Двоякопериодические решения уравнения Бельтрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2007, том 50, №4_____________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 917.946

Д.С.Сафаров

ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕЛЬТРАМИ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 20.06.2007 г.)

На комплексной плоскости С рассмотрим неоднородное уравнение Бельтрами [1]

Вм> = - д(г)м?2 = /(г), (1)

где (¡(¿), /(г)—заданные двоякопериодические функции с основными периодами И

Уда — Ф 0, причём q(z) удовлетворяет условию И

I Ч(?) 1^ Чо < 1 • (2)

Будем искать двоякопериодические, регулярные в смысле И.Н.Векуа [1], решения

И * *

уравнения (1) с периодами Ьг,к2, Уда — Ф 0 . Обозначим через 1¥ , Ь С* - классы функций,

К ъ

двоякопериодических в С, с основными периодами Уда — Ф 0 и принадлежащих соот-

к

ветственно классам ¡¥^(0.), Ьр(0.\ р>2,Ск(0.)Г}Ск~1(0.\ к > \. Предположим, что /(г) е Е р > 2; а q{z) ограниченная измеримая двоякопериодическая функция, удовлетворяющая условию (2).

*

Двоякопериодические решения уравнения (1) из класса р> 2 являются регуляр-

* О

м _ 1

ными решениями в смысле И.Н.Векуа [1]. Жр,сС*°", а-—----------, С*0“ - класс двоякоперио-

Р

дических функций, удовлетворяющий условию Гельдера с показателем а. Такое вложение можно доказать, непосредственно используя интегральные представления двоякоперио-

*

дических функций [2]. Для функций Э{г) е Ж1 справедлива формула [2]

Э(?) = с + Тс(&\

где с - некоторая постоянная, Тср - интегральный оператор с ядром <^(м)-”дзетта” - функцией Вейерштрасса [3] , то есть

Тср{?) = -~ - *КО,

71 а

И

а О -параллелограмм периодов с вершинами 0, \ + к2,к2, Уда— > 0.

К

Свойства оператора Тср изучены в [2]:

Т,р(г + щИу + пгЛ,) = Т:р(г) + р0 (щщ + пг2г]2\ тп1,тп2- целые числа, г]х, г)2 - циклические постоянные г)х = 2£(1\ /2), т)2 = 2^(И2 /2) ,

Ръ=-\\рсК1., Тср: АеЬ*р, \\р<П = 0, р>2 ~}>}Г1р,р>2, (Тср\=р{г\

а .и ' ^ JJ ^ ” р’

(Г{р),=5.А />>1, ||.5{ Ц=1.

Используя эти свойства операторов 7^/?, ^/7, в [2] доказано, что всякое решение однородного уравнения (1) является тождественно постоянным. Чтобы построить явный вид решения неоднородного уравнения, как в [4], нужно построить полный гомеоморфизм решения однородного уравнения (1) с дополнительными условиями [1]. Пусть О - параллелограмм

. К „

Зт— > 0

к J

периодов с вершинами 0, +h2, h2

Определение. Полный гомеоморфизм <p(z) уравнения

В(<Р) = <Р* ~ Ф)<Рг = 0 (3)

будем называть основным решением, если <p(z) удовлетворяет условиям:

КО)-0, (4)

<p(z + h)-(p(z) + h, (5)

~ ~ ~ к /г = даД+да2/г2, /г =7йД+да2/г2, Jm-З^фО.

К

Как в [1], доказывается, что уравнение (3) имеет единственное основное решение cp(z), которое имеет вид

о

3(z) = z + Tc p(z),

о

где Тг; p(z) - Т p(z) - Tz р(0), p(z) - решение сингулярного интегрального уравнения

p{z)-q{z)Scp{z) = q{z\

p{z) = {\-qSiylq{z).

В силу свойства C(z) > функция (p{z) удовлетворяет условиям (4), (5)

<p(z + h) = (p(z) + h, (6)

h = mlhi+m2h2, h = h + pQr/, rj - mlJjl+m2Jj2, p0= — ^\-qSi.ylq(z)dQ..

Теперь p0 можно подобрать таким, чтобы

h ~ ~

Jm^-ФО, hl=hl+p0Tjl, h2=h2+ par]2.

К

Таким образом, при отображении $>(z) решетка периодов Г = ^nxhx+m2h2, m1,m2 - целые числа переходит в решетку периодов

Г = nj\ + m2h2:, m1,m2— целые числа , то есть ^(Г) = Г . Если р0 = 0, тогда все точки

*

решетки Г являются неподвижными точками, (р(Г) = Г. Если q(z)eWp (или q(z) е (',! 2),

*

тогда (p{z) е Wp , и ср _ является решением союзного однородного уравнения

B\S) = ^-q3z-qz3 = 0.

*

Как следует из результатов работы [5], любое решение уравнения (6) из класса Wlp, р> 2 представимо в виде

сехрp{z), если p{z) e,W* р >2

m =

р“ (7)

О, если p(z) eff1, р> 2

с - произвольная постоянная.

