Об обобщенных эллиптических функциях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №5_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 917.946

Д.С.Сафаров ОБ ОБОБЩЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 17.05.2007 г.)

Будем решать задачу нахождения двоякопериодических решений с основными перио-Ь

дами /^,/*2, Уда — Ф 0 уравнения Бельтрами [1-2]

К

=0, (1)

где д(г) - двоякопериодическая функция с основными периодами кх, к2, и

\q(z)\<q0<\. (2)

Двоякопериодические мероморфные функции носят название эллиптических функций, [3-4], то есть когда в уравнении (1) q{z) = 0

Как известно, основным вопросом для уравнения (1) является построение некоторого его гомеоморфизма для данной области Б. Если «(г) - гомеоморфизм уравнения (1), реализующий топологическое отображение области Б на область со(О), то всякое другое его решение в Б имеет вид (1)

\г(г) = Ф(ф)Х (3)

где Ф(о)) - произвольная аналитическая функция в области ю(Б). Следовательно, задача построения двоякопериодических решений уравнения (1) для заданных периодов к

1\,И2, Уда — Ф 0, сводится к построению некоторого его гомеоморфизма для одного паралле-

К

лограмма периодов £1 Уравнение (1) рассмотрим в параллелограмме периодов с вершинами

0, Ьь И2, Ь1+Ь2.

*

Так же, как и в [5,6], обозначим через Wlp, С* классы двоякопериодических функций с

И

основными периодами Уда— ф 0, принадлежащих соответственно классам ЖУ(С1),

К р

*

Се(П)пСи(0), /> 1, где □ - один из параллелограммов периодов, =Ь*р,С° =С„.

Решение уравнения (1) будем понимать как в обобщенном, так и в регулярном смысле И.Н.Векуа [1]. Будем говорить, что двоякопериодическая функция w(г) удовлетворяет урав-

нению (1) в окрестности точки г0, если в некоторой окрестности ^ этой точки ^}¥р(С0), р> 2, и удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в О0. Если удовле-

творяет уравнению в окрестности каждой точки области О, исключая, может быть, точки

*

некоторого дискретного относительно О множества (] то будем говорить, что \\!(г) явля-

*

ется обобщенным решением уравнения (1) в О . Если Ок - пустое множество, то обобщенное решение будем называть регулярным решением уравнения (1) в области О .

Определение 1. Обобщенные двоякопериодические решения уравнения Бельтрами (1) будем называть обобщенными эллиптическими функциями, если они представимы в виде

м?(г) = Ф(а>(г)Х (4)

где оз{£) - некоторый гомеоморфизм уравнения (1), удовлетворяющий так называемому условию квазипериодичности

со(г + И) = со(г) + к,

~ ~ ~ к

И ~ тЛИЛ + т2//2, к ~ тлИл +от2//2, ,]т~^ф0, тл, т2 - целые числа, Ф(со) - эллиптическая

К

функция. При q(z) = 0, /?, = /?,, И2 = И2, и обобщенные эллиптические функции являются

эллиптическими.

Из этого определения следует, что порядок обобщенных эллиптических функций совпадает с порядком эллиптических функций, то есть они имеют одинаковое количество полю*

сов [3]. Порядку г = 0 соответствует решение (1) из класса р> 2, и такие решения

являются тождественно постоянными [5]. Так как эллиптические функции порядка г = 1 не существуют, то обобщенные эллиптические функции порядка г > 1 могут составлять класс нетривиальных однозначных решений уравнения (1).

Определение 2. Некоторый гомеоморфизм а>{г) - плоскости Сг на плоскость Сю уравнения (1) будем называть основным квазипериодическим гомеоморфизмом, если а>(г) удовлетворяет условиям:

со(0) = 0, ы{г + И) = со(г) + И .

Аналогично тому, как в [1] и [6], доказывается:

Теорема 1. Пусть q{z) - двоякопериодическая ограниченная измеримая функция с периодами ИЛ, И.2 и |<у(-)| < <у0 <1. Тогда уравнение (1) имеет единственный квазипериодиче-

ский гомеоморфизм ю(£), реализующий топологическое отображение плоскости Сг на плоскость С(0, причём а>2 е Е р > 2 и а>г Ф О всюду в С.

Основной квазипериодический гомеоморфизм уравнения (1) имеет вид

О

со(г) = г + Тс р(г) = г + Тср(г) - Т(р{0), (4)

где ТгР — интегральный оператор с ядром дзета-функции Вейерштрасса [3].

тс рО) = - ^ ир(т)С(Т - £)(К1, р(г) е Ь*р, р > 2.

