CC BY
36
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2009, том 52, №6_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Д.С.Сафаров
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ РАВНОМЕРНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 29.04.2009 г.)
Для равномерно эллиптической системы общего вида [1, 2]
^5 - Чх ОК -?2^+ а(Ф + КФ = /{г) , (1)
в работе [3] было показано, что задача нахождения непрерывных двояко-периодических, с периодами //[, /*2, Уда— Ф 0, решений является фредгольмовой, где ql, q2, а, Ь, /-заданные двоякопериодические функции с периодами \^, В работе [4] дано описание ядра и коядра задачи в случае, когда q1 = q2 = 0.
*
Обозначим, как в [3, 4], через Ж1р И С - классы двоякопериодических функций с перио-Ь
дамп /?2, ,1т—^ ф 0 и принадлежащих классам IV'(С2), Ь (О,), С/_1(П), /> \ р> 1 где О -
К
основной параллелограмм периодов с вершинами 0, ^ + /?2, И2. Здесь мы дадим описание ядра
и коядра задачи для уравнение
- q{z)w2 + а(г)м> = /(г), (2)
где а, / <еИр,р>2, q{z') - двоякопериодическая измеримая функция в □ и <q0 < 1.
*
Решение уравнения (2) будем искать в классе р> 2. Наряду с уравнением (2) рассмотрим уравнение Бельтрами
Вх = х-2-Ф)х2 = 0. (3)
В работе [6] показано, что уравнение (3) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
со(0) = 0, со(г + И) = а>(г) + И ,
~ ~ ~ Ь
И = т, 1\+т2к2:, И=т, 1\+т2к2:, ф 0, щ, т2 - любые целые числа, и осуществ-
К
ляющее гомеоморфное отображение плоскости С2 на плоскость С^. Такое решение называ-
ется основным квазипериодическим гомеоморфизмом уравнения Бельтрами с периодами У\, Ъ2. Основной квазипериодический гомеоморфизм (о.к.г.) со(г) имеет вид
о
^(г) = г + Тс р(г), (4)
где Т с ріг) = (т — г) — £(т) сіО. и р(х) - решение сингулярного уравнения
п п
р(г) - ц{г)8:р = ¿¡(г),
p = (\-qSc) lq, при некотором р> 2, 1\., .V, - интегральные операторы соответственно с ядрами ¿¡"(г) и р(г) (функций Вейерштрасса [5]). Свойства этих операторов изучены в [3],
[4].
При отображении (4) решетка Г = + т2к2 ^ С2 переходит в решетку
Г' = + т2к2 СГ1 Если ^а>2(1^(1)сЮ. = 0, то решетка Г остается инвариантной от-
п
носительно отображения (4), то есть со{Г) = Г.
Пусть а0 = — Цб»2(г)а(г)ёО., тогда различаются случаи а0 £ Г’ или а0 е Г'.
Теорема 1. Пусть а0 £ Г', тогда уравнение (2) при любой / р> 2, имеет
*
только одно единственное решение в классе 1¥1р р > 2.
Теорема 2. Если а0 е Г', то однородное уравнение (2) имеет ненулевое решение
*
ср еЖр, р >2, а неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда
\\®Л2)1(2)ф\2)с1& = °- (5)
2 '
О
Для доказательства этих теорем на плоскости о.к.г. (4) уравнения Бельтрами введем обобщенные функции Вейерштрасса = £(о)(г)), а(г) = сг(а)(г)\ р(г) = р{со(г)) [6]. Эти функции по отношению к переменной г являются функциями общего вида и имеют свойства:
1. £{2 + Щ = ^{со{г) + к) = ^(со(г)) + Т1 = + к = т11\+т2И.2, к=т11\+т2И.2,
Т] =т1г}1+т2г}2, т2 - целые числа, г}1=2£(1г1/2), т]2=2^(к2/2).
2. Числа /?.,, /?2, ?7,, 1]2 удовлетворяют соотношению Лежандра
~ ~ , (6) 426
при <7(г) = 0 получим обычное соотношение Лежандра для ¡\, г/х, г)2 [5].
3. ^(со^)-со(г))= 0(|?-г| '),при?—»2.
4. С=ЙХК, @(2 + Щ = @{2), р(ю(0-®(г)) = о{-гГ>При
5. Функция сг^) при г~ё /\ удовлетворяют уравнению д2 = £(г)со2 (г)а(г) и
<x(z + h) = scj{z) exp
<o(z) H— 2
V
і h
, £■ = 1, при — є 1 , £■ = —1 в противном случае.
В работе [7] был введен интегральный оператор Т^р, с ядром ¿¡'(со(г)) (функция Вейерштрасса), который при р є / *,, р> 2 является вполне непрерывным оператором в Ь (СЇ), р>2, допускает обобщенные производные по г и г
(Тср)-2=р(г) + о)-(г)8ср, (Тср)г = а2(г)Зср, Зс:Ґр^Ґр, р> 1,
Tcp(z + h) = Tcp + р0ті, р0 =^~ §coz(z)p(z)dQ., Tf\ j{\peL*p, p0=0^>Wp, p> 2.