Из этого представления получим, что (р_ (г), как решение уравнения (7), принадлежит

*

классу р > 2 и ср2 Ф 0 всюду в С, то есть. ц>2 =1 + Б^р Ф 0, \/г еС. Следовательно, од-

нородные уравнения (3) или (1) при / = 0 и (6) имеют одинаковое число решений, равное 1. Теперь находим условия разрешимости уравнения (1) и союзного неоднородного уравнения

В*(9) = §- (Ю

С этой целью выпишем формулу Грина. Для функций У(г), и(г) еС'(П) имеет место формула [4]

2/ Л \{г)В(и) - и(г)В* (V) ср. = \Щг)У(г)(<Ь + (9)

Так как

JU(z)V(z) dz + q(z)dz = J U(z+ h1)V(z+ h1) — U(z)V(z) (dz + q(z)dz)~

\

-1 U(z + h2)V(z + h2)-U(z)V(z) (dz + q(z)dz\

0

то для функции класса С* из (9) получим равенство

JJ \{z)B(U) - U(z)B*(V) = 0.

Если в этой формуле взять V(z) = <pz и U(z) - решение уравнения (1), тогда мы получим необходимое условие разрешимости уравнения (1)

JJp2(*)/(XMO = 0- (10)

п

Если взять U(z) = const, получим необходимое условие разрешимости уравнения (8)

JJg(z>to = 0. (11)

Покажем, что условия (10), (11) являются достаточными для разрешимости уравнения (1) и (8) соответственно.

Для этого выпишем аналоги эллиптической функции Вейерштрасса для основного решения однородного уравнения (3) и рассмотрим функции двух переменных

Z(t, z) = (pt (t)£0(0 - ф)) = cpt it)

1

-I

1

ф)-ф) о (pit) — (p{z) - h h h = -\пх1\ + m2/?2, m1,m2- целые числа, i,ze Q, t Ф z.

Перечислим свойства функции Z(t, z) :

1) при t Ф z, BzZ(t, z) - 0, B*tZ{t, z) - 0;

<Р&) ф)-ф)

3) Z(t,z + h) - Z(t,z) + rj(pt{t), Z(t,z + h) - Z(t,z) -fj<pt(t)

h ■

2) lim

Z (t,z) —

- 0;

h = mj\ + m2h2, 77 = mlijl + да2^2, mx,m2-целые числа,

h 2

h

v2/

V У V /

4) величины /z,, h2, //,, f]2 связаны соотношением Лежандра rjl h2-rjl h2 — 2л:i;

5) Z(t,z) =

-——-J- Z (t, z), Z (i, z) = 0(| i-z| “ ), о <a <1.

Теперь, используя эти свойства функции Z(7,z), из формулы Грина для некоторого решения м?(г) уравнения (1) в любой точке г е получим

1 Ґ \ I j

w(z) = Щ \w{t)d(p{t) - rj2 ^w(t)d<p(t) \ - — JJz(t, z)f{t)d£l.

(12)

0 0 J О

Отсюда, в силу свойства 3) функции Z(73z), получим, что при выполнении условия

*

(10) формула (12) даёт решение уравнения (1) из класса ТР1 р >2.

Аналогично, для решения уравнения (8) получим:

19(t) = - ^ 1 \т]у ^&(z)(dz + q(z)dz-t)2 ^S(z)(dz +q(z)dz)\-— JJz(i, z)g-(z)<izQ (13)

Тогда при выполнении условия (11) получим, что формула (13) даёт решение уравне-

*

ния (8) из класса Ж1 при р > 2.

Теперь, как в [4], легко доказать, что

В

-JJZ (t,z)f(t)dtn

V 71 n

= №, в*

- \\z(t,z)g(z)dzQ.

V ж n

= g(ß).

Таким образом, доказана следующая Теорема. Уравнения

в<гУ/,в'4Ув

образуют фредгольмовую пару и имеют соответственно решения вида

тф) = сх - ^ Дг(ґ, г)/(ґ)^0, ЭЦ) = с2ср, (0 - ,

где с, е2 - произвольные постоянные.

Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава

Поступило 23.07.2007 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции М.: Наука, 1959, 668 с.

2. Сафаров Д.С. Дифференциальные уравнения. 1981, т.17, №8, с.961-968.

3. Ахиезер И.И. Элементы теории эллиптических функций. M., 1970, 307 с.

4. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа. М.: Наука, 1972, 227 с.

5. Safarov D.S. - implex Variables, 1994, 26, pp. 177-181.

Д.С.Сафаров

Х,АЛХ,ОИ ДУ ДАВР ДОШТАИ МУОДИЛАИ БЕЛТРАМИ

Дар мак;ола тарзи ёфтани халх,ои ду давр доштаи муодилаи гайриякчинсаи Бел-трами ёфта шудааст.

D.S.Safarov

DOUBLE PERIODIC SOLUTIONS OF THE BELTRAMI EQUATION

In the article double periodical solutions of the Beltrami equation are established.