p

w ( z ) = f ( z ) ekz

cz + B + ^z c ^ j-1)( 2 - bk )

k =r+1 j=1

5 — произвольное постоянное, постоянное С определяется из равенства (15), Лк- кратность полюса bk.

Поступило 18.05.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981, 448 с.

2. Математическая энциклопедия. - М., 1977, т. 1.

3. Фостер О. Римановы поверхности. - М.: Мир, 1980, 248 с.

4. Ахиезер И.Н. Элементы теории эллиптических функций. - М.: Наука, 1970, 304 с.

5. Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщенные аналитические функции и их приложения. -Душанбе: Дониш, 2012, 190 с.

Ч,.С.Сафаров

ТЕОРЕМАИ ТИПИ АБЕЛ БАРОИ ^АЛ^ОИ ДУДАВРДОШТАИ ЯК СИСТЕМАИ НАВЪИ ЭЛЛИПТИКИИ ТАРТИБИ ДУЮМ

Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Носири Хусрав

Дар макола аналоги теоремаи Абелро барои хдлх,ои дудаврдоштаи як системаи навъи эллиптикии тартиби дуюм нишон дода шудааст.

Калима^ои калиди: системаи эллиптики - уалуои дудаврдошта - муодила - функсия - масъала.

D.S.Safarov

THEOREMS OF ABEL FOR A THE DOUBLE PERIODIC SOLUTIONS OF THE ELLIPTIC SYSTEMS OF SECOND ORDER

N.Khusrav Qurgantyube State University In the work given analogy theorem of Abel for double periodic solutions of one elliptic systems of second order.

Key words: elliptic systems - double periodical solutions - equations -function - problem.