Свойства оператора Тс изучены в [5, 6].

(Тер\ = р(г), (Т-р), = X,А Т;-. |р: \\pdO. = О, р е £р, р > 2р > 2.

р>1, 1К 1к = 1 ■

В представлении (4) р(£) - решение сингулярного интегрального уравнения

p{z)-q{z)Scp = q{z\

и р{г) = (1 - qSc) lq е Ер, когда близко к двум.

Функция® г в силу свойства С (г), [3] удовлетворяет условию квазипериодичности

ю(г + И) = <о(г) + /г + р0г], (5)

где И = т1Ъ1+т2к2, г] -т1Г11 + т2Г12 т1,т2 - целые числа, Ь = т1(И1+ р0г]1) + т2{к2 + р0г]2\

р0= —^(\-qS^;)~lqdQ., и со 0 =0.

Теперь р0 можно подобрать таким, чтобы

И ~ ~

\ =\ +р0‘П1,И2 =И2 + рат]2.

К

Из свойства оператора следует, что сог е Ь*р, р > 2. Если q{z) е С1, то со2 е С1 и является решением сопряженного уравнения (1)

3s-q(z)32-q2& = 0

Тогда, согласно теореме о представлении [5], имеем ср2(г) Ф 0 всюду в С . Для якобиана отображения со(г) будет

^=\сог\2 -\со-г\2>(1-ч1)\аг\2>0, (6)

всюду в С . Таким образом, со(г) - локально взаимно-однозначно. Так как со г —»со когда г^со, то ® г является гомеоморфизмом. Обратная функция г(а>) удовлетворяет квазилинейному уравнению

г*-?(юК=0, (7)

Уравнение (7) имеет единственное решение удовлетворяющие условиям

г(0) = 0, г(сд + к) = г(о)) + к,

и реализующие топологическое отображение плоскости Са на плоскость С_

Далее, как следует из свойства оператора Т^р функции <х>(£) и г(а>) удовлетворяют условиям

\со{2,)-со{22)\ < /ф||^ -Ц -г2\а +\гг -г2\,

^(й^)-2(^)1 < к\]\ьр -\а\-Ф2\а +Ц -ю2\,

~ р — 2 к, к - зависят от р и О, а ---------.

Р

Следовательно, отображение со{£) в силу условий (5), (6), (8) является полным гомеоморфизмом плоскости С2 на плоскость Са .

При этом решетка периодов Г = п\}\ + плоскости С2 переходит в решётку периодов Г' = п\1\ + т2к2 т1,т2 - целые числа плоскости С(0. Если

р{) = — Л (- ^ с/с/О. = 0, то решётка Г является неподвижной для отображения со{£), то

уо

п п есть <»(Г) = Г.

Теперь введём обобщенные функции Вейерштрасса £(г), р(г), ,

£(г) = £(Ф)) = — + У (--------^ + ^ + ^г-Х

ф) £?0 ф)-к к к2

где со(г) - основной квазипериодический гомеоморфизм уравнения (1), к = п\}\ + т2к2, да,, т2 - целые числа. Так как а>(г) - полный гомеоморфизм, то ряд сходит-

ся абсолютно и равномерно в любой ограниченной области плоскости С_ (или Сю), если исключить из него конечное число членов, имеющих полюсы. В любом круге \со\ <Я функция ^(г) представляется в виде

1

1 ео(г)

г)-к к к

1

1 ео (г)

+ —+

| ц^[а)(г)-к к к2

отсюда видно, что первая сумма есть рациональная функция, имеющая в каждой точке к = п\}\ + т2^ (значения щ — О, т2— О допускаются) полюс первого порядка с главной 1

частью

оз - к

, вторая сумма - аналитическая. Таким образом, можно утверждать, что

<^(со(г)) является мероморфной на плоскости со^ . Функция ^(соі^г)) является со дифференцируемой и

<%{?)