Пусть теперь w(z) eWp, p > 2 - решение уравнения (2), тогда функция
y/{z) = w(z) exp T^a (7)
удовлетворяет условию
\j/{z + h) = \f/{z) exp 4ja0 <ar0 = — JJcoza(z)dQ, (8)
и является решением неоднородного уравнения Бельтрами
Ву/ = у/.-ч{г)у/2= /(г) ехр(7>) . (9)
Обратно, если ц/{г) удовлетворяет условию (8) и является решением (9) из класса ¡¥р(П), р> 2, то функция
м>(г) = ц/(г)ехр(-Т^а) (10)
*
будет решением (2) из класса 1¥р, р > 2.
Характер разрешимости задачи (8), (9) зависит от значения числа а0; а0 е Г' или а0 ~ё Г'.
Из результатов работ [6], [7] следует
*
Утверждение 1. Для существования ненулевых решений однородной задачи (8), (9) в классе Жр(0.), р > 2, необходимо и достаточно, чтобы
а0=Ото&{}\, И2). (11)
При этом все его решения имеют вид
0>„(г) = Сехр(~Ь0со(г)), (12)
с - произвольная постоянная, а постоянная Ь0 удовлетворяет уравнению ехр [Ь0Ь +а0^] = 1.
Действительно, необходимость условий (11) вытекает из теоремы 4 работы [7]. Докажем ее достаточность. Пусть а0 е Г', тогда, используя соотношение Лежандра, можно найти
число Ь0 такое, что функция ехр(-Ь0а)(г)) удовлетворяет условию (8). Следовательно, если
<р0(г) - другое решение задачи (8), (9) , то функция (р0(г)ещ)[Ь0о)(г)'\ - является решением
*
уравнения Бельтрами из класса IV 1р, р > 2., поэтому [6] такая функция тождественна постоянна, при этом имеет место формула (12).
Утверждение 2. Пусть а0 е Г', тогда для разрешимости неоднородной задачи (8), (9) необходимо и достаточно, чтобы
||(у2(г)/(г)ехр[й0(у(г) + Тса\ёО. = 0. (13)
2 '
п
При этом все его решения представляются в виде
м>(г) = ехрехр[-й?<г»(г)]- с{+Гс[/ехр(&0<г>(2) +Т^а)] , (14)
с - произвольная постоянная, число Ь0 тоже самое в утверждении 1.
Утверждение 3. Если а0 ~є Г', то при любой / є Ґр О > р > 2, задача (8), (9) в классе Жр(СЇ), р >2, имеет одно единственное решение вида
Чг) = ^(/ехрГса), (15)
Т^р - интегральный оператор вида
т>=-1 \\ю,а)т Д| (16)
л О гт! а„),ТИ'Ип
где <у(со(1)) - обобщенная сигма- функция Вейерштрасса.
Если р{т) удовлетворяет условию (9) и ре.Ь (О), р> 2, тогда g(z) = Tap непрерывная функция на О и удовлетворяющая условию (9) и является решением неоднородного уравнения Бельтрами В 13=/>(*)•
Теперь доказательство теоремы 1 следует из утверждений 1, 3 при этом единственное решение уравнения (2) имеет вид
м?(г) = ехр(-Тса)Та(/4^хрТса). (17)
Доказательство теоремы 2 вытекает из утверждений 1, 2, так как однородное уравнение (2) имеет ненулевое решение вида
1//(г) = ехр(-Ь0ю(г)-Тса). (18)
Условием разрешимости неоднородного уравнения будет (13), а все его решения представимы в виде
м?{г) = у/{г)\ + ?>
где С - произвольная постоянная, у/(г) - имеет вид (18), а число Ь0 то же самое, что в утверждении 1.
Курган-Тюбинский государственный Поступило 29.04.2009 г.
университет им. Н.Хусрава
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М., 1959, с. 628.
2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966, с. 304.
3. Сафаров Д.С. - Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, №8, с. 1468-1477.
4. Сафаров Д.С. - Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, №4, с. 656-665.
5. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. - М., 1970.
6. Сафаров Д.С. - ДАН РТ, 2008, т.51, №6, с. 331-339.
7. Сафаров Д.С. - ДАН РТ, 2007, т.50, №4, с. 301-307.
Ч,.С.Сафаров
Х,АЛХ,ОИ ДУДАВРАДОШТАИ СИСТЕМАИ МУНТАЗАМИ ЭЛЛИПТИКИИ
ТАРТИБИ ЯКУМ
Дар мак;ола методи ёфтани х,алх,ои дудаврадоштаи як системаи муодилах,ои типи эллиптикии тартиби якум нишон дода шудааст.
D.S.Safarov
ON DOUBLE PERIODICAL SOLUTIONS OF THE UNIFORM ELLIPTIC SYSTEMS OF FIRST ORDER
On the method of the finding a double periodical solutions of the elliptic systems of the first order is proposed in the paper.