СІСО

С(Ф)) = - рИ») = - рО),

й»=^т-+Е

со (г)

НфО

1

1

[со(г)-к]2 к2

на плоскости со ^ определяется формулой

і-

к* 0

к

ехр

ж ^ 2 Ж

СО % ^ СО %

к 2к'

и является со -дифференцируемой и

Функции С, (г), р(^), ст ^ являются функциями общего вида, в то время как С(г), а ^ ^ - нечетные, р(г) - чётная и удовлетворяют условиям:

1) <^(г + к) = С(г) + г), к = т1к1+т2к2, г; = т1г]1 +т2г/2, т1,т2- целые числа,

Г}1,Г}2 - циклические постоянные, причём, ?7,, ?]2 //,, к2 удовлетворяют соотношению Лежандра — г)2 \ = 2т. Это соотношение следует из легко доказываемой формулы

-со{г))ёсо{1:) = 2т ,

дП

так как Ііш

1

ю{і) - со(г)

- О и со(і)-со(г) - со((г) t-z + q(z)(t - г) + О \і- г І

1+а

О < а < 1;

2) р(г + к) = р(г\ и р(г) = р(со(г)) является со -дифференцируемой и удовлетворяет уравнению

И _ N 'У

ар{£)

СІО)

= 4р (z)-g2p(z)-g3,

где^2, g3 - абсолютные инвариантные функции р(со(г)) [3]

й = 60Ітт- яг=140іі;

і *1 1+с\ п

3) <7 является целой по со с простыми нулями в точках СУ = /г,

к = т1(к1 + р0т]1) + т2(к2 + р0г/2), т1,т2- целые числа, и удовлетворяет условию

<7

= ^ехр?7

V

ГГ € Г £ехр77

V

СГ<

^ = +1, если

2

период и £ = -1 в противном случае.

Теперь, используя теоремы о представлении эллиптических функций [3] и свойства основного квазипериодического гомеоморфизма, можно доказать ряд теорем о структуре обобщенных эллиптических функций.

Теорема 2. Пусть обобщенная эллиптическая функция и’ ^ _ имеет порядок равный г >2 и пусть а1,а2,...,аг- нули и в1,в2,...,вг- полюсы м?4^в параллелограмме периодов О (их число с учетом кратности одинаково). Тогда имеет место сравнение

(9)

ы 1

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и формула (9). Тогда функцию можно представить в виде

"'Ос-п

СГ<р4^С>4ї)4ік

*=} сг<; ^ 33-СГ

где С - произвольная постоянная.

Теорема 4. Произвольная обобщенная эллиптическая функция и’ ^ ^ порядка г >2 с периодами ку,к2 и полюсами вх,в2,...,в в параллелограмме О выражается через С^ 3 по формуле

Г

+1

к=1

IV 2 = А +

В^

В*£ со г -со вк -В2£' со г -со вк +------------------------------1 Ук 1-----------—£ Ук~1 со г -со вк

^-1 !

ук тук тук

А - постоянная, числа ВХ,В2,...,В - коэффициенты главной части разложения Лорана

функции в окрестности со^к ^ причем

г

5Х=о.

к=1

Теорема 5. Любая обобщенная эллиптическая функция с периодами \^ представима в виде

™0) = Д (Р €>(*) 3+ Я (Р 4>(г) Зр' <р(г) 3 где К1, К2 — рациональные функции.

Теорема 6. Между любыми двумя обобщенными эллиптическими функциями ср^ и цг ^ с одинаковыми периодами 1\ и 1г2 существует алгебраическое соотношение вида

еИ#0°.

где G - рациональная функция.

Замечание. Теоремы 3-6 справедливы и для представления двоякопериодических решений общей эллиптической системы

0°)

где ^ двоякопериодические функции с периодами и удовлетворяют усло-

вию

< 1-

Так как если - решение (10), то и’ ^ удовлетворяет некоторому уравнению Бельтрами (1), где

^ ^ ^ ‘-И’

Ч\_^ЧЛ 3-Чг%^-

Нужно отметить, что здесь основной квазипериодический гомеоморфизм зависит от представляемого решения системы (10), то есть не является фиксированным для всех решений.

Курган-Тюбинский государственный Поступило 07.04.2008г.

университет им. Носира Хусрава

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа И.Н.. Обобщенные аналитические функции. М,: Физматгиз, 1959, 659с.

2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1966, 351с.

3. Ахиезер И.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970, 304с.

4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, М.: Наука, 1968, 648с.

5. Сафаров Д.С. - Дифференциальные уравнения , 17 (1981), 961-968.

6. Safarov D.S. - Comp. Variables, 1994, 26, pp. 177-181

Ч.С.Сафаров

ДАР БОРАИ ФУНКСИЯ^ОИ ЭЛЛИПТИКИИ УМУМИКАРДАШУДА

Дар мак;ола функсиях,ои эллиптикии Вейерштрасро истифода бурда тарзи ёфтани х,алх,ои дудаврдоштаи муодилаи Белтрами нишон дода шудааст.

D.S.Safarov

ON THE THEORY OF THE GENERALIZED ELLIPTIC FUNCTIONS

By elliptic functions of Weierstrass the method of finding double periodical solutions Beltrami equation is constructed in the paper.